Archiv der Mathematik und Physik

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0

Archiv

der

Mathematik nnd Physik

mit besonderer Rücksiclit

auf die Bedürfnisse der Lehrer an hfthern

Unterrichtsanstalten.

Herausgegeben

von

Johann AngwBi Grunetri,

Professor xu Greifswahl.

• •

•

Vierter Tbeil.

Hit sieben lithographirten Tafeln.

GrelAiwalcl.

Verlag von C A. Koch.

1844.

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•»/ ,

iDhaltsverzeiclmiss des vierten Theils.

Arithmetik.

Nr. der
Abhandlung. Heft. Seile.

III. Ueber einige durch bestimmte Integrale summirbare
Reihen. Von Herrn Dr. 0. Schlömilch xu Wei-
mar 1. '23

IV. Ein Beitrag zur Theorie der Auamittelung des
Kennzeichens, ob eine Variation zweiter Ordnung
positiv oder negativ ist, oder weder als positiv
noch als negativ gelten kann. Gelegentlich ist da-
bei ein Beitrag zur Beurtbeilung der beiden von
Euler und Lagrange gegebenen Methoden der re-
lativen Grössten und Kleinsten. Von Herrn Doctor
G. Strauch, Lehrer der Mathematik an der Er-
ziehungsanstalt zu Lenzburg im Kanton Aargau. 1. V.t

VI. Ueber einige bestimmte integrale, deren Werthe
durch doppelte Integration gefunden werden. Von
Herrn Doctor 0. Schlömilch zu Weimar .. . I. 71

IX. Ueber das independente Fortschreitungsgesetz der
numerischen Coefficienten in der Entwickelung der

höheren Differentiale der Function v^V^a' — Ä'or'.
Von dem Herrn Doctor Luchterhandt zu Kö-
nigsberg i. d. N I. hl

X. Beweis der Gleichung

^^^^ «(— l)«-l.l.S.5....(2t-l)— j—

für X a= cos x. Nach einem Aufsatze des Herrn

Liouville frei bearbeitet von dem Herausgeber. 1. IH-I

XIII. Ueber die neuesten Erfindungen in der Theorie
der bestimmten Integrale. Von dem Herausge-
ber* Zweite Abhandlung II. 113

XV. Beweis der Lehrsätze in Band III. S. 442. Von

Herrn A. Göpel zu Berlin 11. 12K

IV

Nr. der
Abhandlung. Heft. Seite.

XVII. Aufgabe. Von Herrn Doctor Anton Valläs zu

Wien. . . , IL 159

XIX. Einiges über die Euleriscben Integrale der zweiten
Art. Von Herrn Doctor 0. S c b l öiu i 1 c h zu W ei -
mar IL 167

XXII. Bestimmung eines Polynomiums durch Integrale
seiner partiellen Differcntiaiien, nebst einer An-
wendung derselben. Von Herrn L. Mossbrug-
ger, Lehrer der Mathematik an der Kantons-
schule 8u Aar au IL 210

XXIV. Ueber das Integral / — . Von dem Herrn Pro-

fessor G. J. Ver dam zu Leiden IL 221

XXV. Bemerkungen zu den Aufsätzen XXXL und XXXII.
des Herrn Dr. Schlö milch in Tbl. IH. S. 269
und S. 278 dieses Archivs. Von Herrn Doctor

Barfuss zu Weimar IlL 225

XXIX. Auflösung einer algebraischen Aufgabe, und Hin*
Stellung einer anderen. Von Herrn A. Göpel zu
Berlin IlL 244

XXXIII. Ueber die Zerlegung der bestimmten Integrale in
andere Ton kleineren Integrationsintervallen. Von
Herrn Doctor 0. Schlömilch zu Weimar . • • III. 316

XXXIX. I. Bemerkungen zu dem Aufsatze auf Seite 57 im
ersten Theile des Archivs von Herrn Professor
Dr. Wilhem Matzka zu Tarnow in Galizien . IV. 355

XXXIX. IL Feststellung und Würdigung des in dem Ar-
chive, Theil L S. 204, über eine Stelle in Cau-
chy's Begründung der Differentialrechnung ausge-
sprochenen Tadels. Von Demselben IV. 357

XL. Ueber die höheren Differentialquotienten einiger
Functionen. Von Herrn Doctor 0. Schlömilch

zu Weimar IV. 364

XLIV. Ueber die Auflösung der cubischen Gleichungen.
Von dem Herrn Professer C. A, Bretschn eider

zu Gotha IV. 410

XL VI. Entwickelung einer sehr brauchbaren Reihe. Von Hrn.

Doctor 0. Schlömilch zu Weimar IV. 431

XL VII. Entwickelung der höheren Integrale von \(i%x.dx
nebst einer Anwendung auf die Summirung einer
Reihe. Von dem Herrn Schulamts • Candidaten
F. Arndt zu Greifswald IV. 436

Geometrie.

IL Eine einftchere» auf einer peuep Analyse beruhende

- - Aoflotiiaig diir Mctio «prea, nebat einer kritiachen

BetanehtnDg. 4«r ge:iv{iliBUflkeD Anflfiaong dieaea

Nr. der
Abhandlung. Heft. Seite.

Problems und der Betrachtung ihrea pädagogischen

Werthes* Von .dem Herrn Professor J. Heimes

(U Hildesheim • I. 15

VII J. Creometriache Aufgabe. Von dem Herausgeber. L .82

IX. Ueber swei Eigenschaften der Kegelfläche swei-
ten Grades. Vou Herrn Doctor Luchterhandt
zu Königsberg i. d. N I. 99

XII. Einfacher geometrischer Beweis des Satzes, dass

.die drei Hülfslinien, welche bei dem Beweise des

pythagoräischen Lehrsatzes gezogen werden, sich

in einem Punkte schneiden. Von dem Heraus«

geber L 112

XVI* Einige Untersuchungen über die Krümmung der
Gurren, insbesondere über die Evoluten gegebener
' Curven; und einige Bemerkungen über die beson-
dern Punkte der Curven. Von Herrn Doctor
J. Ph. Wolfers, astronomischen «Rechner an der
Königlichen Sternwarte zu Berlin II. x 135

XXI. Drei EigensehiEilten der Oberflächen zweiter Ord-
nung und ihrer conjugirten Halbmesser. Von

Herrn A. Göpel zu Berlin II. 202

XXIV. Ueber die Aufgabe von der Trisection des Winkels.

Von Herrn Divisionsprediger Otto zuStargard. II. 223
XXVIL Ueber Theilung und Verwandlung einiger ebenen

Figuren. Von Herrn A. Göpel zu Berlin. . . . III. 237

XXX. Theorie der involutorischen Gebilde nebst Anwen-
dungen auf die Kegelschnitte. Von Herrn Fr.
Seydewitz, Oberlehrer am Gymnasium zu Hei-
ligenstadt . . e III. 246

XXXI. Ueber die Transformation der Figuren, in andere
derselben Gattung. Von Herrn Professor C. T.

Anger zu Danzig . III. 281

XXXIL In iqtegrationem aequationis Derivatarum partia-
lium superficiei, cujus in puncto unoquoque princi-
pales ambo radii curvedinis aequales suntsignoque
contrario. Auot. Dr. E. G. Björling, ad Acad.

Upsaliens. Docens matheseos. • III. 290

XXXIV. Geometrischer. Lehrsatz. Von Herrn L. Moss«
brugger, Lehrer der Mathematik an der Kan-

tonsscbule zu Aar au IlL 330

XXXVII. Mittheilungen über die Construction von Tangen-
ten, Krümmungshalbmessern und Normalen an Cur-
Ten, deren Natur völlig unbekannt ist. Rectification
und Quadratur der Kreisevolvente und der ent-
wickelbaren Schraubenfläche. Von Herrn Wil-
heim Pressel, Ingenieur -Eleven auf der poly-
technischen Schule zu Stuttgart IV. 337

»

VI

Nr. der
Abhandlung Heft. Seite.

XXXIX. IV. Neuer Beweis der Gleicbkeit der Parallelepi-
peden. Von Herrn Professor Doctor Wilhelm

Matzka zu Tarnow in Gajizien IV. 3C2

XLL Aufgaben über Maxima und Minima. Von Herrn
L. Mossbrugger, Lehrer der Mathematik an

der Eantonsschule zu Aarau IV. 373

XLV. Ueber eine wesentliche Verallgemeinerung des Pro-
blems von den, den Kegelsehnitten ein- oder um-
schriebenen Polygonen. Von Herrn Fr. Seyde-
witz, Oberlehrer am Gymnasium zu Heiligen-
stadt IV. 421

XLIX. Eine algebraisch -geometrische Aufgabe. Von Hm.

Albrecht von Gräfe zu Berlin IV. 445

XLIX. Ueber das sphärische Viereck. Von Herrn Pro-
fessor Dr. Sohncke zu Halle IV. 447

Goniometrie und Trigonometrie.

XXVI. Goniometrischer Zirkel. Von dem Herrn Ober-
lehrer Dr. Brehmer am Pädagogium zu Putbus

auf der Insel Rügen .• • • • HI« 23G

XLVIII. Entwickelung der Functionen

cos na: , sin na:

und

cos ar» cos or»

in Reihen, die nach den Potenzen Ton tang x auf-
steigen^ mit Hülfe des Maclaurinschen Theorems.
Von dem Herrn Schulamts- Candidaten Fr. Arndt
zu Greifswald IV. 441

Geodäsie.

V. Ueber die Messkette und deren Berichtigung. Von
dem Herrn Regierungs-Condncteur G. Berlin zu

i Greifswald I. C8

XIV. Ueber ein Spiegelinstrument zum Einrichten gera-
der Linien auf dem Felde. Von Demselben . . II. 126
XXX Vin. Einige Bemerkungen «über fehlerzeigende Dreiecke.

Von dem Herausgeber • • . • IV. 348

XLII. Ueber eine neue geodätische Angabe. Von dem

Herausgeber IV. 385

XLllI. Geodätische Aufgabe. Von Herrn L. Mossbrug-
ger, Lehrer der Mathematik an der Kantonsachule
zu Aarau IV. 408

Statik und Mechanik.

VII. Elementare Bestimmung des Schwerpunkts des

t

V

VII

i

Nr. der .

AbhandloDg. Hw. S«ite.

sphärischen Dreiecks. Nach iwei Anfsitsen der

Herren Ginlio und Betge in dem Journal de

Mathematiqaes pures et appliquees publik par

LiouYille frei bearbeitet Ton dem Herausgeber. L 75

2CXXVI. Auszug aus einem' Briefe des Herrn Professor
Steicfaen an der Bcole milicaire Belgique
zu Brüssel an den Herausgeber III. S33

XXXIX. in. Bemerkungen zur Bestimmung des Schwer-
punktes im sphärischen Dreiecke auf S. 6 bis 9
im dritten Theile des Archivs. Von Herrn Pro-
fessor Dr. Wilhelm Matzka zu Tarnow in
Galiiien .^ IV. M9

(M. s. auch Physik.)

«

Optik.

XX. lieber das Fundamentalproblem der Katoptrik und

Dioptrik. Von dem Herausgeber • U. 175

(M. s. auch Physik.)

Physik.

I. lieber gradlinige circulare und elliptische Polarisa-
tion des Lichtes. Von Herrn Fies ch, Lehrer der
Mathematik und Physik am Gymnasium zu Trier. I. 1
XVIII. Sammlung physikalischer Aufgaben nebst ihrer
Auflösung. Zum Gebrauch in Schulen und beim
Selbstunterricht. Von Dr. Friedrich Kries, Her-
zogl. Sachsen - Coburg - Gothaischen Hofrath und
Professor, mehrerer gelehrten Gesellschaften Mit-
gliede. Mit zwei Kupfertafeln. Jena, Friedrich
Frommann. 1843. 8. 15 Sgr. Von Herrn Profes-
sor L. Kunze zu Weimar II. 1(>0

XXVIU. lieber die Berechnung des Elasticitäts-Modulus aus
directen Dehnungsversuchen. Von dem Herrn Fa-
briken-Commissionsrath A. F. W. B ri x «u B e r 1 i n. III. 239

Uebangsaufgaben fflr Schfller.

XI. Von dem Herausgeber I. 109

XI. Von dem Herausgeber. I. 111

XXIII. Von dem Herrn Doctor A. Wiegend, Lehrer der

Mathematik an der Realschule zu Halle II. 220

XXXV. Von dem Herrn Professor Pross an der poly-
technischen Schule zu Stuttgart III. 332

XXXV. Lehrsatz Ton den BinomialcoefficiiBnten Ton dem

Herrn Doctor 0. Schlömilch zu Weimar . • • III. 333

I

vni

\

Nn der

Abhandlung. ^' Heft. Seite.

Literarische Berichte *)•

XIIL I. 195

XIV n. 209

XV. m. 225

XVL IV. 241

*) Ich bemerke hierbei , dasi die litenrisehen Beriebie mit beionderen fortlaafenden
Seitenzahlen versehen sind. *

L

lieber gradlinige, cireulare nod elliptische Po-
larisation des Lichtes.

Herrn Flescli

Lehrer der Matheaiatik and Physik an Gjananim tu Trier.

1.

Der Lichtätfcer wird ia Zoitan^e dts Gleichgewicbtet srehal-
ten bnoptsichlich darch abttonende Kräfte, welche die eiDzelneo
Tbeilchen auf eioander amfibeD, tbeils aber auch durch eioe be-
sondere Einwirkang, welche er tob Seiten der Moleküle der pon-
derabilen Materie erleidet, la leeren Ranne anss derselbe also
gleichförmig Terbreitet sein, überall ffleicbe Dichtigkeit nnd nach
allen Richtongen dieselbe Qasticitaft haben. In eine« ait wägba.
rer Materie erfüllten Raoae dagegen kann seine Diehligkeit von
jener Terschieden sein and «eine Elasticitit sieb ait der Richtung
ändern. Letxterea findet jedoch nur bei denjenigen crrstalliKirteD
Substanzen Statt» deren prinitiTe Form kein reguläres Polyeder
ist. Diesen Fall scbliessen wir von- unserer gegenwärtigen Be-
trachtung ans.

U.

Ein Aethertheilchen sei na eine ia Verhältniss xur Entfernung
der einzelnen Tbeilchen von einander sehr kleine Grösse ^ aus
der Lage seines Gleichgewichtes gebracht: so wird die GeBammt-
wirkung der benachbarten Theilchen auf dasselbe eine abstossende
Kraft sein, deren Richtung durch die Gleichgewicbtslage jenes
Tbeilchens geht nnd deren Intensität, da Z '^^r klein ist, der
Grösse C selbst proportional gesetzt werden darf. Ist also a: der
Abstafkd des Tbeilchens T<in der nrsprunglicbcn Lage nach der
Zeit /, so ist

Tkelt IV.

. . • - .• * • • or* •

t j» 1' ■ n .*

(lia UüferentittlffleicbuDg der Bewegung, wo e die Grösse der ab-
4lo«senden Kraft in der Kinheit der Entfernung ausdrückt und offen-
bar proportional der Blasticitttt des Fluidums ist. Aus dieser Glei-
abung ar^^ibt sieb folgendes Integral (s.' Tratte ^Ument. de calcul
iliflUr. et integral par Lacroix, 4. Edition 316):

A' = o cos {t l^e-f-c), (2)

welobe» die Gesetie der Bewegung des Xbeilcbens enthält. Setzt
man aur Beatimaung der willkübrlicheo Constaoten in dieser Glei-
chung

,tf = a för ^ = 0,
4a komat

talglieh

jr = a cos $ \/e (3)

wo a die Oacillatio»s*A»plit«do des TheilcheDs bedeutet
Uio SckwiBf «Bgsdmmer v ist offeBhar hea^aat durch die Re-
lation

%V€=%Jt (4)

iNikiglieh Ut

jr=r« cos w. — -|

«V r

wo«B «MMfc 4or Umo kalWr 4«fch rk y « = •> ohse Cnterackied

4«» loitfcoaa» 4io fpri^sst« OscillatioosgeachariBdig-keit —
Vi^r%ll«kiift«lBt«ftaitäk — 4cff TkeücWas keseichnet. Niamt
aM»A 4ao hAwMftift 4or okatoaBaadasi Kraft \m 4cr Eiskoit 4«r Est-

ftsMMi§ ob Kkikoil Ml» s# kt

c=~ = l

ita4 okf§o €3oickttBg*» (5) gpakair mter ificsffr VoraassoCn^g

jr^ia. ona & . — j

8

D« 1 die Dauer einer Oteillation bedentet, to iit also y die Ao-

lahl der SchwiDgungen, welehe dae Aetkertheilchea wihreDd der
Zeit seiner Bewegung geaacht bat, and Ban tiebt alto, wie dnrcb
diese Anzahl und die sebwingnngtweite dea Tbeilebepa aeiue Ge-
schwindigkeit und ButfemuDg von der araprttagtlebeu Gleicbga«
wicbtslaffe bedingt aiud. Et sei nun auf denselm Strable boao-
ffenen I Jchtes E die Entfernung eines zweiten AetbertbeilAeDs von
jenes und /die entsprechende L&nge einer Aetberwelle, so ist

B

T = *

die Aniahl der Wellen zwischen beiden Theilcben. Da nun nach
der Zeit

#=T, #sss2t, #=s3t. .. .#=

die Bewegung erat in der Entfernung voa eraten Tbeilcben

E=si, £!zs:2i, E=Zl Essmi

anlangt: so hat das erste Theilcben also schon m ScbwiBguagen
vollbracht, wenn jenes andere seine Bewegung erat beginnt; folg-
lich ist die Anzahl der Oscillationen dieses letzteren nach der Zeit
/ offenbar

t t B

und bezeichnet u die Ausscblagsweite desselben Tbeikbeas, so
sind also

«s=o cos 2jr (—- — -T-)j

r = a sin %n ( jy

die Gleichungen seiner Bewegung. Ist

E=ssml+g>

wo n eine ganze Zahl und 9 irgend einen Tbeil der Aetberwelle
bezeichnet und mithin

9>0</
ist, so können obige Gleichungen (7) aucb unter die Fora

a: = a cos 2;r ( -?)J

* ' (8)
v = a sin 2nr ( ^)\

T • f

gebracht werden, da eine Verminderung des ganzen Bogens um
%m7i weder dessen Cosinoa nocb Sinus ändert« Jener Tbeil f der
Aetbarwelle beisst die Phase dea vibrireaden Tbeilebens.

• . .4

Aus den GleichuDgeu.(6) und (8) folgt

'\ ■ ' . • ■ .

Durohl&uft also während der Schwiogungsdauer eines Aetbertheil-
eliens ein Punkt mit gleichförmiger Geschwindigkeit die Peripherie
eines. Kreises, dessen Radius gleich ist der Schwingungsweite jenes
Tbeilchens: so bezeichnen die rechtwinkligen Coordinaten dieses
Punktes die gleichzeitige Geschwindigkeit und Entferpunff des
Aethertheilchens von der ursprünglichen Lage seines Gleichge-
wichtes. ,

Die Vibrationen des Lichtes sind transversale, d. b. sie er-
folgen senkrecht zur Fort pflanzun^s- Richtung, oder, was dasselbe
lieisstV «enk recht zum Lichtstrahl, liegen also in einer aof letzterem
normalen Ebene. Ein Strahl, dessen Aethertbeilchen alle nach
derselben constanten Richtung oscilHrenj beis&t gradlinig pola-
ris irt. Die Gleichungen {8} enthalten die Gesetze der Bewegung
seiner Theilcben. Zwei zusammenfallende Strahlen sind senk-
rechten einander polarisirt, wenn ihre Schwingungsricbtun-
gen rechtwinklig gegen einander sind. - In Betreff -der linearen Po-
larisation erlauben wir ups auf Aufsatz L. im L Theile des Ar-
-t?bivV zo verweisen. >

III.

Unterliegt dasselbe Aethertbeilchen der Einwirkung eines zwei-
ten Vibrationssystemes von gleicher Scbwingungsdauer t, gleicher
Wellenlänge ly aber verschiedener Phase g;, und verschiedener
Schwingungsweite ä,, oder, was unserer Voraussetzung nach das-
selbe faeisst, verschiedener Intensität a,', und bezeichnen v^ und y
die Geschwindigkeit des Theilchens und dessen Entfernung von
der ursprünglichen I^age seines Gleichgewichtes nach der Zeit t:
so enthalten die Gleichungen

yz=a, cos 27r (-- 7-)/

t 1 ^^^^

die entsprechenden Gesetze der Bewegung. In Folge dei; Einwir-
kung eines jeden dieser Vibrationssysteme allein würde die Bewe-
gung des Theilchens geradlinig und durch obige Gleichungen (8)
oder (10) bestimmt sein. Wirken aber beide Systeme gleichzeitig
auf das Theilchen und sind z. B. ihre Vibrationsrichtungen zu einan-
der senkrecht, so ist die Bahn des Theilchens eine ebene Curve,
worin

a: = a cos »tt ( y-)J

' (11)

y = «i cos 2n {— — ^>j

1

die gleichzeitigen rechtwifikli^en Coordinaten des Aethertheilchens
ausdrücken. Eiiminirt man die Zeit t ans diesen Gleichungen, s»

5

•

findet man die Gleichung der Bahn selbst Man erhMt nämlich
zunächst

^ = c«sa.(l-i)

folglich

2» (4- - ^) = arc (cos = ^
und durch Subtraction

in . ^* . ^ = ärc (cos = — ) — arc (cos = — )
oder wenn man auf jeder Seite die Cosinus nimmt

cos 2;r. 5^72 = ^.^+l/l-^.l/i3lL

und hieraus nach einigen Reductionen
^ -4-i^ - 2 ^ . ü^ cos a» . 2i^:=gi„. 2^ £iZL2 (ij).

Das Aethertheilchen beschreibt also im Allgemeinen eine Ellipse^
welche unter gewissen Bedingungen in einen Kreis übergehen
kann. Pflanzen sich also zwei Strahlen homogenen Lichtes,
welche von einer Lichtquelle ausgehen und senkrecht zueinander
polarisirt sind, nach derselben Richtung fort: so ist jedes Aether-
theilchen dieser beiden zusammenfallenden Strahlen der gleichzei-
tigen Einwirkung zweier zu einander orthogonalen Vibrations-
sjsteme unterworfen, deren Gleichungen (8) und (10) sein mö^en,
und folglich hört die«Bahn des Tbeilchens auf eine grade Linie
zu sein und geht im Allgemeinen in eine Ellipse über, welche
während der Schwingungsdauer t von dem Theilchen durchlaufen
wird. Der Lichtstrahl geht durch die ursprüngliche Gleichgewichts-
lage, den Mittelpunkt der Ellipse udd steht normal auf der Ebene
derselben. Ein solcher Strahl, dessen Aethertheilchen sich in einer
Ellipse oder einem Kreise bewegen, heisst elliptisch oder kreis-
förmig polarisirt und ist im Allgemeinen also identisch mit
einem Systeme zweier gradlinig und rechtwinklig zu einander po-
larisirten Strahlen von gemeinschaftlicher Fortpflanzungsrichtung,
aber verschiedenen Intensitäten und Phasen.

IV.

Die Axen der von dem Aethertheilchen beschriebenen ellipti-
achen Bahn (12) fallen mit der Richtung jener auf das Theilchen
gleichzeitig einwirkenden orthogonalen Vibrationss^steme (S) und

(to)

durc

im Allgemeitten oicbt zvsattinieD. BezeichDet man näMliek
lurcli y den Winkel, den die grosse Axe der Ellipse mit der Ab-
scissenaxe der Bahn bildet, und durcb ar,y, die Coordinaten der-
selben Curve bezoffen aaf ibre Axen: so bat man zur Umformunjr
der Gleicbiinff (12) bekanntlicb (s. Biot G^om^trie analjtique o.
Mit. 93) die Beziebungen

or = o^i cos y — y, sin ;'
y=a?j, sin y + yi cog r

Sabstituirt man diese Wertbe in obige Gleicbuog (12) und lässt
darauf die Accente weg, so nimmt dieselbe folgende Gestalt an:

a?*(aj* cos* y + a' sin* y— -2aai sin y cos y cos ji)
+ y*(«i* s*D* y-l-a* cos* ;'-f-2aaj sin y cos y cos -4)
+ i^t28in/ cosy (a*-^«!*) — 2oa4 cos ^(cos* /— sin* ;')|f

= a*ai* sin* ^
wo der Kii^e^balber

gesetzt ist. Soll nun diese Gleicbung die Ellipse (12) bezogen auf
ibre Axen darstellen, so muss

dn / eos y («' — «|*) — 2a«i cos A{ cos* y — sin* ^)x=0

oder

sin 2;'(a*;— «1^) — 2aa, cos ^ . cos 2;^ = 0

sein» woraus

A 2o«, ^ ^1*^9

tang 2y = jr:^ . cos 2n . "^—^

oder» wenn man

^ = tang^

setzt,

tang 2y = tang 2/f . cos A. (14)

Vernacblässigt man die kleinen Aendernngen der Ansscblagsweite
bei verscbiedenen Aetbertheilchen desselben Strables, so nehmen
also, wenn man von einem Tbeilcben zo einem benachbarten über^
gebt, nur « und 9, um denselben Tfaeil der Wellenlänge zu oder
ab; folglicb bleibt ibr Dnterscbied, also auch der Winkel y der-
selbe. Hieraus scbliessen wir folgenden Satz:

Die Aetbertbeilcben eines elliptiscb polarisirten Stahles be-
schreiben congruente Ellipsen mit parallelen Axen.

Bei gleiehem Pkasen- Unterschiede nähert sich im Allgeiieinen

der Winkel y um so mehr -^t j® weniger die Amplituden der

SchwiuflTOttgeD in den beiden Sjutemtn. von einander reraekie-
den sind.
Es sei

auf rechtwinklige Coordinaten bezogen die Gleicbung einer Bllinne,
so erhält man zur Bestimmung der reciproken Werthe P der halben
Axen der Curve die Gleicbung (s. Analytisch • geometrische Ent-
wicklungen von Plücker. 1828. Vol. 1. No.251)

/* — 0«* + ^) /«-l-(w — i'»)«©

Wendet man diese Bedin^ngngleichung an sur Bestimmung der
Axen der Ellipse (12), so ist

1 I ^^^ cos A

^ — «j« sin» J* ^ — «» sin« A' *' — "~««i sin» J

XU setzen» und man hat mithin

^«»«1» sin» J^ ^ «*«i» sm» J
folglich

also

2o»«,»'sin» J — 2«»«,» sin» J ' ^

o»o,» sin» A .

l/(«»H-«,»)» -4«»a,»"li5^"7
^ ^i — : «««^1 sin» yi

Die Gleichunff (15) bestimmt die reciproken Werthe 4er halben
Axeik der Ellipse; die halben Axen selbst Q und Q^ sind also ge-
geben durch die Gleichung

ö»= 2a*a,*s\n-A .^^.

a»^-a,»=p\/"(o»^«,»)» — 4«»«,» sin» A

folglich ist das Produkt der halben Axen der Ellipse

QQi =aa, sin jiz=zaa^ sin 2;r . ^ (H).

;

V

B^AU man der Kurse halber in den Gleiehnngen (8) nnd (1(^)
dor.hcadeu orthogonalen Vibrationssysteme

also ) (18)

8

80 vereinfachen sieh dieselben folgendergestalt:

xz=a cos B, ^=«1 cos B^\
vz=za sm o, f;|=a, sin jff, )

Mithin ist

•

asf^ -^-v* = a»

y«-htf,»==a,»

(20)

Ist ferner tls das Differential des Bogens der von dem Aetfaertheil-
clicn beschriebenen Curve und F die Tangentialffeschwindigkeit
des Theilchens im Punkte acy seiner Bahn, so ist (s. Poisson Af6<^
canrque, Edition 2. 145)

dt— ^
und

also

dx^ dy^^ «^

Ä» '^ dt^ dt^

oder

r» + tr^«=F». (21)

Aus (19) ergibt sich durch Differentiation

da: = — «sin B . dB = — v . dB
dy:=L — aj sin -Ä, . dB^ = — t^, . «fÄj

und da während derselben Zeit die Aenderung der Phase des
Aethertheilchens bei beiden Strahlen dieselbe ist, folglich

so ist also auch

dB = dB,

und mithin

dy «1 sin Ä, t;, ^ • .j.-.,

^ = -i — : — ^ = -1^ =s tanff o (22)

wo d den Winkel bezeichnet, den die Tangente im Punkte a:y an
die Curve (12) mit der Abscissenaxe bildet. Sind ferner e und 17
die Winkel, welche mit derselben Aze r»spective die Normale in
demselben Punkte jsy und der Radius Fector= vom Centmm der
Ellipse nach diesem Punkte machen: so ist (s. Biot G^om^trie ana-
lytique, ^dit. 8, SQ) - L

a siD B V \

'y «1 cos Bi I

tanir 17 = — •= ■ ■„ i

o ' d? a cos B 1

9

folglich ist der Winkel d-y den die beiden letiteren Linien mit ein-
ander bilden, gegeben durch den Ausdruck (Biot G^om. anal. oO)

fang»=;/'°g*-""'^* ^-'"'-*-*'^y=*Estm (44).

ö 1 -f- tang « . taog 9 ViX ^vy vy-^ViX ^ ,'

■

Aus den Gleichungen (20) und (22) erbält man

dy \__v^ _^«i'~y'
dx V Vd* — ar*

und hieraus durcb Differentiation

iPy XV i — yv

«fer* v^

(25).

Der Krümmunffshalbmesser q in irgend einem Punkte einer Curve
ist gegehifcii durch den Ausdruck (Lacroix calcul diff. et integral
4. ^it 76) '

Ute»

Substituirt man hierin für die beiden Differential - Coef&sienten ihre
Werthe aus (22) und (25), so kommt

\ = (£llt£i:)! =_£!_. (26).

Die Centrifugalk'raft F des Theilchens in demselben Punkte seiner
Bahn ist ^bestimmt durch die Gleichung (s. Poisson M^canique 169)

wenn man fiir q seinen Werth aus der vorhergehenden Gleichung
subsituirt Aus (24). folgt

vac^v.y sin * V^l — cos* 9-

tauff v" = *— = r = .

» vy — ViX cos 9- cos 9

mihin

{vj^ + v^yY cos* ^ = (t;y — «'i««?)* (1 — cos» d)

= (vy — f 1^)* '— («'y — ^i^Y cös* ^,

\{va? + v\yY -^(vy — v^a:y\ cos» ^ = (f*y— !f;,Äf)*
oder wenn man entwickelt

(v» -H fi*) (•«?* + y*) cos* d-z= (vpr- «'i^)'

F* . r» . cos* ^ = (f^y — *f,^)»

Fr cos ^5= t^yf— Vi o?

r co8* = 2^5il^ (28).

In I^ttkte ^py, depgep Entfernung von der Lage de« Gleichge-<

Wichtes r = 1^4^*+^* ist, ist die besehlennigende Kraft, welek^
das Aetbertheilchen von der Einwirkung der benachbarten Theil —
eben Erleidet, nach dem Centrum der Ellipse gerichtet und deiBa
Radius Vector proportional. Nehmen wir also, wie oben (II) ge-^
sdbehen, die ahstossende Kraft in der Einheit d^r Entfernung al^
Kraft -Einheit an, so ist dieselbe in der Entfernung r au8ge£iick|^
durch r und nach der Nornalen an die Bahn im Punkte asy xer—
legt durch

•/=r cos ^ (29), --

Aus C27), (28), (29) folgt

j^VS^^^^F (30).

Die Centrifngalkraft des Aethertheilchens in irgend einem
Punkte seiner Bahn ist also gleich, aber entgegengesetzt der nach
der Richtung der Normalen in diesem Punkte zerlegten beschleuni-
genden Kraft. Obgleich also — isoviel wir wenigstens zu wissen
glauben — dem allgemeinen Gravitationsgesetze nicht unterworfen,
folgt dennoch der Lichtäther in seiner Bewegung denselben Ge-
setzen der rationellen Mechanik, denen auch die ponderabilen Kör-
per unterliegen.

Aus (28), (19), (18), (17) ergibt sich ,

Vr cos ^=fy — er|dr = oai(sin B cos B^ — cos B sin ^i)|r«|v

^aa^ sin (iff— J?.) = oa, sm J^QQ^V ^'
Also ist /

mithin

Die Centrifogalkraft des Aethertheilchens in irgend einem Punkts
seiner elliptischen Bahn ist also umgekehrt proportional seiner CS^
schwindigkeit in diesem Punkte«
Ans (31) schliessen wir

^— r • cos ^

folglich

Diese nach der Richtung der Tangente an die Bahn auf das Aether^
theilchen einwirkende Componente J^ der gesammten abstossendem

Kriift; hftwirkt diA FArändÄrnnarAn in dAr GAAchmrindiarkAit dA« T*IiaiI«>'
Cl

len auf die Bahn bildet. In den Bndpunkten der Axen ist m\wm

11

Aiii de« Gleicliiingeo (20) und (21) ergibt ticli

ijp* .+ y* + 1'* + «'i • = «• -I- «I •

oder

folglich

^S«tit man

a' + tt,> = /l> (34)
■€» kommt

F=V/Ä» — r» (35).
ieie GleichuDg itt analog der Gleichung (9)

vad r beieicbnen die Entfernung des Aethertheilchens ? on der
leiehgewiehtslage.
kßM (35) folgt

F=Maximum in den Endpunkt, der kleinen Aze der Ellipse.
F=lMinimum - - - - grossen • . -

IsoJbs — ^/*=Minimum - - - kleinen -

=sMaximum • - - - grossen ...

ie Gleiehnng (21) liefert die Relation

I'.Qzzsir* (36)

ie Tangentialgeschwiiidigkeit des Aethertheilchens in irgend einem
■nkte seiner Bahn ist also die mittlere jgeemetrische Proportionale
kriechen' der Centrifu^alkraft des TheilcEens ond dem Krünunungs-
«Ibmaaaer der Cnrye in diesem Punkte.

VI.

Zwei rechtwinklig zu einander polarisirte Strahlen (homogenen
^^^ebtesl H und H^ von gleicher Schwingungsdauer r, gleicher
^Wellenlänge /, aher verschiedenen Intensitäten a* und a^* und ver-
schiedenen Phasen y und 9)1 bringen durch ihre Vereinigung nach
^enelben Portpflanziinffsrichtnng einen elliptisch polarisirten Strahl
hervor, bei welchem die Geschwindigkeiten der Componenten ge-
^;8bea sind durch die Formeln

Usna sin 2n {-j - ^), i/,=a, sin 2n (^ - ^) (37)

wd die gleichzeitigen Goordinaten des Aethertheilchens durch die

12

^ = a COS 27r (— — ^), y = a, cos In (7- — ^) (38).
Setzt man den Phasen -unterschied

~T~ — T'

80 kann man, da die Zeit von jedem keliebigen Momente ange-
rechnet werden darf, entweder

y=— ^ lind SP, =-f-^

oder

y = + y und 5P, = — y

nehmen, je nachdem der Strahl R dem Strahle /2,, oder umge
kehrt dieser jenem vorgeeilt ist. Im ersteren Falle gehen obige
Gleichungen (37), (38) über in folgende:

(39)

X

(40).

V—a 8iD 2j» (4 + ^), r. =a. sin 2,r (f - ^)

a;=a cos 2;r (— + y), ^=a| cos 27r (-j y)

Im andern Falle sind dieselben

« = a sin 2ir (y — ^), ü, =a, sin 23r (y H- ^)

= « cos 2;r (y — y), y=ai cos 2;r (y + ^)

In Folge eines jeden dieser beiden Systeme (39) oder (40)
wfirde das Aethertheilehen während der Schwingungsdauer die-
selbe Ellipse durchlaufen, nur mit entgegengesetzter Bewe-
gung sricn tu nf.' Existiren aber beide Systeme zu gleicher Zeil
und pflanzen sich die aus ihnen hervorgehenden Strahlen von ent-
gegengesetzt elliptischer Polarisation nach derselben Rieh«
tung fort: so bewegt sich das Aethertheilehen, welches ihrer
gleichzeitigen Einwirkung unterliegt, wieder gradlinig. Um
-dieses zu beweisen setzen wir die Vibrationen ü und u^ sowie
tl^ und M|, welche parallel erfolgen, respective den Axen 0X und
^1, je zwei in eine zusammen; alsdann erhalten wir'

F= «7-|-ii=a|8in 28r (y -|-|-) + 8in 2jr (y ~ J^)j

= 2a sin 2;r — . cos 2jr ^

V, = ü,^u, =:a,{sin %n (| - f )-|-sin 2;r(f + ^)|

= 2a, sin 27r y , cos 2;r %

13

oder

r=,2a sin 27f — . cos, 2;r y

Fi=2a, siD 2n — . cos 27r -y-

(41).

Also ist das System der beiden Strahlen von entgegengesetzt
elliptischer Polarisaton identisch mit einem Systeme zweier
gradlinig und rechtwinklig zu einander polarisirten
Strahlen von gleicher Phase, aher verschiedenen Intensitäten, wel-
ches letztere wiederum einen einzigen gradlinig polarisir-
ten Strahl bildet. Der Winkel oi, den die Vibrationsrichtung die-
ses Strahles mit der Axe der a: macht, ist gegeben durch die
Gleichung

tang Ol

=^ =^ («)

Folglich n^acbt die Polarisationsebene desselben Strahles mit der-
selben Aze einen Winkel coi, der bestimmt ist durch die Gleichnng

• • .: '

tang Ol, = — f- (43).

«1

Aus (39) und (40) folgt

cos Ihr (4- -f)
tang, = ~=^. -

tangi2»=|-=^

cos 2n ( i--V)

cos 2n ( h-j-)

COS 2» ( V)

mithin

gm S

tang 12 . tang ^i = -fr (^)-

Bieraus schliessen wir, dass die trigonometrischen Tangenten bei-
der Winkel stets gleiches Torzeichen haben; ist also

so ist

0<f

und ist H*^)-

so ist

14

Ferner ergibt sich aas derselben Gleichung (44), dass das Produkt
der trigonometrischen Tangenten der bezeichneten Winkel con*
stant ist; — beide l'olgerangep vereint rechtfertigen obige Be-
hauptung, dass das Aetliertheilchen in Folge der Einwirkung der
Vibrationssysteme (39), (40) dieselbe Ellipse nach entge'genge-
setzter Richtung durchlaufen würde.

Die Richtung desjenigen Durchmessers dieser Ellipse, auf wel-
chen di^ beiden elliptischen Bewegungen das Aethertheilchen nach
jedem halben Umlaufe in demselben Augenblicke znräckfilhren , ist
bedingt durch

folglich < (44) bestimmt durch die Gleichung

«,»

oder

tang» fl = -^

tang i7 = ^=:;=a> (46)

mithin steht derselbe senkrecht auf der Polarisationsebene jenes
einen gradlinig polarisirten Strahles, welcher mit dem Systeme der
beiden Strahlen von edtgegengesetzt elliptischer Polarisation iden-
tisch ist.
Ist

ä = a^ und — j— =-y- — -j-

so ist die von dem Aethertheilchen beschriebene Bahn (12) ein
Kreis

^»-f-y» = a» (47)

und in dieser Vbraussetziing gehen obi^e Gleichupgen (39), (40),
(41), (42), (43), (44), (46) über in folgende:

U=sa sin 2;r (-- -H -5-)> l/| =?o, sin 2;r (— — -^)/

* ; (48)

- / 1 t 1 I

orssa cos 2jr '(-j- -|- y), . y = ai cos 2ir (y — -g-)!

U=a sin 27r (— — ^), Uj =a^ sin 27r (— + y)l

t l i 1^^'^>

jczuza cos 2;r (— — -g-), ^ = «1 cos 2n (— + -g- j

r=2a sin 2;r ^ . cos j-=:«V/2 . sin 2;r -~== F, (ÖO)

tang ü> = -f-l, tang co^ = — 1 (51)

tang 17 . tang 17, = + 1 (52)

tang 17 = + 1 = tang, a>. (53).

15

IL

Eine einfachere, auf einer neuen Analyee be-
ruhende Auflösung der Sectio aurea, nebst
einer Icritischen Beleuchtung der gewöhnlichen
Auflösung dieses Problems und der Betrach-
. tung ihres pädagogischen Werthes.

fl

Von

Herrn J. Helmes

frofeasor am Qymn. Josephinum su Hfldeiheiiii.

Wcan ich eine Deve Anflötniig des angefahrteD Probleon der
öfientliicben Mittbeilnng für nicht ganz unwertb erachte, ao iat es
gans vorsäglich ihre pädagogische Besiebaog, die mich dazu be-
stimoit. In dnrebana keinem andern Unterrichtssweig^ ist das
Lernen selbst, das Erwerben und Suchen, im Gegensätze des
Brworbenen, Gewonnenen, so sehr Hauptaufgabe und Zweck,
als in der Mathematik. Sie mag wohl ihre edelste Bestimmunj^ er«
füHt haben an dem eheraaligpen Schüler, der nun später von ihren
Resultaten nicht mehr behalten hat, als der erstarkte. Mann noch
nachmachen kann von den kunstvollen Uebungsstücken , ^ie seinen
Körper in der Jugend bildeten. Alles geistige Zuthun von Seiten
des Schülers, alle Lust und Liebe zur Sache ist durch solche Auf*
fassung ihrer Aufgaben bedingt. Kurz ist ja die Freude des spie-
lenden Kindes über das fertige Kartenhäuschen, und überhaupt
nur möglich, wenn es sich selber das Werkchcn bildete; aller gei-
stige Gewinn und edlere Gewöhnung liegt in dem sinnieen Auf-
bau; Wieder -Abbruch und Zerstörung sind das nicht bedauerte
Bude des Spieles; keiner soll ja in dem Hause wobnen. — ünd^
wie die Verbältnisse bislang an unsern gelehrten Schulen stehen,
wird der Schüler der Mathematik auf ein eigentliches Feld der
Anwendung des Gelernten tour in so spärlicher und dürftiger
Beschränkung geführt, dass dies die Muhe der sauern Vorbildung
nicht entgelten könnte. Denn wohl lohnt ihm die Lectnre der
Classiker die schweren Anstrengungen seiner grammatiscben Stn*
dien, und gibt so auch der gelernten Sprache einen neuen,
bohen Werth; die erworbene Kenntniss der Geschichte benutzt
jede Stelle, jeder Augenblick des Lebens: aber die Werke, die in
jener andern Sprache, der Mathematik, geschrieben sind, die Ge-
setzbücher der Natur und des Himmels, werden nicht vor ihm auf- '

^i

16

geschlagen, höchstens Bruchstücke einer Vorrede mit ihm darch- .
Duchstabirt.

Wünschten wir nun gleichwohl von ganzem Herzen, dass anch
in dieser Beziehung das Gymnasium seine treuen Schüler Aet Ma-
thematik besser belohnen , und ihnen in den inhaltsreichen Sätzen
der Physik und Elementar-' Astronomie eben so schön und unveN

Sesslich die bedeutungsvollen Resultate jener Wissenschaft ans
[erz fesseln möge, als in den schönen Sentenzen ein^s Tacitns ^
und Vir^H>tf*jdie trivifflen Lehren der Grammatik: so ]i«gt. doeb', ilb '
lange dieses qnr . frommer .Wunsch noch bleiben, muss, fiel Trost
in der b^söndern Natnr und ausgezeichneten' .BescbafTenheit d^
mathematischen Lebh^nV vermöge Speicher .'silä'Tor allen andern- Kr-
kenntnjsseD für :die studirende Jhigend Zwjeck an sich bii sein
geeignet sind/ Sie sind ja die natürjichen, notbwendigen, i}berall
sich gleich" -ergebedden BewegnAgeti' des gleichsam wie körperlich
aus Lebensorganen zusammengesetzt zu denkenden Geistes auf
einem grossen, fast von allen Dingen durchwachsenen Felde der
Grössen und Grössen -Verhältnisse; die eigenthümliche, durch die
Natur des vernünftigen Wesens selbst vorgeschriebene und -be-
dingte Entwickeluuff jener geistigen Kräfte, deren gleichen und zu
gleicher Frucht treibenden Keim der Schöpfer in das Wesen des
Menschen gelegt hat, und der in verschiedenen Menschen nur
den verschiedenen Boden gefunden haben kann. Aber darum
*muss alles äussere Zuthun dieser Entwickeluog auch jene organi-
schen Kräfte benutzen, nur sie anregen und nicht gleichsam durch
Linie und Maschine Hand und Fuss des eingesc'Jiinürten und fest-
gebondepen Kindes fleissig hin und her bewegen wollen, wenn
letzteres gehen und den Gebrancb der Hände lernep soll. Anre-
giviig d^r Selbsttbätigkeit und Leitung derselben auf die
Wege, wo sie in leichtester, natürlichster Folge den nur noch ver- ^
steckt Hegenden Schatz des eigenen Geistes - Magazins auffinde,
ist die alleinige Aufgabe des Lebrers der Mathematik^ dem alsdann
sein Schüler verpflichtet sein mussi. und wenn er von jenem Schatze
selbst auch niemals ferner den mindesten Gebrauch machen kann,
sondern sich nur desselben bewusst ^eworden^ sich in diesen Thei-
len seines geistigen Reiches nur orientirt hat. Kurz, diese for-
melle Bildungskraft ist ein auszeichnender Vorzug des mathema- .
tischen Unterrichts; kein anderer Unterrichtszweig, selbst der der
zum Eigenthume gewordenen Muttersprache nicht, kann sich darin
mit ihm messen. Und^ wenn ihm darum zu einiger Belohnung da-
für eine sich so mächtig aufdringende Erweiterung 'materieller An-
wendnnjg angelegentlichst zu wünschen wäre: so muss doch vor-
zngsweise jene Seite seiher Behandlung dem Gymnasium zugekehrt
sein und bleiben; aller Werth mehr auf die Art des Lernens, als
auf das Gelernte selbst gelegt werden.

Diese und ähnliche Betrachtungen, die hier weiter auszuführen
nicht wohl der Ort ist^ mögen der folgenden Entwickeln ng, die aus
ihnen hervorgegangen ist, ihren Werth bestimmen, und den Haupt-
zweck derselben in Voraus andeuten. Sie betrifft die analytische
Betrachtung der altern und die einfachere Begründung einer neuen
Auflösung eines geometrischen Problems, wodurch diese Auflösung
fär den Schüler aus dem Geheimnisse fremder Erfindung und Aus-
bildung in den Kreis eigener, klar bewusster Selbsttbätigkeit her-
übergezogen, und gleichsam ein fremdes Patent zum Eigentbums*

17 •

rechte jibgelÖBt werden möge. Denn nur die Analyse tut es, die
ans das geheime Schaffen des fremden Geistes erschliesst, nnd dem
eigenen die freien Bahnen eröffnet.

Betrachtung der altern Auflösung.

Unter dtfn mannichfachen Theilängen der geraden Linie, die
schon bei den Alten zu den Yorzüglichen LiebÜDg^spielen des Gei-
stes gehörten, wurde doch eine gar bald eine nothwendige Sprosse
schon in der untersten Leiter, die nur vom allertiefsten Grunde
der Wissenschaft aus in die nächsten flöhen des systematischen
Gebäudes di^r Geometrie aufführt. — Wenn andere solche Thei-
lungen, als da sind die Sectio spatii, Sectio rationis ett. durch ge-
legentliche Aufgaben veranlusst wurden, so trat die sectio aurea
als gehieteriBche Forderung auf, sobald man nur den froh und tief
unten im Systeme der Elementar- Geometrie liegenden Satz: „Um
jedes regelmässige Vieleck lässt sich ein Kreis beschreiben^^ zu
dem Probleme umkehrte: „In den gegebenen Kreis jedes regel-
nässige Vieleck einzuschreiben.'^ Denn derselbe Geist der Ana-
lyse, der uns bei Betrachtang dieser Aufgabe für das Sechseck den
Radius als Seite bestimmt, fordert für das Zehneck das grössere
Stück des nach der sectio aurea getheilten Radius *). Und leitet

^ Denken wir uns die Seite JB (Taf. I. Fig. 1.) jorefunden, nnd Vom
Centro O des Kreises nach ihren Endpunkten die Radien gezogen, so
ist in diesem (charakteristisrhen) gleicnschenklicben Dreieck OJB der

Winkel sm Scheitel ^^T;r = -=~9 mithin die beiden Winkel sn der

10 3

Basis zusammengenommen B:2iS ^ bi — , also jeder gleich -^, d. b.

doppelt so gross als ^ am Scheitel.

Obgleich nun die Elementar- Geometrie ausser dem pythagoreischen
Lehrsatze, der sich nur auf das recht winkliebe Dreieck anwendet, im
Allgemeinen kein Mittel besitzt, die Verhältnisse der Reiten eines Drei*
ecks aus den Verbältnissen seiner Winkel zu bestimmen, so Jässt uns
doeh die ganz ausffezeicbnete Natur der Winkelverhältnisse im TorÜe-
genden Falle den Versuch machen, etwa durch die Bedingungen der
Aebnlichkeit unter den Dreiecken, die sich von dein gegeben leicht und
natürlich ableiten, solchen Verhälttiissen nachzuforschen.

Halbiren wir nur einmal den -^A^ so erkennen wir augenblick-
lieh das gleicbschenkliche Dreieck ADB^ worin ja «^(fsstf-t-/
ss=a + ys;/9co dem ganzen OAB (wegen Gleichheit der Winkel) wor-
aus sich:

BD_BA

BA" BO

oder in Betracht, dass, weil sowohl Dreieck ADB als auch DAO naeh
der Construction gleichschenklich sind, und darum

AB^AD^OD

ist,

BD_OD

OD "" OB'

d. h.,da OD^AB war, die Seite des Zehnecks ist das grössers Stttek
des im mittleren und äusseren Verhältnisse getheilten Radius.

Th«U IT. 2

• 18

gleichwohl den Euklides (IV. 11.) ein scheinbar etwae andei
iang zunächst auf das Fünfeck, fo führt dieser dennoch durch d
Yorbereitenden , begründenden Satz IV. 10. wieder grade aal ^'
selbe Problem zurück. Wie findet sich nun diese Aufgabe mm
und bei Euklides selbst gelöset?

Die beiden, scheinbar ganz unabhängigen und in den Mittel;
sehr verschiedenen Auflösungen, die sich in den Elem. II, 11. ub'
VI. 30. finden, beruhen gleichwohl auf einer und^ derselben Ana
lyse^ wodurch die ursorüngliche Aufgabe auf ein und dieselbe»
näherliegende zurückgeiübrt wird; nur dass zur Auflösung diese:^
letztern denn in dem Zusammenhangs -Netze der mathematiaehes».
Wahrheiten «von dem übrigens schon nahe am Ziele liegendeBm
Trennungs- und Abgangspunkte aus zwei verschieden^ ^^K® S^"
wählt werden. ^

Es dient, gleich hier zu bemerken, wie diese Analyse nicht mvm
die Aufgabe, wie wir sie hier fassen, unmittelbar gestellt ist^ aon-'
dem auf die Construction von Flächen, namentlich Rechtecken^
über den fraglichen Theilen der Linie und über i|ir selbst, 800
denen alsdann nur mittelbar die gesuchten Verhältnisse der Linie vbC
ihrer Theile selbst nach später (VL 14.) erörterten Zusammen hapg»-
dieser Grössen unter sich abgeleitet werden. Es ergibt sich ana
diesen spätem Betrachtungen namentlich, dass eine Linie mittloe
Proportionale zwischen zwei andern ist, wenn das Quadrat flbier
ihr gleich ist dem Rechtecke zwischen diesen beiden Linien (Vi.
17.). Um die erste Form dieses Ausspruchs ganz unbekümmertr
sucht Euklides also eine Lin^e JB (Taf. 1. Fiff. 2.) so ca achnei-
den, dass das Quadrat über jiQ gleich dem Rechtecke aber ^ß
und QB.

Atgalytei Sei nun AQ ein solcher Theil der Linie AB^ daii
wirklich AQ*=AB. QB (wo ich der Kürze wegen dieae al|;e«
braische Bezeichnung im geometrischen Sinne gebrauche), ao iit,
wofern über A Q und AB die Quadrate AH und A^ beschrieben,
und die Linie HQ bis K verlängert wird', Quadrat AH^=i Recht-
eck üTiff, und auf beiden Seiten das gleiche Rechteck AJS addirt,
Rechteck ZJT gleich Quadrat A^^ so dass demnach endlieh als
letzte Aufgabe vorliegt:

„Eine Linie VA um ein solches Stück AZ zu verlängern,
dass das Rechteck aus der so verlängerten Linie VZ und der Ver-
längerang XH=zZA^ gleich ist einer gegebenen Grösse,, nämlich
dem Quadrate A^^ jener zu verlängernden Linie."

Zur Auflösung dieser Aufgabe nieten dem Euklides die Sätze,
einmal II. 6., und ein anderes Mal VI. 28., 29., die vollkommeniten
Mittel dar. Demnach liegen Auflösung und Beweis, wie aie zu-
niichst II. 30. gegeben sind, ganz nahe, und sind eine unmittelbare
Eingebung der Analyse und des Satzes II. 6.; dieselbe Analyse,
aber mit andern Mitteln ihrer endlichen Erfüllung, liegt ans ¥1. 30.
klar vor Augen, nur dass letztere uns fremder vorkommen, ond
ferner zu liegen scheinen; da es wirklich aufi'allend erscheint, wie
Buklides nur zum Behufe dieser, doch schon nach anderer Weise

felösten Aufgabe, die neue Reihe von Sätzen: VI. 28. 29. 30. von
er sechsten Erklärung desselben Ruches aus eröflnet.

Eben dieselbe Analyse endlich ist es nun auch, die der jetzt
gewöhnlichen Auflösung, welche ebenso nur die Verlängenuiff der
gegebenen Linie fordert (das aasserhalb des Kreisen liegende Slflek

19

der Seeante), daii dai Rechteck am der m Terläviferteii Linie ii
die VerlänfireroDg ss dem Quadrate der gegebenen IJoie, laai
Gmade gäegt werden eollte, damit eie mit freier Selbetentecbei-
daag am dem Scfaatse eigener Erfindong heraos Tom Schiler ge-
geben» nnd ihr Beweie mit wirklicher VeratandestbKiigkeit nnd kla-
rer Dttrcbschannng der Beweismittel geführt werden könnte. Denn
einen andern Werth hätte ja das Ganze nicht; die Aufgabe iit
■ehoB vor Jahrhunderten ohne den Schüler gelöst, das sp&tere Le-
ben wird ihm meistens nie eine Anwendung davon absondern.

Doch da toi^ sich allermeistens eine unverantwortliche Lflcke
nd ein unvermittelter Sprung in der gewöhnlichen Behandlung
dieser Aufgabe« Man giht scheinbar den Ursprung einer durch Be-
trachtung wirklicher Flächen und ihrer Verhältnisse vermittelten
Aafldsnng auf, hat es mit blossen Zablenwertben von Linien sn
Ann, und ahmt dennoch in den sie betreffenden Sätaen nnd Glei-
chungen alle Operationen von Flächen -Subtraction n. s. w. nach,
die nun durch Nichts mehr vermittelt werden, als durch ein vages
Probieren, durch welche der vielen möglichen Pfopoftions-Ver-
wandhmgcn, divMeudo, «ddendo etc. am leichtesten das sonst schon
bekannte Ziel erreicht werden könne.

Ich will mich näher erklären. Entweder sollte man bei Be-
(rachtnnff der vorliegenden Aufgabe ausser allem Zusammenhange
■it Flächen, ans denen sie Kuklides erst folgert, rein an yerhält-
lisae von Zahlen denken, durch welche die Theile einer Linie
dargeatellt sind: und dann wärde auf die Auflösung unserer Auf-
gabe der bekannte Satz von der Tangente freilich in einer guns
luden vermittelten Analyse angewandt werden; Auflösung und Be»
weis wirden gann anders werden, ich glaube eben die, welche ich
gleich unten als die möglichst einfachen in diesem Sinne sur Dar-
•telluag bringen werde. Oder man halte die der gewöhnlichen
äuflösang sum Grunde liegende Vorstellung wirklicher Flächen
tnch durch die Behandlung der gansen Aufgabe fest, damit
der Beweis ein Ausfluss der Analyse sein, und daraus verständlich
werden könne.

Denn eine ganz einzeln dastehende Gonstruction des freibfh
teicht sieh ergebenden algebraischen Ausdrucks fiir den grösstea
Tbeil d? der so zu theilenden iJoie, des Ausdrucks

Jt

= -.iar=fcV^ar»4-aa)«,

die also nicht die ganze Secante, sondern nur den bis an^s Cen-
trum reichenden Theil derselben benutzt, wie sie sich in einzelnen
Lehrbiichem findet, halte ich für durchaus verfehlt, da der ver-
Beiotlich geometrische Beweis alsdann nichts als eine reine Au^
lösoog einer Gleichung durch viele Mittelstufen hindurch ist, ohne
data der Schaler sich des leitenden Gedankens bewusst werden

Es wird uns nun bei letzterer Art bei weitem leichter und ist
dem Standpunkte unserer beul igen Geometrie weit angemessener
10 beweisen, dass die Tangente die mittlere Proportionale zwischen
1. s. w. sei« als dass das wirklich über der Tttogente constniirte
tinadrat gleich sei dem Rechtecke zwischen u. s. w. Darum möge
Buiw imsMrbin diesen und äbolicbe Sätze in ersterer leichterer
Weise abieiten, muss dann aber, um ihn zu eiaem angeuMSseoen

2*

20

Beweissatce uiraerer fraglichen Auflösuog anwenden za können^ i
lange sie nach der obigen Analyse geschehen ist, ihm auch dei
andern vollen Gehalt zu geben suchen, durch welchen allein er g»
eignet ist, der so gegebenen Auflösung das Fundament eines durch
sichtigen Beweises zu geben. So wie darum Euklides durch Vf
14. lo. 17. u. s. f. seinen frühern nur von Flächen bewiesene!
Sätzen auch diese andere Bedeutung und Geltung von Linieu nni
ihren Zahlenwerthen gibt, und somit seine lange vorher g-egebem
Auflösung Elem. II. 30. erst durch solche ausdrückliche Erweite
rung für unsere so gefasste Aufgabe: ,,Eine Linie stetig zu tkei
len'' gelten lassen kann (siehe andere Auflösung VI. 30.): ab wi
umgekehrt für uns, die wir solche und ähnliche Sätze eher ■!
lieber über Linien und ihre Zahlenwerthe, als über die. an ihn
eonstruirten Flächen beweisen, die umgekehrte Erweiterung nötbig,
wenn wir unsere Sätze für Fälle gebrauchen wollen, denen solem
von wirklicher Flächen - Construction entnommene Analysen im
Grunde liegen, d. h., auf unsern Fall angewandt^ so lange wir b
der obigen Auflösung bleiben. Alles das leistet z. B. die Art di
Beweisführung 5 wie sie sich bei Grunert Geom. §. 302w dorck die
angezogenen §$. 372. und 386. vervollständigt findet, während bei
Ohm, Legendre und Andern der Beweis durch eine 'gar nicht ver-
mittelte Anwendung der Proportions -Verwandlung aus der ^eiaei
Arithmetik in seiner Leichtigkeit und Natürlichkeit getrübt, leinem,
Ursprünge entfremdet wird. Dort nimmt wirklich der Sats: y^Die
Tangente ist mittlere Proportionale u. s. w.'' noch ^. 37^ «ttd
386. auch die zweite Geltung an: ,,Das Quadrat über der Tan-
gente = U.8.W.'' und ist in dieser Form erst geeignet, den Beweis
der so nach der Euklides'schen Analyse gegebenen Auflösung in
fuhren. Denn dass wir statt des Euklid. 11. 6. benutzten Satzes
der Auflösung den obengenannten mit Euklid. Hl. 36. übereinstim-
menden, docn ganz in 11. 6. beruhenden und daraus abgeleiteten,
also eigentlich spätem, anwenden, kann keinen Unterschied im Be-
weise begründen, der ja lediglich von der Analyse, die in beiden
Fällen dieselbe ist, abhängt; und ist uur daher gekommen, dass
wir diesen Satz von der Tangente, der uns in seiner arithmeti-
schen Form so leicht und wie von selbst hervortritt, durch eine
ein und für alle Mal abgethane Betrachtung über die Identität der
arithmetischen und geometrischen Geltung solcher Sätze, viel be-
quemer in den Inhalt des II. 6. als einzelnen Fall hineinbringen,
als dass wir diesen Satz II. 6. in seiner ganzen, uns übrigens mehr
gleichgültigen Allgemeinheit fest halten.

Nach dem Vorhergehenden würde demnach, wofern man sieh
an die Euklides'sche Analyse hielte, die vollständige AnttÖ-
sung dieser Aufgabe folgende sein:

Analyse wie oben.

Alle algebraischen Hülfsmittel (Meier Hirsch. Geom. Aufgab.
S. 120) dieser Auflösung verschmähend, würde ich zu .der daraaf
gegründeten Synthese also fortgehen: Es ist uns eine Linie be-
kannt, die Secante, so beschaflen, dass das Rechteck über ihr und
dem ausserhalb des Kreises liegenden Theile von ihr, welcher also
die fragliche Verlängerung werden muss, = dem Quadrate einer
von ihrem Endpunkte nusfirehcnden Tangrute. (Denn so dürfen wir
nach den obengestellten rorderungen des Unterrichts den bekann-
ten Satz der Tangente aussprechen.) Diese Tangente ist in an-

21

germ Falle gleich der la verlängernden Linie, d. h. also, dem in-
serbalb des Kreises liegenden Stucke der Secante, die, nm das
Stock so für alle Lagen constant zu haben , nur durch's Centrum
IQ gehen braucht, und zwar eines Kreises, dessen Durchmesser
eben jener Tangente gleich wäre. Woraus sich augenblicklich
ganz und in allen ihren Theilen die bekannte, ffewöhnliche Auflö-
sung dieser Aufgabe ergibt. Der Beweis^ der hier natürlich also
inmer an Flächen und Rechtecke zu denken hat, wie sie die Ana-
lyse schuf, würde ganz nach $. 392. bei Grunert zu führen sein,
und so erst Einheit in die Analyse, Synthese und den Beweis ge-
bracht sein. * Dennoch scheint mir die Aufgabe nach dem jetzigen
Standpunkte unserer Geometrie, eine angemessenere und leichter
▼ermittefte Abflösung, die namentlich von allen Torgängigen Flä*
chenbetrachtungen unabhängig wäre, zu verdienen, zu der ich durch
folgende Betrachtungen gelange.

i

Neue Auflösung der Aufgabe.

Analyse. Es bietet sich ganz ungesucht und leicht irgend
eine in mittlere und äussere Verhältnisse getheilte Linie dar.
Diese benutze man alsdann nur, um nach dem ]g^anz elementar-
bekannten Verfahren (Klukl. VI. 10.): „Eine Linie so oder in den
Ferhältnissen zu theilen, wie eine andere getheilt ist,'^ das Pro-
Men augenblicklich gelöst zu haben. Jene so zuerst in mittlere
nnd äussere Verhältnisse getheilte Linie geht aber augenl)licklich
in der Secante {^JO) eites leicht bestimmten Kreises hervor. Da
nämlich die Tangente die mittlere Proportionale zwischen der gan-
xen Secante u«:s. w. ist, so brauchte die Construction nur so an-
gelegt zu sein, dass die Tangente immer gleich wäre dem inner-
halb des Kreises liegenden Stücke der Secante, damit letztere ver-
langter Maassen getheilt wäre^

Wählen wir darum, um auf die einfachste, sicherste Weise eine
80 unveränderliche Grösse des innerhalb des Kreises liegeiyien
Stuckes der Secante für jeden Fall zu gewinnen^ die durch's Cen-
trum gehende, deren innerhalb des Kreises liegender Theil alsdann
immer unveränderlich gleich dem Durchmesser des Kreises ist: so
brauchte man also nur zu einer beliebig als Tangente angenomme-
nen Linie (AB) einen Kreis, dessen Durchmesser gleich dieser
Tangente zu construiren, von dem andern nicht am Kreise liegen*
den Bndpunkte (ß) dieser Tangente eine Secante durch's Centrum
zu ziehen, so würde diese in dem Punkte (C), wo sie den Kreis
zunächst schneidet, im mittleren und äussern Verhältnisse getheilt
sein. An diese, in geforderter Weise getheilte Linie lege man
nun die zu solcher Theilung aii%egebene Linie, und verfahre nach
der bekannten, ganz elementar -geläufigen Weise, diese Linie nach
Art der andern zu theilen. Um jedoch nicht ein abermaliges, neues
Anlegen unserer zu theilenden Linie nöthig zu haben, wird es
zweckmässig sein , eben sie selbst gleich als jene sonst willkühr-
liche Tangente (AB)f die uns nur überhaupt zu der so getheilten
Secante verhelfen sollte, zu benutzen, und es wird sich demnach
daraus folgende, als die zweckmässigste, durch die einfache Ana-
lyse begründete Auflösung herausstellen.

Synthese: Auf dem Endpunkte J (Taf. T. Fig. 3.) der zu
theilenden Linie AB errichte man eine j^jäO=z^AB^ beschreibe

22

I

ans O mit dem Radius OA eisen Kreis; siehe van J9 dnreh's Cen-
trum O die Seoante BD^ (die demnach in mittlere und äussere
Verhältnisse getheilt ist, dajä iff^*=Ci>' (Con8tr.)3iffC iff/l);
verbinde alsdann D mit A^ und ziehe endlich ans C die Linie
Cp^ JtAy SO wird ja natürlich BA wie ÜH, d. h. ebenfalls in
mittlere und äussere Verhältnisse getheilt sein mfissen; so diu

^ =11 oder urfJS» = ^Ä. JffÄ Ist

Wollte man selbst die sicherlich früheT vorffekomaifne Anflösung:
«»Eine Linie AB in dieselben Verhältnisse na tbeilen> wie eine an-
dere BB getheilt ist»'* nicht als b^k^innt voraHiS4taen> .so würde
«ich demnach der ganze Beweis in xwei Linien «tsQ zusammen-
fassen lassen:

a) BD ist in mittlere und äussere Verhältnisse getheiltr (schon
in der Auflösunff selbst anticipirt).

b) — = ^ (Ceil BJ) = ^ (BD ist J4 nach 4er sect.

aur. getheilt) = ^ ( C^ || BA).

Doch dieses Beweises oinss es an dieser Stelle dor Geometrie
durchaus nicht m^hr bedürfen und somit die ganze Aaflösnng wei-
ter nichts sein, als eine apeziell« Anwendung einer längst belMmn-
ten Theilung einer Linie nach einer anderni di^ in unserm Falle
die Bigenschaft besitzt, welche wir den Tbeüctf d^r andern ffehen
wollen. Da nun auch bei der andern« allgep^in üblichem, Auflö-
sung dieses Problems der Umstand, dass die Seeante ^/^ verlang-
ter Maassen getheilt ist, das Bauptmoment dei^ Beweises hersribt,
so glaubte ich dasselbe durch obige Auflösung, dio eiue Uosae Ver*
hinduDg dieser neuerkannten Eigensphnft der Linie BB mit einer
allerfrnhest schon gekernten Conatnictioni die Theilung einer Linie
nach iUaassgabe einer andern betreffend « ist, der Unmittelbarkeit
der Erkenntnias, und klarer, selbftbewusster Durcbschauungy die
doch immer ein Hauptaugenmerk des Unterrichts sein sollten, in
etwas näher und gleichsam auf dns eigene Gebiet dea S<;hülers zu*
rücksfefuhrt au haben, wo er mit mehr Mnth und Sfdhstvertrauee
den Feind des adiwieri^en Vethsltnisses angreift md besiegt.

28

III.

Ueber einigie durch bestimmte Integrale sum-

mirbare Reihen.

VOD

Herrn Doctor O. Schlö milch -

zu Weimar.

» . . .

(ie Unlenueliaiig ober die Sunmeii gewisser. Reihen gründet
sich «vf den Wertb des Integrales

/* (1 — *)/»*»-i«ü«

in weickem fi eine beliebige Grosse, n eine ganze positive Zabl
bedentet. Man kann denselben entweder aus der Theorie der
Gammafnnktionen ableiten, oder mittelst einer Reduktionsformel
entwickeln, wobei sich die Rechnung sehr einfach folgendermassen
gestaltet. Es ist nach einer bekannten Formel

folglich für M = l und x = l, x = 0:

Durch wiederholte Anwendung dieser Formel erhält man

y'^/t 1«^ 1^ V— 1) («—2). ...2.1 /•!.- . .

Für s = 1 — or wird aber
nnd folglich

^.^.««■La^^i^i.

24

Für « = 1 — X geht dasselbe Jo das folgende über:

y*i ,^ V ,j 1.2. .(« — !)

und wenn man noch ü-f-l für a, /i — 1 ülr/i «ttsti.ao ist ^ ^

Wir wollen nun der Kürze wegen 1 . 2 . 3 . . . m mit it' bezeichnen
und haben jetzt:

§.2.

In der so eben entwickelten Gleichung setzen wir der Reihe
nach p^m^ Z' + 2#i, p + 3m u. s. w. für p, wobei m eine ganz
beliebige Grösse bedeutet, utad addiren alle so entstehendeii Glie-
der, das erste (I) mit gerechnet; ^auf der rechfen 6eito eraeheint
dann die Reihe

+

+

+

+
i

+

«1

+
i

+

+

+
+

<• '

+

3

t9

nnd auf der linkeB, als Summe derselben, eine Reihe yon Integra*
len, welche wegen der gleichen Integrationsgränzen in ein einsiges
zosaam^ngelasst werden können und swar in das folgende:

26

1 ^1

= y / (1— arHl-f-,ar«»4-.a?'*+ ]a?f^^äa:

Der Werth dieses Integrales ist leicht zu finden. Entwickelt mau
nämlicb das Binom (1 — a:)*^ und bezieht die Integration auf jedes
einzelne Glied, so wird jenes Integral in die » + 1 folgenden zer-
legt, dereb CoefBzienten Mq, n^y n^ , - * nn die BinomialcoefiGzien-
ten bedeuten:

Was nun auch p und m sein mögen, so lässt sich doch jedes ein-
zelne Integral durch die gehörige Substitution einer neuen Verän-
derlichen auf die Form

0 1 —

0 1 — s»'

bringen, worin f* und y ganze positive Zahlen sind. Man kjennt
aber den unbestimmten Werth eines solchen Integrales, folglich
auch den zwischen den Gränzen 0 und 1. Die Aufgabe von der
Summirung jener Reihe ist daher vollständig gelöst Jn der Glei-
chung:

«7

*• «»it« nneodiich vi«l« Am.

"•"'•'•■ '^l'*« -.kr Wo« ^^.1

28

Im Allgemeinen fiiliren die angedeuteten Integrationen aaf
KrdiBbogen und Logarithmen, für mc=l aber auf eine algebrai-
sche Grösse^ In diesem Falle gestaltet sich das Integral (3) eio->
facher so:

jr /^ (1 '^a;)»^^a:P-^da;

dessen Werth man aus Formel (1) erhält, wenn man n — • 1 fiir
setzt; derselbe ist

(n-1)'

Also haben wir, in (4) io=1 setzend,

i^^

1

1

1^

+

+

II >

»I-

+
I

+

+

• ■
■

+

«

+

I

9

+
+

o«

Samme, welche schon bekannt, ist und nach auf eleaentareni
pe ermittelt werden kann.

Für M'^ 1 werden oft die einzelnen Integrale in (4) jedes für
anendüch, was natürlich nicht hindert, dass ihre Difrerensen

iche Grössen sein können. Diesem C[ebelstande hilft man hei

tiseher. Berechnung specieller Fälle sehr leicht dadurch ab,
mitt erst alle Integrationen unbestimmt ausfuhrt, die gefunde-

. lagaridinischen und Kreisfunktionen so weit als möglich mi"

so

einander verbindet and erst dann zur Sobßtitution der Granzwerthe
0 und 1 schreitet.

Z. B. für p = \, m=z2, ii = 2 ist

1.1.1. ♦

1.2.3 ■ 3.4.5 ■ 5.6.7^-'-;

~rr2Lt/ol-^* t/ol — a:»"*"yol— ^ü*

Integrirt man auf der rechten Seite unbestimmt, so ergiebt sich

^_ n / i±£ j. /(i «^ ^«) + 1 / llt? -^ ^1
1 .2 " 1 — a:^^^ -F-r-T* i^ j. •*!

ein Ausdruck, der sich in den folgenden zusammenziehen lässt:

^[2/(14.^) — ^]

und daraus folgt für ;r==l, 07 = 0:

^~T = 77275 "*"rr475 ■*" rreT? ■+■•• ^^^

Anderweit bemerkenswertbe Resultate erhält man für ;'=2, «i=:2,
i»==:2 und ;' = i9 m=z2y ii:r=2j nämlicb die folgenden beiden
Reihen :

T'"^7^2.3.4 "*"i7STl "^ 67778 "*■• • ^^^

16 S — 1 . 3 . 5 ^ 5 . 7 . 9 ^ d . 11 . 13 ^ • • V^j

♦ 3.

Eben so leicht findet man die Summe einer Reihe, deren ein-
zelne Glieder die nämlicben wie der in (4) sind, aber mit wech-
selnden Zeichen fortgeben. Es folgt nämlich aus (1), wenn man
daselbst p + m^ p-^^m u. s. w. für p setzt und alle so entstehen-
den Glieder, die Formel (l) eingerechnet, mit wechselnden Zeichen
zusammennimmt, dass die Summe der fraglichen Reihe gleicb sei

1 ^1
~ / (1 — a:Y[a:P-i — a^P-^^-^ + ^;^+-2«-i — ]da:

« t/ 0 ^ ' 1 -f- x^

Entwickelt man wieder das Binom (1 — arY und integrirt jedes
einzelne Glied, so gelangt man zu der Gleichung:

«1

3

Jf^^e spezielle FäU^ «:^j

fc« »ach für ;,1! 1^ ;'!l «. B. für «^2

t «b4

32

. _ lÄ £ 1_

Y ^** — 1.2.3 8.4.5

1 l

n

T

4

5.6.7
1

(10)

2.3.4

4.5.6

,!4±i,=: 1^-

6.7.S
1

— . . . . (11)
1

8 161/2^'* •'V^2 — r 1.3.5 5.7.9 ' 9,11.13

-,.. (12)

Entwickelt man in jedem der Integrale der Gleichung (9) den
Bruich ^ in die Reihe 1 — a:*^ + as^^ u. s. w. und integrirt

jedes einzelne Glied, so findet man, dass jene Reihe auch unter
folgender Form dargestellt werden kann:

1

m p
1

2m

%m

.)

p^\

'tn

«2 f _J 1

n' V+2 p^2~^tn

;9-|-l+2/ii
1

p^\-\~%m
1

;9+2+2»i ;9-|-2-|-3«it

'....)

...)

(13)

welches eine algebraische Zerlegung jener Reihe ist

Man kann das bisher befolgte Verfahren noch verallgemeinern
und auf solche Reihen ausdehnen, welche nach den steigenden Po-
tenzen einer beliebigen Hauptgrdsse u fortgehen.

Man setze näoAiich in Formel (1) der Reihe nach p:=zpy
p'\-m^ p + 2m u. s. w., multijilizire die entstehenden Glieder mit
1, u^ n* u. 8. w. und addire sie, so steht auf der einen Seite die
Reihe

u

+

«

+

a

■ f

:\- :

+
+

4

anderen als Siunme derselben das integral

)i^

Z

34

n'^0^ ^ 1 — im:««

welches sich wieder in folgende Reihe zerlegen lässt:

S^ l^'^./o !-€«:«■"*' t/o l-tfcr«»"*"*V Ol --i«r»~'*^ ^^^^
Kin allgemeiDes Glied aus dieser Reihe ist

0

1— IMT»»

1

und geht durch Einführung einer neuen Veränderlichen « = i/"^
in das folgende über:

■r

%r^ld%

welches nach den gewöhnlichen Regeln gefunden werden kann.
So hat man z. B. für «i = 1, «=3 2, p=zl aus (14) und (15)

u*

• • ■ •

1.2.3 ^2.3p4 ^^3.4.5^

r z»^ da: « /*l ^dx /»l gy^ito "|

*L«/o 1 — tw «/ 0 X—ux J ^ 1 — «a;J

uud für %'=.ua; werden die Integrale

^L««,/ol— « ««*»/ol— ai»'«/ol— «J

Durch Ausführung derselben erhält man leicht, sobald der abso-
lute Werth von u die Einheit nicht übersteigt,

1 u ' u* i

1.2.3 "^2.8.4 "^3.4.5"^ / , ,^ ,^^^

— 4 • 1* ■" 2 • ««» 2j#» ^(^-^^n

Ist der absolute Werth von n^l, so divergirt jene Reihe und die
. . _i j j|j^lj gross.

1 entstehen die Reihen

Intemle werden unendlich gross.
Für « = 1, fi = — ^

4 1.2.3^2.3.4^3.4.5"*" ^ ^

*^^~"T ^^17273 "~ 2.3.4 "^3.4.5""" •• ^'^^^

wie sich aus den Gleichungen (5) und (9) ebenfalls findet, wenn
man «» = 1, « = 2, /»=! nimmt.

$. 5.

Auch solche Reihen, die nach den Cosinus oder Sinus der Viel-
fachen eines Bogens fortgehen und deren einzelne GliedeP Coeffi-
zienten der bisher betrachteten Form haben, können durch die vo-
rige Methode summirt. werden. •

o letie wieder io (1) p^äp^^ p + m^ p^^tm u. %. m. m%A
iaBire die eDtstehendeo Gleichnngen mit 1, coa r> cos 2r u.
o gfiebt die Additioa aller aof der eineii Stifte die Reihe

+

+

"8

+
I,

i
+

C

+

i

+

»

+

I
'S-

+

+

e

+

IT
+

36

die Sumoie deraelbe« »

=-r X"^ll — JT^jT^^-f- a:*^+«"— * cos v-^ä^^^ •} cos 2v+ ,,*.]d,

-i^ /^(l— jrjHl-l-.«* cos v + a^ cos afr-4- \a:P-^da:

Reihe kann mittelst der bekannten Formel
7--5=l-|-r cosr+r* cos2«^H- , +l>'r>— '

COf

ireriea, aad dann geht jenes Integral für r =:\r* in ^

^ /^/i w 1 — a:»« cost; ^^,,

-7/(1 — jt)« . :; — r-- -3- asP—^da:

a «^ 0 ^ ' 1 — 2a?"» cos V -f- a:2m

1 r /^ 1 — ar« cos V , -

m ■ ••/el— 2«* co8tf-f-a:3« ** \ r20^

y^t 1 — ar<" cos t; ^ , . ,

• 1 — 2a:« cos t; -1- jß^ *

^i^duffok die ftwime jener Reihe (19) dargestellt wird> indem
Mistel heailtfl «iaea Aaadmck Ton der Form

/-

«a;f4-f-a:fl^

XL iiiiegrtrcaL.

Eä«n M leicht eihäk man ans Formel (1)

37

II U ^

T
4-

+

Cfl

+

m

D

CO

I

a

!

+
+

+ +
+

IC)

+
3

+

8

I

2^

D
C*8

+

^

cc

+
+

td

nrobei die eiDgeklammerte Reihe nach der Formel
sin V

l — . 2r cos V

rzsin v-^r sin %v + f* sin 3c;

36

summirt werden kann. Man erhält

^^^ «' '^^V 0 1— 2a?» cost;-f-aj*» *»•/ o 1— 2a:~ costH-^r8»' ^"^ ^ ^

womit die Summe der Reihe (21) gefunden ist.
Für ;f = «i = » = l isl z. B.

sJD V sin &y sin 3y ,

1.2 "*""27är "*"irT"^

= sin t; / , ' ^ -— -r — am v f ^ -\ — o^ ^^» ^. ■ ^^

t/ 0 1 — 2a? cos t; -I- o?* •/ o 1 — 2j: cos t; -f- 3?= ^

y*i (l-^ar)</ar
Ol— ar cos v-f-ar»

Durch Anwendung der hekaunten Integralformel

T — ^ — r= . > n— Arctan -7====+ 5- /(aH-^a?-4-r^*)

erhält mau hieraus

sin V . sin 2v . sin St; *

1.2 ^ 2.3 ~ S.4 ^-

= —5- [(TT — v) tan -^ — /(^ sin ^JJ.

(23)

Zwei spezielle Fälle der obigen lUlgemeinen Formeln, wenn näm- .
lieh «i = » und 01 = » + 1 ist, hat Herr Dr. Stern in Crelle's
Journal Bd. 10. S. .209 entwickelt. Er geht von Zerleffuuffen wie
die in (13) aus, die er durch.Iuduction hndet und mittelst der Ber*
noullischen Schlussreihe verifijiirt. Dies ist gerade der umgekehrte'
Weg, welcher indessen nicht so kurz und allgemein zum Ziele
führen dürfte als der obige, direkte.

39

IV.

Ein Beitrag zur Theorie der Ausmiftelang des '
Kennzeichens, ob eine Yariation zweiter Ord-
nung positiv oder negativ ist, oder weder als ,
positiv noch als negativ gelten kann. Gelegen-
heitlich ist dabei ein Beitrag zur Beurtheilnng
der beiden von Euler und Lagrange gegebe-
nen Methoden der relativen Grössten und

Kleinsten.

Von

Herrn Doctor 6. Strauch

Lehr. d. Matbm. an der Erziehungsanstalt tu LBnzbtirg im Kanton Aargan.

Diese über die Variationen zweiter Ordnung anzustellende Un-
tersnchuuff kommt bekanntlich am häufigsten vor bei der Anwen*
düng des Yariationskalkuls auf das GrÖsste nnd Kleinste. Ist der
gegebene Ausdruck, der ein Grösstes oder Kleinstes werden soll,
eine reine tfrfnnktion^ oder enthält er auch (totale oder partielle)
Differentiale; so hat diese Untersuchung keine weitere Schwierig-
keir, sie lässt sich jedesmal mittelst der Theorie der unbestimmten
Koefficienten oder mittelst der Theorie der Gleichungen ausführen.
Ist aber der vorgelegte Ausdruck, der ein Grösstes oder Kleinstes
werden soll, ein Integral; so kann die in Rede stehende Unter-
»nchnng manchem, der 4n der böheren Analysis nicht viele Fertigkeit
bat, bedeutende Schwierigkeiten verursachen. Die hier folgende
Abhandlung soll sich daher nur auf solche Probleme erstrecken,
wo der vorgelegte Ausdruck ein Integral ist; und dabei mögen
zwei Abtbeilung^n gemacht werden, je nachdem derselbe entweder
ein einfaches, oder ein zweifaches, dreifaches, u. s« w. Integral ist.

Erste Abtheilung..

Der voimlegta Ausdruck sei ein einfaches Integral. Diese
Au%abe ist i&lgende: Es sei V ein ans den Elementen

dj^ d^y Mff du dn% dv

^^y> dx' dx^ ' dESi» *» ÄF' d^'^' di'

40

crebiideter Ausdruck, und man jucht far y. 3. o soickc Foik-

tionen von ^, daas dabei das von jc^m bis jp-^a entreckte Ib-
tesfral

=/!'

ilr

ein Grösstes oder Kleinstes wird.

Ersteos. Wetm F ein nar ais des EleaenKem -v» Jf» ^- • .

. . . j^ gebildeter Aiudrack ist, ■«■ also nar jr als eise lolcbe

Kunktioo TOD jc sucht, da» dabei U-^^J F. dje eia Grösstes

oder Kleiostes wird, so hat man den eknfiickscen Fall. Die Cater-
snchang, wann die iweite Variation 9^L positrr oder negaCiT sei,
oder weder als positiv noch als negatir gelten kann, ist kcreiti
von franstttischen Mathematikern aasscefilhrt. Z. B.

1) von Laplace. Nova acta emditonun. 1773. S. 193

2) von Legendre. Memoires de FAcad. des Science:» de Paris.
1786, i». 7; et 1787, p. 348

'S) \on I^igrange. Theorie des Fonctions analyti^n««. 3. edit.

f». 276. In Crelle's Uebersetinng 4er Lagrange'xhen Werke
ese man. Bd. I. S. 500. ff.

Zweitens. Wenn aber bei dem insammengesctiserea Falle,
MO nemlich y, «, v^ u. s. w. als solche Funktionen von jc gesucht

«»«rrdctOj dass 6^= / F. tla: ein Grösstes oder Kleinstes wird,

die X weite Variation i^U positiv oder negativ ist, oder we4er als
^•iliv noch als negativ gehen kann: diese üntersnchang hat ein
AuuiMAittf Mathematiker ausgeführt, und jeder schon so weit ce-
4iitU*iUt Analytiker wird sie mit Vei^nügen lesen. Mna ache:
Lkkre des urössten und Kleinsten von M. OhsL Berlin.
UZ5. H. 270—283, 8. 202. 203.

ha gewiss es aber iit, dass diese Vntersnchnngen fiir den xnr
iUifk |r«djefaenen Analytiker nichts mehr zu wünschen fibrig las-
**-4, ftk«n so gewiss ist es auch, dass sehr Viele, und sogar solche,
4jjk ifUcf Varifttionskalkul zu schreiben unternommen haben, nicht
ift. d«« fielst derselben eindringen konnten. Besagten Leuten wäre
ärt tc-MAf krgntt^Kn, wenn sie nur ein einsiffes Problem vollständig
tMtfA%^ktiiUrt * und die sich dabei ergebende zweite Variation mit
tmu^Aid MAt«r«flcbt hätten. Ich halte es daher fnr nicht über-
fHkki^. kiai^4t einfache Probleme hier aufzustellen,
t.i< 4«A« kfHi'iur zweiten Abtheilung, wo vielfache In-
'^iff^ik > ///koMmen, überzugehen.

iW9$09 i^fihUm. Man sucht diejenige ebene Kurve.

M*,44« ^^n, swei zu den Abscissen «und ^ gehörigen

/fr4i'»i*lrii|f«n Ordinaten begränztwird, nnas wischen

«/44 it9kh%fuu\ktun die kürzeste ist, während für diese

i*ßkKf.htAikm%kn selbst vorgeschrieben ist, daas ihrPro«

>W.^'ak^

41

dukt unter allen Umständen einen bestioinit gpefi^ebenen
negativen Werth ( — A:*) haben soll.

Die Aufgabe ist also: Es soll y als solche Funktion von a:
gesucht werden, dass das bestimmte Integral

I. u=yya?.vi-\-p

ein Grösstes oder Kleinstes wird, wahrend eben dies^ für y ge-
suchte Funktion nur aus der Zahl derjenigen Jierausgewählt wti^-
den darf, bei denen die Gleichung

II- ya . y« = — ^

statt findet.

-.±.

Bhr ist nach Buler's Bezeichnupg /9f=:-j^; npd y« bedeutet^

dass man in der für y gesuchten Funktion a an die Stelle des \^
gesetzt habe., Ebenso verhält es sich, mit fa*

Variirt man Glei<cbiing I., so bekommt mi^n bekanntlich

111. dl7={

vT=^)« • ^'y« - fiTf^r^)- *y«

■/X-^

)

^^ I.rfy.i^

«und
IV.

tJ

.*'y+

1

]

r
. fcr.

Auch hier bedeuten die unten angehängten, m und a, dass man i».
und oe an die Stelle des a: zu setzen habe. Wenn man Gleichupg^
.11* variirt, und dabei die Ausdrücke 'Jy^, i^Pa^ u^ ^. w. als 'solche
Maodelt, deren Werth von dyat i'^ya^ u. s. w. abhängig ist; so
bekommt man

VI.

k2

dya^.

Elimiuirt mau dy^ ans III., so bekommt man

k*

'" '^^=Kv7rfe^^- ?^-(v7i

P

•>2

) J • ^Pa

P

7»'

)«Jy.

i/i^r.

42

Daraus ergibt sieb nun die HauptgleichuDg

VIII. '+^ =0

uDd die GräDzeDgIcicbuDg - . ,-

Integrirt man die HauptgleicLuDg, so ergibt sieb ^

d. b« die gesucbte ebene Kurve ist die grade Linie; und
wenn maa ji statt p, und Aa-k-B statt y^ in IX. einsetzt, so
bekommt man

0

oder

XI. A. [j»» — {Aa+ BY\ == 0.

Setzt mal eben so ^a-^jff^ nqd Aa-\- B bezüglieb statt ya
und ^tt inyll. eii^; so bekoümt lian

XII. (^.« + /r).(^.a + Ä) = — ^»./

Die ^leiebungen XL und XII. dienen zur Bestimmung delr
Konstanten A und B\

GleicbuDg XI. wird erjfullt, wenn ^ = 0; dabei reducirt sich
XII. a»f Ä* = — ^». Diese Gleichung enthält einen Widerspruch
in lielv selbst^ es kann also nicht Az=^^ sein.

Glfichupg XI. wird auch erfdllt, wenn ^' — (Jfiär+^)' ="0

ist Daraus folgt^a-h Ä = ztl/^«; und XII. geht über in

(^aH-if).(±KiO') = — ^% d. h. es ist ^a + J? = =p V^^.
Gleichung X« geht also über. . \ .

XIIL y=±=^-^—

OS

Die gefundene Grade schneidet also die Abscissenaxe da, wo
ar = — -$-— , d. h. mitten zwischen den Gränzordinaten. ^ S|^ geht
von oben nach unten, wenn man

^ a — a ■ a — a

setzt; dagegen geht sie tou unten nach oben> wenn man

setzt: - ' • \

49

KliniDirt mao ppn 6*y^ nuä IV.,. nod berücksichtigt nao noch
die BlaoptgleichuDg'VlIL; so redoeirt sieh IV. auf

und ea fragt sieb: kf^nn dieser für ^ £/* hergestellte Ausdruck als
positiv oder als negativ gelten? Um diese Frage zu beantworteu.

nehme man das von a bis a: erstreckte Integral ^ ^d^)* • ^*
und setze

'*x

*

.* . ■ *, ■ 1 ■ ■

wo ^Jü und ipßp zwei )ioch zu bestimmeDde Funktionen sind« Dif-
ferentürt man nun auf beiden ;S^ten , und dividirt man dann Alles
mit dip\ so .bokammt man Y-

oder -

Pl^e GUeichi(ng gilt fj^^.jede be)if]|»ige Funktion dW von^ und
V bei jedem beliebigen Wertbe des ^;^.äiß muss also in folgende zwei
identifMObe Gleichange« zerfallen:

-^4-(V'^)*=0 und (gp^) + (V^or) = 0.

1 1

Daraus folgt y^ = — r—: und tfsc = — ^ , . wo c eine durch die

Integration eingegangene willkQhrliche Konstante ist. Gkichung
XV. geht also über in

'»«

Diese Gleichung gilt bei jedem beli^biget) Weirthe des x^ also
auch bei J7=za; und man hat folglich

Mm b<M^e 91H» folgfiiie drei Pankter. 4.

;» '1

/%

44

1) Es exisdrt durcbaus keine Bedingung, von welefaer der
Werth der Konstanten c abhängt; ''

2) {Man mag d^r Konstanten c was immer für einen Werth
beilegen, dieser Werth bat niemals Einfluss auf iy und "^l und

3) So wie der Werth des linken Theils der Gleichung XVlI.
von t unabhängig ist, eben so ist der Werth des rechten TbeUs
dieser Gleichung von c unabhängig. Dieses kann man aber noch
auf folgende Art näher nachweisen: Weil

^dic x^c'"^^^ —^dx\ dx '

so kann man statt Gleichung XVII. auch schreiben

XViii. /""Ä' . <te=^- . V« -ri^ • 99

a

^dx^ dx Jk

1 • .v"-l ■■"

und wenn man das vollständige Differential integrirt, so bleibt bloss

Hierdurch ist also strenge nachgewiesen, dass der Werth des rech-
ten Theiles der Gleichung XVII. von c unabhängig ist. W^nn matt

/€t ddu
(^)^ . dw gleichbedeutenden Ausdruck

in XIV. einsetzt, und dann noch iy'^n eliminirt; so bekommt man

XIX. 9*V—ryJ==^\—^^'^ ■ **

Vi-i-A* y*o ■ {i-i-^')«(«-«-«)-y*o
- (1+^»/. (a^)} ■ ^*'-+ 04^ ^y"^ ~ ^ • ^^* • '^'

Da nun der Werth des d^ U von der Konstanten c unabhängig
ist; so lege man dem c einen solchen Werth bei, dass die Gleichung
stattfindet: > '

„ r 2^r^ . . ^ 1 ft

^^^ y*a "^(J-|-^»).(«-f-c).y*a "" (H.^»).(«H-r) — "•

Dabei reducirt sich XIX. auf

Aus Gleichung XX. ergeben sich zwei verschiedene Werthe für c,
von denen man nach Belieben den einen oder den andern in XXL
einzusetzen hat. An XXI. aber erkennt man, dass d* £/j)ositiv ist;
denn das Radikal (l+^*)i 4ia^ nur seine^ positive BedeutUBg,

, ; f .■ -t . ,

j\ .*

,45

weil es io Gleichung I. nur als positiv vorausgeseUt worden ist,
wie auf iolffende Weise erörtert werden mag:

Die Differenz a — a ist positiT, also muss (wie aus der Theo-
rie der Rectifikation bekpnnt ist) die erste Ableitung des Bogens
bei jedem zwisoben a und a liegenden Werthe de«^ a: positiv sein,

d. h. das .lUidikal V/1 +p^ darf in Gleichung 1. nur nach seiner
positiven " Bedeutung genomme» werden, welche Einschränkung
durch ;die* ganze Aufgabe festgehalten werden muss.

• . ' ^ ' .'

Zweites JProblem. Man sucht y als solche Punktion

von ;r, dass das bestimmte Integral

ein Grösstes oder Kleinstes wird.

dm '
Man variire, und setze dann zur Abkürzung p statt ^; so be-
kommt man ' .

II. dü=i 2 . {my — p)a . ^y« — 2 . {my—j*)a • ^y«

III. J*ü=% . (my — p)„ . <^y« — 2 . (my-p), . rf»y.

;. +4.<fy»+2«,^:^-@)«i:rf^
Hier hat man als« Hauptgleichung

IV. ^ + mp ^— = 0

und als Gränzengleichung hat man

V. («wy — ;>)« . iffa — {^y—p)a . *y« = 0.

Wenn man die Hauptgleichung integrirt» so bekommt man

VI. y=4. sin (2^ + 5^) ''^

als die für tf gesuchte Funktion, wo A und g- zwei nbch zu be-
stimmende willkübrliche Konstanten sind. Die Gränzengleichung
^eht jetzt über in

VII. [^.sin (2a + ^)-A.co4 {a» + g^)].(ry«
Diese Gleichniig> weiche bei Bestimmung der Konstanten noch be-

46

Dützt trerden moss» wird sicL mif ferscbiedene Weise zerlegen, je
nachdem öya und Jv« willkürlich oder ahbängig sind/ Dnt^r Be^
räcksichtigDDg der fiauptgleichuiig redooirt sich d«ii III. auf

Man nehme n^n' das von a bis .^, erstreckte* Integral

und setze ' , ' ' .^ - "" ' x

IX. y;> . sr +2- . <jy . t-^n :^

t ♦

-. *

«■ ■ 1. • i'.'.i

wo 9>^ nnd ^^ zwei noch zu hestimmende Funktionen sind. Man
differentlire aät Üeiden Seiten » Ajridtre Alles mit da:, und bringe
alles auf eine^^eite des Gleichhdtdzeichens; so bekommt man

s,

Diese Gl«i.e^ung gilt fiir jede beliebige Funktion 8y von a:^ und
bei jedeii^ , beliehiffen Wertbe des^sr; sre verfällt also in. folgende
zwei identische Gleichungen: .

. ■■ • #• I • • i

Daraus ergibt sich

' g)a: = «1 4- 2 . tg (2a: -+• e)
und

^4r=s2.tg (2^H-<0. ' ; '■ i ■^■

Gleichung IX. geht also jetzt über Ya

= [^^2 . ig (2;r + c)l . cy^or' — [«»+2 . Ig (2if + ^)] . <»jw»

Diese Gfeicbnngi-gilt bei jedem beliebigen Wertbe* des a:^ also auch
bei ^ = a; und man hat

47

== (m + 2 . tg (2a + c)] . dy„* - [i» -|- 2 . tR (2« 4- c)l . dy^*

-y]^"[^.+ 2 . <^y . tjf (2^ + 0)]« . *r.

Sowie der Wertk des linken Theiles dieser Gleichaoff von e un-
abhängig ist, ebenso ist auch der Werth des rechten Theiles dieser
Gleichung von c unabhänfi^is'. Dieses kann man aber auf folgende
Art näher nachweisen: Weil

ist^ so kann man stbtt* Gleichung XI. auch setieeil

= [«-1-2 . tg CZa + c)] . *y„« — {m-\-% . Ig (2«+c)l . <Jy.»
nnd wenn man das vollstllndige Differential integtirt, so bleibt bloss

Hierdurch ist also, strenge erwieMüf dass der Werth des reclbten
Theiles der Gleichung ]0. von c ganz unabhängig; tat. Wenn jBiaii
oiin aus XI. den mit .

/;[4.v-^2«.<ry.f-(§n.^ .

1

i

gleichbedeutenden Auadrudc in VUl. einsetzt, so bekommt man

Xlll. S* D=1 . [^ . sin (2a + g^) - cos (2a-f-g^)] . J»y„ .

•+- 2 . [•» -i- 2 . tg (2a -f- ejj , tfy*>,

-2. I^.sin 0ia^g)-w% (2«-1-ä-)1. Jly,'.', .

-^. [m-\- 2 . tg (2« -4- c)!,.; Jis^»

Wen BUtt nicht djr^csO, dyc==0> d'$^«=:0, ä*ij^:=i% \l «» w.

48

ist, so k»DD man doch jedesmal der Konstanteii c einen solchen
Werth beilegen, dass da« ausserhalb des integralzeichens biefind-
Ijche Aggregat wegfällt; und dabei redncirt sich Gleichong XIII.
' anf

woran man erkannt, dass d*ü negativ ist, und ein Grösttes stattr

findet..

• • • • .

Drittes Problem, Man sucht unter allen e^«ii«f» Kur-
venV welche zwischen den zu den Abscissen a nndü^^e-
hörigen rechtwinkliglBn Gränzordinaten einerlei l^Ts-
cheninhalt einschliessen, diejeniffe, hei welcher der
Schwerpunkt an höchsten oder tieften (der horizontal ge-
nommenen Abscissenaxe so nairie oder ferne als möglich) liegt.

Die hiesige Aufgabe . verlangt also für y eine solche FqiiKtion
von-o;. dass der Quotient

I. 6=*^-^i—

ein Grösztes oder Kleinstes wird, während eben diese ffir y ge»
suchte Funktion nur aus der Zahl derjenigep herausgewählt wer-
den darf, hei deoßn allen das bestimmte Integral

den nemlichen (gegebenen oder nichtgegebenen) Werth bekommt.
Dies Problem gehört .In die ' Klasse derjenigen , welche von
Enler relative Grösste oder Kleinste genannt werden. Er
verföhrt dabei auf folgende W^ise: Er multifilicirt. den Atifsdrnek

II. mit einem (vorerst noch unbekannten aber im Laufe der tJnter-
snchnng sich oestimmenden) konstanten Faktor, und addirt dann
dieses Produkt zu 1. Er setzt also

r y^ . da: ^

III. Ut=^^^-^ y^L.fy.da:

und sucht diejenige Funktion y von a: auf, welche den Ausdruck

III. zu einem Grössten oder Kleinsten macht.

Dieses Verfahren wäre allerdings gerechtfertigt, wenn der
Ausdruck 11.^ selbst Null wäre, und wenn sowohl ein abhängig va-
riables als auch ein unabhängig variables Element vorhanden wäre;
dann wäre der Ausdruck III. dem Ausdrucke I. vollkommen gleich^
und der Faktor L würde dazu dienen, die Variationen des abbäo-
gig variablen Elementes zu ellminiren. Aliein da das bestimmie
Integral II. nicht Null ist, so ist das in III. tftehende 17 ein gaai
anderes, als das in I. stehende ^17, und es fragt sich:'. Wie gefct

iM em ga^ im$M diejettigC- PaBkUbs p rom «v welehie de«
M' AasicMll OL mm eise« Orftiitea oi«r Kleiaiten «acht,
■ #«ttf *iB»y»wa*ra<l? L lu* «UaB «vftaila«' M«r Kleia.

m üeaV'ttiiäiNt ^M wii4«ril^6laa Mas,' dlM^'nAU getackte

arewftl|J|ifita,|Welcbe alle fdr das bestiaii^te Integral 11.
o en BeailicIieD (gegebeoen oder oicblgegebcDea) Wertb He-

irttf

Bitt'TcrMch, dieae iw«i. Prägen theoretuch an beantworten,
ird' jitd^piil ein V^raueb bleiben; und ea ist ndtbtg, atatt der
'le^ H^bode eine andere aufzuatellen, ua ao mehr, als die
^ 'liflhode bei Tielen ' Problemen dann, wenb man dai
__ •■ ftc die Eziatens einet Grtfatten oder Kleintten her-

«Aalkm.will« gana faliche Autdriieke liefert. Dietet itt namentlich
S^- iMi Uer vorgelegten Probleme der Pall (aun leto die Bemer-
l^«m« klBtar Gleicbmig IX.). * i

. ^%a]taache itt et aber, datt die Euler^tche Methode
^^mAMaMiltdie j-icbtigePanktion y tob «'liefert

' IniB «kg däa Teifgeleg^e Froblem nach der Euler*tchen Me-
^Jm^dle, * diwkgefiihrt werden. Hau rarüre Gleichung HL, brioge
A Ifoi 'a»rijii|)a Nenner^ und aetse dimn im Nenner inrAbküraoag

atftti /y.iivs dann bekommt auo
1¥. ilfsB^.\2./^p.dp.dafx/^p.dm

^y*«» aetea^iMui^ .wai^ eben in. d«r. ^Theorie dea Variationtkalkurt
^^Mh.enifirt werden mntti

<« h.mam aataayjy* /i£r=i: Jf . C; ao gebt Glelcbnng IV. aber in

f^ virsss^ ./^{ty- c+M-^) • 'y • rf*.

l^mrana folgt, die Hanptg^etchnng

W^ i?^^<^^«^v% gibt ea nickt Man hat alao die mit
UY/XM^^hutt^ 6,rad«. 'Bei.BetHmmong der

liTjImia 'Gl^äiijpbg . V. mit kenntst werden; diete geht

f-TTl '1,1 1 . vi !■ fi . . t.

. diVlbb *ui9^n i'*-).-.' ■)'iiv> . ' . ■ rl • ;' .' '

iW totMUtllniken WidemNek in aldb adbtt, ton-
''M^as^— Oi^ litad #emi nU Ab^n VIL eliminirt,

a /. . 4

.50

VIII. yssC

aU Gleidiang der gesuchten <3ra4eD^ w# O «ise «och «9 lietitMi-
neDde Konstante ist, die wenn e. B. Torgescfariebtn isti ^ioes 4er in
Rede stehende FJäeheninhalt den bestimmten Wertii g^ hahe« doHli

die Gldchung /^^ . ito = ^* bestimmt wird; denn diese GJei^

chung, wenn man C statt y setzt nnd integrirt» geht über in

C{c« — a)=^*, und daraus felgt r=:-^.

Um -zu ebtscbeiden^ ob ein Grdsstes oder Eleinftles stat^nde,
bat man in Gleichung IV.- nur den Zähler zu Tariirejp^ und ma|i
bekommt zunächst

-f- *. /J*V • ^ X fy . daf -f- ^f'y • da> X \^f*Jy- ^ \ •

Setzt man A statt / y.da:, und AC %\a,Vt /y* .<£r; so g«ht
dieser Ansdruck über In

i;*ü^^.\fy%9^€'\-%AL),9*y,4a:
-\-^. fy^ .da!-k-ikL.{fyy.4my\.
Dieser Ausdruck redncirt sich wegen Gleichung VII. auf

Nun ist A;;s:jy . d^s=:KC .{fi--a), aUo Zf=— g^==--^^^_^^;
und somit hat man

Man erkennt aber gradezn, dass das innerhalb der Haken stehende
Aggregat weder als positiv noch als negativ gelten kann^ so dass
«8 das Ansehen hat, als fände weder ein Grösstes noch Kleinste»
statt. Allein es ist in derThat der Fall, dass unter allen
Figuren, die denselben Inhalt und dieselbe Grundlinie
habeui und von auf der Grundlinie stehenden Perpendi-
keln begränzt sind, das Rechteck seinen Schwerpunkt
am tiefsten liegen hat. Dieses wird auch noch durch
den nach der LagraBge'achen Methode für 8^U her^e-
ä^ellten Ansdruak XXI* bostätigti 4ind somit bleibt
nichts anderes übrig, als den nach der Buler^schea Me?

61

thod^ für d^.ü bergestellten Ausdruck für eineo unrich-
rffeiT Sil erklären.

Es entsteht also die dritte Frage: Wie gebt es za, dass
man« wenn »an das Produkt Zr . / v. dsc txk V'=r-—-^

sddirt, nnd dann diese Summe variirt, die richtige Funktion y von
X bekommt, wäbr^wl noch der für J'fT sich ergebende Ausdruck
anricbtig sein kann?

Di^f». A^itte Frage |ässt sich ebenso wenig theoretisch beant*
Worten ,' als die beiden früheren ; und man ist bei der Euler^schen
Methode in der Lage, in welcher man bei jedem bloss empiri-
si|flieii'Ver£abr|Bfci ktf imd dieser Umstand hatte läagst* veranlassen
tollen, eine strieng einleuchtende Methode für diese Probleme- auf-
zustellen.

Lagrange y dem alle diese Mängel der Euler'schen Methode
Dicht entgangen sau» können t itehlägt ein anderes Vcrftihren Ter;
er setzt nemlich statt des Ausdruckes II. 'die identische Gleichung

X. / y.lfe = *:P — *a.

Darana folgt durch Differentiation •

j^)

Da^ nun der Flächeninhalt entweder vorffeschrieben oder nach
Willkür gewählt werden kann ^ aa ist % das unabhängig variabli^
und y <fas abhängig variable Element. Man eliminire dso ^ aus
Li 30 ergibt sich

XII. c/= •' '^f^ .

' - ' •

Man vorite» bringe ^AQea aaf einen Nenner, und setze dann im
Rannr jonr Akknnmig^ A statt / (^) • da^% so bekommt man
mächat ^

Nun setze man» was aber in der Theorie des Variationskalkuls
noeh näbev erörtert werden rnnas,

XIV.: fli^r.^^^jy^^'i^

4

•

52

t

d. L man setze Hi^^ . ite = ^ . iP, so geht GteichuQg XIIL

fiber ID ' . ;;r . .^

Aber weil E konstant ist, so kann man anch setzen

und wenn man die gehörige Umformung aaäfnhrt, so bekommt man

' r

*

Dieser Ausdrnek zerlegt sich in die Hauptgleiehung '

XVI. y=o

und in die Gränzengleichnng

Integrirt man die Hauptgleiehung, .so bel^ommt man

■ - • i.

Es ist also (^)a = (^a==^9 nnd die Gränzengfeichung geht
über in

XIX. iC'-B).{S»a — i»a) = 0.

Allein eben weil die gesuchte Kurve nur aus der Zahl derjenigen
herausgewählt werden darf, bei denen allen das bestimmte Integral

I y , da:::=z%aT'»a denselben (gegebenen oder niehtgegebenen)

Werth behält; so ist jetzt &«— d!»a=0, ö^sia — rf*«a=ö, u. s. w.^
und die Gränzengleicbung fällt von selbst weg, so dass daraus für
die Bestimmung der Konstanten C und F nichts gewonnen werden

_ d%

kann. Weil aber y=r^, so ist die jetzt .gesuchte Kurve gege-
ben durch

XX, y= C.

MaA hat also wieder die mit der Abscissenaxe parallele
Grade wie bei der Euler'schen Methode. Die Konstante C wird,

wenn das Integral / y . dje den gegebenen Werth g'^ haben soll,

53

«inrch die Gleichang C,{u — a)=g* bestimat, wie icbon bei der

«nten AaflögUDg gezeigt iit

Um lu entecbeideD ob ein Grösstei oder Kleinstes stattGode,
ikmt man id Gleicbung Xill. nur den Zäbler in Tariiren; und Bao
■»«kOBBlt lODäcbst

n forae uMi setze A statt / ("jzi^äop^ und benutze noch
leiebnng XI?.; so ergibt sieb

^ Folge alles Vorhergehenden redneirt sich aber dieser AusdruclL
tif

JaD h«t also hiermit den Beweis, dass ein Kleinstes stattfindet.
^lllan sehe Gleichung IX. and die dortige Bemerkung).

Lagrange selbst hat das abhängig variable Element niemals
irekt elimioirt, sondern jedesmal mittelst eines Multiplikators. Zu
liesem Ende verwandelt er die Gleichung XI. in folgende iden-
Sache :

XXII. y-^=o.

iesie Gleiehnng multiplicirt er dann mit einer (vorerst noch unbe-
•nnten sich aber im Laufe der Untersuchung noch bestimmenden)
iefatvmablen Funktion 9t von .r; dann ist auch noch das Produkt

XXIII. gi.(y-2)=o

^ine identische Gleichung; und daraus folgt, dass auch noch iden-
tisch stattfinden

XXIV. 5R.(<Jy-^) = 0

XXV. «.(>y-^) = 0.

Es ist also auch

XXVI. /7«.(y-&«<>

»*

XXVII /7fi.«%^-^==o

xxviu. /73»{<J*y-^*)B=o.

Mao kann also das lattgral XXVI. zu 1. auf zweierlei Weise ad-
diren, ohne dass dabei .das Ü im geriogsteii geändert wird, d. b.
man kann entweder

ff* .dx g.^ j

oder man kann

. v^^-^ *^

setzen. Varürt man nun, und nimmt die gehörigen Piafo|^-

manffen vor; so gelangt man genau zu den bisberigeit Kesultateii.

Nun soll über die Lagrange'sche Methode eine nicbt nnwicli-

tige^ sondern sehi* beachteftswtrthe Untersuchung angestellt werden :

1) So (ange nur eine Nebenbediii^ng gegeben ist, >wie im
hiesigen Probleme der Fall; so lange ist das Lagrange'scfae Ver^
fahren vollkommen einleuchtend.

2) Sind aber ;BWei oder uoeli oMbr Nebt»bediagiing«ii g^^
bca, so bt das Lagranga'sobe VerftAren darckaus «aanveadbar.
Das folgende Beispief mag die Saebe «rlftutem. Ea s»ii

l y^ .da:

^ , f y - düc

ein Grösstes oder Kleinstes werden» wdbrend y nur aus dar Zahl
deijeoiffeii Funktionen gewählt werden darf, bei denan allen das
Integral

fy.dx .

denselben (gegebenen oder nichtgegebeoen) Werth bebSlI, und bei
denen allen auch das Integral

fla>y.dx

einerlei (entweder einen gegebenen oder niehtgegebenen ) Werth
behält.

Setzt man nun nach Lagrange

ttQd

9 «3 ergeben sich daraus durch Differentiation folgende Gleichungen:

dx , dv

BQn der Werth eines jeden der Integrale / y , doc und
"» • y • djc entweder vorgeschrieben oder nach Willkür gewählt

^rden kanii; m moM sowohl % als auch v eine fiir sich willkür-
^ Sehe Funktion sein, d. b. sowohl % als auch v mnss ei^e uoabhän
Q^ig variable Funktion sehi. Dieses wird aus dej| Polgen-
«^6B %mM% ervident V

A) W&re y unabhängig variabel, so wären % und v abhängig

iabel, wie aus den GMchungen y^s-gz vnd a^y^ss-j- hervor-

; und % mmi p hätte» keinen Biafluss auf £7, so dass sich
naaelbe Resultat ergeben würde, wie wenn keine einzige Neben-
adingnng genadit wäre. Es kann also y nicht unabhängig va-
riabel aein.

B) Wäre « allein unabhängig variabel, so würde sich die Ab-

käng^keit des y durch die Gleichung yz=i^ ergeben; und zu-

dv dv dst

fg^eich würde ^rys^ übergehen in a^^^^^ ^ ' "jjZy ^* ^* ^ ^^^^

"^rOD % abhänjgig. Der für ü aufgestellte Ausdruck ginge über in

MJ::^-^ — ^^^ . * , so dass ü nur von % abhioge, und v kei-

en BmAoss auf 17 hätte, ebenso wenig, als (unter der hiesigen

^orauMtsung) v Eiofluss auf y hat, da im Gegentheil v von y,

^^ind .wiedenim y von » abhängt. Wenn also % allein unan-

^ängig variabel ist, so ist es grade so, als wenn

'^ftVt die einsige Nebenbedingung „das bestininte Integral

y . dx tfoll immer denselben Werth behalten'^ gemacht wäre.
6) Wäre v allein unabhängig variabel, so würde sich die Ab-

liftngigkeit ifes y dnrck die Gleichung ^ry=:grr ergeben; und zu-

dk dx \ dv

^eich würde y=:^ übergehen in -gj =:— . ^, d. h. % wäre

Iren 9 abhängig. Der fiir ü aufgestellte Ausdruck ginge über in
üzsn— — ^r-i — zL — '~~^ •<> «Iäm V von ^ allein abhinge, und *

iüSBtm fänämm a«f C iäsxc. fcmin w^aäe >^ ■mBtt- 4cr
^\x^%ziT T«r.fti-e. ii:. ** is: e* crice *•. als wem

^ciU«a< vcnicB kaaa. ^nrä weidkca y
i^MT-z Wirt . mici <aBB aaci C t#b 2 1

^u. Wa« aä«r iicr a«ciwe«£2' ist.
rcB gcrtWa sb4. 4as iit
tfm aa^ aack ««kr

Lacnaap bat frctiick ia
Ba4 Kiäa^m vaa ^ea ärckiea EJiBiaati«
sfracicm, «14 4ock kt aar darci dieaea ^er
wti€h0tr sicher za 4ea riciuisva ftcsaltatea fi&rt;
kaf aaeb iicr 4ie iadi^ekte VliMiaariaa

fmraarfct, ia^cai er 4ie WMca Mei

aad jry — ^^ = 0 knaclich wt 4ea aicteranaUea f vaicrrt
aaci aabeiuMatea) Faaktioaca 9t ani 3S mlnpliciit, aai daaa

%etzt, Alkin hienait ist oicbts sewoBBcn; deaa 4er ia4irekle Eli-
■iBatioiLsprocesa ioll aar dea direkteo ersetzea, um be^aeaer s«b
Ziele zu gefaonn: aad eke maa dea iadirektea aawca^et, kat
aaa sick zo Hbeneagvii ,' ok y Toa 2 aad r zairleick akkiagig
leiD kasB, and aJso dorch jf auck C tob 2 aad rzagMek akkii-
pg wird.

Die Lagraage'seke Metkode kat also dea Fekler, dass sie kei-
aer AasdebaaBg rum eiofackca auf dea Kosaameoaesetstea Fall
fäkig isl; die Ealeracbe Metkode aber kat dea Fekler, das« saa
kei ikr sckoB in eiDfackea Falle aickt reckt weiss , was bmb so
etgeatliek tkat, and somit kana bei ikr aack ist zusaameagesetstca
Falle foa keiner Cekerzeogung' die Rede sein.

Ick babe die Tbeorie der relatirea Grösstea nad
Kleiasten aof die zusaaiBengesetzten Fariatioaen ffe-
jrrändet, und dadnrcb über diesen Gegenstand soTiel
Liebt verbreitet, dass nicbts aiebr sn winsekem ükrig
kleikt Ick werde aeine Tkeorie näckstens aittkeilen; kier gekt
es nickt wobi an, da sie de« eigentlicben Zwecke dienar Akkand-
long fresd ist.

^ j ^ %

57

Zweite AbtheiLuDg.

Wenn'^ und ß keine Funktionen von a: sind, und wenn die
beiden Differenzen a — a und ß — 6 positiv sind; so ist das

bestiminte Integral /^ /^(^9 y) • ^ • ^ jedesmal positiv oder

negativ, je nachdem g>(a:, y) selbst beständig positiv oder bestän-
dig negativ bleibt, wenn man dem y alle von o bis ß stetig neben-
einander .liegenden Werthe beilegt, und bei jedem einzelnen dieser
Wertbe des y auch zugleich^ dem a: alle von a bis a stetig neben-
einander liegenden Werthe beilegt.

Beweis. Denkt man sich % im Momente des Verschwindensi .
so dass

alle stetig nebenefnander liegenden Werthe des y von b bis ß vor-
stellen; so ist (nach einem bekannten Lehrsatze)

J Jj^ 9P{^, y).dy.da:z=ij^k. [9(0?, ^)-Hp(^, ^-*->t)-H)(^, b-^lk)
•+■ -+ip(^> ^ -4- (« — 1) . /:) -f- SPC«^» /^)] • ^^'

Denkt man sich auch h im Momente des Verschwindens, so dass
auch

«, (« + Ä), (« + 2>5);(a + 3Ä), , (« + (i»i-l)^), «

alle stetig nebeneinander liegenden Werthe des a: von a bis a
vorstellen; so hat man jetzt ,

<» ■

+

+

+
+

+

+

58

^ sS* ^ !^

» • a

I T *.

f + T

r + +

a T +

+ >: •

^+ +
+ • "^

and hiermit ist der vorgelegte Sats bewiesen. Es
leuchtet von seihst ein, dass er seine Giftigkeit hehält, wenn
auch einer oder mehrere der Theilsätze ^(a, d)y 9(0, d'^Jh)^

2i(a + A, d + ß:)y n. s. w. zn Null werden; dagegen ist offen*
ar, dass er nicht mehr gelten kann, wenn einer oder mehrere
dieser Theilsatse unendlich werden. Wenn aher nicht alle Thetl-
sätie dasselhe Zeichen, hahen, so kann man im Allgemeinen fiber

5d

deD ZeicheDstand 468 bestiflimtea Integral» / /^^^ y) • ^ • ^

Dicbts lbeAbtlirt€ii, sondern miiss jeden specielien Fall nach it^inen
ESg^entUintitbkehtin «Dtenncfaen.

^ Sogleich ist klar» was die Bedinffong ist, anter welcher ein
dreifachea, vierfiidies, u. s. w. Integral positiv oder negativ wird;
und desshaH) ist es nicht nöfhig, dieise IJntenmchung noch weitisr
anszndehnJBn.

Nun sei Fein reeller mit den Eletiienten or, y^ %y -j^ ^

gebildeter Ausdruck; und man sucht, x als solche Funktion der
beiden niabtvariahlen Elemente a: und p, dass dabei das bestimmte
Integral, wo 6 und ß keine Funktionen von jc sind,

ein Gröastes oder Kleinstes wird.

' Dass aber die beiden Elemente h und ß von a: gans
unabhängig sind, ist ein Punkt, der durch die ganie
Untersuchung im Auge behalten werden muss«

Man setze asur Abkürzung p statt ^j- und ^ stütt ^j-, so be-
kommt man als Haoptgleichong

d% ' dx dy

uod als GräHzeBgieichuiig bekommt man

Berücksichtigt maq die Hauptgleichuug, so bekommt mau im
Allgemeinen fiür dii^ Variation der zweiten Ordnung

IV. d'C/=yf[(^. «•«)«. y-(^'*'«)%yl.^

^ dk.«r;p dy dfß^ ^ das ' dp.dq das dy

dnV

Das Zeichen (^ , ^'x)«, y bedeutet, dass luia a an die Stelle des

II *tF ^dp ^dq _ ,v

X i^etetxt habe,. u«4 dass y Bodi aülgeaaB ad. Aaf äkBÜclM «

W^Me veriiält es Mcii bei 4eB sadcra jlBaJulfbaa,

Man bat diid za BDieraucbeB , aater wakheM Be^iagwigaB das ^

i*V beständig negativ oder paaitiv bleibt, ud wbbb ea weder ids '

positiv Bocb ala nesrsttiv gelteB Icbbb. Mbb baiBichBe aar Afckir- -

4/*xF M»^ *^^ ^/»'^ *^ir ^r.
znng das, was aos -^^, ;g-;^, -=^> -^, =^ -^ karror. -

Seht, wenn man fiir % die gefandeBe Fnnktion setzt, besigücb ait '^
fy JV, P^ Q, R^ S-j and setze fnr das alkreaeine bei jp = m nad J
y=^ anfangjende DioppeUatsgral

Nun differeutiire omb xweiaal auf beiden Seitea, nd es ergibt wiA

Bringt man Alles auf eine Seite des GleicbbeitazeicbeBs, ao be»
kommt man

-*-2.(^-««'-'0).<»«.^-t-{Ö-O.(^)*

Dieae Gleicbung gilt bei jeder beliebigen Fanktion d% wn jc aad
3f, BBd bei jedem oeliebigen Wertbe oes ar und des y; sie zerfiUlt
alae ib folgende einzelne Oleirbiingen:

61

dx dy

JV^fi^E=0

P-ci>-/> — 0

Q.-C=0

R^B—.O

« — ^5=:0

DDd «Uruns folgt

-^=»=^ ■

dp.dg /

\

^=«=9?

•»='-"=^-"

\

*=*-'=i*f-'

•

'—^dx dy rfx» rfar

d'^

" äff'

Man erkepnt also, dass A^ B^ C vollkommen bestimmt sind; da-
gegen j9, 3, P sind erst dann bestimmt, wenn man einmal wetss^
was fi ttM ci> für Pank.tionen von .r und y si-nd. Da aber ditroh-
ans keipe Bedinpfung' vorhanden ist, welcher die Punktionen oi-iitid
«7 genügen müssen , so sind (jh und ^ ganz willkarlfcbe Funktionen
von ap und y. Man kann also oi und vi so annehmen, dass der
Äuddruck

VI. J'.&«+2^.<?,.^+2Z>.«r,.^+r.(^.
auf die Form

I - - - - .

kommt biese Form entwickelt gibt

VIII. ^.(^).+2^.^.^H.2^S.^.<r,

• 62

Vergleiefct mo jetst TUI. mh ¥J., so «rgebea ndb folgende <
zelee Gleidbeaff^B :

>C— ^ ^ AE—BD

weleke letztere Gleichung aber kein Stick enthält, das nicht sei
hestiaat wäre; und wenn man für S» ^i, C die Ansdrocke <
fetzt, so geht sie ober in

welche €leichan|^ aber nothwendig existiren auss, wenn der k
druck Yl. anf die Form ¥11. seil gebracht werden konnt^. €
chnng IX ist aber gleichbedeiitend mit

^' ' <&« dx äu'^ ^^dp.dq^ dp* ^ dq** —

'^ dp.dq'^dx.dq ^''^dx.4p ^^ dp* ^dx.dq ^^
dq* '^ik.dp ^' •

IKtHs isl eine, Partialdifffrentialglmhnng den j^niften Gilden
ef sliHi Ordnung. Nnn exiatirt zwiscbw » «nd n ^archwa hi
AUiängif^eit; man kann also entweder för 17 oder för o» ^mm»
lifbige:Fonktioii annehmen*

Die^ GleicboDg Y^ welehe, in4em sie von Jr==«r und -ys
bis zu jedem beliebigen Werthe des jc und des y erstreckt wi
giltig ist, ist auch gUtig, wenn sie von üc^u und yr^h bis
^ == « and y.=? ^ effstreekt wird, d. h. esr ist

Nun ist

+ A, .\^-^^.d»Y\.df,.da,.

«^ D P — Ol

A— A

und I - »

63

^-^ AC^B^ ~ ACr-^ Ä» '

»od weil der lieke Theil der Gleiehuag XL die Funktionell <ii und
1/ «r nicbt eothältf so ist der Wertb des recbten Tbeiles tob w
upl 17 ganz uiuibliiuigig. Aber grade dieser Umstand ist der
flanpjti^nnkt, der von jetzt an nocb benutzt werden
anss.' '

Gleicbung IV. geht nun über in > '

!Nbi mögen folgende speeielle Fälle besonders betraebtet werden« .

Erster FalL Sind die Specialitäten von der Art, dass

die identischen- Gleichungen Ae«, y = 0 , d«a, y = 0, 8%ß^ x = 0,

o.s. w« stattfinden j( so fallt die Griinsengleichung III, von seibot
binweg, nnd Gleitbaag XIL rodudirt sidh gradesu a»f

Zweiter Fall. Sind dte /Specialitäten von delr Art^ dass von
den Ausdrücken dxuyyy ^«i», y» ixß^xy &*, ar, ^*ASa, y, <?•*«, y,
^x/9y X» '*'&)«) ^ s. w. kein einziger zu Null wird; so wird der
Gränzengleicnung nur gendgt, wenn die vier Gleichungen

stattfinden. Dabei reducirt sieb Gleichung XII. auf

XIV. d'U^y^iifi ' <»«')-.*- in - <^«')«. yl . ««y

■+y7:v.(^*'+s..^+8.*.)-

64

Da nun, wie schon bemerkt, sich immer der irgend einem 6x est-
sprechende wahre Werth des d^ tJ ergibt, es mögen die Funktionen
ctf und 17 sein was sie wollen, wenn sie nur in solcher Beziehung
zusammen stehen', dass Gleichung X. erfallt wird; so kann- mAii
anf folgende Weise den Zeichenstand des i^U kennen lernen:
Hat man sich einmal unter dem willkührlieh<n S% irgend eitte
Funktion von ;r und y gedacht, so kann man für co noch eine
solche Funktion des einzigen jo nehmen, dass die identische Glei-
chung

XV. (W.*Ä»)^,:r — (W. JÄ»)3,ar = 0

Stattfindet, was am einfachsten dadurch erreicht wird, dass man
gradezu (e;i>=:0 setzt. ^ Dabei ist dann auch -^ = 0, und Glei-
chung X. reducirt sich auf

' dp.dq* d%.dg'^d%.dp ^^ dp^ ' V« ^dif

• ^tjL (d^dpV .^

Diese' Gleichung, aus welcher to ganz weggefallen ist, enthält
den. einzigen partiellen Dläerentialquoti^nten ^; man bekömmt

also, wenn man integrirt, Tiir 97 einen aus or, y, isy gebildeten
Ausdruck, wo ny eine durchaus willkilhrliche Funktion Ton y ist;
Aber eben diese in 17 enthaltene will kührliche Funktion, Trykeiin
man nach der bald so, bald so beliebig genommenen Funktion i%
von a: un4 ^ auch jedesmal bald so, bald so einrichten, dass die
identisch^ Gleichung

' <

stattfindet. Wegen Gleichung XV. .und XVII. reducirt sich aber
XiV. auf XIII.

Dritter Fall. Wenn zT^ischen i%a^ v und i%a. «/^ wenn ebenso

c^Xb^x eine AbnangigReit statt. J»1an eMminire o«a, y, o'jSa, y,
d!s^, iund S*%h^ x^ so werden dabei die zu d^Xetyv ^nd o*%g,,x ge*
hörigen Koefficienten zu Null; und Gleichung XII. geht über in
folgende Form: . ' .

-f. ffi . {(u)h^ X + (ft>),8, x\ . <^**y8, X . da:

f-

65

Man denke lieh nun unter o» eine solche Fonktion der eintigen
WerttoderlicbeD x^ dass die ideotiiche Gleichung

XIX. (> + ft . ttlar + ft>x = 0

stettfindet, Debei reducirt sich Gleichung X. auf

_ d..d.jy dzd^F i^P^ _

~ ^ ' dp'.dii • 'rfa .dq'^^^' ^dz.dp ^\

dp^ -Vs.i/y ' ^/' '^dx.dp ^> •

Kiese Gleichung, in welche die für oi genommene Funktion als be-
^«its eingefiibrt gedacht wird , enthält nur den einzigen partiellen

9)ifferentialquotienten -^; man bekommt also, wenn man integrirt,

^r fi einen aus o:, y, ny gebildeten Ausdruck, wo ny eine durch-
•«os willkürliche Funktion von y ist. Aber eben diese in rj entbal-
^ene willkürliche Funktion ny kann man noch so benutzen , dass
^ie identische Gleichung

XX. 8-H®.(i?)a.y + (i7).^y = 0

I

«tattfindet. Wegen Gleichung XIX und XX. reducirt sich XVIII.
«nf die Form Xllf. Und so fort

Ans allem Vorhergehenden folgt, dass der Zeichenstand des

^I/yoü A und Ay abhängig ist, d.h. wenn man dem y olle ste*

tig nebeneinander liegenden Werthe von b bis /9 beilegt, und bei

Jedem einzelnen dieser Werthe des y auch dem a: alle stetig neben

einander liegenden Werthe von a bis a beilegt, und dabei

1) jeder der Quotienten -^^ und -^^j- sowie auch der Aus-

<i"clt l-^ X -^ — (^^)=1 beständig positiv bleiben, so ist
ancb i^ Ü positiv ; wenn aber dabei

2) jeder der Quotienten -^^ und -j^^ negativ , dagegen der

Ausdruck [^X ^^-(|^M PO"«v bleibt, so Ist 6-U ne-

gttiv.

Dabei beachte man noch: wenn der Ausdruck

^dp^ ^ dq^ ^dp.dq' ^

^i einigen oder bei nllen von a l^is a und von b bis ß liegenden
Berthen des ae und de» y zu Null wird, 80 bt^liält vorsföhrnde
K^gel immer noch ihre Gilii^keit; sie verliert aber ihre Gitügiicity
■obild einer der Quotienten

d^%F dtdfV M^V d^£ dpdjF d^^
"aS?"» d».i^' dx.dq' dp** dp.%* 'Sg*
IT. . 5

)m '■1'^^ ciDCB Wcrtibe des Jt oad des f die im Kalk«! misDlSt^ ...
iige Form i aBniauat. ' ^

la dcai speciellaa Falle, wo V eia aar mit or, y, a, ^ ge* -»^

bildetcr Aosdrock ist, and man far % eine solche Fnoktion voo jc
aad y sacht, dass dahei das bestimmte Integral, wo 6 und ß keine
Faaktionen Toa j: sind,

XXI. L=y2/*^F. dy . ite

eia Grossfes oder Kleinstes wird, redncirt sich die Hanptgleichan
II. anf

™»- ?--^ = ^
aad die Granzengleichnng III. redncirt sich anf

Gleiehnng IV. redncirt sich auf
XXIV. J» c=/^\!^)ti, , . J»»A , - (^)*, , . 6'xi. ,1 . <&p

Diesem Aasdrocke kann mao die Fonn geben

- (^ • •^* -*-•••*»•)*. »1 • ^f

uad zur Bestimmung yon o» hat aian folgende PartialdiSmatiai-
gleicbnag Att ersten Ordnung

Durch Integ^tion dieser Gleichung bekommt maa fÖr oi einen aai
^, y^njc gebildeten Ausdruck, wo na: eine ganz willkürliche
Funktion Ton a: ist, die noch dazu benutzt werden kann, dan
sich Gleichung XXV. zurückzieht auf

und man erkennt, dass es jetzt nur auf A^ d. b. nur anf den Qalh
tienten -^ ankommt, ob d* 17 positiv oder negativ ist.

f

67

lit aber der Cxang diesei Verfabreag einmal recht aofgefasit,
mo kann es gradezu auch auf zuianmengeietstere Fälle aasgedehnt
^mrerdea; was hier nicht mehr ausgeführt zu werden braucht, soo-
cJern es mag genügen, einige Resultate herzdsetseo.

Ist nemlich V ein au8 den Elementen a:, y^ «, 2^,

^' 3^' rff^' iß gebildeter Ausdruck, und sucht

■Bau für % eine solche Funktion von jc und y^ dass dabei
^as bestimmte Integral

f

«in Gröastes oder Kleinstes wird; so setze man zur Abkttr-

dx^ dyX d^x% dxdyZ

^ong p statt ^, ^ statt -^^ r statt -^y s statt ^j^, und /

«tatt "j^' Dann hnt man nur die Bedingungen aufzusuchen, unter
«denen der Ausdruck

dr* '^dx^^ '^^'dr.ds' dx^ ^ dx .dy'^ dr.dt' dx^ ' dy^
"^ ds^ '^dx.dy' '^^'ds.dt* dx.dy' dy* "^ dt^ '^ dy^ '

•

beständig positiv oder negativ bleibt, während man dem y alle ste-
tig nebeneinander liegenden Werthe von d bis ß beilegt, und bei
Jedem einzelnen dieser Werthe des y auch dem a: alle stetig
nebeneinander liegenden Werthe von a bis a beilegt.
. Wenn aber bei allen diesen Werthen des a: und des y der

d^iF
Quotient "jt^ zu Null wird; so kann nur dann ein Grösstes oder

Kleinstes stattfinden, wenn auch die beiden Quotienten . .^ und

drdtF
. ^ bei allen diesen Werthen des jp und des y zu Null werden,

lad man hat jetzt den Ausdruck

d*rF ji^x^^^ CT drdgF d^xdx dxdydt ^j^d^iF ,dxdy&x.^
dr* •'^ite»^ '^^' dr.d9' dx* ' dx.dy "** Ä» '^dx.dy'

iB Untersuchen.

w . WT ' I rii < »!rS dk/S dteSi

Ist r ein aus den Elementen ar, y, f«r, «, ^, ^, ^;-

sasamm^ngesetzter Ausdruck, und sucht man für s eine
Solche Funktion von .r, y, fe^, dass dabei das bestimmte
integral

l/=/*r^f^ F da^.dy.dw

^i n Grösstes oder Kleinstes wird; so setze man tur Abkttr-
^aag ;i statt j^, 7 statt ^, und r statt ^. Dann bat man niir
^i^iBaüngiingeD aufmauchen, unter denen der Ausdruck

68

' "*" 'dp, dg' da: ' dtj 'dp.dr' dy * 4m

"*" £/y» " ^ rfy ' '^^^ dq.dr* dij ' dw "*" i//-' ' ^ rfor ^

beständis: positiv oder negativ bleibt, während man dem w all
stetig nebeneinander liegenden Werthe von c bis y beilegt , nn
bei jedem einzelnen dieser Wertbe des w auch dem y alle stetig
nebeneinander liegenden Wertbe von b bis ^ beilegt, and bei je-
dem einzelnen dieser Werthe dos w und des y auch dem df air
stetig nebeneinander liegenden Werthe von a bis a beilegt.

V.

lieber die Messkette und deren Berichtigung^^-

•Von dem
Herrn Regienings-Conducteur G. Berlin

zu Greifswald.

Die meisten Fehler, welche bei der Messang eiaer gendea
Linie mit der Messkette entstehen, rühren hauptsächlich vod der
AusdchnunfT der Kette, veranlasst durch Dehnbarkeit dei daia yer-
wendeten Kisendrathes und durch Ausschleifeo der Ringe ker.
Mau ist daher genöthigt, dieselbe öfter zu berichtigen, was bei der

fewöbnlichen Einrichtung der Messketten nur dadurch geuheheB
ann, dass die einzelnen Glieder der Kette durch Nachbiegong der
Haken \riederuni verkürzt ^verden, wodurch aber nicht alleiD der
Drath spröde und hart wird, so duss ein Zerreissen der Kette ii
befürchten steht, sondern auch die Berichtigung nicht mit der Pri-
cision ausgeführt werden kann, wie es wohl erforderlich ist. Oft
ist es auch dem praktischen Geometer fast unmöglich, eine Berick*
tigung der Kette, wenn Feuerarbeiten dazu erforderlich sind, T^r^
zunehmen, da diese bei seinen praktischen Arbeiten ihn nicht nnr
längere Zeit abhalten, sondern auch nicht aller Orten eine Schmiede
ist und selbst auch vielen Geometeru die manuelle Fertigkeit nk-
gehen dürfte, die erforderlich ist, um selbst eine solcke BttriAti-
gung vornehmen zu können.

Bei Richtigkeit der Messkette kommt es vorauglick dnmaf •■•
dau, wenn aurb nicht die einzelnen Zehntheile der Rntke -^ -~

JVmm halten, deouocli «lie üurcL Wirbel abgetbeillen -r« K«uau die
Ubin^ einer balben Ruthe haben, indem der kleine dadurch bei
^n einielnen Füssen entstehende Fehler höchstens rlv ^^^ Ruthe
lietragen wird, welchen nach den üblichen Miiassstäben verjüngt
4iusiadrücken bei ökououiischcu Aufnahmen nicht möglich iKt. ht
«ine grössere Genauigkeit, namentlich eine solche, die sich auf
Hunderttbeile der Rutbc bezieht, erforderlich, so wird diese durch
Anlegung eines Maassstubes, den jeder t>cometer bei sich zu füh-
ren hat, zu erlangen sein.

Bei meinen vielfachen praktischen Messungen habe ich fast im-
aier erfahren, dass selbst bei der geuauesten Berichtigung eine Ver-
lUiderung der Kette nach einem nur täglichen Gebrauche sich ge-
zeigt hat; und man würde daher genöthigt sein, auch eben so oft
^ie Berichtigung vorzunehmen, wodurch dann die Kette an Solidi-
tät Terlieren würde, wenn man es nicht vorzieht, die mit der fal-
aeben Kette gemessenen Längen auf die richtigen zu reducircn,
was aber um so eher zu Irrthumern führen kann, da nicht allein
4ler Fehler kein beständiger ist, sondern auch der Messungen na-
mentlich hei der Boussolenaufnahme so viele sind, dass selbst beim
liesten Willen, wenn man auch den dadurch erforderten Zeitauf-
wand nicht berücksichtigt, Irrungen berbeigeführt werden.

leb habe mich daher einer Kette bedient, deren Berichtigung
unmittelbar durch 'Nachschraubung bewirkt wird, und glaube die

fetroffenextlinricbtung als wesentliche Verbesserung empfehlen zu
önnen.

Man nehme zur Messkette nur englischen Drath von 2'" bis
1^1"' Par. Maass Stärke; nur dieser giebt bei gehöriger Weicliheit
des Metalles die gehörige Stärke, die das Anspannen der Kette
erfordert Die durch die Starke von 2"' bis 2J"' Par. Maass her-
beigeführte grössere Schwere der Kette kann in Bezug auf die
grössere Richtigkeit nicht in Betracht gezoy:cu werden.

Geivöbnlicb sind die Ringe zur Verbindung einzelner Ketten-
glieder von gegossenem Messing, die der eigenthümlichen Sprödig-
keit des Metalles wegen beim Schlagen der Kette leicht zersprin-
gen, weshalb ich es vorgezogen habe, Kinge von geschweisstem
Eiaen anznwenden.

Die Einrichtung der die Ruthen bezeichnenden Wirbel, wo-
durch die Correction der Kette möglich gemacht wird, ist folgende.

Der Wirbel ist durch 3 Balken (Taf. I. Fig. 4.) a, d, c in A

gleiche Theile getheilt; der mittlere 6 ist nur zur grösseren llalt-
arkeit und zur Bezeichnung der Ruthen da; die Balken a und c
iQwie die Kndbalken // und e haben ovale Scheiben (y*, /^), die im
Mittelpunkte jede mit einem Loche versehen sind, und zwar hei a
ind e rund {g) und bei ä und e quadratisch {/t). Zu diesen
Löchern paast genau eine Eisenstange t, die zur Hälfte eine
Schraube, sur andern Hälfte viereckig ist, und sich fleissig in der
quadratischen OeiTnung A hin- und herbewegen lässt. Zur Fest-
Teilung dieser Stange dient die Mutter A*, zu deren Nicbtver-
Hiekong wiederum die Gegenmutter i angebracht ist. Mit Hülfe
dicaer Stange lässt sich leicht durch respectives Anziehen und i^ö-
•en der Muttern Xr und i die Correction der Kette bewirken.

Die Wirbelbewegung wird durch den Wirbel m erreicht, der
Wie nwÖhnlich durch einen Ring mit den Kettengliedern verbun-
den lit«' Dem Mechaniker dürfte es schwer werden, des gering«*^

70

reo Raumes wegen die Stange i mit dem Wirbel m so veroieten;
eine Schraubenmutter, die um das Aufdrehen zu verhüten, nockma
vernieten ist, wird sweckmässiffer sein.

Die Einrichtung der die halben Rutben bildenden Wirbel ist
in Bezug auf die Gorrections- Einrichtung dieselbe wie die der
ganzen, nur wird es der Unterscheidung wegen zweckmässiger
sein, die Dimensionen etwas kleiner zu machen- und den Mittelbal-
ken 6 fehlen zu lassen, wogegen zur Bezeichnung der Länge die
Spitzen a a^ (Taf. I. Fig. 5.) anzubringen sind.
^ Bei den Endringen der Kette kann diese Corrections-Eiorrich-
tung fehlen, da nicht nur die Ausdehnung der Kette. in der Mitte
sich am stärksten zeig^, sondern auch die grössere Wirbelbewe»
gung bei den Enden eine einfachere Einrichtung erfordert.

Gewöhnlich sind die Kettenstäbe unten mit einem etwa zwei
Zoll langen Stachel versehen, der höchstens eine , Stärke von
4'" Par« Maass hat. Bei dieser Einrichtung zeigt sich der Ucbal*
stand, dass des geringeren Widerstandes wegen bei gehöriger An«
Spannung der Kette namentlich in weichem Boden dieselbe fort-
geschleppt wird.

Eine konische Spitze (Taf. I. Fig. 6.) wird vorzuziehen sei«,
da diese nicht allein mehr Widerstand gewährt, sondern auch der
Einwand, dass die Stachcispitze genauer deil Endpunkt der Ketten-
länge bezeichne, dadurch widerlegt wird, dass beide konische
Spitzen gleiche Dimensionen haben und daher genau zu den ge-
machten Oeffnungen passen. •. •<

Bei der Praxis habe ich erfahren, dass die Onge der Ketten-
stäbe von 5 FusS für den Kettenzieher höchst' unpraktisch ist, ein
kihrzierer Stab von etwa Z^ Fuss ist demselben handlicher, um so
mehr er zvtm Eindrucken in den Boden mit der rechten Hand naeli
oben zu rücken bat, und bei der Länge von 5 Fuss das Ende des
Stabes ohne Anstrengung, indem die linke Hand zum Festhaltoa
der Kette unten bleiben moss, nicht erreichen bann, 'was eine un-
gleiche Kettenziehnng herbeiführen würde. Die Länge von 5 Fun
dient ja nur dazu, um die Kettenstäbe besser einrichten zu kön-
nen, aber ein geübtes Auge wird ebenso richtig einen kürzeren
* Stab wie einen längeren einrichten. Der Stab des Kettenführers
mnsfi aber des besseren Einricbtens wegen die übliche Läng0 haben.

Die bei den Messungen anzuwendenden Zeichenstäbe sind ffe-
wöhnlich von Holz und werden in^ einem ledernen Köcher aufbe-
wahrt; wie leicht aber ist es nicht möglich, dass eins beim Nieder-
bücken oder beim schnellen Messen verloren' gehe, auch ist der
Köcher der freien Bewegung der Hände etwas hinderlich. Mit
mehr Nutzen habe ich dsmer eiserne Zeichenstäbe angewandt, die
an ihren oberen Enden umgebogen sind und auf einen Federfaaken
(Taf. I. Fig. 7.^ aufgehängt werden, der wiederum ebenfalls durch
eine Feder gesichert auf einen Ring gehängt wird. Dieser Ring
ist an einem Riemen befestigt , der um den Leib geschnallt wird.
Hierdurch ist nicht nur bei gehöriger Kraft des Federhakens ein
Verlieren unmöglich, sondern auch werden beide, der Kettenzieher
sowie der Kettenführer, den Gebrauch ihrer Hände frei haben, was
um so nothwendiger ist, da der Geometer als Kettenführer sein
Manual zu führen hat.

Ob diese Verbesserungen der Kette schon angewandt sind, ist

71

mit aDbekaant, wenigstens ist mir in keinem Lehrbucbe der prek-
tiseben Geometrie darüber etwas vorgekornrnsn und glaube ico sie
deshalb durch Verö£fentlicbung gemeinnützig machen zu müssen.

VI.

üebiir emige bestimmte Integrale, deren Werthe
durch doppelte Integration gefunden werden.

!• Von

Herrn Doctor O. Schlönülch

zu Weimar.

• .

Id einein Doppelintegrale zwischen bestimmten Gränzen ist es
^kainntlich gleichgültig, in welcher Ordnung die angedeuteten In-
tegratioiien ausgetuhrt werden; oder, wenn/(tf, or) eine beliebige
Funktion zweier Ton einander unabhängigen Veränderlichen ü, äi
bedeutet und a und b die Gränzwerthe für w^ a und ß die für ü

bezeifshnen, so hat man

> ' *

' Dieser Sat^ wird dadurch eine reiche Quelle bestimmter Integrale,
dass es in vielen Fällen möglich ist, bei der einen Integrationsord*
nung ein Integral, bei der anderen beide Integrationen auszufüh*
ren, tvpdureh man unmittelbar zu dem Werthe eines bestimmten
Integrales gelangt

Wir wollen hier einige Entwickelungen dieser Art mittheilen.
Es ist bekanntlich

^^j^ =4- Arctan f , folglich y^'^^j^ =g.

jiv.:* ■ ' ^' ;■■■ .
Ferner hat man

oder nach dem Vorigen

72 ^ ~

I

2L ^ ri _ -L\ IL \L •^-"^

d.i.

Auf dieses Intefi^ral iässt sieb das oben ausgesprocbeae Prinzip, in
versebiedencr Weise anwenden.

Man muUiplizire erstlicb die Gleicbung mit 2md9i und iote-
grire nacb ts zwischen denGränzen <#=:a, ##±=0, so ist

da: ya du

t/o ^ ^Jo (1 -f- *») (w» -f- ar») ~ ^•/ 0 T

Die Knke Seite* gebt durch Umkehmiig rder luijegrattoB in.-fDlgvm
den Au^drack über: . .

• ^" ■■'■■• '■ ■ J ■ • -^'

y'^ dx Pa 2u du f » dx ,»- , . «i #/ «xi

Die rechte Seite jener Gleicbung ist =:7r/(l + a)y mithio

Mftn kann dieses Integral noch unter anderen Formen darstellen«
Setzt man näinlicb ^2? = »«, wo « eine neue Veränderliche ist» so
wird dasaelbe: •

•/o 1^«»«» ^*^ + 5^' — l • ^^^•

Nimmt man dagegen o? == -~, - so wird «^ = — -^, und wenn

o? = 00, ^ ==s 0 geworden ist , bat % die Werthe 0 und oo ange^.
nommen; daher ist das Integral

mithin auch

■*• i ■

Man multiplizire ferner die Gleichung (1) mit^if und integrire naiA
i^ zwischen den Gränzen <# = oo, <#=:«, so ist:

% f*^, /*• dx n^ /** du

Ja Ja (1-+-^») {u*^x^) 2 J tx ««(«-f-iy

Die linke Seite wird durch ümkebmng der Integrationsordnueg '

N

\

73

ist aber bekaoutlich für jedes v

ider

Arctan r-|->Arctan -— sArctaa qo

ArctaD — s= Arctan oo — Arctan »

V

«iid daher gestaltet sich jenes Integral für r=s ^ folgenderoasien :

y*» fite 1 4 <, *
, ■ _a • "T Arctan — .

^■f der rechten Seite ist

mithin

^Ir liabeB daher

T-- — ; . -- Arctan — = -5- /(l -f- — )

•der wean wir überhaupt a für — schreiben:

y'»» ifa: Arct«n aar '»#/«. v /«v
oTT^— 5 =tAI + «). (5).

Vfir ^ = — gestaltet sich die Gleichung folgen dermaiseu :

y*f d» Arcun % ^^ »^ /(l-|-g) .-^

Acif die gefundenen Integrale llsst sich die bisherii^e Methode selbst
Wieder anwenden. Man multlplizire nämlich die Gleichung (3), in
Welcher a=:ff gesetzt wird, mit 2mdu und integrire nach u iwi-
*cken den Gränzen uzsza^ «=.0, so kommt:

^e linke- Seite ist auch

74

Die rechte Seite Mrat aeli nach 4cr Fomei

leicht näher bestimaen. Man findet

y^"/(l +t»)Ä= (1 -*- •) MI +•)-!!- \l\ _ IJ

. =(l-l-«)41 -!.•)_. «
Folglich haben wir:

Für « = -T-9 a = -^ erffiebt sieb hieraos

HaD setze auch in Formel (6).tt = «, anltipllzire ait db ond ia
tegrire zwischen den Gränzen ff = oo, «sa, so komart

t/a t/o «*-!-«* » 2t/a tl^ •

Die linke Seite lässt sich auch so schreiben: '

— Arctan % / -r •

= y ^ T Arctan x . — [Arctan oo — Aretao ^

Arctan » . Arctan — . -r.
0 a %* .

Fnr die rechte Seite haben wir nach einer bekannten Eedaetioas-
fonncl

^ - ■•* '

f# y «(l-f-w)

Naeh den ^ewöhplicben Regeln, wodurch man die Wertbo aal
■tiauat scbemender Brüche bestimmt, findet man

/(I + b) a «• ^

— ;f--^ = 0 nir »=100,

lolglicb

•<

j

75

^ir babea daher:

/-Arctaa I- Arctao ».g =f [^^^+^1 + 1)}. .

fir x = -t-, « = -T- erffiebt sich hieraos
p P

Tür a = /f = 1 bat man z. B.

Ei wfirde nicht leicht sein, dieses rein nnmerische Integral« dessen
Werth sich hier sehr nngezwnngen ergiebt, für sich allein sii he*
handeln. Man sieht daraus^ dass es in der TheoHe bestimmter In-
tegrale wesentlich daraaf ankommt, den in Rede stehenden Inte-
gralen möglichst viele, von einander unabhängige und beliebige
umstanten zu verschaffen, deren Variation neue Formen hervor«
hringt, welche oft leichter zu behandeln sind.

vn.

Elementare Bestimmung des Sehwerpmikts des

sphäriischen Dreiecks.

INach zwei Aufsätzen der Herren Giulio und Besge in

dem Joamai de Mathematiques pures et appliquees,

publi^ par J. Liouville frei bearbeitet

i von

dem Herausgeber.

I.

In dem genannten Journal T. VII. p. 59. hat Herr Ferript,
Rectenr honoraire de TAcaddmie de GrenoUe^ eine gani elemen-

76

tare BestimmuDg des Schwerpunkts des sphärischen Dreiecks su
ffebeii versucht, welche jedoch nach unserer Ueberzeugung als völ-
lig verunglückt zu betri^chten ist. Auf das Uugenügende dieser
«von Ferriot angewandten Methode hat in demseiDeB jonraaf
T. VII. p. 516. zuerst Herr Besjo^e aufmerksam ffemacht, und zu-
ffleich heoierkt, dass T. IV. p. 386. H^rr G i u 1 1 o , . Professeur a
rUniversit^ de Turiq, die Bestimmung des Schwerpunkts des sphä-
rischen Dreiecks auf einem von ihm mit Hülfe der Integralrech-
nung bewiesenen Satz gegründet habe,. dass sicli.aber dieser Sat;s
auch sehr leicht und einfach bloss mitfeist ganz elementarer Hülft-
mittel beweisen lasse, und dass auf diese Weise mit Beihehaltiii^
der übrigen von Herrn Giulio angewandten Betrachtungen:^ ein%
völlig elementare Bestimmung des Schwerpunkts des sphärischen
Dreiecks gewonnen werden könne. Diese nach unserer Ansieht
die Beachtung der Lehrer der .Mathematik recht sehr verdienenden
Untersuchungen der Herren Giulio und Besge auf ganz elemen-
tare Weise darzustellen, ist der Zweck des vorliegenden Aufsatzes,
wobei wir übrigens nicht unterlassen wollen zu bemerken, dass die
erwählte Abhandlung des Herrn Giulio noch mehrere andere sehr
bemerkeuawertbe und ziemlich allgemeine Sätze enthält.

\ ' I

. -IL. ■ .' ■ ■ '•■

' - ■ • ■ » i| _.

Man. denke sich ein unendHek kleines Element ^«eiver mil
dem Qalbmesser r beschriebenen Kug^lfläche, und die Gbene eine^
grössten Kreises der entsprechenden Kugel, welche wir im^ Fol-
genden die Momentenebene nennen wollen. * '

Die Entfernung des Elements ■£, von der Momentebene sei ^,
so ist JE^ das Moment des Elements JE in Bezug, auf die ange-
nommene Momentenebene. Bezeichnet aber t den Neigungswinkel
der durch das Element JE. gelegten Berührungsebene der Kugel
gegen die Momentenebene , so erhellet leicht, dass ^ = r cos t,
und folglich das Moment

."f.

>. I»l

E^z=zE!r cos i

ist. Nun ist aber nach einem sehr bekannten Satze i? cos i der
Flächeninhalt JE der Projectiön de^ Efeinebts E auf der Momen-
tenebene; also ist. das Moment

EqzsiBr.

Ist jetzt E ein beliebiges ganz auf einer Seite der Momenten-
ebene liegendes Stuck der iCugelfläche, so ,denke man sich dasselbe
in unendlich viele unendlich kleine Elemente-

ü», XC^i, /&2, ZSr,, f&y,

zerleg^, deren Projectionen auf der Momeotenebene respective

E, E\,.E^, E,,.,,,\En^

und deren Entfernungen von der Momentenebene respective

* . •

77

sfiB ntfgeD; so «ind nach dem Vorbergehendeo

Er, E,r, ß^r, E ^r, EnT

<Jie Momente dieser Elemente in Bezug auf die angenommene Mo-
«neoteneb.ene, uod es ist also nach den bekannten Lehren der Sta-
tik, wenn Q, die Entfernung des Schwerpunkts des sphärischen
Vlächenstiicks F von der Momentenebene bezeichnet,

P(iz=^Er'\-E^r'\^E^r^E^r'\- -^-EnT,

«Iso

Seteiehnet aber jetzt F die Projeetion des sphärischen Flächen-
atSeka P auf der Momentenebene, so ist offenbar

/"=r£;'-f-iP. + £J', + £J', -h + ^«,

ond folglich nach dem Vorhergehenden

FQ:=iF'r

oder

F : Fz=:r : fe,

woraus sich ein leicht in Worten auszusprechender Satz ergiebt.

Absichtlich haben wir bei dem Beweise dieses Satzes die obige
gafla' einfache 'Darstellung gewählt, bemerken aber, dass sich die-
selbe auch leicht durch eine Ci ranzen betrach tu ng zu grösserer
Strenge erheben lassen würde.

Ton diesem Satze kann nun die folgende Anwendung auf die
Bestimmung des Schwerpunkts eines sphärischen Dreiecks g^marbt
werden, wobei wir wie gewöhnlich in der sphärischen Trigonome-
trie annehmen, dass keine Seite und kein Winkel dieses sphäri-
sehen Dreiecks grösser als 180® ist.

Den Mittelpunkt der mit dem Halbmesser r beschriebenen Ku-
gel wollen wir im Folgenden durch 0 bezeichnen. Ein auf deren
Oberfläche liegendes sphärisches Dreieck sei ABC, Die Winkel
dieses sphärischen Dreiecks werden wie gewöhnlich durch A, B,
C, und deren Gegenseiten durch a, ^, c bezeichnet. Sein Flächen-
inhalt sei 2\« und Aa» A^) A« seien die Flächenräume seiner Pro-
jectionen auf den Ebenen der Seiten ly, ^, c, d. i. auf den Ebenen
der Winkel BOC, AOC, AGB. Sind nun X«, X^, Xc die Ent-
fernungen des Schwerpunkts dieses sphärischen Dreiecks von den
Ebenen der Seiten n, ^, r, d. i. von den Ebenen der Winkel
BOC^ AOCy AOB\ so haben wir nach dem in II. bewiesenen
allgemeinen Satze die drei folgenden Gleichungen:

76

tare Bestimmung des Schwerpunkts des sphärischen
ff eben versucht, welche jedoch nach unserer Ueberzeugung als v>
Hg verunglückt zu betrachten ist. Auf das Ungenügende dies
«von Ferriot angewandten Methode hat in demseiDeB JMrr
T. VII. p. 516. zuerst Herr Besffe aufmerksam gemacht, aad wm
ffleich bemerkt, dass T. IV. p. 386. H^rr Giulio, ProfeijMM
rUniversit^ de Turiq, die Bestimmung des Schwerpunkts di« a^ik»
rischen Dreiecks auf einem von ihm mit Hülfe der IntegralrMi
nung bewiesenen Satz gegründet habe, dass sich aber diensr.-^i
auch sehr leicht und einfach bloss mitfeist ganz elementarer Hill
mittel beweisen lasse, und dass auf diese Weise mit Beibeha|l3ii
der übrigen von Herrn Giulio angewandten BeträchtunMn/.ei.
völlig elementare Bestimmung des Schwerpunkts des spnärlscli<
Dreiecks gewonnen werden könne. Diese nach unserer Af^iMii
die Beachtung der Lehrer der .Mathematik recht sehr verdiebeW'
Untersuchungen der Herren Giulio und Besge auf ganz elMvrih
tare Weise darzustellen, ist der Zweck des vorliegenden AafsafAi
wobei wir übrigens nicht unterlassen wollen zu bemerken, daw di'
erwähnte Abhandlung des Herrn Giulio noch mehrere andere.^rin
benerkeiiawerthe und ziemlich allgemeine Sätze enthält. .ni

n.

1%

Man. denke sich ein uneudlieh Meines Element ^eiaer m^i
dem Halbmesser r beschriebenen Kugelfläebe, und die Ebene ^ijiiß*
grössten Kreises der entsprechenden Kugel, welche wir im^ 'Fol-
genden die Momentenebene nennen wollen. ' « ,

Die Entfernung des Elements £! von der Momentebene sei
so ist JE^ das Moment des Elements JE in Bezug, auf die ani
nommene Momentenebene. Bezeichnet aber i den Neigungswial
der durch das Element ß gelegten Berührungsebene' der Kai
gegen die Momentenebene, so erbellet leicht, dass ^ = r cot JL
und folglich das Moment '

ß^z=:JEr cos «

ist. Nun ist aber nach einem sehr bekannten ^atze E cos • im
Flächeninhalt JE der Projection des Elements E auf der Momea^
tenebene: also ist das Moment ,.

EqzsiEr. . . :

Ist jetzt F ein beliebiffes ganz auf einer Seite der MomeDtea-
ebene liegendes Stück der iCugelfläche, so .denke man sich dasselbe
in unendlich viele unendlich kleine Elemente

V^ JC^ K* JET* V^

Xi», X^i, /&2, ZSr,, e^n

zerleg^, deren Projectionen auf der Momentenebene respective

E, E\,.E^, E,,,,,..EnS
und deren Entfernungen von der Momentenebene respective

9^1 ^^15 ^»J ^»J ^H •'«

79

wt; 10 ist Bach 1), 3) und 4):

Y , g — b cos C— c cos B

w\ I 'mr , b C COS A g COS C

e — a cos B — b cos A
A^B^C—\m •

JLc — 1^ .

'^vodordi nnn offenbar die Lage des Schwerpankti dei sphärischen
K3reiecks Tollkommen bestimmt ist.

IV.

Wir wollen jetzt den Mittelpnnkt 0 der Kngel als den An-
'aog^ «IBM reebtwinkliffen Coordinatensjstems der orys, die Ebene
'«^es Sectors AGB als bbene der ory, und den Halbmesser OA als
en positiven Theii der Axe der ae annehmen. Der positive Thei!
er Axe der y soll auf derselben Seite der Axe der a: liegen , auf
reicher der Punkt B liegt, und der positive Theii der Axe der %
oll auf derselben Seite der Ebene der opy liegen, auf welcher der
nnkt^ C liegt.

Dies vorausgesetzt ist nun zuvörderst offenbar, wenn ^, ^, %
ie Coordinaten des Schwerpunkts* des sphärischen Dreiecks in Be-
^eufi^ auf das angenommene System beieichnen,

^Iso BBCh 5)

_ I g — a cos B — b cos A

S)eiikt van sich aber von dem Schwerpunkte des sphärischen Drei

ks auf die Axe' der o? ein Perpendikel gefällt, bezeichnet dieses
Perpendikel durch q^ und den von demselben mit der Ebene der
<«cry eingeschlossenen, nach der Seite von B hin liegenden, 180®
bliebt pCersteigenden Winkel durch 9; so erhellet mitteist einer
Q^nx einfiichen geometrischen Betrachtung, dass in völliger Allge-

einheit

JC^zs^ sin (^ — 9)), Xc = ^ sin 9

msnd

«t. Also ist

«»der

Xc = y taug 9

Xh __ sin {A — 9)
JCc sin 9

Y- = sin ^ cot 9 — cos A^

Xh

^>i folglich Bach dem Vorhergehenden, wenn man nämlich in die«
Mr fileiehiiBg

89

*•» 9=-t;

Xi = y m ji — Xe cos A^

Xe CO« JJ

^ — sio ^

Fikrt asa mib fiir X^ aad Jl« ihre aas 5) beksaatm WerÜM

r i sin 2#* — #(co« C-^co« i# cos ^

y — 2sin^" ^ + /r+C— 180

h bdumtea P^hmIb der spkiriadMB Trig^B^a«

cos C-i-cos A cos S

COS C+COS ^ cos ^ . n

;r— 3 =cos c sui Jy. .

sm iff

^ sm ^ — M ros £ sm ^

3f = 4r

C— !»•

MsB Bckae jetzt ^ als ilea AB&Bff eines nenea rechtwii
frrm CoordinateBSiFsteB» der jp ^ x' an^ Die Ebene des See
JOB sei wieder die Ebene der ^y, ^nd der Halbmesser OB
der positive Tb«l der Axe der or'. Der positire Tbeil der
der y werde sa an^aoBaen, dass er ait de« Pankte A i
aaf ei aar Seite der Axe der js^ Hegt, aad der padtire Tbeil
Axe der %' liege aaf derselbea Seite der Ebeae der jr^, aaf ^
cber der Paakt C liegt; so ist, wean ^, y, V die OiaHiB
dca Sckwetfwakts des spbariscbea Dreiecks ABC ia dieses
steaa siad, aack des Torkergekeadea oiieakar

, , m sin B — d cf^ c mm M

~"^ — ^' ^-♦./T-t-C— 180 •

. , k cos c sin if — ^ sin ^

Kack der Lebre Toa der Verwaadlaag der Caordiaaica ist ab<
Talligcr Allgeseiabeit

jcz^jg* cos e— »y sia €^
3f=jr^ sia e + y cas e;

ia%li^ warn aas j^ eliaturt.

8J

y cos c — sc siD c = y',

also

y cos c — y'

%c ^-^^ • •

sin c

Fährt maD nun in diese Gleichung die aus dem Obigen bekannten
Wertbe von y und ^ ein, so erbält man ohne Schwierigkeit

0 sin f sin B

•^H-ff-x-C— 180*

Bpd bat also nun iiberbaupt die folgenden Ausdrücke für die Coor-
diaaten or, y, « des Scjkwerpunkts des sphärischen Dreiecks ABC
in dem ersten der beiden oben angenommenen Systea^:

o?

6)(y=

Im

0 sin e sin ^

h sin A — a cos f sin i?

ir .

^H-ff + C— 180 '
f — a cos ^ — ^ cos A

Aus der ersten dieser drei Gleichungen ergiebt sich aucb, dass,
wenn wir die Entfernungen des Schwerpunkts des^ sphärischen
Dreiecks ABC yon' den Ebenen der drei auf den Halbmesser OA^
OB^ OC senkrecht stehenden grössten Kreise durch X^, Xb^ X.c
b«ieiehnen, und diese Entfernungen immer von 0 aus auf den
Hiebtangen der Halbmesier -^^j OB, OC selbst abschneiden,
jederzeit

Y , g sin A sin C , a sin c sin i?

B-^C^l^ — ^ ' A-^B-hC—iW

*jx I mr ^^_ , A sin c sin A ^ b sin g sin C

'M ^~*''' ^-+-Ä + C'— 180"^** • ^H-^ + C— 180'
Y , c sin g sin B ^ c sin ^ sin i^

ut. ^

Zu diesen drei letzten Formeln gelangt Herr Giulio a. a. 0.
doik^h eine unmittelbare geometrische Betrachtung mit Hülfe des in
V. bewiesenen Satzes und der aus der sphäriscben Trigonometrie
bekannten Auflösung der rechtwinkligen sphärischen Drieiecke.
^D8 scheint jedoch die vorhergehende mehr analytische Ableitung
^Qs verschiedenen Gründen den Vorzug zu verdienen, welches wei-
ter zu erörtern hier zu weit fuhren würde.

V.

Wenn «^^C ein rechtwinkliges sphärisches Dreieck und ^
J<r rechte Winkel ist, so ist nach 6) und einer bekannten Formel
der sphärischeil Trigonometrie

TkeU IV. Q

82

iT-i-C— 90'

ist ABC ein gleichschenkliges sphärisches Dreieck und a=^,
also auch Az=:B^ so nehme man den Halhmesser der Kugel, wel-
cher die Seite c halhirt, als den positiven Theil der Axe der ^,
die Ebene der Seite c als Ebene der ory, und den positiven Theil
der Axe der % auf derselben Seite dieser Ebene üMi , Huf wel^Mr
der Punkt C Kegt. Dann ist nach den Pofnnehi 8) u»d bekattülMi
Elementarsäfoen der Lehre rom Sdiwerpunkte

g sin ^g sin A b sin ^g sin J?

'^ — ''• 2il4.C^186~^*2Ä-f.C— 180'

9)(ys=t0,

c^2a cos il ^^ , c — IKÄ cos B

*~*^* ^J + C-ISO"*^' affHhC— 180*

Für a = ^ = 90 ist auch ^ = iT = 90, und folglich nach 9)

t/i\ ' 'W ^ i^ A » •

10) 4? = f* . — ^-^, y =0, % = ir^

weil nämlich der Winkel 40 in diesem Fitlle von der S^ijbe e ;g#-
messen wird, also, da alle Seiten und Wiakel in Graden auigCH
drückt sind, C^^zc ist.

vm.

Geometrisch« Aufgabe.

Von

dem Herausgeber.

' ' ■ ■ j .

Man soll, wenn ADS in Tat 1. Fig. 8. eine a«a dem
Mittelpunkte C übeT der grossen Axe AB mit der klei«-
nen Halbaxe CD beschriebene lialbe Ellip«<$ iat, d«r

83

Punkt JE in dieser Ellipse eitte solche Lage hat, dass
die beiden von E d^ch den Endpunkten A und D der
grossen und kleinen Axe gezogenen Sehnen AE und
DJS gleiche Länve haben, und der Winkel ACE^ unter
welchem der nacn dem Punkte E gezogene Radius Vec-
tor CE gegen die grosse Halbax^ CA geneigt ist, als

feg^eben betrachtet wird, das Verhältniss der beiden
xen der Ellipse bestimmen.

Die grosse und kleine BaHmxe'der Ellipse bezeichne man wie

fewöhnlicb durch a und b^ den gegebenen Winkel ACE durch cu.
OD E fälle man auf die grosse Axe AB das Perpendikel BF^
und setse CF=a?, EF=^y\ so ist

^^ = (o: — «)» + y% />J&» = ^» + (y — Ä)%

und folglich, weil nach der Voraussetzung AE=DE ht^

(a? — «)* + j^» =ü o?* +(y — ^1%

woraus sich

oder

1) «» — Ä» = 2(«^ — Äy)

ergie|l>t. ^ach der Theorie der Ellipse hat man ferner

2) ^ H- j5 = 1, .

inr4 in d«m IKreiecke CEF ist

3) fz=zap talig la,

l^übrt man diesen Ausdruck von y in die Ohnekttagen 1) und 2)
<^By so erhält man

' a* — Ä» sc %m — b taug. «^)jp,

Ao, wie «MHI lei<lht findet,

' ^ ... a*— Ä* ._ {»» — Ä»)cosa»
. 2(a— 'i^ tapg (tf) 2(tf cos cn-^o sin o))'

o?'

«»Ä* a*^ cos a>»

^2 ^ Ig» tang 0»* «r* sin fio^ -f-i^* cos »* '

woraus sich die ^eiehung

4a»Ä»(a — Ä tang o>)«
— (^»^^t)» (^»-1-»' tang w«),

Qnd folglich, wenn man auf beiden Seiten durch b^ dividirt, die
Gleichung

84

oder^ wenn man der Kürze wegen.

a

sßtzt, die Gleichung

5) 4«i'(f# — tang a>) »=(«#»-— 1)« (1 + «* tang w»)

t

ergiebt. Entwickelt man diese Gleichung gehörig, so bringt man
sie leicht -auf die folgende Form:

6) tang w» .«• — (3 + ? tang a>») «♦ j

-+-8tang a> .fi» —(2 -f-3tang w») «#*-!- ii

oder auf die Form

7) «• — (2-|-3cot a>*) ti*

8cot a> . II» — ■(^-f-2cot w») ii*-f-cot w*

= 0,

welches eine Gleichung des sechsten Grades ist, in der das zweite
Glied und auch das die erste Potenz der unbekannten Grösse u
enthaltende vorletzte Glied fehlt.

Die vorher aufgelöste Aufgabe hat Analogie zu einer andern
Aufgabe, mit deren Hülfe man in der physischen Geographie oder
Meteorologie die scheinbare Gestalt des Himmels zu bestimmen
pflegt, worüber man mit Mehrerem Lehrbuch der Meteorolo-
gie von L. F. Käm'tz. ThI. Hl. Halle. 1836. S. 45 nachsehen
kann. Diese Angabe ist folgende: '

In Taf. I. Fig. 9.^ sei ADB ein Kreisabschnitt, der
nicht grösser als der Halbkreis ist. Der Mittelpunkt
des Kreises, welchem derselbe angehört, s^i ^, .und der
Halbmesser OD stehe auf der Sehne AB dieses Kreis-
abschnitts in C senkrecht. Wenn man nun den Winkel
ACE kennt, für welchen die Linie CE eine solche Lage
hat, dass die Bogen AEy DEy und also auch die Sebneja
AEy Z^j^ einander gleich sind: so soll man das Verhält-
njss der Linien ^17 und CO zu einander bestimmen.

Den Winkel ACE 'bezeichne man durch o), und falle von E
auf den Halbmesser OD rA9^s Perpendikel EF. Ben Halbmesser
des Kreises bezeichne man durch r, und setze

OF:=a:, EFz=zy', OCz=ia;^, AC^szy^-,
so ist

8) .iP»+y» = H, .rj»-|-y/=r».
Ferner ist *

,«5

und folglich, weil nacb der Bedtngang der Aufgabe JlE*=zitE* isk,

{a: — a;,y + (y — y.)' = (r — o?)» -f- y»,

woraus man nach gehöriger Entwickeluag mit Hülfe von 8) die
GleichoDg

9) racznasas^^yy^
erhält. Endlich hat man noch die Gleichung

10) y=z{sc — arj cot w.
Setit man nun

w ist* .

11) — — ^ = fr odel'^r — a?,r=y,».

Aos der Gleichung 9) folgt

(r — o?,) a! = yy^ oder — — ^ = —,

also wegen 11)

12) y=ia:u^
lud daher nach 10)

jfu=s{jp — ^,) cot w,

woraus sich

taitg 01^

»3)-=i-tr;^

alio nach 12)

14) y = -, ^^

tang Ol

ergiebt. Fuhrt man diese Ausdrucke von a; und y in die erste der
Gleichungen 8) ein, so erhält man

* • (l — w tang w)*'
also

15) (-)»= (^)' . n— '^-^-vi-

yi y/ (1 — « tang loy

Aos der Gleichung 11) folgt

r = ar|-f-y,«,
ond es ist also nach der zweiten der Gleichungen 8)

woraus sich leicht

16) ^

1-»

2

• r

ergiebt. Weil nun nach ll)k

^ = «, also — = « H

yi yi ' yi yi

ist, so ist nach 16)

17\ '' — i.^**'

yi 2m . '

Führt man nun die Ausdrücke 16) und 17) in die Gleichun{
einj so erhält map ^

also

18) (1 + «*) (l — « tang w)« = (1 — «»)».

Nach gehöriger Entwickelung erhält man aus dieser Gleichung

19) 0 = (1 — talig «»)•<»
+ 2tang ca . «»
^ --.(3p*-tafig«»).«

-fr- 2 tang w, ,

oder, weil bekanntlich

rt 2tang o>
tansr 2cü==; r^ ;

, «I

ist: : '

8Q) «• H> tan« 8w . »» — 1™^^ «-H-tWg *»= ft.

Auch ist

8 -i» tang Ol* >eo8 \o* -»» sin 'ft>* "/ l-f-2ieos a>»

1 — tang w* cos ai' — sin or* cos 2üi

Aber bekanntlich

.■.'■■•

2cos cü^ = 1 + cos 2a>'
und folglich

^ - - -

3 h- tang CO ^ — 2 h- cos 2(u .^ | ^^ « o
1 — tatig »* "^ cos 8» '^ ^ *+" ^^^^ *''^-

87

ten Verhältnisses u aucb unter der Form

21) «' +tang 2cu . »' -*- (1 +2sec 2cD)«« + tilDg 2cci = 0

darstellen.

Die von ^ämtz a. a. 0. ganz nach Kästner (Smith's
^ehrbegriff der Optik. S. 56) gegebene Auflösung ist von der
i^orhergehendeq verschieden , indem bei derselben das Verhältniss
^ nicht unmittelbar gesucht viird.

Eine Wolke, die sich in einer H8he von 21^ über dem Hori-
zonte befindet, scheint nach Smith das scheinbare Himmelsgewölbe
zu halbiren. für dieseb Werth von (O ergiebt' sich nach Kämtz
^* a. O. nahe; «# = 0,3. Die scheinbare Entfernung des Zeniths
^om Beobachtfr beträgt also nur unj|fefährO,3 der Entfernung des
Horizonts vom leobafchter.

Es scheint mir, dass von den in diesem Aufsatz« behandelten
^^fgaben ein zweckmässiger Gebrauck beim Unterrichte gemacht
^cirden kann. Die Schüler können auch zur eignen Beobachtung
^^8 scheinbaren Himmelsgewölbes i^ng^leitet werden.

t

IX.

^eber das iadq;»endeBte Fortsehreitungsgesetz
^er nameiischen Coefßcienten Iq der Entwicke-
lang der hftheren Differentiale der Fanction

^r ci; V^«^ •-- Ä^Ä?^, und ftber zwei Eägenscliaf-
ten der K^eMAcbe zweiten Graftes.

Von dem

■■■■■■■■■ . . ■ ^

Herrn Doctor A. R. L acht er band t

zu Königsberg i. d. N.

1.

D§9 independente Fortsehreitungsgesetz der numeri-
schen Coefncienten in der Bntwicketung der* höheren

r

Differentiale d^r Function y=V/a* — ^*i?*;
Im dritten Theilc des Archivs S. 243 und 247 hat Herr Pro-

88

fesBor Grunert for die obengenaDoten Coeffieienten 4i^ Recarai
formelD

2m 2«— 1

2» 2»— 1 2«— 1

^^ =(4« -4)^0 + 3.-^.,

3s Sm — 1 2i>«-l

^, = (4» — 6)^, H- 5 . ^„

J", = (A» — 8Mi'4- 7 . ^. > )(1)

2n iJfrT-l ^ ^

^««2 = (2/» + 2)^„_, + (2ä -V- 3)^«-2,

Sit Sm— 1

2it+l 2n 2it

3II4-1 3» 2»

^, = (4» — 3)^, + 4^„
^3 = (4i» — 5M, + 6^, ,

211+1 Jt» 2if

^.=(4«-7M.-+-8.<«, >(2)

211+1 2it 2»

Af^^ = (2/f + Z)An^ tI- (2» — 2)^,-i,

SfH-l »» '

^n-l=(2»-MM»-l

#.

entwickelt, aus denen wir jet^ das independente Bildangsg*
ableiten wollen. Passt man zunächst die Coefficienten A'^
Ange^ so sieht nan.bald^ nach welchem .Gesetz sie gebildet
den^ denn da man

12 s 4 s «

^o=^o = l, ^o=^o = 3. l, A = ^o = 45 = 5.3».

^o = -4fo = 1575 = 7.5» .3» .1»
hat, so schliesst n^an^ dass allgemein

y^ = (2»-.l) (2» — 3)» (2« — 5)» 7» . 5» .3» . P

2IH-1

^o = (2ü + l) (2»-l)» (2if-.3)» 7V5» .3» , 1'

sein werde. Die Gültigkeit dieser Ausdrucke angenommen , c
man nun leicht durch successive Anwendung der Recursion
mein (1) und (2) für die folgenden Coefficienten die Werthe

\ -

89

i^» ^» >t . .^t >t >» >t

II. II II II II II II

to

^ '^ '^ I

1

I

I I

I I I -^ Ä- ^

T T '^ '
I I

i5

I

I

CO

CO

I

l

I

3

CO

^ w Ä 1

T
I

CO

I

I

I l

I

3

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I

CO

I

I

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I

10

CO

l

10

1

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I

w oak

CO

I

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I I

^ CO

I-

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c^

1

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c^

II

CO

VC

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'•^fl

^^k ta|^4 P^^ ^*

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CO

CO

^ -4

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CO

9»

H H H H H H >f

ir ir 11" ir r ir ir

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1

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1

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•

•

*

09

•

•4

•

•

«4

^t

•

^

Od

Das BilduDp^ssesetz spricht sich zt^ar noch nicht mit vollkomi
Bestimmtheit m diesen Ausdrucken aus, man wird aber durch
selben auf neue Recursionsformeln geführt , die dann riiclcp
das Gesetz der independenten Ableitung der Coefficienten liei

. tl

Ao8 der Entwickelang der Qaotieiiteii je iwiier Mßä eioander fol'
gender Coefficienten ergiebt sich nämlich

5* o (ü - 2) (« -I) J-

4 _2 (*«•-»)(»»-«) *•
^« — *. 4.7 -«..

I ^s,.^^. 5.9 *'

^« — *• 6.11 •*

voQHcfi aflgeiiieib

"^p — ^- p(j^-i) • K^a^i .

'«in würde, und

•
2^+1 min — 1> *»+^*

^1 — * •, 1,1 -^o>

^V ;"iv

««+!_« (n-2) (if-~8)g^>

2.5
^t — ^* iTt -^t»

'** — '*• STF' ^»'

^• — '*• . 5.11 ^♦^

2yi_ (ii-5)(n-6)y

^' — * • — 7T15 z^*'

»nach allgemeiD

:< »•■

irt. .
Sttbstituirt man nun nach und nach für A^^ A^ u. s. %▼. ihr«

«rtfWy so hat man

92

X=2.^!^L:^'1

1.1

o*

Sit V

1.2.1.3

5» _ ^(ft~l)M»-"2)»(^-3) ^

' — ^ ' 1.2.3.1.3.5 ^V

2m

_ w(n~l)» (n-2)» (^-3)» (fi~4)

'2n

A, = 2^ .

1.2.3.4.1.3.5 ./7

Jf», u. ». w

und

^+1_ i«(^-l)»(^~2)^l

^» — ' l.JJ.3.5 *»'

^i_^, n{n — 1)» (» -. 2)^ {n - 3) y
^t—^ • 1.2.3.3.5.7 ^«'

*J+1_ n(n-^\y (n-2)» (n~3)» (^-4) y

^^ — '^ • 1.2.3.4.3.5.7.9 ^o> "• s. w.

Nach dem Bildungsgesetx , das hier ganz unzweideutig henrortr
würde man nun allgemein

M

II-

II

l

*> r

a -
^ I

M I.

: ^

I r

+ "

I .

10

M

^- ^

I ^
-I? I

10

r
+ .

:

•«
I

4i-i

^

II

II

ü. -

I

1 • »

1 I ""

10

^9 ^

M •

I

I

■a

I

I

f

• t

JO

?

t

?

1-^

I

•4

t

•4

t

Q**

erhalten. Cm nun x« zeigen, dsss diesen Fomeln allgemeine Gül-
tigkeit zukomme, wollen wir nachweisen, dass dieselben, wenn sie
von ^o l^is ^p richtig sind, auch noch für Apj^\ stattfinden.
Setzen wir zu dem Zwecke in die nacli (1) stattfindende Formel

am-i 2w

für Ap nnd Ap ihre voranstehenden Wertne und reduciren, so er-
giebt sich

»

•

H

i

H

10

4

10

+

9

!f

I

M

?

!

M

f

C^

96

Wenn man ebenso in die nach (2) gültige Formel

2»— 1 2w ' 2«--l

7n 2«— 1

die Wertbe von Ap^\ und Ap einsetzt und' in dem «bervorgehei
den Ausdrucke m + 1 mit n vertauscbt, so erbält man

II

I

I

a
I

f9

: I

2,

M

I
I

I

JT

f,

i.

?

ur

f

er

96

, Die Ausdrücke (5) und (61 sind aber in p + l so g
wie die entsprechenden (3) und (4) in py und hiernach wi
aufgestellte Bildungsgesetz richtig, wenn wir nur noeh die <
Voraussetzung, die wir uns bisher erlaubt haben, als z
nachweisen können. Dieselbe betraf aber das Bildungsgesi
Coefficienten ^o> mit deren Hülfe wir die anderen ableiteten
können uns aber von der Richtigkeit unserer Annahme Ül
Coefficienten ^o &uf folgende Weise vergewissern. Die Coc

ten j^n—i und ^n^i lassen sich nämlich» ohne auf die Coc
ten ^o zurückzugehen, unmittelbar aus den Recursionsformc
leiten, denn nach denselben bat man

tl

II

II

II

II

1

^

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«

13

+

+

+

d

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^

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^^^

^^

+

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^

^

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1

II

1

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1

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w .

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1

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1

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1

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•

•

•

i

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w

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•

1^

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CO

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X

^

^

i

X

1

1

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II

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•
•

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1^

00

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CO

•

•

<3ä

•

•

•

1^

211-f-l

Setzt man aber in den obigen Warth von jip die Zahl p

j\

99

M erbält mao den eben entwickelten Ausdrack. Aus dieser Deber-'

einstimmuDff folgt daber auck die Ricbtigkeit des für ui^ ange-
nonmenen Werthes»

Wir knüpfen hieran noch eine Bemerkung über die Summe
der CoefiBcienten in der Bntwickelung der verschiedenen Differen-
tiale. Addirt man nämlich ' die Gleichungen (1) uod ebenso die
Gleicbnngeu (2), so erhält man

I

Jo+^i+.^a+ +.4n-l = (4li— 3) Mo+^i+ -+-^«-21

und

211+1 2iH-l 3M-1 2iH-l 2n 2n 2n .

Jo+^i+^a+V. -|-^i^J=^(4«— 1) Mo+-^»+ -^^nAl

oder kürzer

2M 2n— 1 2n+l 2»

2.4 = (4it — 3)2^, -S^ = (4ü — 1):?^,

UDd hiernach

:S.4 = (2)w — 3) (2)w — 5) (2«i-7) 5.3.1.

II.
Zwei Eigenscliaften der Kegelfläche zweiten Grades.

A.

Die allgemeine Gleichung der Kegelfläcbe zweiten Grades, de-
inen Spitze im Anfangspunkte der Coordinaten liegt, ist bekaont-
lich folgende:

Ja:* -+. JY + ^"«* + ^^y« +2Ä'a?» -f- %B"xy=. 0 (1)

*

Wir legen ein rechtwinkliges Coordinatensystem zu Grunde und
wollei^ die Coefi&cienten der Gleichung (1) durch die Bedingung
bestimmen, dass die Kegelfläche durch die drei Alen und die bei-
den Geraden geht, denen die Gleichungen

zugebören. Setzt mau nun in (1) is == 0, um die Gleichung der
Durch seh nittscurve des Kegels mit der Coordinatenebene (^ry) zu
erbalten, so ergiebt sich die Gleichung

^^» + ^y-|-2Ä"^y=0, (4)

^ %

100

die sich, wegeii der Natur der Kegelflächeo, im Allfj^emetiieo' in
zwei reelle Factoreo vom ersten Grade zerlegen lassen muas. In
unserem besonderen Falle sollen aber die Axen der a: und y die
Durcbschnittslinien sein ; diesen Axen entsprechen aber respectire
die Gleichungen ^ = 0 und ^ = 0^ so wie ihrem Systeme die
Gleichung

^y = 0 (5)

zugehört. Man sieht also^ duss in der Gleichung (4) die Coeffi-
cienten A und ^' = 0 werden müssen, wenn dieselbe das System
der Axen der a: und y durstellen soll. Eben so zeigt man, dass
auch x4!' verschwinden muss, und folglich die Gleichung (1) die
einfachere Form

annimmt. Zur Bestimmung der drei CoefBcienten iff, B'\ B*' hat
man die Gleichungen (2) und (3). Pa die durch dieselben bestimm-
ten Geraden ganz in der Kegelfläche (6) liegen sollen, so muss
die Gleichung (6) identisch werden, wenn man darin die Wertke

von -^, — aus (2) und (3) substituirt. Dies liefert die Bedin-
gungsgleichupgen

b'B -*- a'B' -f- e^b'B'={i ' ^ ^

aus denen sich

B^ a-ä b}^ ^ _ ab — ab'

B Ä'-TÄ* ««" B — aäiji'^b)

ergiebt, so dass also die gesuchte Gleichung unserer Kegelfläche
folgende ist: ^ *

atJ(V — b)y% •+- bb\a - «0^« + («'^ — ab')a:y = 0. (8)

Wir wollen nun ferner annehmen, dass die beiden Linien (2) und-.
(3) und eine dritte, deren Gleichung

ist, ein System rechtwinkliger Axen bilden, so dass also zwischen
den Constanten ibrer Gleichungen die Relationen

«»'-4-^^ •+-1=0,
»»" -f- bb" +1=0,
aV'4-W+l = 0

stattfinden. Hieraus 'zieht man

b'\y — ^) = !»"(» — a%

^

««

SO dass also die Gleichung (8) in di6 folgende

aa'tJ'y% •+- bh'U'xx + ^y = 0 (11 )

übergeht. Bezeichnet man nun den Werth, welchen die linke Seite
dieser Gleichung durch Substitution der aus (9) gezogenen Werthe
von OS nn^ y annimmt, mit S^ so wird '

S = *»«"Ä"( w' •+- ^^' + 1),
ond mit Rücksicht auf die erste der Gleichungen (10)

-y=o,

d. L. auch die Gerade (9) liefet auf der Kegelfläche (11). Wir
hätten dies Brgebniss auch daraus ableiten köoneh , dass die Glei-
cliQDg (11) in Beziehung auf die Constanten der Gleichungen (2),
(3) und (9) symmetrisch ist. Wir haben also folgendes Theo-
ren bewiesen:

Denkt man sich im Baume irgend zwei rechtwinklige
Coordinatensysteme um einen und denselben Anfangs-
punkt, so liegen allemal die sechs Coordinatenaxen in
irgend einer .Kegelfläche zweiten Grade%.

B.

Wir wollen nun wieder von der allgemeinen Gleichung der
Flächen zweiter Ordnung, die einen Mittelpunkt haben, ausv^ehen,
indem wir uns den Anfangspunkt der Coordinaten in den Mittel-
punkt gelegt denken, also von der Gleichung

Ax^ + AY -H -^"** + ^By^ -H 2iff'a?» •+- %B'*yd: = 0 (12)

und zunächst zu ihrer Specialisirung die Bedingung machen, dass
dieselbe eine Kegelfläche darstelle, welche die drei Coordinaten-
ebenen berührt; Es muss sich also für die gemeinschaftlichen
Pnnkte dieser Ebenen mit ^denen der Kegelfläche eine lineare
Gleichung ergeben. Verbinden wir nun die Gleichung der Coordi-
oatenebene der {y»)^ nämlich die Gleichung ^ = 0, mit der Glei-
chung (12), so erhalten wir die Gleichung

^y -f- ^"*» H- 2%Ä = 0.

Soll dieselbe, wie in unserem Falle verlangt wird, eine Gerade,
oder vielmehr zwei zusammenfallende Gerade darstellen, so muss
bekanntlich zwischen den Coefficienten die Relation

stattfinden. Auf ähnliche Weise erhält man aus den" Bedingungen,
dass die Kegelfläche die beiden anderen Coordinatenebenen be-
rühre, die Relationen

B' = dbV'AjF, B''=:d=:\/AA^m

. • •■ •

: 1^

wonach also die Gleichung (12) die Form

annimmt. Aber welche Comhination' der Zeichen ist za wählen?
Zunächst erhellt, dass ^, A'^ A" alle von demselben Zeichen sein
müssen; nehmen wir nun an, dieselben seien positiv, so muss man
in den drei letzten Gliedern das negative Zeichen nehmen, weil
bei jeder anderen Zusammenstellung die Gleichung (13) sich in
ein Product zweier linearen Factoren zerlegen Hesse, und dieselbe
dann, also keine Kegelfläche, sondern ein System zweier Ebenen
darstellen würde. Hiernach wird nun unsere Gleichung, wenn wir,
noch statt der Constanten A^ A\ A" ihre Quadrate einfuhren, fol-
gende sein:

^»a?»+^'»y» 4-^"*«» '--%AA'a:y—%AA"af%'-2A^A"y%=zi^. (14)

Zur vollständigen Bestimmung der Kegelfläche fügen wir die fer-
nere Bedingung hinzu, dass die beiden Ebenen, deren Gleichungen

aoff 4- ^y -I- CÄ = 0, (15)

a,a7-f-^iyH-^i* = 0 (16)

sind, den Kegel berühren. Eliminiren wir aus den Gleichungen
(14) und (15) die Variable.^, so erhalten wir für die Projection
des Durchschnitts auf die Ebene der (y%) die Gleichung

y^{bA -f- aAy + %j»{ficA^ + acAA' + abAA" — a*j^A")

^%HcA + aA'')*z=zO.

Soll dieselbe nun eine einzige Gerade darsteilen — also die £bene
(15) eine Tangentenebene sein — so muss

öcA^ + acAA' H- aöAA' -^a^AA" = db (ÖA-haA') (cA-\'«A")

sein; das obere Zeichen rechts ist nicht zu gebrauchen, denn man
kommt dadurch auf die Bedingungsgleichung

welche a' = 0 geben würde, was im Allgemeinen nicht zulässig
ist. Mit Benutzung des unteren Zeichens erhalten wir dagegen
die Relation

bcA-^acA'^abA"^^ (17)

und auf ähnliche Weise die andere

b,c^A-^a^c,A''^a^b^A' = ^. (18)

Eliminirt man jetzt aus den Gleichungen (14), (17) und (18) die
Grössen A^ A', A'\ so ergiebt sich

Neknen.wir nun an, das« die beiden Ebenen (15) und (16) auf
«Bander and auch anf der Ebene

a,a? + ^9y + ^i«^0 (20)

aenkreehi ateben, d. b. macben wir die Bedingung, dass

aoi -l-Ä^i +w, s=0,)
ar<r, + W, + <?c, = 0 J (21)

«ei, ao liaat aicb die Gleicbung (19) unter einer eleganteren Form
dkuntellen. Setien wir noeb, waa erlaubt ist, ar^a|^a2 = l,
«0 erbalten wir ans (21)

e — c, ""^ b^ Cj— c b^

^«ud biemaeb fiir die Gleicbang (19) die folgende

Da dieaalbe in Beiiebnng anf b^ ^i, ^,f r, r,» r, ajninietriseb ist,
10 itaht die dnrcb sie ausgedrückte Kegelfläcbe lu den drei Ebe-
mm (IB), (16) nnd (20) in derselben Beziebung, d. b. sie berührt
sie alle drei. Wir sind also in desi 8atze gekonmen:

Denkt man sich im Räume irgend iwei rechtwink-
lige Coordinatensysteme um einen und denselben An-
fangspunkt, so berühren die sechs Coordinatenebenen
allemal irgend, eine Kegelfläcbe tweiten Grades.

VeivL Steiner: Die Abhängigkeit geometrischer Gestalten.
^lU« 1. S. 813.

i

104

1

Beweis der Gleichmig
jffir s;=cos X.

Nach einem Aufsätze des Herren Lioaville frei

bearbeitet

von

dem Herausgeber.

Die obige höchst merkwürdige Gleichung ist bekanntlich von
Jacobi ge&nden und in Crelle's Journal. Tbl. XV. S. 3. za«
erst mitgetheilt unck bewiesen worden. In seinem Journal T. VI.
p. 69. hat Liouville zwei neue Beweise für dieselbe gegeben,
von denen mir besonders der zweite bemerkenswerth zu sei«
scheint, den ich daher, aber auf eine andere Art dargestellt, im
Folgenden mittheilen werde.

Der Kürze wegen wollen wir

^)®*= S5=i — '

also

setzen. Weil nun

(1 -. ;^»)H-J = (1 — «») (1 — «»)^

ist, so erhält man nach der aus der Differentialrechnung bekann-
ten Gleichung

d%n —^ dz^'^ l ' d%' dxn-l "*" 1.2 • Ä» • d»n--2 ^

ohne alle Schwierigkeit die Gleichung

• •

lOft

t •

dxi

^(* - 1)

^^eil DUO aber offenbar

i#^-a.(i — «»)«-*_ / »rf^-Mlj-vx*)^

l/»^2

r dxi-i

d%

at, 80 läast sich mittelst der oben eingeführte!» Symbole die vor
ergebende (Tleichung unter der folgenden Form darstellen:

^fir 1=1 ist nach 1)

©.=(1 -«')*,
• i.j wenn wir x^cos ac setzen,

Verner ist nach 3) für t ^ 1

^eil nun nach dem Vorhergehenden

ist, 80 ist

d.i.

dB, d%

-^=cos a:, jj = — sin a:

@, = — sin a: cos ^ — 2sin ac cos or,

9, = — 3sin a: cos or,

oder, weil bekanntlich

sin a: cos ^ =

sin 2dr

irt,

sin Zr

5)0. = -1.3 2
Fit <:s2 ist nach 3)

0. = (1 - »») fg _ 4,0, - 1 . if'e^dx.

/■A

100

NuD ist aber

^dx "^'" *^' dx

-^;? = — 3co8 2^, 5^ = — sin ^;^ .

also

M^ «CO« 2d?

i/s sin 07 *

Ferner ist

r &^d% = \J sin %€ sin o? <te/

und folglich,* weil

siD 2a? sip a; = j^ cos a?-— ^ cos %^
ist,

/ 0,</»^| sin ac — \ sin 3a?.

Daher ist nach dem Obigen
0g ^3sin o? cos 2a? + 6eos a? sin 2a?

— \ sin a? + j^ sin 3a?
= 3 sin 3a? + 3 cos a? sin 2a? — i sin a? + l sin 3a?
= j^ sin 3a? + i sio 3a? + 1- md a?<— j^ sin a?
= 5 sin 3a?,
und folglich

6) ©. = 1.8.5 52^.

Für t = 3 ist nach 3)

0, = (l - a») ^ - 6*0, - 2 . Zj*®^d%.

Nun ist aber

-^ = 15 COS 3a?, ^ = — sin a?;

also

rfO, 15C08 Zx

<Än? """ sin d? *
Ferner ist '

/ @,ii& = — ^ Va •*" ^^ •*** ^ ^•^>
und folglich, weil

sin Zoc sin a? = | cos 2a? — \ cos 4a?
ist,

/'s
0,1^:^ — 4 sin 2ar + T sin 4a?.

Daher ist nach dem Obigen

% I

lor

®«= — 15 sin o? cos Za: — 30 <fo8 a: sin Zar

+ -g" sin 2a: r- sin Aa:

Ä — 15 sin 44: — 15 cos a: sin 3a? ^-g- sin Ä^ — -j- sin 4^

15.5 . . 15 . - 15 . o . J12J • o

= — sin 44? — Y "° *^ "^ "ö" ®*° *^ + ^ 8in ÄiP

15.7 . . .

= T" Sin 44?,

4

"^d folglich

7) ©4= — 1.3.5.7 ^^"^

ir wollen nun überhaupt

sin tx

^«tzen, so ist

und folglich, weil

Ist,

8) 0i=:Jhi

•5? = ^' cos fO?,

d%

T— = — sin a:

da:

dOi kt cos ix

d% * Sin o?

Ferner ist

&£dx = T- / sin f4? sin 4? da:,

also^ weil

sin f4? sin 4? = ^ cos (t — 1)4? — i cos («+1)4?
is^,

y^*0,:</* = — ■^y^'^cos (t— l)4ri/4r + -^y^'^cos (« + 1)4? dar,
d. i.

0
I

Weil nun nach 3)

0^i = (l-«») ^-2i*0,-f(f-l)y[*0,^»

ist, so ist nach dem Vorhergehenden
0^1.1 = -T- /?,- sin 4? cos to — %^i cos 4? sin f 4?

+ Y »"^ («—1)4? — \i^i) Mtt (t -H l)4r

also

*108

/
\

= — ki sin (f + \\a: — ki cos ^ sid «^

-I-— siD (f — 1)^— 2(r:^ sin («+i)^

= — ki. sin (#-|- \)jp — -^ sie ($ + \)jc 5- sin (t — l)j

9) 0^.1 = — (2t + l)^, — h?l •
Setzen wir nnn analog mit 8)

,ftv /a E. sin (i -^ 1)j:

10) 0ä4.i=:^^i — T-jpj — ,

so ist, wie ans der Vergleichung der Gleichungen 8) und 9) aal
der Stelle benrorgeht,

11) ^^i = (- 1) . (2f + 1)^, .

Weil BUD nach 4)

Ä , sin 0?

0, = 1 . -"T— ,

und folglich

ist, so erhält man mittelst der Gleichung 11) nach und nach:

^.=(- 1)0.1,

^, = (~1)*.1.3,
it, = (— 1)»,1.3.5,
it^ = (- 1)» . 1 . 3 . 5 . 7,
>t. = (— 1)* . 1 . 3 . 5 . 7 . 9,
u. s. w.
also offenbar allgemein

12) ^ = (— 1)^1 . 1 . 3 . 5 . 7 . . . (2f — 1).
Folglich ist. nach 8)

13) 0, = (— l)«^i.l.3.5.7...(2» — 1) 52^,

d. i. nach 1)
14)±li^^iÜ)^ = (_l)«.1.3.5.7...(«-l)?J2ji5

für »=:cos ^, welches die zu beweisende Formel ist.

Aus dieser Formel hat Jacob i eine merlrwürdige Transfor-
mation eines bestimmten Integrals abgeleitet, welche wir, obgleich
dieselbe längst bekannt ist, dem Obigen noch in der Kurze neifu-

109

fea wollen. Wenn Dämlich eine FuiictioD w von % so beschuffeo
ist, dass dieselbe nebst ihren sämmtlichen Diftercntialquotienten bis
zum (i — l)sten für x = «r und für x = ^ vrrschwinaet, so kann
man dorch tbeilweise Integration leicht zeigen, dass immer

iV. SetzeA wir nun

und a = — 1, ^ = 4- 1 ; so ist

/:>(,) (i_,«)^,/,=(_i).7:>,) ^i^ii^--» u..

Aus 14) folgt durch Differentiation nach a:

;sl'^'^''^|^*'^'"*i =(-^)^* . 1 . 3 . 5 . . . (2>-l) cos t>,
also

"^^^^^'"^^ i/Ä = f- l)«-i . 1 . 3 . 9 . . . (2i- 1) cos f> <te.

Ba DUD

4 = cos ijr, i/x = — sin a: da:
ist, so ist

15) f^/^'K^on a:) sin jc^ da:
= 1 . 3 . 5 . 7 . . . (2f — l)^/r/(cos ar) cos »> «te.

^ies ist die von Jacobi gefundene Transformation. Die Function
J^(«) und ihre Differentialquotienten bis zum ften müssen zwischen
^en Gränzen %^ — 1 und x = +l stetig sein.

XI.

UebuDgsaufgaben für Schüler.

Man aoll die fohgenden gonio metrischen Relationen beweisen.
Wenn

j4= sin €t(cos fi — cos y)

:^ — 2sin a sin ^{ß — /) sin iW + y)

11«

^= siD |l? (cos Y — C08 a)

= — Ssin ^ sin ^(y — a) sin y(y -|- a)
6^= siD ;^ (cos a — cos /?)
= — 2sin Y sin -^a — /?) sin |(is + |!')
ist, so ist jederzeit

^+J»+C= — 48in i(a — /J) sin \^—y) wn i(r— a)
J» -H r -^ ^ = 4sin \{a -*- /?) sin 4(/J — y) sin ^(t' -I- a)
A+C^B=z 4sin 4(0 -*- /?) sin \(ß + y) sin Kr — a)
^ -I- Ä — C= 4sin \(a — /?) sin \{ß -*- y) sin i(;r -|- «).
Wenn

^' = cos a (sin /? — sin y)

= 2cos a sin -J(/J — y) cos 40^ "^f)
J9' = co8 /? (sin p^— sin a)
- =2cos /? sin \{/ — a) cos ^(;^ + a)
C'=eoB Y (sin a — sin ß)

= 2cos Y »in i(«"— /^) cos i(a-l-/?)
ist, so ist jederzeit

^' + Ä' -I- C" = 4sin 4(a — ß) sin 4(/J — y) »»n 4(y — a)
Ä'-l-C"— ^'=: — 4cos i(a-\-ß) sin Üß — Y) cosi(y-l-a)
^'-1-6?'— Ä' = — 4cos i(a + /?) cosi(/? + y) sin i(^ — «)
^'+ir'— r' = — 4810 ^as—ß) cosi(/?-|-y) cosi(y + a).
Aus der Gleichnng

a sin a + ^ sin ß + c sin-^^sO
lässt sich immer die Gleichung

(a + Ä-l-c) cos iiß — r) cos ^(y — a)j .
— (aH-^ — c) sin Uß — r) sin i(y — a)l *'° ^^«-*-P>
(«-!-<?— Ä) sin ^(/? — y) cos 5(y — a)|

^(^ + c-a) cos iiß-^Y) «in 4(r-«)i '"''" '^""»"''^

d. i. die Gleichnng

jV sin i(a + /?) = Jf cos 4(a -|- /?),

wo die Bedeutung der Symbole M und JV von selbst erhellet, also
die Gleichung

tangi(a + /?) = ^

I

ableiten.

Aus der Gleichung

a cos a + ^ cos ß + c cos /* = 0

lässt sich immer die Gleichnng

111

(« -§- Ä + c) cog K/J — y) CO» 40" — a) 1 u.^

-{a + 6—c) siD i{ß — r) »in iö'-«)» «"" tI« + W
j (a + c — Ä) »in i(/» — /) CO» i(y — «)( .

j_(i + c_«) CO» Uß-r) «in ^Ö'-M* "" ^^"'^'^^

d. i. die Gleichung

jl^cos i{a + ß) = '-M sin i(aH-/»),
folglich die Gleichung

cot i{a-hß) = — jf
aUeilen. G.

Blam mU den folgenden Sats beweisen:

Wenn in Taf. 1. Fig. 10. die Linie JE der nie Theil der
Linie JB iit« fiber JB das Quadrat AB CD beschrieben, dessen
Biagouale AD und die Linie Ciff gesogen, und durch den Durch-
schnittspunkt O dieser beiden Linien mit den Seiten AC und BD
d«a Quadrats ABCD die Parallele FB gezogen wird , so ist im-
aner AF der {n + Ijste Theil der Linie AB.

Aufgabe vom Herausgeber.
W^nn

^ftf, und a; = tang 9 gesetzt wird, wobei^ man 9 absolut nicht
Sr>*ö88er als ^Tr, aber positiv oder negativ nimmt, jenachdem a: po-
i^itiY oder neffativ ist, so ist ^=sin 9, und durch successive Difte-
■^ntiation in Bezug auf a: erhält man:

^ = 1.C0S9»,

2^ =sÄ — 1 . 3 oos 5P* sin y,

^ =s 1 . S . 5 cos 9* (sin 9' — y)>

j^ := — 1 • 3 . 5 . 7 cos 9* sin 9 (sin 9* — y),

-^ = 1 . 8 . 5 . 7 . 9 cos 9' (sin 9* — y »in 9* -H ji^»

j^ = — 1.-3.5.7.9.11 cos 9» sin 9 (8iu9* — yy sin 9' + 33)-
Man soll das allgemeine Gesetz dieser Ausdrücke entwickeln.

112

XII.

MiscelleD.

Der bekoDDte Satz, dass die drei HiilfsÜDieD , welche bei deoi
euclidiscLeD Beweise des pytliagoräiscLen Lehrsatzes gezogen werr
den, sich jederzeit in einem und demselben Punkte schneiden»
wird, so viel mir bekannt ist, gewöhnlich mit Hülfe der Lehre vom
den Proportionen bewiesen. Ich weiss nicht, ob der folgende Be-
weis dieses Satzes, welcher wir bereits vor Iftngereir Zeit von
einem meiner frühern Zuhörer mitgetheilt wurde, adion* bekannt
ist. Jedenfalls scheint derselbe aber nicht so allgemein bekannt
zu sein, wie er verdient, und mag daher im Folgenden eine Stelle
finden.

In Taf. L Fig. 11. vcrllDgere man die Linien DE und HK
bis zu ihrem DurcbschnittspunKte tl^ und ziehe die Linien BN und
CN^ so erhält man das Dreieck BCN^ von welchem sich bewei-
sen lässt, dass die drei bei dem Beweise des pythagoräiscbcn Lehr-
sat|es gezogenen Hülfslinien AJL^ BK^ CE durch dessen Spitzen
geben und auf seinen diesen Spitzen gegenüberliegenden Seiten
senkrecht stehen, sich also nach einem der bekannten Sätze von
den vier merkwürdigen Punkten des Dreiecks in einem und dem-
selben Punkten schneiden müssen.

Zieht man nämlich zuvörderst die Linie AN, so erhellet sehr
leicht die Coogruenz der beiden Dreiecke ABC und AHN. Nuo
sind aber die rechtwinkligen Dreiecke ABC und ABO bekannt-
lich gleichwinklig. Also sind auch die Dreiecke AHN und ABO
gleichwinklig, folglich die Winkel HAN und BAO einander
gleich, woraus sich ergiebt, dass NAL eine gerade Linie ist, also
die Linie AL durch die Spitze N des Dreiecks BCN gehf, und
auf dessen Seite BC senkrecht steht.

Ferner erhellet leicht die Congruenz der rechtwinkligen Drei-
ecke BHK und CNK^ woraus sich die Gleichheit der Winkel
HBK und CNK ergiebt. Nun sind aber als Wechselwinkel die
Winkel HBKunA CKP einander gleich. Also sind auch die Winkel
CNK und CKP einander gleich, und daher die Dreiecke CNK
und C^AT/* offenbar gleichwinklig, folglich die Winkel CKN wbA
CPK einander gleich, also CPK so wie CKN ein rechter Winkel.
Daher steht die durch B gehende Linie BK auf CN senkrecht.

Ganz eben, so zeigt man, dass die durch C gehende Linie CE
auf BN senkrecht steht, und der Satz ist also nach dem im Ein-
lange Bemerkten nun offenbar vollständig bewiesen.

Mir war der Beweis, als er mir mitgetheilt wurde, neu. Ob
er dies auch Andern sein wird, lasse ich dahin gestellt sein.

-G.

XIIL

üeber die neaesten Erfindungen in der Theo-
rie der bestimmten Integrale.

i VOD

I

dem Heraa^geber.

Zweite Abhandlung.

(Fortsetzung ^on Tbl. 11. Nr. XXV.)

1.

In dem Journal de Math^matiques publik por J. Liou-
ville. T. Vlil. p. 110. Mars 1843. bat Herr J. Bertrand das be-
■^■■te Integral

Btf die folgende bemerke nswertbe Weise entwickelt.

Ea sei, indem man bei der* Integration die Grösse co aU con-
*tant betrachtet»

Und

^O igt

— ^ — /X^, ^h .

^^d naeb bekannten Principien der Lebre von den bestimmten lu-
*^gralen (Archiv. Tbl. II. S. 277)

TMIIY. 8

lU

Betrachtet man nun aber w als eine Function von ^, so ist nac'.
bekannten Principien der Differentialrechnung

df jjXy ctf) dxfAx, «>) diafx(oc, c») ifc>

ito ufcr i/w * <Äa:'

also nach dem Obigen

oder

^^=^(^, «)+/,(.. «)| ^

dm

und folglich

also, wie leicht erhellen wird,

/i(^, w)=y^/(Är, iA\dw+J ^f^[a:, w) -^da:'\-C.
Bezeichnet man nun die Werthe» welche

/(ä?, ft>), /,(^, ftf), /,(^, Ol)

fiir a> = ^ erhalten, respective durch

y(a;), g>,(ar), 5P2(^);
so ist

Nach dem Obigen, wird <jPi(ar) erhalten, wenn man, cd als constant
betrachtend,

entwickelt, und nach der Integration w=za? setst, woraus sich
auf der Stelle ergiebt, dass

yi(«^)=y'/K a?ycw,

wo bei der Integration a: als constant behandelt wird, «nd folg-
lich nach dem Vorhergehenden

115

iat. Weil nnn aber die drei in dieser GleicbuDg vorkomniendon
Integrale für «=«r offeobar vencbwinden» so ist 6^=0, uud

felglicb

Von dieser allgemeineD Gleicbang lässt sieb die folgende Anwen-
dung macben. Man setze

80 ist, wie man leicht findet,

■
und folglich f&r a = 0 nach dem Obigen

xdx

fti^y ^)=/q (l+flw?) (l+ar»y

WO bei der Integration du als constaat betrachtet wird. Zerlegt
man, um dieses Integral zn finden, den Bruch

>af bekannte Weise in Partiolbrücbe, so erhält man :

X

(l-+-w;r) (H-o?»)

(1 + 01») (H-wj:) ^(1-f-w») (1-f-a:*) ' (1-+-««'') (^-hc*)'

folglich

. . ^^ xdx

/al^, ^)—Jq (i^iüx) (l-*-ar»)

/(] -l-oio:) /(l-f-o;') (0 Arctang j?

l-f-oj« ■ 2(l-+-a)»)^^ 1-t-w

a »

vs Arctang o? den der Tao^eote a: zngehörenden Bogen bezeicb-
■<o 80^1, welcher den kleinsten absoluten Wertb but. Also Ui
■seb den Obigen

yod

. /(l -f- ar») j? Arctang a:

y,(A-J _ — 2(1 ^ .r») "*" 1-4- ar» '

■»■

11$

da 9p(;r) und 9>3(^) auf f(fs) und /'«C^) erbalteir werden, wen
man Mz=;:a: setzt. Ferner ist

/(CD, ^)= i^^a« >

und daher nach der oben gefundenen Hauptgrieidiaiig

t/o H-<ö* '*^ — \/o H-o:» "^^J^ l^-o:» ''•^•

Nun ist aber nach einer sehr bekannten Formel der Integralrecl
nung

1 + j;» ^^a^Arctang ^yn^ -/ ^Arctaog VriZ^F^"*"

= i/(l -*- ^') . Arctang a: - i/^l^^^*^r^ «i,
und folglich

Also ist nach dem Obigen

Setzt mall in diesem Integrale ^=1, so erhält man

J ^ 1-1-«« "*" 8 '
oder, was dasselbe ist,

•/ 0 1-1-«' 8

In einer Note zu dem Aufsätze des Herrn Bertrand bemer
Herr Li ou vi He, dass sich dieäes bestimmte Integral auch a
dem oben gefundenen Ausdrucke von

•/o(l

xdx

tax) (l-f-ÄT*)

auf folgende Art ableiten lässt. Setzt man die obere Gr&nze di
ses Integrate niUnlieh der Einheit gleich^ so erhält mau aus d<

Obigen

also

117

und folglich (Archiv. Tbl. II. S. 282)

0 /oU+o:») (1

(üo:)

oder

0 l-|-Är»^oT

0701

0 1+0»» ^^"*"^*^-yoi-Hw« "*" 4yor:^^'

also

t/o l-*-ar» ,/o 1-+-CÜ« ^^ 4 '

woraus mao, weil nutArlich

ist, aaf der Stelle

t/ 0 1 -h a?» 8

erhält, ganz wie oben.

Das VOD Herrn B'ertrand gefundene allgemeinere Resultat

y^''T^^«^ = Ml +^') . Arctang x,
^0 wie auch die allgemeine Gleichung

^Bt aber für sich wichtig und interessant, und letztere scheint uns
"^Q verdienen , dass man weitere Anwendungen von derselben zu
^aacben suche, wozu wir die Leser des Archivs uns wohl aufzufor-
dern erlauben möchten.
Seist man

/(.r, w) = F\a:) i^(ci>), ^

^o ist I

SJ qs: /^o?) V' (CO),

118

und folglich

Also ist

und

Ferner ist ^

und folglich

/,(^, ia):=ifp^(ia)y^F(a:)da:.

<p(ai) = fXa:) i^^)

9,(^) = V'(;r) y F(a:)äa;.

f{w, a:) = Fi(o) tlt(a;).

Daher ist nach der obigen allgemeinen Gleichung
oder, was offenbar dafiselbe-is%|

und folglich

f'^{ßs) F(a:)ila;

= ^(^) /* F\ai!)d;c '^f^'^{jc) r'F\a:)d.T.

in welcher Gleichung offenbar das bekannte Princip der theilwei-
sen Integration ^ enthalten ist, so dais also die von Iferrn Ber-
trand gefundene allgemeine Gleichung dieses Princip einschliesst,
und als eine bemerkenswerthe Verallgemeinerung desselben betrach-
tet werden muss.^

In dem Cambridge mathematical Journal. T. III.
p. 108. No. XVI. November. 1842. hat ein uftgenanuter Correspon-
dent aus der Gleichung *

119

* 1

mehrere bestimmtii lütegnile auf sehr eifefaclie Weise hergeleitet«

Um zuerst die obige allgemeiDe Gleichang zu beweisen, setze
man a — ^ = if, lo ist da: ==; — da^ uod folglich

f(m^af)dx=:'^f{u)du.

Weil oun für ^rssO^ aezzza respective H's=:a^ « = 0 ist^» so ist

und folglich; weil beKanntlich

ist, ' ' ^

wie bewiesen werden sollte.

1) Man setze der Kürze wegen

i7=y log sin x . «te,

so ist nach der vorhergehdBden allgemeinen Gleichung, weil
cos ^ = sin {^\n — x) ist,

17:=^ ß log COS X , ÄP,
«Od folglich ^

2^=y (log sin ^+log cos x)dx^
d. i.

^U=. I log (sin X cos x) . dx^
ftlso, weil sin x cos ^ = |- sin ^x ist,

2U=y*^^{\og sin 2^ + log i)dXy
d. i.

2U=i log sin 2ar . <te + |7P log i.

Setzt man jetzt 2^^=t', also 2dx=sdv, so ist

log sin %x . iil^'b=| log sin r . «^r,

120

und folglich, weil für a? = 0, a:=zpr respective «^=0, vssn ist

Also ist '

2£7=:^ / ' log sin a: • iii[2? + |^ log ^.

Nun ist aber, wie ans dem Hauptsatze' der Theorie der bestimmte
Integrale (Archiv. Tbl. IL S. 275) auf der Stelle erhellet,

/^ log sin a?.fifci? = 2 /^ log sin or . </ar=:2l7.
Also ist nach dem Vorhergehenden

2Ü= U+iTT log j, U=Z}7¥ log I,

d. i.

y ^ log sin Ä? .'dar = ^tt log 4,

und nach dem Obigen auch . ' .

/ log coB of . dar =z ^jv log |.

2) Maif setze

U= I a: log sin o? . ^o?.

Weil nach der oben bewiesenen allgemeinen Gleichung

/ a:^ log sin jc . </a? = / (^ — ^)* log siö (?r — ^) • i/o?,
d. i.

/ as^ log sin a: . <te =^ (^ — ^V ^^S **•" «^ • ^^
ist, so ist

0 ==/ (tt* .— ^nac) log sin ^ . da:

*^
oder

0 = TT* / log sin or . da: — ^^ j ^ log sin a: ^ da:,

also

/ AT log sin a: . dM'=i\n J log sin o; . <Äar. ^

Nach 1. ist aber ^

121

/ log sin oß • dx = 2 / log sin as . dw :^ n log |,
and folglich nach dem 'Vorhergehenden

/ d? log sin ap . da: = \n^ log \,

3) Man setze ^

U^^j an sin or* ite,.

so ist nach der obigen allgemeinen Gleichung

LI = f (n — d?) sin [n — oYdop = / (3» -r *^) sin x^dx^
also

ü-srnnl sin ac^d^'^l o? sin ^r^ite

Woraus sogleich ' '■ .

I ae sin ^r^ite = i^ / sin x^da:

erhalten wird, und hierdurch also das gesuchte Integral auf das
bekannte Integral /sin x^dx zurückgeführt ist.

4) Man setze

SO ist nach unserer obigen allgemeinen Gleichung

folglich

V ' ,/ 0 1 -4- cos o?'

oder

^— ^^«/ol-4-cosar»'
Weil nun bekanntlich

/* i/ cos o: . ,

—- rssArctang cos x
1 -I- cos ar* °

ist, so ist ^

118

und folglich

Also ist

und

Ferner ist

und folglich

/,(ar, ai)s=:fp^{(o)yjF{a:)da;.

I3P(^) z= fXa:) fpl^y

9,(;r) = V'(^) / JF(a:)da:.

f{(a, a:) = I\(a) tp(^h

Daher ist nach der obigen allgemeinen Gleichung
oder, was offenbar das&etb^JsV

und folglich

iD welcher Gleichung offenbar das bekannte Princip der theilwei-
sen Integration , enthalten ist, so dais also die von Iferrn Ber-
trand gefundene allgemeine Gleichung diesiBs Princip einschliesst,
und als eine bemerkenswerthe Verallgemeinerung desselben betrach-
tet werden muss.

In dem Cambridge mathematical Journal. T. 111.
p. 108. No. XVI. November. 1842. hat eto uttgenanuter Ckirrespon-
dent aus der Gleichung *

,. •

110

Mbrere bestimmto Integrale auf sehr eifefacfae Weise bergeleit(*t.

Um zuerst die obige allgemeine lileicbung zu beweisen, setze
■SD a — ^ = if, lo ist da::=i — dm^ und folglich

Weil Bun fqr o? = 0» a:^=za respective m = ^r, « = 0 ist^» so ist
ua4 folglich, weil belsaontllcli

ist, • ' ^

wie bewiesen werden sollte.

1) Man setze der Kürze wegen

i7= / log sin op . «te,

80 ist Bach der vorhergehenden allgemeinen Gleichung, weil
eo8 X = sin {\n — jc) ist,

U-rizJ^ log cos Si . ÄP,

und folglich

2Uz=ii (log sin or+log cos a;)(UVy
d.i.

%ü^=, I log (sin o? cos ^) . «te,
^*o, weil sin ac cos ar:^^- ^>i> ^^ ^*l^9

2^=y^*''(log sin 2a; + log 4)ite,

d.i.

%JD'=.I log sin 2a? . <te + |7P log \,

S^ man jetzt 2a? =: t^, also 2«i[ar = «^, so ist

log sin 2ar . dx^^\ log sin v . dv^

l:

l»4

Für a^l '8t —■^1, und folglich nach dem Vorhergfehende

Also ist für a>l ^

^ log (1 — 2a cos ;» + ««) .£Är=:27r log a.

Für a=l ist

1 -*-2« cos jp + a* =;4ftin -Jd?*,
also

log (1 — 2a cos of + a») =? log 4 + 21og sin ^ät,

uod folglich

/^log (1 — 2a cos a? + a*) . <te

= ;r log 4 -f- 2^ log sin ^a: . ۀr.
Setzt man nun |ar = tf, also «&r = 2i^, so ist

/ log sin 1^ . cto = 2 /^log sin r . dv,
und folglich nach dem Vorhergehenden

J Q *öfir (1— 2a «Qs or + a"*) , ite

-^ log sin or • cü^,
also nach 1.

/ log (1 — 2a cos o? + a') .dx'=nt Ipg 4 + 2;r log
woraus sich leicht auch in diesem Falle, nämlich für a = l,

f log O— ^ «0« a? + a») . <Är=i)

ergieht.

Auch das hier angewandte an sich sehr einfache Princij
dient, wie es uns scheint, weiter verfblgt 2u werden.

111.
in dem Jonrnal de Math^matiques puhli^ par J. I

125

ville. T. V. p. 117 hat Herr Lobatto, Doctevr es-scieoces a la
Haje, die beiden Integrale

-.^, = / »in 9 äffV^l — «* sin y*,

n

2

A^^ j sin y* d(pV^\ — «* sin 9*,

wttbei wir annehmen wollen, dass a positiv ond nicht grösser als
die Einheit ist, auf folgende Art entwickelt.

Man setze cos 9 = 0?, so erhält man, wenn der Kürze wegen

gresetit wird, leicht

Alan ist aber bekanntlich

fdaVik^ + ^» = iorl//*» -I- j?« + iM*/(^ -I- l^M'+^a^*).

''»d folglich nach dem Obigen

■^ ^rner ist

n

. Af=J sin 9(1 — cos 9*) 1/9I/I — a* sin 9',

^9*^0 ist aber nach einer sehr bekannten Reductionsformel

^ . ar^i» H- a?*)» — ^» fdxV fi^ -4- ar»
J^K^dssVik^ + jp* = j^^ ^,

folglich

Naeh gehöriger Snbstitution erhält man

12S

4 _??!zii ^ (1-^^) (!+»•») ;iA+^

Es friige sich, ob sich diese Methode nicht vielleicht überhaupt «if
das Integral

An'=^ j sin 5p«i/(i|pl/l — «» sin y»

anwenden und ein allgemeines Gesetz auffinden Hesse* Wenn a
grösser als die Einheit ist, werden die oben fiir A^ und A^ ffe-
fundenen Ausdrücke imaginär, weshalb auch dieser Fall einer be-
sondern Betrachtung zu unterwerfen sein^ dürfte.

Auf eine andere Art hat Herr Catalan die beiden obigen In-
tegrale in dein genannten Journale T. ly. p. 335 entwickelt.

XIV-

Ueber ein Spiegelinstmment zum Eünrichtai
gerader Linien auf dem Felde. \

Von dem

llirrrn Regierangs^Condacteur G. Berlin

SU Greifswald.

fl«* eiMfiehten gerader Linien auf dem Felde, nameatlick 4kt
U0cmmmmm% ir»a ZwMcbenpunkten in denselben, ist hekaBatlick aa
mtA (für «idi «im eiafacbe und leichte Operation , die aar tia n-
4i«A4; MMbifurn Falls ein bewaffnetes Auge erfordert; jedoch hat
4i* Vii^fm |[f9|r#e||iM(»lichkeit darin^ doss wenigstens ein G^ilfe dabei
MAik^kmiM ietf wodurch nicht allein mehr ZeiCanfwaad etfet^ert
}ä\4i; u*hltLfU aiieb bei grösseren Linien, wo gegenseitiges Eis-
r,jcii4ci^ m,mmkm^^n ist, eine Controlle des richtigen Standes der
j6iP«MAiu4Ui« gemacht werden muM. Dm die Gchilfie» ms cmihc
/44- r M'»)4fc *iM:b am einer C'ontrollimng uberbobeB xa seia, tiu
A^tu. v'^ Mci j|1a«b«, mit Nutxeo das in diesem AofiMtsr uü
i^Xi,r^\^xMc Hfiiifr^ftliaitriimeot anwenden, dessen nraktisclie ~
lUaii^iK ^uicm j*4«a Cfeometer aas der blossea folgeade«
iiui>/ .i4i ^ «Mf %H%\m%iik elaicachten wird, als wir ~

) i»/«.»^/.uM«^4. ft^f^btif t sind, dass der Gaataiscke Beliatffw
4bt44(i».oi li« UficiM% Mtt 4m etarichtoag der Spiegel» Mwmil j

127

ist, im einer besonderen Auseinandenetvnnff der ihm znm Grundr
liegenden Principien hier nicht weiter xu bedürfen. Jedoch mug
es in der von mir erstrebten grössern Deutlichkeit Entschuldigung
fiiden, wenn zur Verständlichkeit der Anwendung des Instruments
die Grundsätze der Reflexion rechtwinklig gegen einander stehen-
der Spiegel hierbei in der Kürze wiederholt werden.

Zwei rechtwinklig auf einander stehende Spiegel mb und cd
(Taf. 11. Fig. 1. und rig. 2.), deren spiegelnde Flächen von ein-
ander abgewendet stehen und dem in 6' bellnillichen Auge zuge-
kehrt sind, werden die beiden Gegenstände A und tt dem Beob-
achter zugleich reflectirt erscheinen lassen, wenn der Durchsciinitts-
pnnkt e der Spiegel sich in der Linie AB beßndet, mögen nun wie
in Taf. II. Fig. 1. die Einfallswinkel der Gegenstände A und B
einander gleich sein, also 45® betragen, oder wie Taf. 11. Fig. 'i.
eine beliebige Grösse haben. Da der Einfallswinkel dem Ausfalls-
winkel gleich ist, so wird es beim richtigen Stande in der Linie
immer einen Punkt C (Taf. 11. Fig. 1. 2.) oder eine Linie Ce geben,
worin beide Gegenstände A und B reflectirt zugleich sichtbar
sind.

Hierauf gründet sich nun du in Rede stehende Instrument
und gewisa wird jedem Geometer sogleich einleuchten ^ dass die
refleetirten Bilder Leider Gegenstände, ans einem Punkte gesehen,
den Stand im Alignement der Linie begründen, und daher eine Er-
klärung der praktischen Anwendung auch um so überflüssiger sein,
als diese aus der Theorie von selbst hervorgeht.

Ein Rahmen A (Taf. II. Fig. 3.) ist durch die Balken arg in
drei gleiche Theile getheilt, in denen zwei Spieg^el a und o ein-
gefasst sind. Ein zweiter Rahmen B^ ebenfalls mit einem Spiegel
c versehen, passt genau zu der mittleren Oefinung des Rahmens A
und wird durch zwei runde Zapfen auf der Hälfte bei r in den
Balken gg befestigt An diesem Rahmen B ist ein Quadrant d
(Taf. IL Fig. 4.) befestigt, der mit dem Rahmen A in Verbindung
steht, und zur Feststellung des Rahmens B in der rechtwinkligen
Laffc zu dem Rahmen A dient, zu deren genauerer Berichtigung
nocli eine feststehende Schraube % bei h angebracht ist. Die Stell-
schrauben a:a: dienen zur Berichtigung der Spiegel, insofern a und
L in einer Ebene liegen müssen und c rechtwinklig auf dieser
Ebene stehen nuss. Damit jedoch diese Stellscbrauben eine stete
Wirkung anf die Spiegel äussern, müssen kleine Drnckfedern y
(Ta£ IL Fig. 5.) an dem Uinterboden % befestigt sein. Der Ring
e (Taf. II. rig. 3.) ist zum bequemeren Halten mit der Hand be»
stimBt, sowie der Haken f zum Aufliängen eines Lothes dient, um
den Punkt auf der Erde bemerken zu können. Soll das Instrument
■it einem Stabe in Verbindung gesetzt werden, so lässt sich leicht
anstatt des Hakens /"eine Hiilse anbringen, welcher ein Stab an-
gepssst werden kann.

■Die Berichtigung des Instruments in Bezug auf die Lage der
Spiegel m und b in einer und derselben Ebene, sowie auch in Uo-
ziehung auf die rechtwinklige Stellung des Spiegels c gegen a
und h^ geschieht unmittelbar durch die Beobachtung:. Denn das
reflectirte Bild eines Gegenstandes muss bei richtiger Lage der
Spiegel m und b nicht gebrochen in beiden Spiegeln erscheinen.
Der rechtwinklige Stand von C gegen a und b ergiebt sich da-
durch, dass zwei Gegenstände A und A {^faC II. Fig. 1.2.) in dem

128

ZwischenpuDkte e reflectirt zugleich erscheinen, wobei das Nicht-
gebrochensein wiederam die rechtwinklige Lage der Spiegelebene
c gegen a und ^ aog^ebt.

Eine andere weitere Anwendung als die bereits erwähnte dürfte
dies Instrninent bei Croquirungen finden^ indem sich durch dasselbe
leicht Zwischenpnnkte einer Linie finden lassen, die zu Anhalts-
punkten und zur näheren Bestimmung der Distanzen nach dem
Augenmasse benutzt werden können.

XV.

Beweis der Lehrsätze in Band IIL S. 442.

Von

Herrn A. Göpel

zu Berlin.

^ — 2* "*■ 2» .4« 2» •4». 6« +•••

B)2«,(-l)^"*-\l-|+|--...±j^)

«I* «i«(w» — 2*) iw»(f>i» — 2') (!»• — 4«)

1» 1».S» "*■ 1».3».5»

beide f&r ein gerades m:

CM \^—\ «»»-1» . (m»~l«) (fit«-3»)

^) (—1) — 1 23— H 25715 •••

* -^ 1> 1* • 3» "*■ 1» . 3» . 5»

beide für ein ungerades m.

ß. t.j ß , . ßißr^l) ' ^(/9.4-l).,..(/?^i»-.i)

^ "^« + 1 "^(a-f-J) («-4-2)"*" •• •"*"(a-f-l) (« -4- 2) . . • (a -fr-if)

= ^ n _ ^(/9-f-l)>*>(/9 + ^K
« — /f ^ a(a-f-l)...(a-f-nr

129

6)

l«9.S....fi l.o^it — 1 2«««4-fi— '2

• • • •

«<|-1 • « + 2... a + M a+ 1 •«•+ 1 * tt+2.it-f.2

In den Comm. rec. loe. Gott. T. II. 1811—13 hat Oaoii
bewieMn, dais die Reihe

etifergirt, wofern l + a + /}<<;^ + J ist, und den Man hat f&r

*^*"^l.y"*" 1.2.y,yH-l "*" (y_a-l)! (y-^ — 1)1

Dieie Gleichung iat.aehr unfMiend; aie enthält nnter andern auch
die Formel

A) Setit nan a = -^i ß^ — "ä' ^ ^ ^> "* ergicbt sich

I

A=

(f )l (-f)!

Nqb iit aber (s. d. a. A.)

91

.m-«

I

Folglieh hat mäw

^ 2in'n \mn

mm '

worana Ar ein gerades m das Behauptete hervorgeht.

C) Setat man a = — y—» /? = 2 > y = ^» *® findet sich,

daaa die Reihe divergirt, ea aei denn, data aie von aelbat abbricht,
wna nnr fftr ein poaitivea oder negatives nnfferadea m geachieht.
!■ dieaem Falle atellt sich der Werth deraelben nnter der Form

— dar. Ea lat aber

Man erhält jdaher

• • • • "~ 2 • ■"" 1

oder

TiMonr. 9

199

D) Die Gleichung A) kann auch felgeDdermaiseii bewie-
sen werden. . Bezeichnet man der Kiir^e halbei} den AuiBdruck

(1 — '^) (1 — -j^) - • • (1 — j^) mit q){«)y%o hat mi^ii nach leichter
Rechnung

9W - y(«--l) — (- ir : 2».4«...;4w»' •

il^erden hier fiir n alle Werthe fon ii bis 1 geietet; ao erhilt MaB
eine Reihe Gleichungen, deren beide letzten sind: .^ '

5<2>- SPa)== — PTi^--

m*

V 5P(1)-5P(0)=9(1)-I^^i^.
Addirt man sie sämmtlich. so wird .

,.,«»». . , -. m».(m»— 2»). ..«•• — *(«— i)»
9,(«) = 1— ^+....-|-(-l)« 2». 4». ...41.' 5

folglich ist ji=zg)(it) fiir n^oo; nach der Enlerachen Factoreo-
entwickelung ist aber 9(1»):= — ^~— ßi' ^ = 00.

Auf ähnliche Art ergiebt sich dijs Formel D). Ist nimlich
V(* - 1) - ^W = (- 1)* ; 1».8» (2,+ !)« '

m^

1-^(0) = ^^;
mitbin . . : v

und ZIssl— ^fi) f^r i»=oo^ es ist aber nach Buler^^)=iBlMV^«tfr
für I» = 00; also schliesslich » . . . 1 '

Z^ = 1 — cos ^am. , |

^ ■ - ■ . . ■ ' - ..._''

B) Setzt man in H) a = im, ß = -^^my ^i±=i, r=^h •<>
findet sich 1 + « + /} = ;" + J. Die Reihe B) diremrt also» wo-
fern sie nicht für ein gerades m abbricht. Bezeicnnet man der

^ Kürze halber r-- mit ^m)^ so ist

«r«^_i/2 _ »Km» -2») m(m»-2») (w»-4») .

131

^m-^X) — H-J5 1» . a» "•" 1» . J» . 5« '*"'"^

y(«»)-HK«^«M«»-l) (1 — liTsi — « lt. 3». 5» -...)

und wegen D)

■

Werden nnn für m alle geraden Zahlen von m bii 2 gesetzt, lo
ist die letite dieser Gleichungen

y(2) + 5P(0) = 5>(2)=l;

mithin ergiebt eich:

»(••) = Ä—f - sil -H •• =F + ± 1
nnd darana

Ana dieien Tier Formeln laiaen sieb eine Unzahl ähnlicher ab-
leiten, wenn man aie für ^m=:2 snmmirt oder diiferensiirt; ao
s. B. ertäll man durch ^Ay SB, SC, ^D beziehlich die fol-
genden:

2» **" 2». 4»

i».a»

• • • •

«M— *J 2 ~ * "* 2» ■** 2» . 4» ""

- ^ i*«^| — 2«i sin ^mn J. __ oi* ^, m*.»!» — 2»

^' («•• — !)• ~1» 1» . S» "*" !• . «» . Ö»

to» denen die 2) nnd 3) beziehlich nur für ein nngeisdea nnd ge-
raden M conteif^iren, und die 1) und 4) auch unter endlicher Aus-
debnvng mmmirt werden können^ n&mlich:

in«>-(-J)^ , ^f .^^m»-(-l)«.m».^l»....in»-(2n-3)«
^"^ 2» -t-...-t-l— ir 2». 4« 4ii»

1 jw» - -. m* . m» — 2» .... Ol» — (2« — 2) «

1« ii.jt + *-' + l— *r l».S»...(2ff-fr-l)«

9»

132

aus welcbeD beideo die 1) und A) für »i^oo wieder hervorg^ehen.
E) Setzt man in* die Gleichung 1} /?, 1, a + 1 beziehlicb an-
statt ay*ß, Y^ so erhält man

wie auch der Herr Herausgeber dieses -Archivs in Crelle's Journal
Bd. U. Nr. 36. gezeigt hat Wird bierin a-f-i»+l und /}+is+l
für a und^ /? gesetzt, so bat man

diese Gleicbunir multiplicire man mit — p ■ p *»■ ■* **, » Pi-f- .
und ziehe das Resultat von der dbigen ab, so wird

a — ß ^ ir.a-f.l....cr-4- «'*

Diese Herleitung zeigt, dass man ^it Grunertsohe Sumnation nicht
für einen speciellen Fall der Gleichung für £! halten darf. So wie
man aus jener den* Ausdruck ß herleiten kann, po kann man auch
den letzteren unabhängig von Jbr ei^twickeln upd dann m unend-
licli werden lassen, um. zjir GruDerHsch^o Reihe zu geIaQttep.
Bezeichnet man nämlich den Bruch in obiger Parenthese nift 91^*)»
so ist

1 - y(«) = { 1 - y(0)H- {9(0) - y(l)H- . . . + {^5i,^l)_9(»)t.

Entwickelt man die einzelnen Glieder und multiplici^ mit — ^-j«

so hat man die Formel für E. ^ Läßst man nun n unendlich wer-
den, 80 kann der Bruch 9(1») zwar afs aus einer Reihe von Facto-
ren bestehend betrachtet werden, welche, wenn auch nicht von
Anfang an, doch von einem gewissen Punkte an ächte Brttclie
sind, sobald /?<;a ist. ^ Man vnirde aber zu weit von dcarfWshr.
beit irren, wenn man hieraus schliessen wollte, dass ^(it) fär ein
unendliches n verschwindet. Zum Beweise: die Reihe G) Hb 9 alle
übrigen bekannten Factorenentwicketnngen. Dm den ■ erwäknteo
Scbluss zu ziehen, muss man sich ganz anderer Folgerungen bedie-
nen. Zu dem Ende sei m irgend eine ganze Zahl, ^— /y^and fblr-

lieh aucb >^ — a, ferner sei h eine, ganze Zahl > ^. Betracjiteii

wir nun das Product

so ist klar,' dass es beständig kleiner bleibt als das Product einer
gleieb grossen Anzahl von Fuctoren der Reihe

133

weil die entsprerhonden Neoner, wegpen Aß^l-^Aa^ in dipsem
kleiner find als iu jenem. Das Product 2) nftbert sich aber be-
ständig der Null, denn dnrch Vereini)|;ang von 2, 3, . . . Factoren
deeselbeii erhält man die Wertfce

kß^km-^2' Aß^kmH-y

Folfflicli wird nm lo mehr dai Product 1) kleiner als jede noch
so kleine Grösse. , Die Factoren dieses Products wachsen bestän-
dig, wovon man sich leicht überzeugt. Fasst man also die ersten

A Factoren desselben zusammen, so ist deren Produkt X^ "|"^~)^

oder ( "7 )^. Das Product der folgenden A Factoren ist aus

dem nämlichen Grunde > (j^^^^jj^^)* oder (^^^*j)*, u. s. w.
Mithin bleibt das Product 1) beständig grösser als das ProducC:

%\ r^_±J2 ß-^m-^l ß+m^2 .^
^ ^a + M* a + M + 1' «-f.SPi-4-2'-'^ '

DiesM wird also um so mehr unter jede Gränze abnehmen. Das-
selbe gilt dann auch von

uad acfaliesiIiGh von

ß »H-i ^-f-m — 1 ß^m

a a-4-1 a-i-m — 1 a-i-iii

«••

• • •

ß-^

m-i-l

0-4-

»1.4.1

Debrisreiis bedient sieb schon Gauss in der angeführten Abhand-
lung des Ausdruckes E) bei seinen Untersuchungen über die Con-
vergenz gewisser Reihen, und einer der obigen sehr ähnlichen Ue-
weisfiihrnng. Es wird mir vielleicht gestattet werden, in einem
spiteren Aufsatze eine andere Entwickelung jenes Ausdrucks nebst
verwandten Gegenständen mitzutheileff

F) Setzt man in die Gleichung 1) — a, /}+!> /} + 2 für
tt» ßj Yf so erhält mau

«o

«t . gg ß\ a\

^4-2 "*"/9 4.a"" •'• — OJ-f-a-4-1)!*

Da sieb in diesem Ausdrucke a und ß unbeschadet seines Werthes
vertauschen lassen, so folgt unmittelbar die Gleichung F). Auch
hat man nach Entwickelung von (1 — jcY im folgenden Integrale

/.

(l — of^opf^da: =

«o

• •

l-HO^ ■-'' -^ ß^i ß^2

Snbstituirt man hier 1 — or für ^, so erhält man das nämliche
lotegral nur mit Vertauschung von a und /}, woraus wieder das
Behauptete folgt. Ueber alles dies kann man auch die Gaussische
Abhaadliing nachsehen.

\

184

Man kann auch den Brach

aH-l.a-f.2....(ijH-l) (^-1-2) 0?-frrS),, . '

nach den bekannten Regeln in Mine Parsialbrtiche zerlegen. Setit
man ihn zu dem Ende gleicli ,••:•+- ^ ' \, , + • . . ., so findet

aich pny wenn man ihn mit ß^n+l mnltiplicirt und dann
/}+«! + 1=0 setzt. Auf diese Weise ergiebt sich

cc -|» J. k 0 ■"1*2 • • • • -—fi • ^— ^"t" 1 • • • • — 2 • — 1«1*2«*«'

«

Ourch^ Zerlegung, des obigen Bruches erhält man also einen ^der
Ausdrücke F). Da jener Bruch in Bezug auf a und ß symmetrisch
ist, so folgt wieder di^ Gittichung <F),

G) Man hat die identisdie Gleichung

l«2«***ft

'l •£•••• wn

a^n^l • n f.^j 2 . . . .d | n f. 1

m -H t »in -f- 2 ; > .V ,in^h ■ .

Der letzte Factor, aus n Factoren bestehend, nähert sieh- f&r ein
wachsendes m der Einheit, wovon man sich überzeugt, wenn man
jeden Factor im Zähler und Nenner mit m tbeilt. Alan .kann ihn
deshalb weglassen und erhält die unendliche Productenreihe G).

r '

■* \

\ . .• .• I'

t ! :

. i.

r .

* ■ '•! .« '. , '■

1S5

XVI.

Eliiüge Üatersachongeii Aber die Krümmung

der GarvMi, insbesoBdere über die Evoluten

gegebener Carveh; und einige Bemerknngen

über die besondem Punkte der Curyen.

Von

Herrn Doctor J. Ph. Wolfers

aitronomiseh^o Rechner an der Königlichen Sternwarte zu Berlin.

■ ,\

I.

Einige DntersiicliaDgeii ober die Krümmung der Curyen
nnd iDsbesondere die Evoluten gegebener Curyen.

Zvror wollen wir einige Sätie anfiibrcn, welche sich in Ter*
«ckiedenen Lehrbüchern der Annlysis nnd unter andern in Lacr4>ii^
*Trait^ ^ementaire etc. finden.

1) Iwt p:=i^{af) die Gleichung einer Cnnre einlacher Krüm-
wODg xwiteben ihren rechtwinlEligen Coordinaten, so wird die
Conre g^gen die Ahscissenaxe canv^x oder cancav sein, je
nachdem das sweite Differential der Ordinate in Bezog auf die
Abscisse positiv oder negativ ist.

2) Ist y = 9(ar) wieder die Gleichung einer gegebenen Curve
und |f =^0:'') die Gleichung des die erstere berührenden
Kreises, so hat man die Bedingoogsgleichnngen:

and es findet nur eine Berührung beider Cunren, kein Durchschnitt
statt

3) Ist ^z=if{a/^ hingegeu die Gleichung des die erste Cunre
osculirendf n Kreises, so finden die drei Bediogungsgleichnngen

• ' / ^ _. ^ ^ ^

y — ^^ dx — 7üd^ dx* — rfar'*

statt, und in diesem Falle wird der oscnlirende Kreis die Corvo
im gemeinsehaftlichen Punkte durchschneiden.

4) DieAasahl des, eine Corvo berfihronden Kreise an einem
Ponkte der erstem ist oncndüch gross. Man wird oioüieh von

13«

jedem Punkte der jeoein Curveopunkte angehörigen Normaleo mit
verschiedeDen Halhmessero Kreise schlageo könneii^ welche alle
eioe gemeinschaftliche Tangeote haben und selbst also berührende
Kreise sind. Von diesen Kreisen werden einige durch die Curve
eingeschlossen, andere schliessen selbst die Curve ein und in der
Mitte zwischen diesen beiden Al^beilungen von Kreisen liegt der
osculirende Kreis.

^) Ist (Taf. ll. Fig. 1.) .4^ 4'® Ab^cisscnaxe, DN ^yt gege«
liene Cunre, D^N* ein sie lierührender Kreis, H^A^" ein anderer
dierartiger Kreis und die übrige Beseichnung wie in 2); ab wird
deir berührende JKreis. die Lage IV N' haben, d. h» an d6r conca-
ven Seite dei; .Curve Iiegeki, wenn '

Er w,ird die Lage JD^JÜ/*' haben, oder «ich an- der con^^xen Seite
der Curve befinden, wenn

da:* da:*'
In der Mitte dieser beiden Bedingungen lieg^

da:* "" 4to»'

und in diesem Falle geht der berührende Kreis nach. 3) in den
oJculirenden über, welcher weder ganz an der concaven-i noch
an der conveien Seite der Cnrve liegt, sondern innerhalb gewisser
Gränzen mit der letztern zusammenfällt. ^

6) Ist wieder y=<)p(^y die Gleichung einer gegebenen Curve
und bezeichnet man den Radius des osculirendeo Kreises,' d. h. den
Krümmungshalbmesser durch /^ die Coordinaten des Mittelpunktes
eben dieses Kreises durch a und ß, so haben wir die drei Glei-
chungen

(dx^ H- dy*)i ify(da:*^ify*) ^__ da:*-^tfy*

^— da:.d^y ^x-^-a— ^^^»^ , y— p_ ^^ ' .

7) Die Gleichung einer Curve zweiten Grades, bezogen auf
die Axe als Abscissenaxe und den Bndpunkt derselben als Anfangs-
punkt der Coordinaten, kann allgemein dargestellt werden durch

y^ = mac -f- isar*.
Hieraus erhalten wir

dy = — — — da;, da:* + dy*=:^ j^ da:\

m*

Snbttitnirt man diese Werthe in den drei Gleichungen (6)1 sq wird
nach einiger Transformation

1S7

'', Hy»-H(w-Ha«Mr)»|»

•' ' — 2|4»^y» — (w-i-ai««)»|

1

oder weDD man p* elimiDirt und reducirt

, ^ } 4(mjr 4» na;*) ^im-^- JJna:)* \ I

Für eine Parabel ist ii = 0.und y^^Jül^t^!^

. Ellipse - « negativ - y = ^-^ ^^i-^ "^

einen Kreis - i» r^ — 1 - y =: ^
* eine Hyperbel - i» positiv - y = ^-^p ^-^.

^Ür den Scheitelpunkt ist dr=:0, und J

4« h. der KriimmuDgshalbmesser im Scheitel ' einer Curv^e zweiter
Ordniing stimmt fiberein mit dem Halbmesser eines Krf ises, 'der iiiit
4eiii halben Parameter als Radius beschrieben ist.

8) Snbfltitnirt mÄii ebenso die Werthe von ify und d^ff in den

oben f&r'^^^'^^a Und p — ß gefundenen allgemeinen Ausdrucken,

^vd eliminirt miltt y vermittelst der Gleichung* der gegebenen

Oorve, so- erhält man zwei Gleichungen zwischen of, a und fi»

Kliminirt man endlich a: aus beiden, so erhält man eine Gleichung

«wischen ,ß und a, d. h. die Gleichung der zur gegebenen Curve

g^ehörendeo Evolute oder, wie sie auch genannt wird, die Glei*

«hang der Gurve der Mittelpunkte.

9) Für die Parabel ist

^y=-:Si^*

—

also

Sr-/? = 22^^.^=;^4-Sf, oder/y = -

Ferner

7^ da:.^ rZ da:*

Da aber für die Parabel ^' s= ma:, eo wird hiernach

4P — a=s — 2« — \m oder ^=S'}(iDi«-|M).

IM

Oben war

^ ^^ MnioA KoA

^ "^ m* »»' . . «»4

und, weDD mBn hier den eben ^efiind^nep Werth von x f ubf tituirt,

a ^ 1 (g — if»)l

* . ■ '- - • -; . ...

oder auf beiden iSeiten ina Quadrat erhoben:

• - ■ .

als GlMchiiBg i^er der Parabel entspreohenden ßyolate«

10) Ist (taf. 11. FifT. 2.) X^or die Parabel, ^i? ihre Axe, J
ihr Scheitel und der Anfangspunkt der Coprdinaten; ao erhUt man
ffir ß = 0

diiaselbe, wy wir oben als Wer^ von / fUr den Scheitdpoiikt
gefunden haoen.

.Ist AD^=i\my so wollen wir für die Evolnle den AiiiiBg8|iaBkt
der Coordipaten nach D vetleg^n^ aipo o! statt «-r-4ai setsan, «ad
erhalten dann fOr die beiden Zweige Df und DF der Bvolnte die
dnfache Gleichung

IMeselbe entspricht einer Parabel vom dritten Grade, inde«
man alle Curven, deren Gleichung die Form

p9 = masP

haben , unter dem allgefoein^n Namen von Parabeln begreift und
sie unter einander nach dem Girade des Exponenten unterscheidet.

11) Wickelt man also einen Faden um Dfy so muss sein über
D hervorragendes Ende =AD^=lm sein, wenn man die Para-
bel Xjijp durch Abwickelung desselben, beschreiben will, W&re
die Länge eine andere, etwa jDJ,^so.wird statt der Parabel AX
eine andere Curve beschrieben werden, deren Krümmungahalbmeaser
im Scheitel kleiner, nämlich znDJ ist. Die Krümmung selbst
itai Scheitel wird zugenommen haben: und wird immer grösser wer-
d^, je kleiner JDJwitd. Fällt J mit D zusammen, so ist der
Krümmungshalbmesser ^er durch Abwickelung beschriebenen Curve
= 0; also die Krümmung oo.

12) Die Länge DF der Evolute ist gleich dem unterschiede

MF-^AD
der, beiden Endpankten eatsprechenden KrümmungshalbmiBaaer, «ad

1S9

da diese sich (nach 6,) immer darstellen lassen, so xeigt es sich,
dass die Cnrve FDf rectificabel ist* Diese Eigenschaft frilt
nicht bloss für die vorliegende Bvolnte der Parabel, sondern tttr
die Evoluten aller algebraischen Cnrven Überhaupt.
In der That, setst man der Kürie wegen

16

so ist die Gleichung der vorliegenden Evolute

^■erans
^iid wenn eine unbestimmte L&nge der Evolute durch v bezeichnet

—*-«(»+ s:«0«-

13) Bcknfii der ^adrirong der Evolute haben wir

and wenn # in T(b£ .11. Fiff. 3. den durch Df^ vi and /? eingeschlos-
sencB FlachearBMu bcseinnet.

net,

ihm i 4m ibcr «" nnd /? geUMcten Rechtecks DGfH^ wogegen,
wcui statt 2lf eine PaanM gmomen wir«, der durch difse und
ihre €««rdinaten einyeachlgseena füdbennu« \ des entsprechen-

14) Um den FUchennwB an hestiBmen, welchen die dnrdb
Pasdiihang 4er Evninta mm die Aze ^IT hndmU^emm geweihte
Ohcfffichc hat, haben wir den Aandrack

S = tM /h^di^ + ii^=tM\/^/lM^l+^t^

welche» sich durch lategratiM ein geschlaweaer Anodmeh

' >«ilich €tmm wrMinig int. Setoi sm

140

•o wird Dach einiger Reduktion

UDter Im hyperbolische Logarithm.eji Terstanden. «

15) Um deo Cubikiobalt des dnrch Umdrehnng om uäß er-
zeugten Körpers zu finden, haben wir den Ausdruck ^

also ein. Viertel des Cylindiers, dessen Gruadfläcbe /^kUfa; Radius
bat und dessen Höbe =a' ist. Wäre Df eiue Parabel, so würde
der ihrer Dmdrebung entsprechende Körper Mer Hälfte jenes Cjlin-
dcrs gleich sein.

Man kann daher eine der Construction des Archimedes ent-
sprechende Darstellang angeben, wodürclt' das 'VfN'hältniss eines
Cylinders, dessen Höbe noch einmal'Wo gVoss'iili^ d^r. Radius seiner
Grundfläche ist, zu den beiden Conoiden, deren erzi^gende Cunren
respective eine Parabel und die Evolute einer Parabel flind, «usge-
dräckt wird. Die Höbe des Cylinders soll hierbei die gemeinschaft-
liche Abscisse der beiden letztern und der Radius der Grundfläche
des erstem die zugehörige Ordinate bezeicbnen. För die Parabel
wäre demnach

f^^ = mä?j y = -}ar, also ar = 4M;
fär die Evolute

ß^=paf}, ß=W> «'=:4=5*»-

Wir erhalten dann da? einfache Verbältniss des Cubikinbalts der

«;esammten drei Körper, indem 'man den Halbmesser der Groud»
äche des Cylinders oder in Taf. U. Fig. 4. BF=r setzt:

Cylinder BCED = %r*n .
ConoU AGB CJBrj = r^n
. AJBCKA = lr*n

also Cyl. : Par. : Evo1.='4 : 2 ; 1, wogegen bekanntlich Cyf. ^Kv-
gel : Kef(el = 3 : 2 : 1.

10) Für die Ellipse ist die Gleichung der Kegelschnitte

y»=5j(2«a?-a?»)

■*» .1

und vergleichen wir dieae mit der in 7) angestellten all^meiBera
Gleichung, so ist hier

141

_?*! _ !^

*•— a* * — ""#«»

wobei der Anfangsponkt der GoordinateD mit den EndpoDkte der
groMen Axe 2a zusammenfällt und wo d die halbe kleioe Axe be-
leicboet. Um die Sache etwas zu vereiufacben, verlegeu wir den
Anfangs^ankt der Coordinaten nach dem Mittelpunkte der Ellipse/
und haben dann bekanntlich für die letztere die Gleichung

y»=:^(a»-*«).

» • -ti •• • ^ .

Ans ihr folgt '^

4. — — "** £. ilL -*— . f^

^o

«-liJ»

e*

a'

gesetit ist.

SubstHniren- wir diese WeHhe in den oben io 6) avfg^tellten
illgemeiiieii Ansdricken von ^ — aiind y — ß^ so wird

____ b^ X b* g.* — #*x» fl'y» g* — g» JT»

p b* g» — ^»or« 4i»y» g» — g» JT»

oder andi afas der ersten- von beiden

US der zweiteb folgt

Q jt g* — g*J:*^

/*=Fy(V iTi^ — )

^^der nach einiger Transformation

II. /»=_f!f'y».

•

Wenn man zuerst y mittelst der Gleichung der Ellipse ans II.
^nd dann ans 1. und 11. of eliminiren wollte, so würde die resul-
tirende Gleichung von einem hohen Grade ausfallen. Zweckmässi-
ger därfte es sein, zu den in Beznff auf die Evolute der Ellipse
anzustellenden Betrachtungen die Gleichnogen I. und II. zu oe-
DUlzea und damit die Gleichung der Ellipse

»'. y'=S (••-*•)

so verbinden.

142

17) um die Pqnkte anf AB mABC Taf. II. Fig. 5. zu finden,
in denen die Evolute die grosse Axe schneidet, setzen wir

also Dach IL ^=0
. - n 111. «'-rorfssO' oder «ssi|=4i

und - I. a = =t:--::5r ==*r — ~ — :=db«tf*.

Der vorletzte Ansdruclc von ä eignet sich am besten zu der in
Taf. IL Fig. 6. angedeuteten Construction.

AB^=za, ä)B[:=zBP~iae^ 0Qz=JBP=^

«6 .ae

l^il'JOfss RG = M* sind 1* und O dSelb tontcKsekiii^i^^
und zwar wird

F dem Punkte A^

G •■:. - C

der Ellipse entsprechen.

Dm eben so die Durchsfhnittspnnkie auf ^ DBE m erkalten,
setzen wir, da der Anfangspunkt der. CoordinntenaiiA in ß be-
findet,

■ assO 'v\ •.. ^

also nach I. ^=0

Nach dem vorletzten Ausdroeke lässt sich der Werth von ß finden;
man erhält so die Punkte JT und JL und zwar, weil y und ß ent-
l^egengesetzte Zeichen haben, wird

/« dem, Punkte jD,

der Ellipse entsprechen.

18) Aus L folgt da=^^ da:,

. 11. . ^ß = .lJS^ify^'

,. * 'H .'

0''_ "' i^'p*'^

Aus Ilf. aber ergiebt sich'-
mithin

■ * > *

148

da IP x' m*T^ X W

und aaeh

dß _ Sa»

di— b* ^y-

Da BVD »llgenein

80 haben wir sn dieMm Ende

djf S«» rfV *«' .««» «ft^

nndi Bo

endlich

In 10 fern alio y negeti? isf, wte Meir nnterhalh ACf ist das
sweite Di4brcDti.nl der Ordinate der Cnnre fjfCO in Besag auf
die AhtCMa pqiitiy; iit y hing^flpeii pötitiTj wie hier ober«
halb AC^- io wird jenes sweite Differential negatiy; daher ist
nach 1) FKO und fLO gegen die Abscissenaxe con?ex.

19) Diese Corte der Mittelpunkt« oder Evolute der Ellipse
nnss nnn rectificabel sein.

In der That wird

K^-*-ij-* = ;^* *** -hi

144

• . A

Um die Länge von FK jxl erhalten, müssen wir dieses Integral

Ton a = — ne* bis a = 0
oder

- a? = —- « - a? = 0

nehmen und erhalten so:

20) Um die Fläche FKOL zu quadriren, haben wir

Wenden wir nun pach einander folgende Integralforiieln an

— (•• — V)a/\a 4- «ir»)^«'^»<*rj

»

H^CAT^

so erhalten wir

— !«• arc sin T"! "^ ^- '

146

Zur BeBtimmnDg der Fläche FBK näMen wir diess Integral

von a = — ae^ bis a=rO
oder

TOD o? = — a bis o? = 0

erstrecken, und da für den erstem Werth yon ae
fiir den letsten Werth von a:

»

fßda = 0
ist, so wird

und

/•«*:= 1 --^

FKOL = A . FBK=i ^^

in welcher letztern Form sich der Werth auch durch die in der
Figur enthaltenen Grössen veranschaulichen lässt. Denkt man sich

nämlich zu FBi=sae^ als halber kleinen und BKi^-t- . ae* als

halber grossen Axe (17) eine Ellipse construirt, so ist ihr Flächen-
inhalt = -T' ae* ,ae*n, und der Flächeninhalt der Figur FKOLz=l\

von jenem.

21) Zur Bestimmung der gewölbten Oberfläche, welche durch
Umd^ehiing um die Axe FO entutebt, haben wir

#==2^ y/?\/i^»-HiÄx»= — 2jr5!^ ^ fy^Va^-^e^w^ a:d»
— "" 1^ /(«• — AT») »/(«» — AT*) («» — tf»«r») ^ndtr

Nun ist a' + a'«'=2a*— ^*, ferner setzen wir
TMi lY. 10

f

146

l/»* — (2a»— ^»}Är»rH^*a?*Ä V^«r— (2«» — ^»J« + e»Ä» = l/S
80 wird

Das zweite Integral geht über io

Hiermit verbuDdeo das erste
so wird

6e^yr . 1 „| h^ 2g»g — 2o» -f-^» ■ ^-^

L«

Ä« 4Ä*e* — (2«» — Ä«)» rdx

/AI

6e*7t . 1 „I b^ 2g»g — 2a»+^»

_^J_J_, 2tf»g — 2g» -4-^^ H" 2g^^ .
4«» 8«» # '* 2« . '

* ■ •

Um die der UmdrebuDg von FBK entsprechende Fläche, d. h. die
Hälfte der ganzen zQ erhalteni muss das Integral wie in. 20)

von a? = -^« bis a? = 0
d. b« - « =: 0» - . s = 0

erstreckt werden. Ffir den ersten Tferth wird /i = Oy för den
zweiten il = a^, nnd so diese Fläche^

22) .Um die Cunre zu cuMreh haben wir

^ 4

147

Für die ganze Evolute ist dieses Integral zu erstrecken von
07 = — a bis or = + a, daber in diesem Falle

Ott«« , . J2 o»««

105 ^ "i» •

/^=ijji j|-i-H|-ij«;=^^-.-

Diesen Ausdruck kann man au^h folgendermassen schreiben:

und wenn man die in 17) j^fiindenen Werthe der halben Axen der
Evolttt^e, nämlich

• Fä:=zäe^ mit B

b

bezeicbnet, und die letztem Bezeickniingen in den Ausdruck für
Ä" setzt,

jr=^ n A^ .B.

Der Cobikinhalt eines Ellipsoids, dessen beide Axen A und B^ und
welches durch Um'drehnng tfm die kleinere B entstanden wäre,
würde dagegen sein

^ dMW «te das ¥etlkiltniM hat

oder

K '.K=—i j§=a5 : 8

^=35 f-

23) Die lihr die Evolute der Ellipse gefnndenea Avidrfieke
g'ehen in die, der Evolute des Kreises entprechenden über, indem
Bau « = ^, « = 0 setzt; alsdann wird aber nach 16)

L a = 0, IL ^=0, HL y* = a* — ät»

d. h^ die Evolate des Kreises ist keine Cnrve, sonders ei« Paffkt^
uttd swar der Aafsagsfaakt der Coardiaatca, welcher hier 4ttrHii*

10*

telpuokt ist. Diess ist eib Reinltat, welckes. man freilich •nel:^
oLne Caicul h&tte erhalten können. -•

24) Die Betrachtungen über die, der Hyperbel entsprechenden 9-
Evolute werden sich dadurch vereinfachen lassen, dass man an«
den für die Ellipse gefundenen Resultaten einzelne durch Analogie
für die Hyperbel ableiten kann.

Die Gleichung der letztern, £ir den einen- ihrer Scheitel als
Anfangspunkt der Coordinaten ist

und vergleicht man diese mit der allgemeinem Gleichung der Ke>
gelschnitte

so ist in diesem Falle

Verlegt man den Anfangspunkt in den Mittelpunkt B (Taf. IL
Fig. T,) des zwischen beiden Scheitelpunkten befindlichen Stücks
der Axe, so wird die Gleichung symmetrischer, nämlich ,

y'= 5 (**-«*)•

Aus dieser erhalten wir

1

dy

Ä»

X

d^y _

Ä*

dx

«»•

y'

dx^~

«V

^

^

'-hda:^

6^x*

+

1 =

b^x

'^^»^(b^x

»— Ä»Ä*)

»

dx^

a*y»

'

a*y^

-

*

b^x^'ia^

-f-^»)-

- a^b^

t

-

a^y*

oder wenn man, der bei der Ellipse angewandte Transformution
analog,

setzt:

dy* -f- dx* b* .e*x* — m*.

dx* — a*'^'^^ '•

Setzen wir diese Werthe in die allgemeinen Ansdrucke von jc — a
und f — fi (6), so wird

b* «»a?» — «•

b* X
o? — a:

b* X a* y* • b* X , . ^ .V a*y*

2 •

bi — —^Zi (^'^'-«•) "ZT

«' y ä* a* y\

«»y»

JC

J

149

and hieraus

ff[ Ferner

.ff'

y-^=SJ — ^i — •-Är=y — ji — = y

= y- — ji —

and bierans

II. ß= — jrP*'

Aqs dem entgegengesetzten ' Zeichen in 11. geht hervor, dass wie
bei der zur Ellipse gehörigen Curve der Mittelpunkte zu einem po-
sitiven Werthe von p^ etwa jLJUj ein negativer Wefth von ß^
^^ gehört und umgekehrt. Demnach wird

die Curve JIJ dem Zweige CE der Hyperhel

- BK - - • Co -

^^tsprechen, und ganz ähnlich für den zweiten Theil FAO der
Byperbel.

Man könnte nun y ans II. elirainiren mittelst der Gleichung

IH. y»=^(a7«-a«)

Hnd aus der tesultirenden Gleichung und I. a: fortschaffen , um so
«ine Gleichang zwischen a und ß zu erhalten, welches die der
fivointe sein wurde; allein wir wollen lieber, wie wir es hei der
Kilipse gethan hahen, die drei Gleichungen seihst benutzen.

25) Setzt man zunächst /}=0, so wird aus II. -^=0, aus III.
a?^dbaF, ans L a = =j=«e'.

Diese beiden specielien Werthe von u. geben uns die beiden
Poakte H und H^ der Evolute, welche re^ective den Sebeitel-
pnnkten C und A entsprechen.

Die Don weiter folgenden Betrachtungen werden, wegen der
gaBx gleichen Form der beiden ersten GleichungeD mit dea für die
Ellipse ihneD entsprechenden, auch den dort anj^estellten sehr nahe
kommen, wesshalb wir nns hier etwas kürzer raaseii und die dorti-
ges Renitate ahne Weiteres anwenden können.

Wir hahen deauuch

s^ ^m^ jß dg^ dg^ ^ £.

da~ k*' x*^ dj^ dx~ a* y^

als«

df _«^ jK^ ^ä£

du y^ X dy

156

da ^ 3£^ 3 d^a 6«*^ h

X

3fß» _ 3«^ b^ dP .

und 80

— ??!£! |?£!^ 5f!£!» 3g^;gy 6g»a>j

.1

«•

Es gelten daher auch hier dieselben Regeln wie 18) über die
yexe und concave Form der Evolute.

26) Zur Rectification der Curve haben wir die Gleichung ■

K *** |j (^* -: «') + ^*^'

oder

27) Zur Quadrirung der Evolute haben wir

und hierfür findet man nach denselben drei ersten Integralfonieln
wie in 20) und der vierten

9
I

4x

fv^. = j^*H-K7H-V:+15r)

• ^

28) Zur Bestunmung der gewölbten Oberfläche haben wir
# = 2;ry^»/i//J»-H£/a» = — 2;r^ ^Jy^a:da:Ve^x^ — a»

f^anx denselben Ausdruck -wie bei der zur EUlips^ ffehörigen jBvo-*
Ute, nuV mit Entgegengesetzten Zeichen; also nacn der dortigen
Aiiseinaudersetzun^ in 21) . ,

^csetztr .

y^.^__ J_ ^^ 2ä«« — 2«»— Ä»+2eV/Ä

X '

2«

4a»i?* — (2a» -H^»^» = — Ä* 5

endlich

_6£^ j J- jM , ^* (2g»ag ^ 2g» ^ ift«)Vg
*"^ Ļī « 6e» • ^*^ **" 4«» 4«»

:ujil . J. /« 2.^*-2a»^P+2^g> ^ ^

4k5» • 8#» "'• 2»

29) Zur Cuhatur erhalten wir dKe Formel

K=nß- ^==n^ ^J'y'a:-da:

152

' lue* /*

11.

Einige BenerkoDgeD ober die besoDderD Punkte der

Cnrven.

Ist p = q>(a:) die Gleicfaong einer €anre, so nehmen die posi-
üveu Ordinaten so lange an Grosse zn, als ^ positiT, nebaien

hingegen so lange ab, als ^ negativ* ist Wenn also in eine«

Punkte der Curve ^ vom Positiven zum Negativen iberg^ht, so

ist das demselben Punkte entsprechende y ein Maximum, im est*
gegeogesetzten Falle ein Minimum;
•Ist z. B. ^

p=d + c{aF — a}^,

so wird ^ dem Zeichen nach dem von of entsprechen, je nachdem,

m beschaffen ist.

1) Es sei m grade, also m — 1 ungrade, so wird

{oT — «)"»— 1 negativ wenn ^-<a
positiv - a:'^m
es findet ein Minimum statt - x'ssza.
Denn für a:=ia — h wird y=Ä + rÄ*»
und - ar=:0 + >i - y=zb-^ch'^
also beide grösser als fiir ar = a, wo y=^.

Eine Grösse gebt vom Negativen zum Positiven über entweder
durch 0 oder durch oe. Im vorliegenden Fnlle findet das Entere
atatt, es ist also im gesuchten Punkte

d. k weil ^ die trigonometrische Tangente des Winkels beseieli«
net, den die Berübrungslinie Im betreffenden Punkte der Cum mit

15S

der

pinlH «« MM m Ta£ flL F^. !Sl

= iu

Mu

s»»

Mgt

y=

4 L ia ff^BJIi M hJL das Elcaeat der Cure ttiBe grade Lioie^
wckkc yralltl bU der AWciiienaxe fert|i^ebt; eto ReamUt^ wclclics
icr Sacic aack ait des rarina ibefeiasliauit»
Ware die fgefceac Gleiehaog Atr Carte

|f=^ — c(jr— ar)»,
M wild

«id Ucr fgAX ^ raa -|-aMii- '^ f3r jp=Lm — A

dareli 0 • ^ = 0

iber, daher iadet ia dieseai PaHe ein Maxim am in M (Taf. II.
Flg.!) Halt.

2) bft ia der enrtea GleicIinDg

yz=sb^e{x — «)*

maigrade, also m—X grade, so wird» für ^=:a — k,

ud lach, far « = a + A, ^

4x

■rf n der Mitte liegt, für x^a.

^ = 0.

EnMazimam oder Minimum kann daher in diesem Falle nicht
ilittiadea. Betrachtet man aber das aweite Differential

IM

VikKv.^N^;».)^'?- ^-^f* llNMi4.s W V Tut IL Fig. 10.), in weicben «n
a _ ^ ■ >>^ wL^>*k bJLtt^ir MMk 4>4tfm ib«rgebt, wird eis Wci

Kuc c t»e^9C^>* v^ i^ 4!M'««miK Toraasgeselxtea Glcidi
wurU« ai« Ottc«<» um^Ai^Iuk \^mi der convexen Font gc^ei

uuü iu;^ ai^>^<i; l^vWn^ MtehM wir durch zweinalige :

,Uk i^c^v Uuu^ t'^ua )i<4ui»«i bui^ 4» k in Wendepunkte ist
Klviui i»t Av4 Tvuw }i«uJii*ui^ H4id di«<i« |^r«de Linie gibt, da

*.»»uU»* »* ***** KivUtuug üi^r 'l\ttg«»t« Jf#r in ^ bo.

i>l»i*u Uubuu wir d^ii^ KruiiuiMiAfiik^bnesser einer Carve

^«aMiiiUu. ly» voiUi4|[uu4«tt Fidle wird ttr den Fnakt Jf

1*1»;"

a. b« 4«r l^<uuimuugi|Ul|||u^^. un^dliq)! grMi, die Krittm
uUo un^o^tic*« klein oder vldn^hr das Ble«Mt ki ilf gradlisig

155

3) Es sei M ein Brach, dessen ZSbler gnide and Bfenner un*
grade, etwa m = t; so wird uns

I

dx ^ (a: — a)4'

aUa für

^ = is-|.Ä, ^=^.|-_.

• r

^A liier ^ darcL oo vom Netgatiren xniä Positiven übergefcjtV iä{
fi»4el in Pmkt üf ein Minimum stott^ denn sowohl -

;' :,

.1 .

als auch - ^ = aH->» - yz=:b^chl,
^^n^f ist in M (Taf. II. Fig. 11.) die Tangente, wegen

dy . '

■ ■ ■^='*' ■ . .

I

^^iikrecht auf der Ahscissenaxe. Da

: ) ; : ;

d*y c

5i»=^'^*** (ar — a)l

**tid so

■ , d*y '" ' . c

^0 ist die Curve diess- und jenseits, ^ gegen <lie .Abscisseoaxe
concav und der Punkt M kein Wende^rtilikt. In Jf ist für af=:a

d^y

— — =: 00.

dx^ ,'.. ,::.

Dieser Punkt, in welchem 4^«^' Curve hei der V^freinignng der bei-
den Zweige BAf und JSM (Taf. II. Fig. 12.) plötzlich innehält,
wird Kehrpunk't geoanut. ^

Für c negativ wird M ebenfalls eift Kehrpunkt, PM aber ein

dt/

ll(^xim^Dl» iii4iem, nun ^ d^rch od vom PosijtiKQfi, ^fujni Kfigativ^
ihergeht- ■ • jm)'"' •■ ^*> =v;-ii'»f^ .,■'•■■■' »"'^.li .li^ .,.

* /

(1

wird iB Fntkt Jf=0« ifie KriwnMwy ala» mgi^licfc

jnKJi dar Fail md aius. 4m die Cure, «iine im BoKas* 2^

«Micr €©■▼«« For« ikre Läse $«$« <*»« Ihan— lamxg u änden

^=0 •dcr=:aL

fl» Cadet OB BbaImbm «der WiniMnw tab jf
S. ^Mt fiMitiveB xm ^egaävvi «der iM^wliiltl

fcciB ZeidbcKwechflel atatt; a» orgibc ae
cn Hiannui. i««deiii eiv Weadepnkt.

4) Die Tan^cBie «a WaidcpMkie

«ce« die Abcciaaeaaze eise araav wülkäkrticke Lan kak«a J.
^ ja die Lage der letztwa Liai« bcüeU^ mdum kauT'lW
entere Paakt liadet nck stets.

^ = ieder=;

seist nad ^ Ter aad kiater dem gifindeBca Ptekta mradüedeae

Zeickea hakea, letzterer Uagegea^ weaa 4am ZeidbeB
Ueibea.

Wäkread

3r = *H-^Jr — •)* fir jr=», jf=KarawK
ud ia Widea Fällea daea Kekrpaakt Jf ergtbea, «liaitaB

fiv ^ = 0 eiaea Weadepaakt, weil

aad weil

^3B far jt^m

^. _ . d»3i . •#

= • + *, SÄ=-

Die OffAMte Udibt in Widea Fillea icett aad die Chm»
sich daher aaeh heidea Seitea hia vaa jeaem Ptekte «hl

157

Hätten wir dagegen die Gleicbang

y = Ä -I- €?(a? — «)l

10 wird y imaffiaär für ^ = « — 4, also codet die Cnrve mit
den kleinsten Wertlie ^ = a, in welchem Falle y^b\ hingegen
fiir jeden Werth ^ = 0-|-^ wird

yi=:6zii cM

80 dass jedem Werthe a + A von of swei Ordinaten entsprechen,

velche unter sich um tcAl verschieden sind, wie in Taf. IL Fig. 13.

in welcher M den Vereinigungspunkt beider Zweige ME und ßi!)

bildet.

Um die bisher gefundenen Relationen au einer bestimmten

Curve danastellen, denken wir uns den Kreis DFE fTaf. 11.
Fig. 14.), welcher auf der Linie DO fortrollt. Bin innerhalb der
Peripherie gelegener Punkt R wird alsdann eine gestreckte
Cjclo'ide beschreiben.
Setit man

RC=za

EC=r

und ist dej enengende Kreis nach HO gekommen, so dass, wenn

<DCF:=:ff
OD=:rV',

s<» wird der erzeugende Punkt sich jetzt in K befinden, indem
JLHzzsiv. Die KM, senkrecht auf ED gefällt, sei die Ordi-
4e y und RMziza: die Abscisse des Punktes K\ alsdann ist

liieraus

a:s=a — a cos r,
y=Lrv-\-a sin v;

-j- = « Binr, ^ = « cos V

dy d^u

'T-^ = r-\ra cosr, -r;i = — « sin v

dv — ^ -1^- vw.^, ^

«Od da

dy dx d*y dy d*x

dy dv d*y dv ' dv* av ' dv*

dx dx^ dx* "^ i^M '

*^ Wird, nach gehöriger Substitution:

ify T'-^a cos V d*y a-^r cos v

^ 0 sin t; * dx* """ a* sin v*

k ^Av vssO, d. h. für den Punkt R der Curve, wird also

158

g = oe und 0 = «».

Die erstere BedioffUDg sagt^ dass io Mi die. Tangente der Oot^tb
jAT* «enkrecht aui der-Abscissenaxe ist.

. ■ -• Da ferner für

- 1.-.-

r-4.0 cos a

dy

dx a sin a ^

+ du , , r + a cos a

. ax u wxi ff, ^

« •■*•• ■ ■ ....

80 ist in. dieäem Punkt y ein Minimum, nämlich '=0.
So lange

i. ; 'l . " . a + r cos t^^O,-

. i«l ' ' • . ' •

' «» ' • d*^'- "■ ■ ■"

bHH ^ negativ, also /LST gegen /IZ^ coocat. Für

a-^r cos i; = 0 also cos v=z

r

wird

und es tritt der Wendepunkt der Gurr^ ein, indem für

I
• a + r cos r-<0

d'y ■■•'•■■'■. . • . . V.

-^ poßitiv» also die €ur?e gegen ./IZ^ oonve^K wird^ FOf'.deB

Wendepunkt hat man

Für «^=180® wird -^ = oo, mithin die Tangente wieder senk-
recht auf HD, Ferner 'wird iu diesem Puükte

da:. . g sin y ^^_^ rt
rfy "^ r -#- « cos t;

und

c" i'oA« ^ • » sin a

für «f=:180*> — a. •x- = H « —^i

^ dy . r — a cos a

iQn« . dx a sin a

^ dy r — a cos a '

mithin ^ = 2tf ein Maxim um.

Drücken wir, nach flimination von e^^^^^urch o? aus, so wird

y = r.arccp8 — T— -|-'«l/ ^(2« — as)

169

und es würde also für i^^Sn, y i mag i Dar werden. In dem
Punkte, der durch

.v=180«

bestimmt wird, findet ein Zainammeti treffen zweier Zweige der
Curre statt, und in ihm wird

y'=^nt.

Da endlich für denselben

00,

und

für f;=180*-a, ;7^=+ ^a'.;» ^. positiv;

- f; = 180<»

a.

dx\

d*y

fite»

n» sin a^

r cos a — 0 ..

— « — = — : — 7 negativ;

so ist der gefundene Punkt gleichzeitig' ein Wendepunkt, in wel-
chem'die Curve vom Convexen 2üm Concaven in KeEUg asf die
Abscissenaxe übersieht.

Von diesem Punkte aus geht ein neuer Zweig der Curve an,
in welchem von fr=180° bis t^s=^60** dieselben Verhältnisse,
welche wir für die beiden ersten Quadranten von v gefunden ha-
ben,, in entgegengesetzter Reihefolge wiederkehren.

' ' "^

■ * f • ■ ■

'•

;:"v;i ii-.t:u .

■ • O - ' ■

XVII.. .^..v.,.:-...<ii-vr

JDI I g a bt e., •■ ..f :

Ton

Döctor Anton Y alias

zu Wien.

: %

•■J- ii

T— ^

Es sei

Ml

mr«! — 1)

• < '

f. .

1.2

. .-.•■':•

•» .

■ ■

160

"*• — 1.2.8

««(»4 — 1) . . }«t — (k— 1){

M m 4& m » » K

•o hat man^ wenigstens für jedes ganze positive mz

(— )'— 1 . 2«»,«r2r-l (r- j»- . 2«f2r*

Man verlangt den Beweis dieses Satzes.

■ \

XVIII.

SammliiDg physikalischer Aufgaben nebst il
Auflösung. Zum Gebrauch in Schulen und behn
Selbstunterricht Von Pr* Friedrich Kries,
Herzogl. Sachsen - Coburg - Gothaischen Hofratli
und Professor, mehrerer gelehrten Gesellschaf-'
ten Mitgliede. Mit zwei Kupfertafeln. Jena,
Friedrich Frommann. 1843. 8. 15 Sgr.

Von
Herrn Professor L. Kunze

zu Weimar.

Die Physik bietet für die Bildung von üebungsaufgaben, die
mit Hülfe der elementaren Mathematik aufgelöset werden könoeo.

161

«ineB lo reichen Stoff dar, daii man lieh hillig wondera muu,
sie für ioli^he Zwecke bis jetzt lo weniff brnutzt zu leheD. Oboe
hier die Uriacbeo dicier KrscheinuDff iiäber zu erörtern, wird wobl
Niemaod die Nützlichkeit einer Sammlung phyiikaliscber
Aufgraben in Abrede stellen, wenn nur die Auswahl und die
Behandlung derselben dem UeJürfniss der Lernenden gehörig an-

gepasat ist. Und wir können das Letztere von der vorliegenden
ammlung mit guten Grunde behaupten, — »Sie wird gewiss allen
Liehrero der Matbemutik und Physik an Schulen eine willkotiimene
Ersclieinang sein, insonderheit iiber von Denen freundlich begrüsst
werden, die nach den weit verbreiteten Lehrbüchern des ehrwürdi-
g^eo Herrn Vertussers ihren rnlerrirht ertheilpn.

Die ganze Sammlung enthält 318 Aufffaben^ nebst den voll-
Btäodigen Auflösungen. Jene nf*bmen 43 Seiten, diese 115 Seiten
ein; welche zwei Zahlen sich beinahe wie 3 zu 8 verhalten. Die
Anfg'abeo sind mit fortlaufenden Nummern versehen > sentit aber
nach zwölf terscbiedenen Deberschriften geordnet, die ^\r zur
nilhercn Bezeichnung des Inhaltes hier namhaft machen wollen.

I. Bestimmung des specifischen Gewichts der Körper (15 Auf-
wallen).

II, Bewegung der Körper (13 Aufgaben).

IIL Fall der Körper (Schwerpunkt; schiefe Ebene; Pendel;
43 Aufgaben).

IV. Stoss der Körper (40 Aufgaben).

T, . Iilleichgewicbt fester Körper (23 Aufgaben).

VI. Gleichgewicht flüssiger Körper (23 Aufganen).

VIL Verdichtung und Verdünnung elastischer Flüssigkeiten (9
Atifgpben).

Vlil. Gleichgewicht fester und flüssiger Körper (16 Aufgaben).

IX. Archimedische Aufgabe (mit einigen anderen, zusam-
men 7). •

IL Das Licht betreffend (76 Aufgaben).

XI. Die WBrme betreffend (7 Aufgaben).

XII. Gegenstände der angewandten Naturlebre betreffend
(aäth. Geographie; sphärische Astronomie; HÖbenmessen mit dem
Barometer; 37 Aufgaben),

Wenn wir uns nun erlauben, dieser Inhaltsanzeige einige Be-
■erknnffen iiber die Aufgaben selber beizufügen, so geschiebt es
kdiglich in dem Interesse für die gute Sache und in der Hoffnung,
iasa diese Bemerkungen in dem Archiv keine unpassende Stelle
tsden werden.

1) Die meisten von den Aufgaben 1. sollten mit den verwand-
ten Vlil. insammnnsiehen; denn der Schüler kann sie nicht lösen,
wenn er den hydrostatischen Satz vom Auftrieb nicht kennt.

2) Bei den Auflösungen der Aufgaben 13, 14 und 15 scheint
et uns unnötbig, das absolute GewicLt p des Körpers in Betracht
10 ziehen, da bei einerlei Volumen die absoluten Gewichte sich
verhalten wie die specifischen; p fällt auch immer aus der Rech-
Rung heraus. Wir würden die Aufgabe 14 noch etwas allgeineiner
m vortragen: In einem Gefäss befindet sich eine Flüssigkeit ji\
darüber steht eine leichtere B; eine Kugel C (oder ein Körper
von beliebiger Gestalt) sinkt in B unter und schwimmt auf wi:
HUin fragt, mit welchem Theil =ar die Kugel C m Jl eintaucht.
Sind nun yon A^ By C die specifischen Gewichte ir, ^, c, so heisst

TteU IV. 1 1

162

das: wenn eine Waiser- Kugel =? i wiegt, so wiegt eioe
grosse

^- Kugel =a

Ä. Kugel =^

C-Kuge! =€?

und das Segment x der ^- Kugel =s«ur

1 — ^ der ZT- Kugel = ä(1 — ar).

Demnach ist Tür den Zustand des Gleichgewichts aa^-|-^l— ^^)=fa^^
folglich

X

— m^b'

■ ■ * * .

Der Herr Verfasser hat b £iir das hiesige e und 1 für 4v hiesige
b gesetzt. In der 13. A^fgahe ist nun unmittelbar ar==:'r=^ ^Ss

= 0,53968 . . .; und in der 15. Aufgabe, nach der Poraol.
c=ia:(a'-b)-\'b, das gesuchte c= 0,6. 0,9987+0,0013=: 0,60052.

3) Bei dem ballistischen Problem, Nr. 37., sagt 'der Herr i^eif,
in der Auflösung: ,,f)a ein schief in die Hübe geworfener K9rpei^»
ohne den Widerstand der Luft, eine Parabel*. besclireibt, so kuss
hier die Theorie dieser Linie beräcksichtigct Werden.." '!^Derllerr
Verf. geht nun von der Gleichung der Parabel ' au6 und 'l^^ruft'^aich
dabei auf sein bekanntes Lehrbttch der ireinen Mathematik (O.'AnQ.),
Er hat jedoch weder in diesem, noch in seinem Lehrbu(^h^dc|r Phy-
sik (5. Aufl.) nachgewiesen, dass die Bahn eines schFef atltwärtf
geworfci^n Körpers eine Parabel sein müsse. Es wäre daliei
wohl zweckmässig gewesen, das Fehlende hier nachzuholend' P3r
die Lösung der in Rede stehenden Aufgabe scheint lins Beluinitt-
schaft mit der Parabel unmittelbar gär nicht notliwendig, indem
man sich an die ursprüngliohe Betracbtutag des Gegenstandes liiltT
Referent glaubt nichts Cfnntitzes zu tbun, wenn er im KGrze mk-
tbeilt, wie er seinen Schülern die Sache vorzutragen pflegt, la'
Fig. 2. des Buches sei AD'==,k die Wurfsgesrhirindigkeit in
1 Secunde. Man setze AP'=.p und DP'=iq\ Dm^z^ig sei tfit
Fallraum in der ersten Secunde. Wcrin nun die Punkte Mf^F^^
tn' für eine Zeit von t Secunden eben das bedeuten, was Dy P^ ik'
für 1 Secunde sind, so hat man

und es gilt demnach für die Höhe milP''=ih des geworfenen Kör-
pers,^ nach Ablauf von t Secunden, die Gleichung

Für den Bndpunkt B der Bahn ist 4 = 0, folglich g.l=pq ubA!
^=^-^. Die Ahscisse AP' wächst nun an zur Weite des Worfii'

ABy wenn die Zeit 1?=-^ ht; folglich ist

9

163

Dl p Wk'^ f Katbeten eineH rechtwinkeliffen Dreiecki siDd , dessen

Hypotenuse k constant ist, so wird das Produkt p *q ein Gross-

tes, wenn p^=^ ist. Demnach findet die grösste Weite Lei

kk
einem Blevationswinkei DAP von 45® statt, und sie ist =;r-,

weil iD diesem Falle p ,q'=,\kk ist. Für zwei Klevationeo, die
eisander sa 90® ergänzen, also für 45® + w und 45® — w^ werden
bloss die liatheten p und q mit einander vertauscht; zu diesen
Elevationen gehören also gleiche Wurfweiten. Zur Blevation
15® oder 75® gehört die halbe grösste Wurfweite; dies folgt
leicht aas einer einfachen grometnschen Construction. Die Höbe

il:=(f — g*t)$ wird ein Grösstes, wenn -- = (y — i\t eines

O 9

g
iit Dm Product zweier veränderlicher Zahlen — — t und t. die

eise kMlKndige Summe ='p' geben, bekömmt aber seinen grössten

WiffCk, waiB die Faetoren ainander gleich sind, -^ — f=#, wor-

ui folgt ' = ^* Die grösste Höhe gehört also zur halben Zeit

te Wurfs. Nach dieser halben Zeit ist der Körper senkrecht über
1er Mitte von AB, Darum gehört die grösste Höhe SC auch
ur. halben Wurfweite und sie wird erhalten, wenn man in

ia^f .^f^^— gr . t$ for '/ an den Platz letzt ^. Also ist

M der Blevation 45® ist gq-zri^kk, folglich ist ^C=^=^ .^,

i k. die grösste Höhe beträgt in diesem Falle immer ein Viertel
Tel der grössten. Weite. Für andere Klevationen, als die in der
Asfeabo .vorkommen, musa man natürlich die trigonometrischen
Tiieln zu Hülfe nehmen^ man hat nämlich, den Kievationswinkel
^m geaetzt,-

pz=zk , cos i#; q=.k . sin u.

M gleichen Zeiten vor und nach der halben Zeit des Wurfs er-
ItDgt der Körper gleiche Höhe; dies folgt, wenn man in

k^q . t^g ,tt für $ zuerst ^ — ^ und dann S"^^ "®''^* ^^

aber in lolchen Zeiten auch gleiche Entfernunj^^en CP disseits und
jenseiti Ton C gehören, ao ist klar, dass die ffanze WurfHÜnie
MS durcÜ SÜ in zwei congruenle Theile AS^ SB getheilt
wird. Man kann nun auch leicht zeigen, dass die Wurfslioie eine
Parabel sei« Denkt man sich nänilich die Bewegung in jedem
Punkte der Bahn aus einer verticalen und horizontalen zusammen-
geseltt, ■• ist klar, dass in S die verticale bis anf Null abgenom-
«e» tet Dnd mir noch die horizontale vorhanden ist, in Folge

11®

l

164

welcher <lor Körper eine lialbe Parabel Sß beschreibt, wie in
allen Elementarbüchern der Physik gewiesen wird. Will man aber
lieber rechnen, so sehe man in Fig. 1. unseres Buches SJ¥:=za
als Abscissc und MNzsiy .vk\n Ordinate an, und man erhält duB
aus dem Vorigen leicht die Werthe

■

1

pp

y i|uauriri, uuu

tor abiondert, folgt

woraus, wenn man y quadrirt und ^ als gemeinschaftlichen Fae- ,^

\
\

pp

Dies ist die Gleichung einer Parabel, die ^-^ zum Parameter bat.

4) Die Aufgabe 63 hat der Herr Verf. nur mit Hülfe der Dif-
ferentialrechnung behandelt; eine elementare Anflösung'icbeiyt ihm
nicht beigefallen zu sein. Wir wollen hier eine solche mittheilen.
Üb handelt sich darum, in einem rechtwinkeligen Dreieck, iMeii
eine Kathete a gegeben ist, die Hypotenuse o; und die andere

Kathete y so zu bestimmen, däss — ein Kleinstes werde. Br-

y .

richtet man nun in dem Endpunkte von o?, der y g^genjaberliegpt,
.auf a: eine Senkrechte, die der verlängerten y begegnet y go ent
steht ein rechtwinkeliges Dreieck, worin a senkrecht auf 4er Hy
potenuse, a: eine Kathete und y der eine der beiden AbsohttitT
ist, in welche die Hypotenuse durch a getheilt wird. Deranacli i

OCX

die Hypotenuse selber = — . Aber in einem rechtwinkelige

Dreieck, dessen Höhe a gegeben ist, fällt die Hypotenuse offenb
dann am kleinsten aus, wenn sie von a halbirt wird, d. b, wen
y:=za und a:=ia\/2 ist. Eine andere elementare Auflötnng bie— * '
tet 'die Trigonometrie dar (vergl. Seite 90, unten).

5) Für die Aufgabe 129: auf einer Waage mit ungleichen Ar-^
men das richtige Gewicht eines Körpers zu finden, kann die Be<- f
trachtung wohl etwas einfacher werden. Die ungleichen Arme 7
seien a, a'; das wahre Gewicht des Körpers a:\ die ungleichen Ge- .^
gengewichte //, //. Dann ist ax'=.a'p*\ €^a::=Lap\ folglich '^
aa^J!?a:'=^aa^pp' und jcjcizzipp'.

6) Auch die Auflösung der Aufgabe 141 lässt sich kürzen
ben. Man findet sofort die Gleichung (Fig. 15. des Buches)

li

»1

oder, wenn man das, womit p multiplicirt ist, % ^ennt, P::=zp , «;
und hier soll P, mithin x, ein Grösstes werden. Es ist liber

■ • ■ '

Cffi CEz=äBH i % ■■

folglich muss % eine Senkrechte ron B auf ^^ sein. Diese Senk*
rechte fällt aber offenbar dann mi grössten itnt,: wenn CBt *mm C

165

la gedrebt wird, üMs BC wA€U seAkracbt iat (Fi>. 16. des
Bvcbes). ' Will miin sar DüTereDHalrecbnuDff seine Zuflucbt neb*
tten, so gewinnt die AnBiisung durch CiofiiCrung des Winicels bei
H an Eleganz. Nennen wir diesen w« so finden wir leicbt

P=zp{c .sin if + ar . cos •#)• .

«

Und hier wird der eingeklamnerte Ausdruck ein Grösstes, wenn

cot w=± — . Da nun stets auch cot « = — ist, so erhalten wir
c » a

o?^-— , wie im Buche.
c

7) Bei der Aufgabe 143 lindot unter derselben Bedingung ein
Maximum statt, wie bei der Aufgabe 63 ein Minimum, weshalb
die elementare Lösung, die wir oben für 63 mitgetbeilt haben, auch
liier in Anwendung kommen kann.

8) Unter den 76 Aufgaben, die das Licht b^reffen, kommen
vehrere vor, die siek recht zweckmässig beim Unterricht in der
Ster.fiomctrie benutzen lassen, z. U. Nr. 220. für den WechseU
schnitt b^a Kegel. Wir haben überhaupt die Bemerkuno: ge-
macht, «lass die Schüler in den physikalischen Lehrstunden we-
niger Neigung zeigen^ einen Gegenstand aus der Physik auBfübr-
liclb mit Hülfe der Mathematik zu verfolgen; während sie mit
g^saem Interesse bei. einer physikalischen Aufgabe verweilen, die
ffelegenlHch in den mathematischen Lehrstunden als Anwen-
inng eines vorgetragenen Satzes behandelt wird.

. fi) Bei . Gelegenheit der Aufgabe 220 mag die etwas schwerere
hfer'genanbt werden r Auf einer geraden Linie sind fünf beliebige
Strecken AB, BC^ CD, DE, EF gegeben; man soll den Stand-
pnnkt P finden, von welchem aus die beiden äussersten Strecken
JB^ EF und die mittlere CD unter gleichen Sehewinkeln er-
Mbeinen.

■■■, 10) Bei der Aufgabe 254 können die Sinusverbältnisse füglich
entbelirt werden; die Auflösung folgt kürzer aus einem bekannten
Satse vom Dreieck mit einem halbirten. Winkel.

11) Die Aufgaben 272 und 273 über die Ortsveränderong des
Büdea bei paralleler Bewegung des ebenen Spiegels hätten etwas
kliräer bebandelt werden können. Die Auflösung beruht ganz
einfach darauf, dass zwischen a + ^ und » — o die Difierenz
s=2^ ist.

12) Die letzte Aufgabe: ,,ln welcher Entfernung von dem
Mittelpunkt der Erdkugel wird ein Körper, der sich zwischen ihr
■nd dem Monde befindet, von beiden Wt^ltkörpern gleich stark an*
ffetfOgen?'' lässt eine etwas elegantere Auflösung aU:, wobei die
Form einer unreinen quadratischen Gleichung vermieden wird.
Ist nämlich die Entfernung der beiden Weltkörper =60 Erdhalb-
■esser; die Masse des Mondes z=i-f-^ A^r Erdmasse (nach Han-
sen); die gesuchte Entfernung vom Mittelpunkte des Mondes
= 07: so ist nach dem Newton'schen Gravitutionsgesetz

(60-;r)'=^-^' 80ar»=(60-a:)% ^1/80 = 60- o:,

__60_ _ 60(1/80— 1) _- -,,-
^ = 1/80+1 = 79 = «,0336...

So fiel TOD dem iDBtrm des Bacbee. Wm dn Ae—ere deieelbw
•■leogety eo sind Drack and Papier gnt «■ Beaien, und vmA
Mobere KapferteÜBlB («u der Knoilenstalt ▼•■ Herr« A. Mädel
io Weimer) gereichen dem Boche snr heeoBdereo Zierde. Ben
ausser den aogezeigteo DraclEfehlero oocb eiaige wenige stehen
* ffeblieben sied, wird man mit Schonung heurCheilen , da es gar zu
leicht möglich ist» dass man bei der Correctur in den Zahlen und'
Formeln etwas übersieht. Die folgenden iPehler sind von dem
Herrn Vert selber, nach dem TöUigeo Abdrucke des Buchea, oaeii
aufgefiinden worden:

S. 9 Z. 12 V. IL lies 45 statt 25
. 11 . Aw. u. - 20 - 30

- 44 - 5 F. u. - der statt die

- 53 ist immer 15,095 st. 15,1 xu setseo

- 54 Z. 11 1. 15,095.930 st 15,1 —

-00 - 10 T. u. 1. JD = BCr=y ut JjD = v\ atfch feh-
len in der Oten Figur die Linien jilß und vlf.

• 03 Z. 8 ist nach „Gleichung^' einzuschalten -„und derf^

- 73 in der Aufgabe 94. 2) ist in den Ausdrucken für sin ü^

und sin « im Zähler tG* wegzustreichen (wie aoa M^
1« sogleich erbellet, wenn gsszG gesetzt wird)

- 77 Z. 3 1. 122<» 23' st. 105* 31'

- 12 V. u. l. 15,88 st 18,01 und Z. 8 I. 125* 28' st^
175» 4' -

- 78 - 3 1. 21' 3" St. 22' 48".

r •

Referent hat durch die vorstehenden Bemerkungen (die
mehr Raum fordern, als sonst im Archiv bei der Anzeige einem
Buches üblich ist *) das Interesse seiner verehrten Herren GoUegeia
für die trefHicbe Aufgnhenftammlung, die uns hier geboten wird, im
Anspruch nehmen wollen. Dass er sich selber lebhaft dafftr in«
teressirt und dem Buche eine fruchtbringende Verbreitung wunaebt,
mag die Ausfiibriichkeit dieser Bemerkungen, wenn auch nicht
rechtfertigen, doch entschuldigen.

*) Auch ausführlichem, so werthvolle BemerkongeD wie die Torlie-

gende enthaltenden Reoensionen werde ich immer sehr gern einen
lats in dem Archive einräumen; -': - G,

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I ■

Eäniges über die \ Eulieriscbeo \ Integrale der

zweiteit Art.

I Von

k ■'' I» ■ Vr-.--.

Herrn Doctor O. Schlöinilch

zu Weiins^r.

' ' ''' Im 3te0 Hefte des 2teti 'Bandes dieses Archivs hat in Nr. XXV.
4cr Herr Beraos^ber mebr^riB der neuiBSten Gntwjckelungen in der
^titeressanten Lehre ?o.n den Bulerischen Integralen mifgetheilt.
^08 den dort änfgestelUen Formeln lassen sich noch einige wich-
tige Sätze sehr kurz ableiten, von denen ein Theil auf anderem
"Vrenjictir: einfa^h^n .Wege schon gefunden worden ist.

Wir nehmen unseren Auslauf von der in jen^r Ahhandliuig
U 19. Nr. 7. entwickelten Formel:

da

»•i '• ii;;.

^0 (1+.«)"' «

I

•/ 0 ^ •/ 0

a:(l-f-a?)«"

Kii^jimt ^ifian im zweiten IntegrAle .T——=y, also a?=--- — 1, so

ifM yosO und 'ys£:l, wenn ;raroe und w=s,^ geworden ist,
und man erhält « )"* ' ^ =■ -^ . . \

1:^^= r e-' M ^ nypis., (d

eine Formel, die mancherlH Anwpndutigen fällig ist.

Man bemerke zunächst« daiss das erste Integral auf der rech-
ten ^.j$e|te: von ii..gaQ;^, uofibhängig ist^ schreibt man dal)er diesa-
Gleichung' für iy==:l + a und a^I + /? hin, so fällt l^ei der
Subtraktion beider Glekhbngen dils ' erste transc^sadente Integral
weg und es bleibt blos die Differenz der beiden anderen algebrai-
schen Integrale stehen, welche man wegen der gleichen Integra^
tionagränzen in ein einziges Integral tusammenziehen kann. Man
•riiilt so ^ia;'€ileichnngt : -; •

welche mnn eonit anf eineM Umwege ableitete *).

Wir wollen jetzt folgende Mden Integrale betrachten :

J \-k X- t/ Ol — y

in welchen» eine beliebige Zahl, € einen positiven ächten Braeli
bedeuten soll.

Entwickelt man im ersten er* nach Potenzen von or, so wird
durch Integration der einzelnen Glieder:

i-i*~''F=**~T-—+T« 775— ♦•17271+

Es fragt sich jetzt, was aus dieser Gleichung wird, wenn man *
ins Unendliche wachsen lässt. Man erfährt di^ss leicht, wenn ~
•ich auB der Theorie des (utegrallogärithmiis erinnert, dass

dx

/<,^,=y:^,s .

■ .; t

ist. Die Entwickelung giebt hier, wenn wir dtts" Unendlicli^' AI»
Lim einer grossen Zahl n betrachten:

^-

M*-)=:Ä'-i.Y + i.r2

-4- Lim (_Äi + |,^_i.^-|-.....}.

Der zweite Tbeil ist die berühmte Constante 0,5772156 deren Be-*
Stimmung in der Theorie des Integrallogarithmus eine nicht nner<^
hebliche Schwierigkeit war, welche Nascheroni auf sinnfetcto
Weise gehoben hat. Vergleichen wir diessi mit. dem Warthe unae^
red Integrales, so ist durch Entwickelung von /(l— €)

Setzen wir ferner im zweiten Integrale,'' welches wir b^tl^chteDf

für rZTZ die Reihe: l-+ry-hy»-+-y ■•+-,*/ so ergiebt sich

^ . f.-

.f

^) Legendre: Traite des fonctions elliptiques, tome IL Cbap^'XIU.

167

XIX

^Giniges über die Eulerischeo > Integrale der

zweitert Art.

■

Von

Herrn Doctor O. Sclilö milch

zu Weimar.

•■ <

In 3te0 Hefte des 2teti Bandes dieses Archivs hat in Nr. XXV.
^cr Herr Heraosreber mehrere der neuesten Gntwickelungen in der
2 ftitercBsanten Lehre von den Eulerischen Integralen mitgctheilt.
-^.os den dort änfgiestelllten Formeln lassen sich noch einige wich-
^ftge 8ätze sehr kurz ableiten, von denen ein Theil auf anderem
eDiser einfachen Wege schon gefunden worden ist.

^ir nehmen unseren Auslauf von der in jen^r Abhandlung
» 19. Nr. 7. entwickelten Formel:

da t/o (l-|-;r)o' X

■ I.

«/ 0 ^ «/ 0

d.T.

ar(l-f-ar)«*

•^iinlint man im zweiten Integrale -r-^—^y^ also a? = -- — 1» so
ird ^«==0 und y=sl, wenn j? = oe und ^7 = 0 geworden ist,

nd man erhält < \

l:#:^£i=/-^.^-/'ÖJ. (1)

da ' «/o X t/ol— y

» •-■

^ine Formel, die mancherlei Anwendungen fällig ist.

Man bemerke zunächst« dass das erste Integral auf der rech-
nen «i^eite von a W^^( unabhängig ist; schreibt man daher diese
^leichünff für «r==:l + tt und 0=1+/? hin, so fällt hei der
Subtraktion beider Glekhungen dils erste transcendente Integral
"Weg und es bleibt blos die DitTerenz der beiden anderen nlgebrai-
ichen Integrale stehen, welche man wegen der gleichen Integra-
tionsgr&nzen in ein einziges Integral zusammenziehen kann. Man
•fhilt ao di«. €l1eichuog:

Moltipllairt mma die ^Glticbniig ait iAk' m4 iotegrhtv to nit*' >! t -^
/ZT[l+a)=— Of-KÄ.a»— iS,a»+4Ä^a*— ..., +l>a>—i (T^

•»

Eine 'Cövi^tente ist Dicht beitufageHj'SBTeil far ch^sO, ff\l)=s/l:t='(
wird uod die rechte Seite sich "ebenfalsg unDullirt. Für negatiie

« "t.i. -. ' ■ i , ■ . ■•1:4. ..'_

ffXl— a)=L:Cb+iÄ,a»-*.iÄ,a»-|-iÄ^a*4-..., -|-l>a>— 1. (8).

Da die Zahlea S^i S^^ S^ n. s. w. immer weoiffer vod der Einheit
differiren, je grösser der Index ist, so übersieht man leicht, dtss
die Gleicbanff (7) auch noch für ic=s+.l gilt, was bei Formel (8)
nicht der Fall Ist. ' Aus jeder* vom beiden lässt sich C bestimmen,
wenn man a so nimmt, dass ff\l:±:a) bekannt ist. Diess findet
in {7) statt, wenn,' mäto ass+1 setfet, weil daiiii')ffl[l)=:fO wiiil
and in <8) lär tt==-H4^, wobei /FT[i)=äri/ji^SBt^.' ♦ ' ^ ^ ^
Durch Addition erliält man' '■'''*' ' : - ~-

oder

■ '•■ "■'■•*■'' ';iT^^«i«* +'*'»«'*• -f- !«.«*.+■■.■•

• ;•: • 111

I .• I

_ .'.i;

sm an '" ■ » • • • o .. — -

«
Durch Substitution dieses Wertbes erhöht man diß Qovffrg^ns der

Reihen (7) nnd ^8) undfbfk^iQinti ,^ , ! " b ""

I

i .

«. 3.

Die Formel (5) kann auch dazu dienen, die Gammafnnktion
1X1 + a) in ein unendliches Produkt zu verwandeln. Man kann
nämlich jene Gleichung so schreiben i

^^' da

^— \

It"-

a+V^^'^'

'Ä+a'-»-^»

1» I 1 » • •

^

1 "*-

> -4-

• -1-

■ *'

-

1

1

a+l

1

* 1

*) Legendre seht gerade den 'umgekehrtin Weg.- Er findet tuerst diese
Formel und reduzirt die Gleichung (5) auf dieselbe. Trait^ des fonct*
elL iome II. chap. IX. et X.

IT

171

exeichDeB wir die erite Reibe nit K^ so ist darcb Maltiplikaüoo
it da und iDtegration zwiscben den Gräosen a:=:za und a = 0:

^3i-|./r][l-l-a)=iSfo — /(l + a).— /(2 + a) — A3 + a)— ...

•+-A -I-/2 H-ß +...

der

+o)= (ir-c)«-/(n-f )-/(n-|)-/(i-hy) - . . .

inerken wir, dess {K — C)a = /<0(^~*^ iit und ff^eben von den
ig«rlt1iaeD anf die Zahlen zurück, so ergiebt sich '

(i-f-Y)p + |-)(i-hf)

nd wenn wir ans an den Werth von K erinnern

(l+Y)(H-f)(l + y)-..

^^^er ancb

.'«»/Ti +«)=-2V . -i^ . -iL. («)

i+T »+2 »+T

^^ebreibt man -diese Gleicbonff auch für negative « bin und multi-
^^lixirt heide, so erhält man die bekannte unendliche Faktorenfulge
^^ sin mr.

NiABit Man in (12) a:si\ und dann hcideraeita die • natür-
lichen Logarithmen, so ergiebt sich

C=5 A W + Afrf) + /(4^») + (W).

ie ReAe ist hinsichtlich ihres Bildnngsgesetzes merkwürdig, snr
raktiflchen Berechnung indessAi unbrauchbar wegen der sehr ge-
^ing^en Convergenz. Durch eine kleine Umwandlung erhält man
%^ ieraus eine schon bekannte Bigenschaft von C. Gehen wir näm-
B M.eh hifl mu einem «ten Glinde. so iit

^ch hia Btt einem «ten Gliede, so ist

c= L« {/(Je) -t- A»«») + AI«*) +...-*- A~^ «^X

»der wein man alle Logarithmen auflöst:
"CssLim {

I + ]f + i + • • • . -♦- jjTiri

17«

I

Die erste Reihe isl = /(j^ . } . \.\. ,. . J =± /[--•)i, nithiD

Man kÖDDte leicht einen. allgemeinereD Satz dieser Art aufstellep.
wenn man in Formel (11) a als positiv und ganz annimmt.' Br w
indessen von keiner besonderen Bedeutung.

.•:••■-■. ■' ■■■ ' ■ ■ • .-■ . . _-;t. 4. , •

f 4.

Bezeichnen' wir, —^ — j^-r — ^jptir den. Augeubfriük ^itrj'ia)^ ifq[

ergiebt sieb aus Formel (5) für a = 0, /(O) = -— Cl Nehmen wir
daher in Gleichung (2) ß=iO, ao ist • ,

■ x-

oder, wenn wir uns an die Bedeutung von f{a} erinnern und ii
Integral a? für p setzen» ' ' ^

Das Integral kann jederzeit leiebt ausgeführt werden. Denn was
auch a wn möge, so 'kann man es dureh die gehöriffA Substitution
für a: immei auf die Form f^. r R .

• j '.« = .•.■ ^ f : f ••♦.•/: 0' 1 — ^«^ '! i- '• :•■ 7 ^ . .::i- •:.

■•;"■•■ ♦■•■.': i -v • 1. ■• . . . :•::'.. ■ ; ■ ■■'.!■«.: "ii ^ fij

bringen, worin «i, », /? positive ganze Zahlen sind. Alan kenAl
aber den unbestimmten Werth eines solchen Integrales^ folglich
auch ileni zwiaehea dien'GränitoQ. Oiuftd'l.^ Man haft.«an.£eim^:

/;^*-*,f*^«te = r^,+ 1) = ^^ 1) ^±1;

li«

•iJÄ .11'.;' *: ' .-'JVi '..■■;. ^, •:■,

und mit Hülfe der Gleichung (15) ' ; . ii

.■.■•.' . », . •

wodurch dier We^h des IdtßgraisMihks je'derz^t ' ^efiitid^n werdeo
kann. Für /i* = 0 bat -man sehr einfach

/'*^r^/^<te = —C = — (0,5772156..) (17).

Man kann sieb, von dem Integral (16) zu einem allgemeineren er-
heben^ indcfm man kop für k aetz^, -wa ße eine wilTkührliche aber
positive Grösse ist. Die linke Seite wird dann:

I

f

173

..,.♦

und durch Tergleichang mit der rechten Seite in (16) findet
Bian nn^n

? • ' ■ ■

.'t .1

ODd dieses Resultat ist aHgemeiner, weil darin eine willkührliebe
Constante vorkommt.

Eip.Paar henerkeqs^erthe. spezielle. FäHe sind folgende. Für

r

T

M==r — 4: s. -t-

Oder für « = Jr»:^ ' . " ' '\ . \ j.\n '■' - ' V"

Ist ferner in (18) f» eine ganze positive Zahl = is> so hat mon
Jn[M + 1) = 1 . 2 .^ ^.» ... f>; fernec

* -|-T T^ T ^^ • • • '

1

n

Folglich ist: , ^, . i«,r. . ,

y^a^e-^*/arite==~[-C-W+lH-iH-|+.... + ^^ (20).

Daraus lässt sich leicht ein in die Differenzialrechnung gehörendes
Theorem ableiten. Wenn man nämlich in (18) /i*=:0 setzt,
so ist •• *•'

Differenziirt man diese Gleichung n mal nach ^> so erhält man
leicht

y** , , , 1.2.S...«i^ , i\- ^ fl^\
0 ^«^**^<te= ^_pj_C_(_l)«^ (^).

Vergleicht man diess m\X, der Formel (20), so wird

Ein anderweit bemerkeoswerthes Resultat Iftstt sich aof fol-
gende Weise aas Formel (2) ableiten. 'Man setze a^|ft + «,
ß^v--\-m. yg^o fk und v für die Diflferenziation constant bleiben
sollen, so ist:

p ■ iL

Es werde nan beiderseits mit du mnltiplizirt und nacb u innerhalb
der Grinsen «r:=a, « = /9 integrirt, so kommt;

Rehren wir auf der rechten Seite; die Ordpung der Integration am
nnd iotegpriren querst nach «, so wird das Integral

• ■ *j . '. ■ • ■ • . • •! ■■■

Vergleichen wir diess mit der linken Seite, so iist ^ ~ ^~ V ' *
Jo r:^ •^j^=*r(H-.a-|-/J)lXl-|.r+*) ^**^

X

• m a . « :

I

eine Formel, welche sich ebenso sehr durch ihre Allgemeti|hei|L
als durch ihren symmetrischen Bau auszeichnet -:*';

.... *\

•IiS ■

^ l\ . . . . * ■

175

^«ber 4as Fundamcntalproblem der Katoptrik

und Dioptrik.

Von

dem Herausgeber.

f. 1.

Die DcneiteD Arbeiten der Herren Schleiernaclier and Petzval
^sf den (jeUete der Optik veranlauen nicli , dem im zweiten
li^ile diesv Zeiticfarift veröflfentlicbten Anfsatie über die Grund-
rei^ln der Kotoptrik und Dioptrik nocb und naeb einige andere
bhandlnngen über diese intercsfianten Tbi*ile der Matbemalik fei-
en SU lassen, welche icb ursprünglich in einem grössern« der
eitern Ausbildung. der Katoptrik und Dioptrik gewidmeten Werke
\t einander in vercimgeu und zu einem systematischen Ganzen
1 verarbeiten dachte.

In |ier vorliegenden, die Reihe die«ier Arbeiten eröffnenden Ab-
«Ddlung werde idi zuvörderst eine neue Auflösung der Fuoda-
eDtiilaufgabe der Katoptrik und Dioptrik zu geben versuchen, da
ir clieae Aufgabe, auch uacb den bisherigen sehr verdienstlichen
rbeiten über diesen Gegenstand, so weit dieselben zu meiner
enntniss gekommen sind, noch nicht mit der Geschmeidigkeit,
ll^^emeinbeit, Strenge und Eleganz, wie man wubl wünschen
lochte, aufgelöst worden zu sein scheint; wobei ieb, wie wohl
aiim noch besonders zu bemerken nöthig ist, unter der Funda-
entalaufgabe der Katoptrik und Dioptrik die Bestimmung des
Reffes eines von einem gewissen gegebenen Punkte im Räume
«eh einer bestimmten Richtung bin ausgehenden , und an einer
Leihe gegebener sphärischer Flächen, — denn auf solche bis jetzt
lleln in der Praxis vorkommende Pläcbee werde ich die folgen-
«n Untersuchungen einschränken, wenngleich eine Erweiterung
«rselben auf Flächen überhaupt eine besondere Schwierigkeit nicht
«rbieten würde *), -— eine Zurückwerfung oder Brechung erlei-
Mden Licbtstrahfs verstehe. An die allgemeipe Auflösung dieses
^nndamentalproblems sollen sich dann späterbin verschiedene spe-
iellere Dnterancbung^n.ansebliesaen.

*) Eine Ebene kann immer als eine Kugelflicbe mit einem unendlieb
grossen Halbmesser betrachtet werden.

176

♦ 2.

K« neieii überhaupt

ilitt (sUicIiuugeu einer g^eratlen Linie im Ranne in Bezw uif um
kciiishiKe recKtuinkliic« Coordünatensystea der jrys. !■ ^icnrn-
rudtiu hiiii« iieliuie uiaii einen btiliebigen Punkt als Anfanr ein»
ueiiru dem priuiitiven S^sfi^uie der a:y% pflrallelen CoordlmiTfli-
it>iil«uiM der .t*,yi«| uu. Dünn sind nach den Principien der hbi^
Ivlim'heu lieoiiietrie

diu (ileii'huu^feii uiiüerer geraden I^inie in Beiuff auf d
der .:t;,v,«,. Mii^ IStl"* nicht übersteigfenden Winael, welche
dui' hi'idi'ii 'rhfiltt un«eriT geruden Linie, in welche
dein Autuiiffu der .i',.Vi%, }(i*theilt m'ird, mit den positiTen
dur \\vu der .i',, yi, %^ i-inNrhlie«8t , seien respectire
und M|, A|, <*| Heien die Ociordinaten eines beliebigien Pi
disin iu Hadu iiti*hi«ndeu Theile unserer geraden Linie
Syitnuiu dor .tWi«!- KeAeirhnen wir dann die Entfern
Puukitt« vüü dem Auffing« der >r^jfi%i durch q^ so ist
viilliger Allgainninheit

;i) #j =^ cos u« ^1 =s^ cos jSf, C| :^^ CO! 9^;

i\ii'. «lu^i'tihlicklii'h erhellet, i^enu mau nur Qberfegt, 4
fiiii'i hi'kaiiiiUMi i'uiiaiirurlian die geometrischen Dantellw _
l'iiiirdiuiiU'ii tf/|, /i|, c, de« l^unktrs (^i^i'*!) laicht erfcaitn
di'ii, ui-iiii uiuii V(in dienern Punkte auf die Axen der jr,, y,, s
drei Pitipuiidikil fallt. Weil uuu uaoh t)

S^ =^ •i4fi% r= .-/,<V|

Ibi, bii ibl UUi'h ^ft)

^ CU4 fi-^^^-i «>ii« «, y VON yssifji^ cos «;
und l^il|ilii-h

Miiiil «luu tfv />, «- dti'. TuurdinaU'^u irgi^nd rines Punktes
•lii' l^ii irl^unuvn W i'h^laktvri^iUl>^ g«»r«deu Linie in dei
df-r it/*i, bii Ibl nai'U \\

iiinl li.l^hili. «%r.uu Ui4iu dlV40 Ulvichuu^t^tt VOB deu

1 1 hiibli'uLiil .

l

• I

> 177

Also lassen sich drcb 4) die Gleichungen dei" gegebenen geraden
Linie imm^r unter der Form

!- cos ß , ;

^ cos a ^ '^

cos y
cos a ^ '

oder unter der Fora

ß\ ^ — ^ y — ^ » — g

-^ ,cos « cos /J cos y

^^rstellen, wobei man aber nicht ans den Augen zu lassen hat,
^Aas hierbei imoier rechtwinklige Coordinaten vorausgesetzt werden.
Von diesen, übrigens auch sonst schon bekannten,- für das
folgende aber sehr wichtigen allgemeinen Bemerkungen über die
R'^rade Linie im Räume wollen wir nun zu unserm eigentlichen
Gegenstände übergehen. •

f. 3.

Wir denken uns drei von einem Punkte im Räume ausgehende
^Hmmtlich in einer Ebene liegende gerade Linien, welche wir für
J^tzt die^ erste, zweite, dritte gerade Xinie nennen wollen, und be-
zeichnen d|e Gleichungen dieser drei' geraden Linien und natürlich
^tich ihrer Verlängerungen über den gemeinschaftlichen Ausgangs-
punkt hinaus in Bezug auf ein beliebiges Cßchtwinkligea Coordina-
^^nsjstem der a:y% -respeetive durch '

y^Ja:-\-f,% = h'a: + g'\

l)ie poordinaten des Punktes, von welchem diese drei geraden
Kjinien ausgehen, in deoi angenommenen rechtwinkligen Systeme
^er scfpk seien /?,, ^|, r, ;'Upd die Gleichung der Ebene, in welcher
^ie drei in Rede stehenden Linien liegen, sei

8) ^^ + ^y + CS» -h /> = 0.

Ferner seien @ und 0| die beiden 180<* nicht übersteigenden Win-
kel, welche die erste und dritte gerade Linie mit der zweiten ge-
radeii Linie einschliessen.

Weil der Punkt (/'i^ir,) in jeder der drei geraden Linien,
also auch in der durch die Gleichung 8) charakterisirten Ebene
liegt; so haben wir nach 7) und 8) die folgenden Gleichungen:

und.

TMl IV. 12

und

16) I Ä(a' — ai ) -h q^' — ö,) = 0,
B{a, — a) + C{6, — ^) = O5

t

178

10) Ap,+B^,-h CV-, H-i3 = 0.

Weil ferner jede unserer drei geraden Linien nebst ihrer Verlan
gerung über deti gemeinschaftlichen Ausgangspunkt hinaus gan i
in der durch die Gleichung 8) cbarakterisirten febene liegt; so i^^^t
nach 7) und 8) offenbar für jedes a: ^ ,-

(A + ßa!'^ Cl^)a: -^ ßf -^ Cg'^D = %

(J+ ßa^ + Cd,)a;^ ßf, ^ Cg, + D = 0;

woraus sich unmittelbar die beiden folgenden Systeme von Glei
cbiingen ergeben:

IJ + ßa-hCdzzzO,
A-hßa''{'C6'=:0,
A-Y-Ba, + CT, litrÖ
und

12) j^/'+6y+/> = Ö,
^Bf, + Cg,+D = ^.,

Ferner ist nach den Prineipien der analytischen Geometrie ^

Bio 0 _ l/EiESOSi^E!^

13)/ (l-4-«»H-^')»>4..#-^-H^-») '

sin U,^y (i^.^«^^'.)(i^.«,»^.^^.) . '
und folglich, wie leicbt erhellet,
14) sin & : sin 0^

Wegen der Gleichungen 11) ist nun

iA{a^a')+C(a6'-a'd) = 0, '
15) M(a' — a, ) + C(«'Ä, — «, ^) = 0,
(^(a, — ä)+ C(a,Ä-^aÄ,) = 0

oder

179

%

IA{a — •') = — C[a6^ — ä'ä),

w

18)JÄ(«'-«,)=s-C(*'-*.),

litt

10t *^' — ^"^ <i'A| — *,y . a|A — abi A^

' m — t^ ti — mi «i— • C

I 17) und 18) hat mao attdi die folgenden Gleichungen:

ist

M» + i?» + C^) (a — «')»

U»+Ä»+<7»)(*^-«.)»
Kch

sin 0« : sin 0,»
_ H-g.»^,*.» . (g' -.«.)*-♦-(» - ^.)« ^ («»"A. - «.AQ»

N iat nach dam VorIrtrgahendeB

iin 0» : iin «^i*= i^it^^i • yjzrn:^ »

12*

■ ^

180

also . '. : .

oder, wenn -wir annehmen, dass das Verhältniss

Vm e
•in öl

constant ist, und der Kürze ir^en

22) -?5L|.=»
'^ Sin 8| . - V ^

setzen.

Da nach 20)

a^ä b—V

und nach 19)

ist, so ist auch

_■! Il I ^\ ^^^ . ., . .

a^T^i' :«''*i-r-Ä,Ä',

nnd

24V rf*r^ )> .i^t-^i^rHV Lw^a

Durch den gemeinschaftliche^, Ausgang^spunkt unserer drei ffe^'
raden Linien denken wir uns jetzt du deni primitiven Systeme der
xeyx paralleles Coordtoateasy^^i&m der ari^i», gelegt, nnd bezeidi'*
neu aie von den drei Linien mit den positiven Theilen der Azfsa
der ^,^ ^19 ^1 eingeschlossenen, 180** nicht übersteigenden Win-
kel durch o, /?, /i y» l^v/'j ^r> Ai'7i; so sipd nafeh 6) die
Gleichungen unsere df^iLinite .nebst (bren Verlängerungen über
den gemeinschaftlichen Ausgangspunkt hinaus in dem Systeme, der
jppxy da ;?,, ^,, T) die Coordinalen des gemeinschaftlichen Aqs<'\
gangspunkts der drei Linien in diesem Systeme ^ind:

Jb. '±=il!LZSi ^^ In

r

n

cos a \-^ -CQ^ ß cos y7.

cos «' cd« /f cos / *

cös.a, ' u fßOf /f , ■ cos yi l

■ I

%

181

bigCD ut alio

I

COS ß . cos V
oos a' 00« a'

^ » COS « • . . cos a '

-^ __coa^ ^ __C08 y,
' cos Ol' ' cos a,

ist Dach 19)

^o\ ^ cos fl CO» / — CO! y CjMJ^

^/ "5 'COS a co$ i^ -f- COS il, eos «^

COS ß^ COS yi — COS }/ cps />,

"^ COS a' COS /Ij — cos f cos «i '

008 II, eos /J.— CO» /}|-e9^ «

^^ Ä _^ cos '4k C08 / — cos y c6» g'

' , C "^ cos a cos /f — cos /) oos a'

^ cos V cos y^ -^ cos / cos g,

"~ pps a' cos ßi — cos /f cos «i

_ CO« «1 CO« y — CO« yi 00« g
"T cos «, cos ß — cos /Jj cos a •

«^. _^ cos ß cos / — C08 y cos /f

■'Ä C0SOC08/ — (Bosy «08 «^

' — « cos /f cos yi — cos y cos /y,
"" "" cos «^ «08 Jfj — cos / cos a, *^

^ cos /?, cos y — cos y, cos />

cos «1 cos y — cos y, cos «*

laD etwas sjmnt^triacher diese Aasdrücke auch eehreU

^1 -£ cos >^co8 ß^^fiOB ß tos./

^ B cos a cos y* — cos y cos «'

cos y cos ^1 — ^^cos jg' eos y,
cos a' cos Yi -* cos y^ cos «i

cos y^ cos /> — cos />i' cos y
008 «, cos y— eos-iy^'-^cos «'

oo\ ^ — COS. « cos / — cos y cos g'
' C C08,/l cos d* — C08 tt cos /J'
C08 a' cos yi -^ cos y^ cos g,

"~ cps ^ cos «i— cos Ä* <J08 ßi

___ cos «t cos y— 'COS y, cos g
■"" COS />, cos g — cos g, cos /J'

182

I ^, C_ COS ß CO« a — cQg a coi f •

^ A cos y cos /?* — cos ß cos y'

^__ PPS "/r cos a^ — cos a cos /J,
cos y cos j^^ -^coft /9'^cos y,

cos />! cos g— -cos «ircos ß
cos y, cos /J — cos /^i 'cos y'

Nach der Gleichung 23) ist ferner

(cos ß cos /T I . (£2lAi)3 . (£5!Lyi\»
cos a cos «! \* cos er. "*" co# «,

■ ( » !■■ ■ • ^ ' I * ■ ■■■■■■ ^v» !»•

COS «' cos «j cos « cos a

woraus sich leicht

.■■■*. ■ '■■' •

/ cos « cos Ä* — CO* ß oos «' V- Ws «,* «

I ; »I ilji'l I ff i'ii I* , ■" ? X

^cos a COS j9i — cos f^ COS a/ cos tr

CQS /9i>-f-cos y.»

III I . ^a^w

COS /J* -I- cos y' '

d. i., weil nach eio^m aus der analytischen G^metrie bekannti
Satze " "

. cos «• + cpa /?• -+- co^ y* = 1,
cos ttj * -+- coft /?, * + cos y, * = 1

"*' ■ ... ..:^ .■■ ;• ■• '■■

t cos a cos f — cos ß cos a' ^.

i . '^ '^ )» »^ 1^3

^cos a' cos ßx — cos ^ cos a, '

und folglich, wenn'^wir der Kurse wegen

t

1

setzen,

3i)> __^

-^. COS ff' cos ßx — cos f cos a,
'^ cos a 008 /S^*^eos ]|ft oaa a ^

ergiebt.

Weil nun aber nach dem Obfigem#

cos tt cos ^. — cos /^ cos a,

' ' ■ J .'^ ,

^os er eos«^ — oes /9 ook.ie:

-.1 •

00^^ cos y. *o.co9 / ODS /?.

aas 1 1 T yiiwn < it T

.C0S/8.C0S y ^"«os y cos /J^

"cos y cos a, — CQSofi^os^y.
cos y cos cf — cos <r' cos /

ist, so haben wir näcb 35) die drei folgenden Gleichungen:

• jt

cos a ^cos ß^ — C08 ß, coa «' ^'

oÄv /«<>« fl^ <^os Vi — cos / cos ßi
' \ cos ^ cos y — cos y cos ßr ^

cos / cos g| — cos « cos Yi
cos y cös «' — cos a cos / """ ^ '

^i^8 denen sich auch/leicbt die Relationen

37) (coi^ ß €08 ;^-rco8 ;' cos ß') cos a,

-I- (cos ;' cos a' — cos a cos y*) co« /?, J == 0
/rH (cof. a.cofi ß'^^CQst ß cos a') cos y.

38) (cos ß cos y, — cos y cos /S|) cos a'
- •+■ (cos y igos a, -^ oos a-^^os yj cos /J'J =0
H- (cos a CO« /J, »^ oos ß cos «,) cos /

der

39) (cos ß^ cos y, : — cos y' cos /?, ) cos a

-4- (cos f' cos «I — cos Cf' oos y,) cos ß\ =0

-+• (cos a' cos ßi — cos ß' cos a») cos y

ergeben.

Nach 36} ist nun

« ■ ■ •

cos ß' cos a, — cos a' cos j9, =3/^eo8 ^ cös a' — cos a cos /?'),

cos y' coa ß^ — cos /^ cos y^ === f»(ces y cos ß* — cos ß cos y'),

cos a' cos y, —cos / cos «J =f*(4&bs a cos / — cos y cos a');

• ■ «

und man bat daher die drei folgenden Systeme von Gleichungen:

cos a' cos a,=:cos o' cos »j^ ' ^

cos a' cos ß^ =cos ß' cos a, +Mcos a cos /?' — cos ß cos a^),
cos* V cos y, m cos / cos a, H- ^(cos a cos / — cos y cos i/);

ferner ^

cos ß' cos «j =:cos a' cos /9, +^(cos ß cos a' — cos a cos /?')?

cos /J' cos ß^=zcoa p cos /?,,

cos ß' cos /i = cos / cos /9, + ^(cos ß cos y'-*cos y cos |^);

endlich j

• ■ -r ■ . ■ . •

cos / (JOS a, z^^cos a' cos y^ +f*(cos y cos a' — cos a cos /),
, cos / cos /9, ;=;?cos /?' cos y, -h/ii(cos y cos jS*!— cos ß cos /),
cos y* cos ^1 =cos / cos y,.

Quadrirt man auf beiden Seiten dieser Gleichungen, und addirt die

184

dadarch benrorgehanileii €ileicbuiigen sH einamler, lo efrlilUt
weil bekaoDtlicn

cos a, • ■+• cos /?! * + cos y , * = 1

int, die drei folgenden Gleichungen:
cos a'* = cos a'* cos «,*

/i *

. H- {cos /y cos a, -t-ff'fcos a cos jP — cos ß cos a^j*
-4- jcos y' cos a, +m(<^os a cos ^ — cos y cos lOi*
Icos p^=^eoß /y» CO« /?,*
40) ^ + {cos o' cos ßi + /ii(cos /t cpi 01'— cos a cos /9^|^

+ {cos / cos /J, + /(i(cos /J cos y* — cos / cos /J')j*
cos ^'•^cos /• cos y,'

+ jcos a' cos yi +/ii(cos y cos rt' — cos « cos /)j-
-I- {cos ^ cos y, +f*(cos y *os /y — cos^ cos f)\

oder anch

- cos ß^ cos «I »4-^cos g cos /f — cos /> CO« «')>,

* cos a' sin «, * »

^cos y cos g|-|*/M(co8 c cos /* — COS y cos a')i^
■"* cos «' sin a, f > -

- ^cos a cos /g|-t*M^Q^ /^ ^^^ **' — ^Q^ ^ ^Q^ /Oi«

— ' cos /T sin /J, ""»^

^ ^cos y* cos />,-i-A*(cos ß cos / — cos y cos jf),^
. +' eos/r siii/i » '

^ .cos a cos yi-|*A«(cos y cos a — cos a cos /),«
« • cos / sm yi '

, ^cos ß' cos y,-|-Mcos y cos ß'-rcos ß cos y')»,

* cos y' sin yi * *

Durch gehörige lüntwickelung der ersten der Gleichungen 40)- er-
hält man, weil bekanntlich

cos a'* H- cos ß'* -+- cos y'* = 1 ,

ist, die. Gleichung

cos a" = cos a,*

( cos /9'(cos a cos ß" — cos ß cos o')}
( + cos y'(cos a cos y' — cos y cos a'j 1

!(cos a eos'ß' — cos ß cos a')' j
-|-(cos a cos / — cos y cos a')'i

und folglich

186

COS ai*

icos /^(cos a cos j^— -'cos ß cos af)\
i cos Hl
-^ cos ;^(co8 a cos / — cos jr cos «') I

sscosV*

!(cos 61 cos /^^ — coi ß cos o')' I
H- (cos « cos y' — cos y cos a')* | '
^ ist aber.

cos /9'(cos a cos /S' — cos ß cos o')
-+■ cos y'(cos a cos / — cos y cos aO
^^ cos a(cos /y* •+- cos /*) — cos a'(co» /S cos §^ -|r- cos f c*s y*)
^^ cos a(cos o'* H- cos /J'^ H- cos ;^*)

— cos (»'(cos a cos cit'+cos ß cos /^+ cos f cos /).

^««•ier ist

"• - • «

^cos a cos /?' — cos /? cos o')*
,-f-(co8 a cos f — cos y cos ö*)*
= cos a*(cos /5'*H-cos y'*)-f-cos a'*(cos /J'-f^cos y*)
-^2cö8 a cos a'(cos ß cos /J'-l-cos y cos f') .

*

= cos a'(cos a'* H- cos /J'* H- cos /•)
-t-cos ia'*(cos a*-|-co8 /JTH-^s /•)
— 2cos « cos ä'(cos a cos o' -«l-^ds /I cos ^^r ct>s / cos f').

^Veil Dan bciksnbtlicb

eis ä* 4- COS' /?» -+- coiy» == 1,

''cos ä^>^- oos^ -+- coi /• SS I5
UniPx

41). cos 3:^ cos a cos ^a' -H cos /9 cos /P + cos f cos /

ist^ so ist

i ' « cos /9'(cös a cos /^ -r- cos ß cos a')
+ cos /(cos a cos / — cos y cos aO

" . s: cos a — cos 0^ cos
und

f

(cos a cos /$* -— cos /? cos a')*
+ (cos a cos f — cos y cd» «')• .
=7 cos a' + cos a'* — 2co8 a cos o^ cos

" ■ i

Folglich ist nach dem Obigen

IM

cos Uj^ ^2fA{co8 a — €08 a' cos &) cos !»,.
= cos a"'^/it'(cos a*-4-co8'a'» — 2cos a OQs ce* cos 0),

also .

jcos tti +/i^cos a — cos a' cos ®)j»
= Gos a'* — /if'jco» «• ■4-coÄ «"-^4fccos a cof a' cos 0

— (oo« a — cos a' cos 0)* \

= cos a'* — f** cos a'^ sid 0* . . =. -"^

= cos a'»(l— M* sin 0»).

Daher ist

•^ •■! f ^

COS «i -^ft^töt ä — cos, a' CO« 0)=dbcoB «' V^l, — /** 8i»i0^

' . < I , —

nnd folglich

\\ -. ■ ■ . ' ' => '" ■ - • ••

cos a, :=: — f* cos a + cos a'(^ cos 0d=W^l — f** sib 0*).

Nach dem Obigen ist

^ cos /f cos <g^ -h/AJQOs a cos /T — cq^j? fiOf g*)

"> cos a'

cos y cos a.rhMcos a cos y — cos y cos a)
' ' ^^ cos er

■ • ■ I

t

Führt man in diese Gleichungen den vorher gefundenen Ausdruck
von cos a, ein, so erhält man dfe drei 'folgenden Crleichdngen , \n
(le^e« die obefn ynduiiteirii gleichen siel», >iMf einaiyder heziehen:

Icos ttj = — [i cos a-f-cos a'(f* cos 0=bV^l-r-^» ain &%
cos /?, z= — /MS cos iS-»r€oi ^{ik co# 0d= V^l— >» sin 0»),
cos ;', = — ^ cos f -h:eo« /Iff* ms 0± l/!l — f*» sin 0»);

oder '•

cos m^ 4»^ cos a • ' Wi iV-i " " V''«'" >^V^ * '
^jj^; =fk cos 0±V/1— ft» sin 0*,

cos /9'

COS

2lL±^^2L2:~:/» c«i ®±l^l-r#t» Bio 0».

I

Vorzüglich entsteht jetzt die Frage, wie in diesen Formeln die
Zeichen zu nehmen sind, woirüber aui folgende Art eine bestimmte
^Entscheidung gegeben wordeii kanu, wobei, wir von nun an die
zweite gerade Linie das Rinfallsloth nennen wollen.
Nach 26) sind

cos /ir , .

cos a

187

ce» a

€£ie Gleicbnngen der durcb das EinfallBlotb and seine Verlängerung
~~.ber den gemeinschaftlichen Ausgangspunkt der drei Linien hinaus
ar^estelUen geraden Linie. Sind nun q und ^, die Entfernuugeu
weier beliebigen Punkte in der ersten und dritten geraden Linie
on dem gemeinscbaftlieben Ausgangspunkte (;9,^,r,) der drei
«inien; so sind die Coordinaten dieser Punkte in dem Systeme
er JFy%i wie leicht erhellen wird, in yölliger Allgemeinheit:

Pi+Q cos a, ^i+Q cos ßf Ti-^Q cos y
od

Pi-hQi cos a^, Vi+Q, cos /?,, r, -h^, cos y..

"KMe Gleicbnngen der durch diese Punkte der Lage nach bestimmten
[enden Linie sind nach den Principien der analytischen Geometrie :

^ cos ^ — Pi cos ^1 . .

y — a, — o cos S=^ — -^ — sj-- — cj. r^^p — q cos a),

q cos y — Pi cos Y^

% — r. — Q cos y = ^ ^ — ^- ^*-^ (^ — », — P cos a);

* ''^ ' ^ cos a — ^1 cos «1 ^ ' ' '^ ''

oder

cos ß — ^ cos /J,

y — 9, — ^ cos /J = ^ (^ — ;»! — ^ cos a),

cos « — ^ cos er,

cos y — 2l1 cos yi

» — r, — ^ cos y = ^ (^ — />! — ^ cos o).

cos a — ^ cos a.
?

^U Bun dieae gerade Linie der dnrch daa BiBfallsloth und seine
Verlängerung über den ffemeinachaftlichen Ausgangspunkt der drei
l^ieo hinaus dargestellten Linie parallel seini lo mnss nach den

^Mncipien der analytischen Geometrie ^ so bestimmt werden, dass

cos Ä — 2l cos Ä.

cos y g

cos «' 01 *

cos tt — i£ cos a,
9

cos y — Si cos y,

cos / ' Q '

cos 0 Pi *

cos <y-*-5JL «OS a,

4. h.,'wie man hieraus teicht findet, dass

(jj cos a cos fS — cos /5 cos d

Q "^ cos rt* cos ßi —cos /J* 008 «,'

•4er

188

p. Cd g CO» ^ — coi y CO! tC
q "~ cot «' cos y, — CO« y cos ag

^ ^___ €0« w£ cos /l^ -*• cos f cos g,

JL — .» ^^ *^ ^<» yi — ^<» / ^<>* <»i
^1 ""^ cot a cos / — cos y cos a

ist

Nacb 32) ist

cos ti cos ^1 — cos §f cos g,
cos a cos /t — cos B cos a

' cos g' cos /i — eos / cos gg
■ . "^ cot g cos </ — cos y cos a '

nnd die beideo vorhergehcndeo GleicbuDgeo werden sieb «fto, ws-
bei Man sn beacbten bat, daat -^ seiner Natnr nacb eine poaitife
Gröite ist, jederzeit zugleich erfnllen lassen, wenn die Grösse

cos g' cot fy -^ cot f cot g|
cos g cos /f «-cos /} cos g'

negativ ist; oder ait andern Worten:
Wenn die Grosse .

«

cos a' cos ßi -T- cot f cos g,
cos g cos /f — cos ß cos g'

negativ ist, so werden sieb immer zwei Punkte, der eine in der
ersten, der anderie in der dritten geraden Linie, von solcber Lage
angeben lassen, dass die durcb diese beiden Punkte der Lage nacb
bestimmte gerade Linie der dnreb das Einfallslotb nnd seine Ver-
l&Dfferung über den gemeinsebaftlicben Aasgangspunkt der drei
Linien binans dargestellten Linie paralleljst

Nun erbellet aber auf der Stelle, dass sowohl bei der Re-
flexion *), als auch bei der Refraction die erste und dritte gerade
Linie immer auf verschiedenen oder entgegengesetzten Seiten der
durch das Binfallsloth und seine Verlängerung über den gemein-
schaftlichen Ausgangspunkt der drei Linien hinaus dargestellten
feraden Linie liegen, und däsa es abo.nie zwei in der ersten und
ritten geraden Linie liegende Punkte von solcher Lage geben
kann, dass die durcb diese beiden Punkte der Lage nach be-
stimmte gerade Linie der durch das Einfallslotb und seine Verlän-
gerung über den gemeinschaftlichen Ausgangspunkt der drei Linien
hinaus dargestellten geraden Linie parallel ist, indem von jeder
durch zwei in der ersten und dritten geraden Linie liegende
Punkte gezogenen geraden Linie die durch das Einfallslotb und
seine Verlängerung über, den gemeinschaftlichen Ausgangspunkt

*) Man vergleiche Archiv. ThI. II. S. 147 die Note.

hinani dargeitellte gerade Linie offenbar notli#endig geschnitten
werden mnii. Daher kann Wednr hMi. dir Beflexibn, noch bei der
Refraction die Grösse ,

C08 <x' COS ß^ — C08 f COS «t

. COS a cos ß> — cos ß cos a

jemals neffativ sein, und ist folglich in allen Fällen positiv. Hier-
ans, in Verbindung mit der ereten der GleichungpBn 36) nnd der
Gleichung 34), ergieht sich auf ganz unzweideutige Weise, dass

sowohl bei der Reflexion, als atfch bei der Refraction, nie /i*=±:

gesetzt werden darf, sondern immer

»

44)).=^

? gesetzt werden muss, wie von nun an auch im Laufe der ganzen
bigenden Untersuchuuff immer cßscbeben soll.

Aus den drei Gleichungen Wt) folgt, wenn man dieselben nach
der Reihe mit . "^ *• -.J,,

cos a\ cos /}', cos /'

multiplicirt, nnd dann zu einander addirt:

cos a' cos a|-Hcos /S' cos /?j-|-cos y* cos Y\
= <-r /*f <^s a cos a' rh eos ß. cos §> -4- cos y cos f.),

-4- (cos a'» H- cos p + cos y*») {(k oos © dtVll-r/tf» sin 9«),
and folglich, weil ' :

. ^^ioos 6 = eos a cos fx'+4S08 /} cos /9'-Höoa/ cos^f,
(cos 0^ = cos a! cos a^ +cos,/9' cos /9| +cos.;^ oos /.

snd

cos o'* + cos /!?'*-|-cos y'* = l
ist,

cos 0, = — M. cos 0-|-.(/4 C08 0=fcl^l~i^* "^ ®*)>.

d. i.

46) ^os 0, =i: =fc|/ !-::/♦», sin 0».

Niin erhellet 'aber sehKÜBicht mittelst' einer, einfachen Gonstntfction,
dass bei der Reflexion ;die. 18(]K** .niqht. übersteigenden. Winkel 0
und 0| immer entweder beide Kleiner als '00°^ o'der beiUe grosser
als 90° sind; dass dagegen bei der Refraction der eine dieser bei-
den 180** nicht übersteigenden Winkel immer k,lein,er. als .90®, der
andere grösser «Is 90° .ist.. Demi<ii)ch haben. cos- 0'und cos 0,
bei der Reflexion immer gleiche, bei der Refraction immer un*
ffleiche Vorzeichen , und es «rgeben sich daher, nach 46) jetzt die
folgenden Regeln.

190

/

1« Reflexion.

1) Wenn & <! 90®, d. h. cos @ positiv ist , so . ist aacli^
&^ <!90®, d. h. cos @, positi?, und folglich

cos ®, = + \/l— f*» sin Q«

SU sjeUen, also in den obigen Formeln die .oberQ. Zeicken .wßt
nehmen.

2) Wenn 0^90®, d. h. eos @ nep^atiy ist^ so ist aii(^

^1 ^90®) <)• ^« cos 0| negativ, und folglich

• ■_^ • .■■■,-' -^

cos ©^= — 1/1-/1*» sin 0» -

zu setzen, also in den obigen Formeln die antern Zeichen zn
nehnien.

■ .. . ■ . I ' •.,

n. Reftaction. ■ '"■

1) ly^nn @<90<», d. h. cos @ positiv ist, so ist 0. ;:^9((%
d. h. cos @i negativ und folglich

cos

0, =r— l/l— /*» sin 0»

zu setzen, also, in den ^ obigen Formeln di^ untern Zeichen zs
nehmen.

2) Wenn ®>ÖQS d. h. cös 0 negativ ist, so tat e^|'<96*,
d. li».QOs"0i podifi^ and folglich

cos

0, =4-1/1 — /i*» sin 0-

zu setzen y alvo tn den obigen -Formeln ^lie obefn^Zeid^en zu
nehmen. , ^' . i- . •

Wir sind daher durch die vorhergehende Untieinsuchnng jetzt
Überhaupt zu dem folgenden Resultate gelangt:

Es ist

1 — ■ ' ■

COS 0 = co8 a cos ft'-f-coö'/?*c6s /y + Coö y Cös /^
und

cos ai=^fi cos a*4-cd8^7M cfl«;0:±:l/l — /i** sin 0»),

cos /?, = — A* cos /J + coÄ j5'(f* cos 0dfc;l/l— /i** sin 0*),

cbS /j =: — f* cos /rh cos y^j/* cos 0 ± 1/ i — fi* sin <©•)

■ o^er ,.

' •■ ■ . . . ■

' cos tt.-uü cos a ^ ■' I y? •' *-' r\^

*-Tw. — ^ = Ä cos ®dbK 1— A** sin 0»>

COS a

*^ \^ ^=:u, cos 0db:Kl — ft* sin 0»,

cos p ,

cos

»Met X

ait der BefitiBimiigy das« . »ao in diesen FArmela im. Falle der
Reflexion die obern oder untern Zeichen zu Dehmen kat, Mnach^.
dem 0<!9O** oder 0^90® ist; im Falle der Reflexion dagecren
die obern oder untern Zeichen nehmen muss, jenachdem @^90®
oder Ö<90« ist. '•

§. 5.

Im Folgenden wollen wir uns rlan imtaier d\i erstt gerade

.liinie von einem gewissen Funkte, dessen Goerdipaten p^ g^ r seio

jmbgeD, ausgebend denken, und wollen unter, dieser Voraussetzung^

Allen .übrigen im Vorbergebenden eingeführten. Sjmbolen die ihnen

lieigelegte Bedeutung lassend , fernernin die .von der ersten Linie

mit den positiven Theilen dreier durch den Punkt (pgr) gelegter,

den primitiven Axen. der ^^ .paralleler Axen eingeschlossenen,

180® nicht übersteigenden WinKet durch a, f^y bezeichnen. Dann

muss man offenbar in allen obigen Formeln für a, /?, f respective

ISO«" — a, 18(I<* — /t, ISO«" -X >f setzen , und ' erhält dadurch die fol-

genden Formeln.

Die Gleichungen der ersten Linie sind wie früher

eder «loh

'- -60& U. ■ " «OS.'^ cos /

*»)f3^

«öS ä cos ^ eos y

da der Pbnki IQyyr) immÜ in der ereien I^inie liegt
Ferner ist:

<. • ^

SO) M = ^

cos @ = — (cos a cos «^ 4» ees /? gob fl> «|- cos ;^ oos f')

und

■' ^\

cos a, =f*,^cos a «47 cos afQt, coi^.0=fc:V/l — ./tt* sin ®'),

cos ßi=fA cos /f + ces /J'(/i* eoa ©zfcVl— /m^* sin @*),

f^ =/* cos y-f-COS )^(/* cos @Z±lV^ly-^fit* siu 0*)

cos

cos g^ — ^ cos a Ä^ii-iy* : — : — S7

^jj^^ :=z($ eoa 0±V/l-^/i« stn 0»,

cos ßi — fA cos ^ ^ ■_ I y% i — ' — ST

^^7J7^ '=9^ cos 0±K 1 — ^» sm 0»,

'Äs ^j — /i cos y j^ ■„1/1 ; — : — Si

wy( ^ = f^,COfl0=fcKl— fi» 81^1 0*5

19%

auch

.\

C08 ®, =dbl^l-— /i** sin ©•;

mit dfer Bestimmung, dass man in diesen Formeln im Falle der Ri
flexion die obern oder untern Zeichen zu. nehmen hat, jenachdei
@<90» oder @>90<» ist; im Falle der Refraction dagegen di
obern oder untern Zeichen nehmen muss, jenachdem 0^90* ode
ö<«k)* ist.

' •- ■ . ■ **

Es sei nun

51) (*-«,)» -h(y-A)»-»-(*-<'.)' = Ä.*

die Gleichung einer Kugelfläche, und /i,, ^|, r^ seien die Coordi
maten 4es Ihirchschnittspunkts der ersten geraden Linie mit diese
Kugelfläche; so haben wir |iach'49) und 5)) zur Bestimmung voi

Pi9 9x9 ^t ^^® folgenden. Gleichungen:

■ ■ ■ « i

.cos a 008 ß cos y ' . •'

oder

cos a < cos ß cos /'

+ \r,-r-(c,—r)\»^B,

■

Weil nun wegen der zwei ersten Gteichungeo'

, \ (;>i — ;^) cos y — (Ci — r) cos «

r, — r — u?, — r) = -^-^ — ^^ --—

■ ^ ^ ^ cos a ^

ist, so ist wegen der dritten Gleicl(ung

\Pi —P^i^i -—P)]* cos a»
-HlÖ^i— ;») cos /?-*(Äj — y> cos^uff*^ =t=/l,» cos'«»,
+ \{Pi ^-P) *50» r,— (c, — r) cos «}»

also, weil bekanntlich ' '

cos a^ + cos* /?* -I- cos y* =1
ist,

0^1 ""/^j* —^K^i "-^;>) cos «+(^1 — f) cos ß ,

4- (c, — r) cos y j^ (/^^ — />) cos •

««».

193

oder, wenn wir der KSrae wegen

ljiri=(ai — p) cos « + (^1 — y) cos /? + (c, — r) cos y

aetien, wo E^ bekanntlich die Entfernung des Punktes {ptjtr) von
^ea Mittelpunkte («i^i^i) der gegebenen Kugelfläche ist:

{p,-py—^^i{Pi-P) C08 a = (Ä.»-iE»») cos a«.
liOsen wir diese quadratische Gleichung auf, so erhalten wir

COS a

ind nach dem Obigen haben wir daher überhaupt die drei folgen-
des Gleichungen:^

in denen natürlich die obem und untern Zeichen auf einander zu
■^esiehen sind.

Nehmen wir nun den nach dem Punkte (Pi^i^i) gezogenen
Halbmesser der gegebenen Kngelfläche als Eintallsloth an , so
^nben wir Sie folgenden ganz allgemein gültigen Gleichungen:

a, — ^i=Ä, cos a',
ö^ — ^1 ^ Ä, cos ß't
^, — r, =Ä, cos ;^;

eos «' = -^f-, cos /^=-Rf^, cos r' = -^;
^od folglich nach 53)

g, — y — (Ar,=fcV^ig,»-HArt» — ^,«) cos a
cos o'= jj * =-^^ ,

cos / = -^ : .

^eil nach 50) n

eofl d = *-(co8 o cos a'+cos ß cos /9'+co8 / cos /)
HmU IV. 13

<t, so erbmIteD wir au 54) mit Hiifo v»n 5S) leicht

55) cos « = ± *' ^*» ^.

#•7.

<

Wir wollen nun die erste gerade fJnie immer den einfallenden
Strahl, die zweite wie froher das Einüallsloth , die dritte den aus-
fallenden Strahl nennen 9 und wie vorher annehmen, dass der eis*
lallende Strahl von dem Punkte [pgr) ausgehe, und die im vorher-
gehenden Paragraphen hetrachtete Kugelfläche in dem Punkte
i^i^i) treffe. Jenachdem die concave oder convexe Seite dieser
iugetfläche der Richtung, nach welcher der einfallende Strahl von
dem Punkte (pgr) ausgent, zugekehrt ist, wollen wir sagen, dass
der einfallende Strahl die concave oder convexe Seite der in Rede
stehenden Kugelfläche treffe.

Trifft der einfallende Strahl die concave Seite, so ist immei'
@-<90®; trifft dagegen der einfallende Strahl die convexe Seite,
so ist immer @^dO**; welches Alles mittelst einer ganz einfachen
geometrischen Betrachtung leicht erhellen wird.

Nach §• 5» sind daher in den Formeln

cos a, =j(ft cos a-l-cos «'(/» cos 0±W^1 — /tt* sin ©•),
cos ßi=(* cos /J -f- cös ß'ifjif cos 0 ± 1/ 1 — fi* sin ©•),
cos yi=:fjb cos p'-f-cos /{fjit cos OzitiV^l — fi^ sin 0^)

im Falle der Reflexion die obern oder die untern Zeichen xu neh-
men, jenachdem der einfallende Strahl die concave oder convjBxe
Seite der in Rede stehenden Kugelfläche trifft; dagegen sind in
diesen Formeln im Falle der Refraction die obern oder die untern
Zeichen zu nehmen, jenachdem der einfallende Strahl die convexe
oder concave Seite der in Rede stehenden Kugelfläche trifft.

Nehmen wir nun aber im Folgenden das Einfallsloth mit dem
einfallenden Strahle immer auf einer Seite der zurückwerfenden
oder brechenden Kugelfläcbe an, so mnss maiPin dem Falle, wo
der einfallende Strahl die convexe Seite trifft, offenbar in den obi-
gen Formeln statt

0 und a', ß', /
respective • . ^

180» --0 und 180» — a', 180» — /?', 180»—/

setzen, wodurch in diesem Falle di^ obigen Formeln *) in die fol-
genden übergehen:

cos a, =|i*'co8 a+eoi^ a'(fA cos 9zp[/l — fi^ sin 0'),

*) Der oben in 50) für cos S gegebene Ausdruck bleibt ungeähdert.

ia6

eo8 /?!=/» cos /?-Hco8 p^ifi cos ®=|rl/'l— /i*» sin ®»),
cos Y^zzzik cos y + COB /(/* cos 0=5:: l/l— /!*• sia ö»).

Ooter der gemachten Voraussetzung ist daher allgemein im Falle
der Reflexion:

cos «1 =/it cos o-f-cos a'{ji cos 04-l/*l — fi* sin ®*),

cos /?, =/» cos /9-Hcos /?'(/!* cos ® + \^\ — (A* sin 0*),

cos p'i =/lr cos J'^- cos /'(/* COS 0 + V^l — fi* Sin 0*);

Qnd im Falle der Refraction:

cos a, =/i* COS a + cos c^((Jb cos 0 — V\ — /i*» s

cos ßj^=(jb cos /94-cos /^(/i* cos 0-^V/l — /!*•' s
cos ^1 =/» cos^H-cos yXf* CM- 0 — l/l--f»* s

^hM> ist

00»),

n 0«),

cos a|=/i» cos a-f-cos af{(jif cos 0±l/l — /14» sin 0*),
«IM ßi=i* cos /?+cos /f(f* cos ©dbl^l— f*» nn 0»),
cos y, =f* cos /-f-cos /(/* cos 0±l/l — /** sin'0*);

wo im Falle der Reflexion immer die obern , im Falle der Re-
fractioa immer die antern Zeichen za nehmen sind.

la der Gleichung 53) des Tdrhergehenden Paragraphen ist dM
•bere oder untere Zeichen zu nehmen, jenachdem der einfallende
Strahl die concave oder convexe Seite der gegebenen KngelAäche
trift. Also sind au^h in den aus 53) bekannten Formeln

COS a

COS /f

cos /

des Formel«

=jsr.±l/Ä,»+jr,»-i»,>,

=ür,±l/ii,»+A:,»-^.%

ti^'=ir.**.v/n:E^,

fi — f
OOl ^

COS /

=ir.±Ä.tAni^

«e

Tifictf H ■>>■«■ , JeaacMe« 4«r «btCil-

lende ' Stirahl die cotaca?e oder eon?exe Seite trifflfc,^ NehaieD wi m
nun aber den Halhmesier R^ positiv oder negativ, jenachden d^ -
einfallende Strahl die eoneave oder eonvexe Seite triflR» ao kön^
nen wir allgemein

COS « ' ' r Äj* '

cos y

^K^^RyrziZEp

setzen; oder

P^=,P^(K,-{-r\/i-^^^^) cos «,

9. = y -I- (JST. + Ä.l/l - ^i^^^) cos /»,
r . = r -f- (JiT, -I- Ryn^ZE^) cos y.

dalten wir die vorher wegen des EinfoUsloths gegebene
Stimmung fest, so ist offenbar, Wenn man jR, immer als positiv b
trachtet,

Ä, cos a' = a, — />,,

Äj cos /?'=:Ä, — 7|,

Ä| cos /zrrCj — r,

oder

■

it^ cos (180»— a') = «!—;>,,
Ä, cos (180»— /?') = Ä, — ^,,
Ä, cos (180»— y') = €?i— r.;

jenachdem der einfallende Strahl die concave oder eonvexe
trifft; und folglich

db/2i cos a' = ai — p^^
dbjR| cos /^ = ^j — ^1,
=i=/2, cos y' = Ci — r, ;

indem man die obern oder untern Zeichen nimmt, jenachdem de
einfallende Strahl die concave oder eonvexe Seite trifft. Nimm
man aber vrie vorher den Halbmesser R^ positiv oder negativ
jenachdem der einfallende Strahl die concave oder eonvexe
trifft, so ist allgemein

Äj cos a' = ai — p^^
Ä, cos /^ = ^, — y,,
Ri cos /=4:i — r,;

197

also

cos «'= *it" *

cos /?' = ^-^,
cos / = -^

uod folglich nacb dem Obigen

cos

a, -p^(K, ^R^x^ä^^^Äyl) cos «
«' = - j^ ! ,

cos /?' = JJ- * ,

^OS /== 3j^^ i ;

eos «' = -* — ^ j^ ^ cos ayl R ^ '^

^ ^t— y — JT^ cos ß A/\ ^,« — A*,»

y' = 3f^ cos /?K l - ji^t .

cos

eil nach dem Obigen bekanntlich

cos 9= — (cos a cos a' + cos ß cos Z^'+cos y ^^^ y)
€, so erhält man aus den vorhergebenden Formeln leicht

e=l/rr5^

COS

^er
nd folglich

^Iso ist nach dem Obigen ouch

/i, =:p + (Ä', +Ä, cos 0) cos a,
7i =y-|-(JSr, +/li cos 0) cos /?,
ri=r + (iSr, +/1, cos 0) cos y.

o.

Es wird nötbig sein, die im Vorgehenden gefundenen Formei k
znr Bestimmung der i Ijam des ausfallenden Strahles nochmaB m
übersichtlich zusammeniuslellen.

Zifm Grunde gelegt wird ein beliehiges rechtwinkliges Cooic«
dinaten System der a?y».

Gegeben sind:
die Coordinaten py ^, r des Punktes, Ton welchem det einfalleoAc
Strahl ausgeht;

die 180** nicht übersteigenden Winkel a, ß^ y^ welche der ein-
fallende Strahl mit den positiven Theilen dreier durch den Punkr
(;p^r) gelegter, den primitiven Axen der ;r, y, % paralleler Axen
einschliesst;

die Gleichung der zurückwerfenden oder brechenden Kugelfläche,
nämlich die Gleichnng

wo der Halbmesser Jü^ als positiv oder als negativ betrachtet wird,
jenachdem der einfallende Strahl die concave oder coavexe Seite
dieser Kugelfläche trifft.

Gesucht werden die Coordinaten ;?,, ^,, r^ des Einfallspuakts,
in welchem der einfallende Strahl die gegebene Kugelfläche tri£R,
und die 180^ nicht übersteigenden Winkel, welche der von dem
Punkte (;9,f,r,) ausgehende ausfallende Strahl mit den positiven
Theilen dreier durch den Punkt (p^giTi) gelegter den primitiven
Axen der apy y, % paralleler Axen einschliesst.

Zur Berechnung dieser sechs Grösseta, durch welche die Lage
des ausfallenden Strahls offenbar vollkommen bestimmt wird, hat
man nach dem Obigen die folgenden. Formeln.

Zuerst berechnet man dje Gröäsep B^ und K^ mittelst der
Formeln ^ .- >

-AT, =s(a, — p) cos a-f-(Ä, — g) cos /?-f-.(c, — r) cos y;

und hierauf den 180<' nicht übersteigenden Winkel & *) mittelst
der Formeln

cos
oder

Q^yTZ^^imiEEi

0=V^

sm

Dann ergeben sich die Coordinaten ;»,, ^j, r, mittelst der Formeln..

p^ =p + (Ki +Ri cos &) cos a,

*) Man sieht ii^igens aus dem folgenden Ausdrocke von cos 9, dass
unter den dfkn gemachten Voravssetiungen der Winkel 9 nie 90^
übersteigt.

199

7i S=7-|-(^l +Äi C08 0) COS ßf

r^ =:r4-(yirj -l-Ä, eot 0) cot ;^;

md hierauf die 180<> nicht übersteigenden- Winkel a\ f, f mit-
telst der Formeln

c, — r^

Endlich erhält man die 180<» nicht üherateigenden Winket a,, /?,,
/i mitteilt der Formeln

cos ttj = /[» cos tt -fr cos a'(/i* cos © ± \/\ — fA* sin 0*),
CO« /?, =/i* cos /J+cos /?'(/i* cos QzizV^l — (a^ sin 0*),
cos /j =/i* cos y + cos /(/tt cos &zki\/\ — /lA* sin 0*);

in denen im Falle der Reflexion die ohern, im Falle derRefraction
die nntem Zeichen zu nehmen sind.

Durch Eittfilhning einiger Hölfswinkel kann man sich die
Rechnung nach diesen Formeln erleichtern.

Berechnet man die Uülfswinkel 9p und %p mittelst der Formeln

Ci — r

, ^i — y gl — r

, ng ^ (^^ _J^j cos 9) "7" («1 — rt sin 9*

to iitf wie mau leicht findet,

■ ^cos V

Nimmt man nun aher, was offenbar verstattet ist, wenn

Äj-^^ und Ci — r

positiv positiv

negativ positiv

negativ negativ

positiv negativ

»•tj 9 B«, dass respective

0<y< 90«,
Ö0«<9)<180«,
180<»<ry<270*»,
. t70»<y<360«

I

ist, 80 hat cos ^^ait^i— ^ stets eiDerloi Voneichen, «ad. dsu^
Vorzeichep von tang ^ liän|^ also bloss von «i — p ab*. Nimn^^
man dann ferner ip stets positiv und ni<At grösser als 180*, so hi^^
cos tp einerlei Vorzeichen mit a, — p^ und man kann also ant^^
diesen Voraussetzungen immer

* COS Iff

setzen.

Berechnet man ferner den Hülfswinkel oi mittelst der Form^M

sin w=s(jb sin @,

und nimmt oi nicht grösser als 90**, so ist

l/l — f** sin ©» = cos Ol,
und folglich, weil

sm Ol

^ — sin S
ist, nach dem Obigen, wie man leicht findet:

sin 0) . sin (i» db 6)

cos tf. =cos « 5S^ + eo. ar ^.^ ^ ,

. - sin» ^ «n («dbe)

cos |J. = cos j? -pg+ cos /»' — -pg— ,

sin Ol . . sin (todtQ)

cos y, =:co8 y .„ ^+ cos r : — s"^;

' * * sm ö ' sm Ö '

wo im Falle der Reflexion die obern , im Falle der Refraetion ii^^
untern Zeichen zu nehmen sind.

Daher sind die bequemsten Formeln inr Auflösung unserer
gäbe die folgenden:

' cos ^

Ä', =(»1 -7-;e?) cos a-4-(^, — y) cos /?-!-(€?, —r) cos y\

sm &=y — =-=- — in^ ^' "** ai = /i*'8in 0;

;e?, =/i + (iSr, + Aj cos 0) cos a,
7, = ^ -I- (üTj Hh Ä| cos 0) cos ß,
r, =r + (Ä^, -+-/1, cos 0) cos y,

201

t »

' COS a' = — *Ts-^-*-,

cos /ss-^Tj — =■;

sin Ol . , sin (oi:fa8)
cos O, =COS a -: — S+C08 a' ^ : — s — ^>

* sin 8 sin 8 -^

^ ^ sin a> , ^ sin (40 =1= 8)

cos /». =:co. ß -r§-*-«" ''^ sine >

sin w . , sin (a> =1= 8)

€08 y, =cos y ST^-*"«^» ^ sin 8 '

Wie die Winkel 9, ^, o» ffenommeD werden müsseD^ ist aus
<>eiii Obigen bekannt; der Winkel Q ist nie grösser als 90* zu
i^^lmen.

Die Gleicbangen des aasfiillenden Strabls sind

cos 0, cos ßi cos y,*

Wenn die GldicbnngsBD

{/r-i»,)*+(y-^r+(*-^.)»=Ä,»,

.a. 8. w.

^«brerer zurückwerfenden oder brechenden Kugelflächen und die
^driickwerfangaverhältnisse *) oder die Brechnngsverbältnisse für

Äswei durch diese Kugelflächen von einander getrennte brechende
edia^ gegeben sind , so hat es nun auch nach^ dem Vorhergehen-
den nicht die geringste Schwierigkeit mehr, die zur Bestimmung
4^r Lage des letzten ausfallenden StrahU erforderlichen Formeln
^1) construiren. Weitere Untersuchungen über diesen Geffenstand
^tid Anwendungen der im Vorhergehenden gewonnenen allgemei-
nen Formeln behalten wir aber spätem Abhandlungen Tor.

') Msn Terffleiche über den hier immer sum Grande gelefften allgemeinem
Begriff der Znrückwerfiing Arehiy. Tbl. IL S. 147. Note.

Drei Eigensdiafteii
OrdDODg und ihrei

Fon

Herrn A. Göpel

zuBeiiin.

1.

Wenn die Samme der Quadrate der am m gegebenem ^n
Punkten auf leine Ebene gefällten Normalen coDälaal^ Mvnt

ist, 80 berührt diese Ebene beständig eine centralem JTle

Oherfläcbe zweiter Ordnung, deren Mittelpunkt ii
Schwerpunkt der m Punkte liegt und deren Azen mil^ M aü
den Hauptaxen des Systems der n Punkte zuaailmen— ^m^ ^^
fallen (S. Litt Bericht. Nr. Xil. S. 19t) und deren Brenn— mvn-
punkte eine bestimmte Entfernung Tom Mittelpunkten ^ -^^
haben.

Ehe ich tum Beweise dieses Satzes schreite, rufe ich einigem "^S^B^
elementare Sätze der analytischen Geometrie ins Gedächtniaa sn"-*^^^^*
rftck.

Die Gleichung einer Oberfläche zweiter Ordnung m Bezug anP " ^"i
ihren Mittelpunkt, als Anfiingspnnkt, und ihre (rechtwiukl^gaBC ''^^^^
Hauptaxen, als Coordinatenaxen, ist:

1) ^a* + i?/^ -f- Q'* = 1.

Ihre Halbaxen sind der Beihe nach |/^> r 7' r'C* ^^

findet, wenn der Reihe nach y=0, x = 0; x=:0, ar=0; ^:=:0,
y = 0 gesetzt wird. Die Gattung der Oberfläche wird leicht a
den Zeichen von ^, ^, C erkannt Sind alle drei positfr, a
sind alle drei Halbaxen r^ell und man hat ein EUipsoid. bt ein^
der Grössen Jly ß^ C negativ, so wird eine Halbaxe imaginär, na^
die Gleichung gehört einem einhulligen Hyperboloid an. Sind zwe "
derselben negativ, so liefert sie ein zweibülliges Hjrperboloid«
Differenziirt man die Gleichung 1), so hat mau

2) Aada+ ßß^^ CrdY=^^.

Betrachtet man hier a, ^, y als beliebig gegeben und uo

lieh, so stellt diese Gleichung in Bezug auf die CoordiMfei^

20S

äßy 4y ein aoeDdlich kleinei, um den Punkt (a, ß^ y) berunliegen-
des Stuck der krummen Oberfläche dar. Da lie vom ersten Grade
ist, 80 wird sie die Gleichung einer Bhene, welche die Oberfläche
iB Punkte (tt, /?, y) berührt, wenn man statt der unendlich kleinen
¥0B Berflhrungspunkte an gezählten Coordinaten da^ dßy tfy die
endlichen x — a, y — /?, % — y setzt, wo ^, y, % die laufenden
Coordinaten bedeuten; nämlich

«) ^a(^ — a)-hi?/?(y — /?)+€>(* — y) = 0.

Addirt man hiesu die Gleichung 1), so ergiebt sich

4) Aas:+ßßy^CY%^=l

«In Gleiehnng der Tangentialebene im Punkte (a, ß^ /). Diese
deicbnng stellt zugleich die ganze Schaar der Tangentialebenen
^or, wenn man den a, ßy y alle möglichen der Gleichung 1) genii-
Senden Werthe giebt. Wenn umgekehrt die Gleichung einer Ebene

5) paf + gy + r»=:D

ST^I^ben ist, so findet man sehr leicht die zwischen p^ q^ r, D
stattfindende Bedingungsgleichung, damit sie die Oberfläche 1) be-
*4hre. Es muss nämlicn

p^szAaDy qz=zBßD, r^^OyD

*^in; eliminirt man hieraus mit Bülfe der Gleichung \) a^ ß und y^
^'o bleibt als Bedingungsgleichung

oj ^ -t-^ -f- c—^ •

Bedeuten nun p^ g^ r die Cosinus der Winkel, welche eine
^Urcll den Anfangspunkt gehende Gerade mit den Coordinatenaxen
^steht, so ist

7) p> + fr> H- r' == 1.

^ind ferner a:^ y, % die Coordinaten eines beliebigen Punktes, so
t^ildet nein Leititrahl mit den Axen Winkel, deren Cosinus be-
^iehlicb

^ y «

mlnd. Der Cosinus des Winkels, den derselbe mit der Geraden
(#'» 9s ^) bildet, ist daher

X , ^ y i r, ^ *

Vx^-k-y^-^'

ii« Unge den Leitotrahls ist Vas^ + y* + »*, und folglich ist

p^ + W+r% die Projection desselben auf die Gerade {p^ y, r).
Bs werden also der Gleichung 5) .

alle diejenigen Punkte (^, y, %) genügen, deren Projectioneo an
die Gerade (py q^ r) um D vom Anfangspunkt entfernt sind. Folg
lieh- ist obige Gleichung diejenige einer Ebene, deren Abstand yo
Anfangspunkt gleich ZTist und deren Normale mit den Axen Wink
Von den Cosinus p^ q; r macht Die Gleichung einer Ebene kan
immer ailf die obige Form gebracht werden; denn sollte in d
Gleichung

nicht /y,* + yi*-|-r,*2=l sein, so darf man nur beide

durch V^;>i*+yi*-l-r,* dividiren, um sogleich die gewünschte
Form zu erhalten.

Seien nun ;r,, y,, «, ; ^„ y,, x,; ^n, yn, %m die Co-

ordinaten der in dem Lehrsatze gegebenen m Punkte; sei ferner

pa?'+'fy+r% = D,

^o p* -l-jar* -|-r'=: 1, die Gleichung der fraglichen Ebene«' Wenn
man den Punkt (^i^iXi) auf die Normale {py q^r) projidrt, aoiit
dem Obigen zufolge

P^i+qyi-^rx^

I

der Abstand dieser Projection vom Anfangspunkt; mithin ist

der Abstand derselben von der in Rede stehenden Ebene. Aehn-
liche Ausdrücke erhält man für die übrigen Punkte (^ay^Xs)
Q. 8. w.

Wir wollen jetzt, den Lehrsatz ein wenig verallgemeinernd,
die Quadrate dieser Abstände mit beliebigen Coefficienten Mi,
M„ . . . . flfn multipliciren und dann addiren. Auf diese Weise er-
halten wir zwischen den Bestimmungsstücken der Ebene (/i, 7, f,

D) die folgende Bedingung:

*

I ^=: iL..
mnipOPn -h qtfn -¥- r%n — B)*

•WO K eine Constante ist. Bedienen wir uns der Summenzeichea
S und entwickeln wir die Quadrate, so erhalten wir

10) p^S(ma:*) + %frS{mff%) — 2DpS{ma:)
+ q^S(mp^) + %rpS{m%a:) — tDg8(my)

206

Denken wir ans nno die gegebenen m Pnnkte mit den Massen
«,, «s„ ... Mm behaftet, nnd stellen wir uns den Anfangspunkt
ood die Coordinatenazen in den Schwerpunkt und den Haupt-
(trägheits)azen dieses materiellen Systems vor, so ist den Elemen-
ten der Statik zufolge:

11) S(ma) = S{my) = S(mM)=S{m^)=JS{mMa:)=S{w$a:y)=0.

Fftbrt man ferner die folgenden Bezeichnungen ein:

so stellt sich die Bedinguqgsgleichung 10) folgendermassen dar:

13) i>i»-l-Cy«-|-/lr»-|-J!#Ä>=JSr,

oder, wegen f>» + ^* + r* = 1, so:

14) MB* = (ÜT— F)p* + (ÜT— «)^» + (ÜT— /l)r».

Diese Gleichunff bat dem Vorhergehenden zufolge genau die nöthige
V'om, damit die Ebene 5) eine Oberfläche zweiter Ordnung* be-
■"Ühre, deren Mittelpunkt und Hanptaxen in den Anfangspunkt und
die Coordinatenazen, d. h. in den Schwerpunkt und die Haupt-
<i^en des erwähnten materiellen Systems fallen. Hiemit ist aer
«rate Theil des Lehrsatzes erwiesen.

Die Halhazen dieser Oberfläche erhält man durch Vergleich ung
VoD 14) mit 6); nämlich

-,-. 1 AT— JP 1 _jr— g 1 AT— ig

^^* i~~sr'* F~"Tr"' c~"sr"*

^on sind -j, -jgj -j^, wie zu Anfang erwähnt worden, beziehlich

^eieli «', ^', c', wenn «, ^, c die halben Azen der Oberfläche
^^weiter Ordnung bedeuten. Bs sind daher wegen 15) die Differenzen

«» — *•, *• — <?>, c»— «»

Von der Constanten K unabhängig; woraus wir schliessen, dass
4ie mu verschiedenen Werthen yon K gehörig^en krummen Ober-
flächen sämmtlich confocal sind. Hiermit ist auch der zweite
rilieii unseres Lehrsatzes erwiesen.

IL

Je zwei Ternionen conjuffirter Halbmesser einer
mmmen Oberfläche zweiter Ordnung liegen in einer
Legelfläche zweiter Ordnung.
^ Die allgemeine Gleichung einer Kegelfläche in Bezug auf drei
beliebig dorch ijire Spitze gehende Azen ist

206

' Wenn die drei Axen Mif ihrer Okerflielte liegea, ao ■■■■

seio; weil alsdann die Gleichungen y^O, x = 0; « = 0^ ar='
^ = 0, y=:^ ihr. genügen müssen. Man hat daher

2) :^^.*+^ = 0
' a: • jr »

als Gleichan|^ einer durch die drei Coordinatenazen gehenden K c
gelfläche. Die Gerade^ deren Gleichung

Z) jp : y : %z=tp i g i r

ist, wird daher in dieser Fläche liegen» wenn p^ q^ r der Gleichung

4) :^^« +i^ — 0

genügen.

Sind nun (o, /?, y), (a', ^, yO, («", /?^, 1^) die auf dei Ober-
fliehe zweiter -Ordnung

5) ^a\Hr i»i»» -♦- CJ^* = 1

lieffenden findpunkte dreier conjugirten Halbmesaer» lo iai der De-
finition derselben zufolge die TaD|rentialebene an einen dieser
Punkte parallel mit. der von den Leitstrahlea der beiden «äderen
ffebildeten Ebene. Die Gleichung der Tangentialebene am ersten
Punkt ist -aber

Wird durch den Anfaujipspunkt eine Ebene mit dieser parallel ge-
führt, so ist deren Gleichung

7) ^«ur+i9/?y+Q^s=0;

in dieser Ebene liegen aber der zweite und dritte Punkt. Folg-
lich ist

und auf dieselbe Art findet sich noch die zugehörige Gleichung

8) Aa'af' + ßß^ßf' -^ €Yf z=i^.

Fährt man nun die Bezeidinungen

9) uiao^a!' z=:z P, ߧ§!p'=Q, CYff=R
ein, so kann man jene drei Gleichungen auch sa schreiben:

207

« ß r

^0)^1+1 + ^ = 0

Mitbin ^nägen die drei Punkte (a, ß, r) « ß'y /) (a'\ ß", f)
der Ghiehnag

' d? y % *

Qnd folglich liegen die durch sie bestimniteD drei coDJuffirten Halb-
messer auf der von dieser Gleichung auigedriickteu Kegelfläche.
Diese Segelfläche geht aher durch die drei CoordiDatenaxen; also
lieffco aehienalich diese eomuffirten Halbmesser mit denjenigen, auf
Welche wir die Gleichung 5) bezogen haben, auf einer und dersel-
ben Kegelfläche zweiter Ordnung.

111.

Je zwei Ternionen conjugirter Durcbmesserebenen
ei'ner Oberfläche iwelter Ordnung berühren einen Ke-
Kel «weiter Ordnung.

Wenn man in der obigen allgemeinen Gleichsng der Kegel«
fluche der Reihe nach ^ = 0, y=0, « = 0 setxt, so erhält pian,
^> /?, / fiir o?, yt % setzend:

IMß^ + Ny^+PßY — ^
La^-^Mß^ + Raß^sO.

^«de dieser Gleiohnngen liefert zwei Gerade, als Durchschnitte der
Segelfläche mit den drei Coordinatenebenen. Setzt man nun

f o werden obige Ausdrucke Yollständige Quadrate und liefern also
.^ide asr eine Gerede. Unter den Bedingungen 2) wird folglich der
^eg^el die drei Coordinatenebenen berühren. Mab erhält aus
ihnen

3) Z = =fc^»=:±f,^==fc§.

i

fKe oberen Zeichen würden die Gletchnng dei Kegels zu einem
Vollständigen Quadrate machen; mithin gelten die unteren. Nach
Substitution der Werths 3) hat man

*i jp, -t- ga -t- ^ Q^ itp JP« — "^

all GleickoDg einer die drei CoerfiiateaebeBeB bcriikreiideB K
gelfläcbe.

Differeiitiirt mm and setst daan jf — a, ^ — ßy % — x fv
dß, dy, MO wird die Gleidiang einer Taaf^tMlebencr

r^ — £ — 2.^ ^— « ■ iß ^ 2. — ±\

«

^(JL ^ ± — Aa *=Z

1.

oder nach Addition Ton 4)

51 r— — A — X\ £1 ^iL ^ JL ^ ±\ £.
^^ ^P « Ä^ ^^^« Ä ^' «

-4-1^ — ^ — ') «, A

^^Ä P ^' A ^

Fükrft aan jetst die folgenden Beieicbwugcn da:

|.^ ^ £_ y ß f a y ^

ao iat

Darcfa Eiofahrnng dieaer Werthe redniit aicb die Gleidmg ^^

Kegelflache 4) auf

7) ±+JL+± = o
' « ■ ff fr

and die ihrer Tangentialebene 5) aof

Die Ebene {p^ g^ r), tfulicb deren Gleichnng

9) |i^+fry+rx = 0

ist, hernhrt daher den Kegel 4), wenn, wie lich duck ¥<
▼on 9) mit 8) findet,

ist.

Für die Oberfläche aweiter Ordnang, deren Gleid»Bg

11) ^or* + i9y* + Ck* s 1,

sind folgende die Gleichungen dreier conjugirter
ebenen:

209

12) {jia'a: + Ä/J'y + Cy% = Q

wenn a, ß, u^ s. w. den BediDgupgen:

I^oV H- Bß'ß" + cy/' = 0
jia"a+Bß"ß-^ 0/^ = 0
^aa^'+'Bßß'+Cy/=zO

^tsprecheD / wie ans dem Beweise zum vorigeD Lehrsätze erhellt.
Wenn man

f

^^sftt, 80 erhalten die Bedingnngen 13) die Form

^^i\p.Aa' '^OTBß "*"ä.C/~

^ - ^ -^ =0.

A

P.AeT ^ Q.Bft' ' Ä.Cy'

^t^nt man sich daher die Gleichungen 12) nnter der Form
^'^?-|-^+^« = 0 vor, so genügen die Coefficienten von allen

'«ien der Gleichung 10)

1

P .p ^ Q.7 ■ R.r

= 0.

t^ie drei Ebenen 12) berühren also den Kegel 4), wo P^ Qy B
4ie Werthe 14) haben; also ber&bren 8chli\Bsslieh diese drei conju-
^rten Durchmesserebenen nebst denen, auf welche wir die Glei-
^hnng 11) bezogen haben, einen- und denselben Kegel zweiter
Ordnung.

Die beiden Lehrsätze IL und HL können für die vollständige
Verallgemeinerung des folgenden Satzes von Herrn Steiner (s. des-
sen Entwickelung der Abhängigkeit u. s. w. p. 313) geften:

59) „Denkt man sich im Räume irgena zwei rechtwinklige
),C3oordinaiensj8teme um einen und denselben Anfangspunkt, so
9, findet Folgendes statt:

„Die 6 Coordinatenaxen Die 6 Coordinatenebenen

„liegen allemal in irgend berühren allemal irgelid

^einer Kegelfläche zwei- eine Kegelfläche zweiten

„ten Grades. Grades.

„Dieser Sfatz ist ein besonderer Fall eines umfassenderen Satzes.^

Obgleich aber umgekehrt aus den Gleichungen 13) leicht

hervorgeht, dass je zweimal drei Seiten einer Kegelfläche immer

als zwei Ternionen zugeordneter Halbmesser einer Oberfläche zwei-

Tfcdl IV, ,14

310

ten Grades apgesehen werden könneo, so sind unsere beiden ]
Sätze doch vpor besondere Fälle von Ewei umfassenderen Ss
deren analytische Behandlung sehr verwickelt ausfallen dürfte,
die ich bei einer andern Gelegenheit mittheilen werde.

xsn.

Bestimmung eines Polynomiums durch I
grale seiner partiellen Differentialien, m

einer Anwendung derselben.

Von ^

«

Herrn L. Mossbrugger

Lehrer der Mathematik an der Kantonssobnle am Aarau.

1. Sind y,, y,, ffm eine Anzahl veränderlicher Grc

beständige Coef&cienten, , und ist allgemein:
1) . . . iP=

^xy%* -h ^^y%yt + ^"•^,^4 -♦-

1^ 2 y« •+" ■+■ -^ 2"" — y«

211

y.

i',(w + ^ — 2) (m-f-n-8) (n-»-l)ft ,,

^^ 1.2..,,(m-2)X«-l) ^^'

' 1 .2 (m — 2) («i — 1) " ^

/ -^ly«" -♦- ^iyi*"^yf + + ^»»-ly."-^ . yi«+ ^«.yi"

«+i
-^•H-iyf""V*

■*" { , ^Ki^H-^-lX^w + ^-g) (ii + 2)(ii-»-l)

]"•" -^v 1.2 (m-2) (« — 1) ^jy*»-l

I 'Hh4(iw^^_i) (m-f-n-2)....(n-»-2) (»-»-1)

I "*"^^ 1.2 (m — 2)(»i — 1) --^W*

\"*"-^^ 1.2 (iw — 2)(jw — 1) ^

'm

, \ ^ "^ 1.2 (!«— 2)(JW — 1) '

t

•0 kBDn geieigt werdeo, dass, Wenn:

^/^*fw^,^y*-^ V ''y— A^

-r- n. •. w. ■ .

*+< a. s. w.

14

ßy^f'^' • A-^A.^r^. ^^ ^y- = ^' •)

gesetzt wird, alsdann:

J'=«^— iS^'+Ä"'—i«^''+ =t=V±5^- Const ..• 7)

Das obere Zeichen gilt for ein ungerades , und das untere für eis
gerades m,

Hiebei ist jedoch zu bemerken , dass bei der Integralion eines
jeden partiellen Differentials die Constante jedesmal gleich Null '

gesetzt werden muss. Die einzige der ganzen Subsm in Nr. 7.
eizufugende Constante ist das letzte Glied des Ausdrucks you F in

Hr. 1., welches wir erhalten, wenn wiryi=|fs= ^^;=0 ^

setzen» so dass also

j

j

C!onst

Am-^-n — l) {m^n—2) (^-t-2) (i»-l-lK m ^

— ^t 1.2 (M-2) («1-1) ^ ^' ^

Die Richtigkeit der Gleichung Nr. 7. können wir aus Folgendesi
entnehmen. Differenziiren wir die Gleichung 1) nach einander nach
^19 ^s» ^4) y»; integ^iren alsdann die so entstande-
nen partiellen Differentialien, so finden wir:

dj Dass in der Summe Nr. 2. jedes der Glieder, in welchem

nur eine einzige der Veränderlichen yi, y,, y,, fbiin Veiw -

bindung mit einem der constanten Coefficienten ^\, ^,, uf ,,.••..
XL s. w. enthalten ist, nur einmal vorkommt. Wir finden auch in^
der gleichen Summe S* Nr. 2., dass jedes der Glieder, in welchesa.
irgend eine Verbindung von je zwei jener Veränderlichen .Yor»
kommt, in jener Summe zweimal enthalten ist. Ebenso koMmC:
jedes der Glieder der Summe iS*, in dem eine Verbindung von

3, 4, m jener Veränderlichen enthalten ist, respective '

3mal, 4mal, Mmal vor.

b) Differenziiren wir aber die Gleichung 1) nach einander nach

^1 und y, ; nach yi und y, ; n. s. w nach ywt^i und y«,;

und suchen alsdann, mit der Berücksichtigung, dass wie in d) bei

jederpartiellen Integration die Constante als r^ull genommen wird,

die Werthe der Integrale, welche inder Summe S^' der Nr. 3.

vorkommen, so werden wir wieder ^^ft, dass in der Summe S*

jedes Glied, in welchem eine Verbin^jg je zweier jener Veriin-

2.1
derlichen vorkommt, r-^mal enthalten ist; ebenso kömmt in der

gleichen Summe jedes der Glieder, in dem eine Verbindung vos

3.2
m Veränderlichen epthalten ist, respektive 7^7

1 • I

213

Y^, — j— 5 — mal vor ; hiDgegeo hefiodet sich in der

SttBflle S" kein eioziges Glied, welches Dur eine einzige Ver-
änderliche enthält.

e\ Differenziiren wir ferner die Gleichung 1) nach einander in
Keiienung auf y,, y^ und y, ; in Beziehung auf y., y, und y^\

«j. I. w in Beziehung auf Va^-^, ym—\ und ym\ nehmen als-

«lann mit der gleichen Berücksichtigung hei der Bestimmung der
OoBstanten, wie in a) und ö)^ die Integrale jener partiellen 1)iffe-
a-entialien, so werden wir die In Nr. 4. enthaltene Summe S^' er-
lialten, und in dieser so wie in den Vorhergebenden hemerken,
€iui in ihr kein Glied vorkommt, welches nur eine oder zwei
"^'ertinderliehe enthält, hingegen, dass

jedes Glied, das drei Veränderliche enthält, , * \ mal vorkommt.

4.t.2

vier

f»nf

1.2.3

5.4.3
1 .2.3

- - - - • 1.2.» '^'-

' d) Fahren wir bei der Bestimmung der übrigen Summen j^^,
S^i u. s. w. auf die oben aqgegebene Art fort^ und differenziiren,
wenn wir endlich zur Bestimmung der Summe Si"^^^ kommen, die

Gleichung 1) in Besiehung auf y., y«, y«, ^m-i; Vh y»

ft9 ymr-^y y«; u. s. w y,, y,, y*, ym\

utegriren alsdann wieder die partiellen Differentiale, indem wir
ebenfalls bei jeder Integration die Constante gleich Null setzen> so
erhalten wir die in Nr. 5. angegebene Summe iS^C«»— D* in dieser
Komme kommen keine Glieder vor, die weniger als m*-1 Verän-
derliche enthalten; jedes der mit m — 1 Veränderlichen behafteten
Glieder kommt aber

(fli — 1) (m — 2) 3.2.1

1.2 (M — 2) (jvi — 1)

= 1 mal

vor; jene hingegen, in welchen die Anzahl der Veränderlichen
gloieh m ist, kommen j-^^ '" j**_'jv = i mal vor. Auf ähn-
liche Art finden wir die Summe 8^\ in welcher das mit m Verän-
deriichen behaftete Glied einmal enthalten ist. Nehmen wir als-

dano die Glieder sämmtlicher Summen 8\ S", S"\ i9(") wie

es die Zeichen in Nr. 7. verlangen, zusammen, fügen endlich dem

214

Aggregat noch die in 8) angegebene Constante bei, und bemerken
bei der Summation dieser Glieder den bekannten Satz, dass:

(1-1)^=0=1 -y +—j-;^ m ■ "T""

• • • •

f=Fl »t.

80 finden wir, dass die Gleichanf in 7) mit der in 1) identisch seL^
IL Dieser durch die GleichuDg 7) ausgedruckte Satz liast;
sich noch sehr erweitern. >C7m jedoch nicht allzuweitläiifig zu wer-
den, können wir, ohne dass dadurch der Allgemeinheit des Ver*
fahrens geschadet wird, statt der m Veränderliciien nur drei, nem-
lich ;r, y und % nehmen; dadurch geht die Gleichung Nr. 7. 1. in
folgende über:

^f^ f^fi

d^F

dxdydx

. «^K+Const

Bei der Bestimmung der Werthe der einzelnen Integ^alien in die-
ser Gleichung (wobei jedpch jedesmal die Constante gleich Null
gesetzt wird), werden wir sogleich bemerken , dass das erste ^,
das zweite y, und das dritte % zum gemeinschaftlichen Faktor^ hat;,
die Ausdrücke für das 4te, 5te, 6te und 7te Integral haben aber'
respektive xy<i x%^ y% und wyx zum gemeinschaftlichen Faktor,
so dass wir also setzen können:

wo F\ jP", ...... diejenigen Theile der Werthe von /^ djCy

/ dx ' ^' bezeichnen, welche respektive mit den Fakte*

reu Oft y, u. s. w. vervielfacht sind. Da nun diesem nach aveh
/^, F", F"',/' u. s. w. In Beziehung auf ^, y und % Funktionen
von gleicher Form sind wie jP, so iQlgt auch nach Nr. 7. L dam
ebenso :

215

^fda:fdyf£^ . Um + Con.t.

Dlidi« Awiracke erbslten wir fdr P', F", f, f. Die lo eben
t), 3) nad 4) aogcgebenen Auidrücke künneD wir auch leicht
ir eiae andere Form bringen; setten wir nemlicb:

«y./*=r„ *i^r=F„ jfl{r'=r„ «jwfssF.;

■t oek: -j^ = ^ «Iw jg = ^ . -;j;- - -jF, und daher:

216

FSbreD wir diese Wertbe in 9) eis, lo ist:

Ganz auf gleiche Art erhalten wir auch für J^, F^^ f f^^ f
und f ähnliche Ausdrücke, wie hier von F\ und wir werden er-
kennen, dass die auf diese Weise fiir F^ P'^ F^ g^fiindenen —
Werthe durch die zweiten, dritten, vierten Ableitonffen von F und
durch eine Constante bestimmt sind; ebenso hängt die Bestimmmg
der Werthe von /*', f*\ f^ von einer Constanten und der dritten,
vierten, fünften, so wie die von f von der vierten, fünften und
sechsten Ableitung von F und einer Constanten ab. Fuhren wir
die gefundenen Werthe der Ausdrucke F^ /^, F*\ f u. a. w« in
der Gleichung 1 ) ein , so erhalten wir einen neuen Ausdnwkt
welcher die Abhängigkeit der Punktion F von den Integpra-i
lien ihrer ersten, zweiten, u. s. w. Ableitungen angiebt; Auf
welche Weise dieses Verfahren weiter fortgesetzt werden iLann .^zi
ist klar.

III. Der Taylor'sche Satz zeigt uns, wie aus der Gleichung
der Fläche die Gleichungen der Oerter der Mittelpunkte gefunden
werden können. Es ist nemlich bekannt, dass wenn durch /*=:0'
die Gleichung einer Fläche des »ten Grades, und mit ^j, y,, X|
die Coordinaten ihres Mittelpunkts ausgedrückt :werden, daas ah
dann, für it = 2;9i,

<fe,2»i-l="' lfe2«»-2rfy,— "' U. S. W

rfj8,««-« — "^ d%,^-^^ — "' «• 8- ^

U. 8. W. . . .

^=0. ^=0 ^=0

d% '* dy ' dx

ufid für m = 2jm-H1

ai7.

sjis="' s;;*s=i^="5 u. i. w

= ^5 XT:iXZ~ = ^» u. 8. w

A,a««»-3 ' Ä,ai>i-«rfjf»

d^F d*F

ÜDgiingBgleiohuogeii fär das Vorhandensein von Mittelpnnk-
Br rläcbe des mten Grades sind. Die Gleichung 1). 11. seigt
BT, wie ans einer gegebenen Constanten, and den gegebe-
irdien der Ausdrücke

dF dF dF d^ d^F d^ d*F
'S' dy^ da:* dxdy' da:d*' dyd%' dxS^^

aktion F oder die Gleichung der Fläche des «ten Grades
eilt werden kann; oder wie wir mittelst der Gleichungen

» n. s« w. im Stande sind, aus gegebenen Constanten, nnd

II Abieitnnct
n^ der Fläche selbst hersnstellen. Wir wollen dieses in

tn, 3ten, 4ten, 5ten und 6ten Abfeitnngen von /*=0 die

leispiel ausf&hren.
seien die Gleichungen

h Fy^ -♦- Oa:y-\- Hx^ -*- %Ex% H- ^Dy% \

^%Ax^Fy^Ex^A^^^ =0 . . . 1)

C»-|.2J!#y-|.2iE»-|./>' = ^s=0 • . . 4)
2Ä* + 2Är-|. Öy4-iP = ~ = 0 . . . 5)
2Ä* + 2Fy+Ö^ + i^ = ^ = 0...6)

dxdyd%—^ '^

n, ap finden wir ans 1, 2, 3:

218

^Pyx^&y^^Dfxy-^^^r^y

/*^.dx=LE%*a:'-\'My*X'^Ca:* +Ka:^y'\-Ha:*%+Oa:^mx

nnd ms 4), 5), 6):

f^/^ed^ • ^— O^yx-y- Ma:y'^^ Kx^y-^r JDf3By
ydxJ'^^.dxzsiEx^aff+Hx^x+Oaeyx + Eapx
/äxJ^'^.dyzs:Dx^y+Fy*%+Gxy%-^F'y»
«adlicb ist »na 7)i

Föhren wir diese Werthe io die GleichuDg 1). U. eia» so erkal-
teo wir:

Jx • -♦- Dx^y <-H i?«*« + F%y^ -4- Oxxy + Hxa:^

I- Ca: -f- Const

IjFir könneo nun die Gleichungen 1), 2) und 3) als drei Flächen
angehöriff betrachten, auf deren Oberfläche reelle oder imaginäre
Mittelounkte der Fläche, die durch die zu bestimmende Gleichung
jP=0 ausgedrückt wird, liegen müssen. Ebenso können die
Gleichungen 4), 5)» 6) als Gleichungen yon drei Ebenen angesehen
werden, auf denen sich ebenfalls reelle oder imaginäre Mittelpunkte
der zu bestimmenden Fläche befinden müssen. Der Ausdruck 7)
stellt einen aus Jeder der drei Gleichungen 4), 5) oder 6) zu er-
haltenden, also bekannten Coefficlenten vor.

Um die Fläche 8) vollends zu bestimmen , können wir die Be»
dingungen treffen, dass sie durch einen gegebenen Punkt (a, ^, c)
gehe, so dass also:

Ac^ + Dc^b'\-Ec*a+Fcd^+6cba+Hca*-^Bb*'\^Mb^a
-h£6a^ H- Cd* + ^'c» + B'd* +C'a*^ Bab^ Eac+Pbe\ =0.
-I- A'c + B'b 4- C"a H- Const.

219

dieser GleichuDg ergiebt sich der Werth der ConstanteD. Auf
gleiche Art köonen wir aus den 3 gegebenen Gleichungen:

dF

^ = «« + <?'y+Ä'ar + «" = 0 9)

^=c'« + Äy+«'^ + ^ = 0 10)

dl
da:

^=*'Ä + «'y + r^4-^ = 0 11)

der Bedingung, dass die Fläche, deren Gleichung gesucht
, durch einen gegebenen Punkt {a, ß^ /) gehen soll, die Glei-

§f einer Fläche zweiten Grades bestimmen, deren Mittelpunkt
en drei Ebenen 9), 10) und 11) liegt Denn es ist aus 9),
ind 11) *

dsufy ' dsuLp ^ 4fydx ^

äxdydx

9), 10), 11) und den so eben erhaltenen Wertben ron ^-^

, u. s, w. erhalten wir^ wie im vorigen Beispiel, iiir die frag-
Gleichung folgende:

vir der Kürze wegen

;zt haben.

Stellt endlich jP=Q die Gleichung einer Fläche des uten

es vor, so kann diese ebenfalls bestimmt werden, wenn die

u A A A II. d^ ^ d^ 1 u -1- d^F d»F

he der Ausdrücke gj, ^ ^, also auch die von jj^, jj^,

d*F
»' j^jI^ und nocli eine Constante bekannt sind; die Glel*

^ 1). II. ist ebenfalls zur Bestimmung von F erforderlich.

220

XXUL

Uebiuissaitfs<^l>eii für Schttler.

VoB Herrn Doetor A. Wiegapdj L«hrer der Hatbeaatik

ao der Reaiacbnle so Halle.

Denkt man sich die Kanten eiper regulären Pymmidey im» wie
auch die Seiten der Grundfläche in den ZusamneostossuDg^punk-
ten beweglich 9 so wird man diesem Gestelle (um diesen kunen
Ausdruck zu gebrauchen) verschiedene Gestalten geben können,
wobei sich jedoch nur die Winkel der Grundfläche ändern können.
Bringt man zwischen die Seiten der Grundfläche dieses Gestelles
eine Kugel und drückt diese zwischen die Kanten, so wird die-
selbe, wenn sie am weiteren Vordringen gehindert wird

I) die reguläre Pyramide herstellen; i

2J die Kanten werden die Kugel sämmtlich berühren;

3) die Berührungspunkte werden sämmtlich in einem Kreise.
liegen; . A .

4) die Berührungspunkte werden diesen Kreis in » gleiche
Theile theilen, wenn die Grundfläche des Gestelles H' Seiteta hatte.

5) Wie gross ist der Radius dieses Kreises, wenn der Radius
der Kugel =r, die Kanten = ^^ ^, ...^M) die Seiten der
Grundfläche #, #, . . . ^„ sind?

6) Wie weit wird die Kugel vordringen, d. h. wie gross wird
der Abstand ihres Mittelpunkts von der Spitze sein?

7) Wenn man sich ein solches Gestelle durch Drähte, Stäbe
u. s. w. machen wollte, was hätte man bei der iVahl des Winkels
an der Spitze oder der Seite der Grundfläche zu beachten?

8) Kann pian bei jeder beliebig vielseitigen Pyramide einen
construirbaren Winkel an der Spitze wählen?

9) Welche Winkel würden die bequemsten sein, wenn jsian
sich einen Kreis auf die angegebene Weise in 7, 9, ll, 13 u. s. w.
gleiche Theile theilen wollte?

10^ Unter welchen Umständen wird die Kugel die Seiten der
Grundfläche berühren?

II) Wird die Kugel die Seiten der Grundfläche und die Kan-
ten zuffleich berühren können?

12) Wie werden die Erscheinungen sich abändern , wenn man
statt der Kugel einen Kegel nimmt?

13) Wird jeder Kegel gebraucht werden können?

14) Was wird eintreten, wenn die Seitenlänge des Kegels
gleich der Kante des Gestelles ist? u. s. w.

221

Verbindet man die Mittelpunkte der drei Seiten eines Dreieck*
dlqrcb gerade Linien, sucht in den entstehenden 4 Dreiecken die 4
ao8gezeichnet,en Punkte und verbindet in den 3 äussern Dreiecken
4iie analogen Punkte durch gerade Linien, dann ist zu untersuchen:

1) In welcher Beziehung' stehen die Seiten und Flächeninhalte
^lieser Dreiecke unter sich und zum ursprünglichen Dreiecke?

2) In welcher Beziehung stehen zu den neuen Dreiecken und
zum urspriinglichen die ausgezeichneten Punkte des mittleren?

3) Welche ähnlichen Betrachtungen lassen sich heim 4eck,
5eck« (regelmässigen und unregelmässigen) neck anstellen?

4) Wenn man die ausgezeichneten Punkte eines feteliebigen
Dreiecks mit den Winkelspitzen desselben verbindet und die aus-
gezeichneten Punkte der entstandenen 3 Dreiecke in ähnlicher
Weise, wie vorher, verbindet, welche Resultate geben dann die
den vorigen ähnlichen Betrachtungen der entstebenaen Dreiecke!

5) Wenn ' man ein reguläres 4eck, 5eck, 6eck,- Seck« lOeck
u. s. w. durch Radien in 4, S^, 6 u. s. w. Dreiecke theilt und ver-
bindet die entsprechenden ausgezeichneten Punkte dieser Dreiecke,
in welcher Beziehung stehen die durch ähnliche Verbindung der
merkwürdigen^ Punkte entstehenden 4, 5^ 6 • . ecke unter sich und
inm ursprünglichen?

0) Welche Progressionen ergeben sich bei fortgesetzter One-
mtion für die Flächenräume, Seiten und Radien der um- und eiu-
gcÜBchriebenen Kreise?

XXIV.

Miscellen.

Auszug aus einem Briefe des Herrn Professors G. J.
Verdam an der Universität zu Leiden an den HerausT-

geber.

£n developpant pour mes dl^ves, ces jours ci, les premi^es
r^les du caicul int%ral, il m'a paru, qne la recherche de Pinte-

grale /~ ue fait pas un cos d^exception, quanjl on envisage la

question d'un autre Point de vue qu'ordinaicement.
.Dans tottts les Trait^s on se contente de .dire:

puisqu'ota a d . .r«H-i = (ss -f- \)a^ , dap, on en conclut

222

hm T«lear m=s — 1 dMise m ^m d'ezcepti«a, pviios'eUe eaftraiBe
HD ehang^ment dans la natare de la fonctioD, par la qaalle riol^
grale est repr^eot^; et en effet, on sait, par le calcal diffdreotiel,

qüe d . i(a:) = — , d'oo, reciproqnemeat,

/?=!(<.)+«

PareilleneDt od eoDdot de d . e* z=z e*dap^ qne Von aore
I e*dap =z e* -^^ Cy etaiDsi de aaite.

D'ailleora od explique, que la coDtid^fatioo d'oD eas d'exeep-

die
doD poor la formale — peut toe ^?itde par Pemploi d'ooe iDt^

grale d^oie^ aavoir:

f.

a^djc = rrT~i ^

doDt la yalear est iDdeterDÜo^ -^ poar m = — 1; poia la Trtde

valeur /(^) est fonmie par PapplicatioD de la r^gle^ eoDDoe du

caleol diffi^reotiel.

Or Di DDe teile ioTersioo de formales, ai ooe pareille remarqie
soDt D^essaires, si Pon part d'aa aatre priDcipe. Ce' priocipe est

celai de Piot^gratioo par parties , pftr leqael od a Iv . dm=sp .m

-* ludv, AiDsi, par exemple, et sans avoir egard a la coDstaote
arbitraire,

laß^ . «fer = a7«» . o? — J sf ,Wi0''*^^da: :=z o"*"*-^ — m l acF^dx\

d^ou

(1 + m) I a^ djc :=z 0:"*^^

et

f

a^daF =

m-h-r

De la mdme maai^re, et par uae application r^p^tde du oi^me pria-
eipe OD peat trooTor directemoDt les ietegrales des formnies diff^
reatielles, qne l'on eoDsid^re eomme foDdameDtales, et qae Pos

pose ordiDairemeDt par iaversioD. La formale — m^me D'eo fiut

pas exceptioD. A ta vMtSj qnaad od y appliqoe durectemeat le dit
priocipe, od retombe sar l'iDd^rmioatioD , oa coadoit la mMode
ordioaire; mais rieo a'emp^che de poser la variable a? comme
^taat la somme d'aoe aatre variable ^ et d'aae coDstaate, par
exemple Paait^. Faisaot ainsi ^ = l + y, od aara dap = dffj et

223

f^= fÄi=fTh'^v'='Tiry-f9'iAL

y ,
"H-y"*

y__i_ /• y# "

/(i+y)'

» , . »* , r_£^s—

~" 1 +y "*" ^ (1 -t-y)' "*" / (i+y)'

y I. . y* , . y* , r 9'^

~ 1 + y ^ ' (1 +y)» "^ ^ (1 +y)' "*■ ./ (1 -H y)«

— y I 1/ y \« I if y u ■ «f y \* i

— l + y +'M+y^ -*-Ttjl^yJ +Tli^yJ -i-

etc.

et comme la viileur de cette serie a pour limite — /(l — ., f^ )

1 '

-=: — AytT7L)=== + ^(l + y)====*l-^(^)> PO 'p®""* conclure qae

c'eat la yaleur de Tinteffrale cberchde.

Comme Je trovT« cle temps eD temps dana Totra Journal des
aoavelles demoastrations, d^v^loppemens ou expositioas de Tbeo-
r^mes, formales on r^gples conaues, il ne m'a parn paa sans vatMH
de ▼otM commnaiqner : le d^^oppeaieat ei dessns; bien qa'il n'eat
paa difficile de troorer, dans plasiers cas, d'autrea Toies pour
attefndre nn bot deja coanu, mais il ponrrait qne la yoie, indiqu6e
ci haut, fiit digne de r^manpie.

Herr Divisionsprediger Otto zu Stargard bat mir folgende
bloss auf den ptolemäiscben Lebrsatz gestützte, also von trigono-
metriscbeu Betracbtungen ganz unabnäogige Auflösung der Auf-
gabe von der ii^risection des Wiafcels mitgetbeilt.

In Taf. IL Fig. 15. sei ACB der in drei ^leicbe Theile zu
tbeilende Winkel^ und um dessen Spitze C als Mittelpunkt mit dem
beliebigen Halbmesser AC'=ir ein Kreis bescbrieben. Setzen wir
die bekannten Sehnen AB'=,a^ BF-=.k^ den bekannten Durcb-
messer AF=^d, und ADz=zDE=zBE=za:, AEx=iBD=Ly^
so liefert das in den Kreis beschriebene Tiereck ADEB nach dem
ptolemSiscben Lehrsätze die Gleiebi^ng

or* -f- aac = y*,

und das in den Kreis beschriebene Viereck ADBF liefert nach
demselben Satze, weil DF=z VtP — or* ist, die Gleichung

Durch Elimination von y erhält man aus diesen beiden Gleichungen

224

Quadrirt man auf beiden Seiten, so kommt

(>t» + d*)a:^ + ad^a: •+• *itkda:V ^* -^^ aa: = a*(rf* — o?»)
oder

(>&» + a» -*- rf»);r» + ad^a + UdaA/a:* + «wr = a»i^,
also, weil ^* + ai*=^ ist, wenn mao zngleieh dorch 1/ difidirt:

Ä^orV^ ^* •+- «o? = d{a^ — aof — Aar*).

Qnadrirt man nun auf beidea Seiten , so ergiebt^ sich nach einiffen
leichten Rednctionen, wobei man immer zn beachten hat, &is
äP ^Jb*=za* ist^ die Gleichung des vierten Grades

oder, wenn man i/=2r setzt, die Gleichung des Tierten Grades

mittelst welcher die gesachte Sehne a:, durch die der dritte TheiL
des gegebenen Winkels bestimmt wird, gefiinden werden mnss.

Beträgt der gegebene Win^Lcl zwei rechjte Winkel oder 18tf^^
so ist a = 2r, nna die Gleichung zur Bestisnaong der Sehne
des dritten Tbeils wird nach dem Obigen . ,

^* + 2r;r • — 3r»^» — 4r "^ -*- ^* = 0.

Bekanntlieh ist in diesem Falle ^ = r, und wirklich ist auch

Berichtigung.

Auf Seite 127 hat man statt Taf. IL überall Taf. DI. zu setzen^ '

I

XXV.

Bemerkungen zu den Aufsätzen XXXI. und

XX:Xil. des Herrn Dr. Selilömilch in ThL III.

S. 269 und S. 278. dieses Archives.

Von

Herrn Doctor B ar f u s s

zu Weimar. ,

1.

In dijesen beiden Aufsätzen ist Herr Dr. Schiömijch zuerst ge-
^en die Methode der unbestimmten Coefficienten und dann geffen
^eu Gebrauch divergirender Reihen aufgetreten und hat seine Mei-
nung in Bezug auf den zweiten Punkt durch Beispiele unterstützt,
die gewiss jeden Mathematiker sogleich auf seine Parthei fuhren
bürden, wenn die Grundlagen der Rechnungen richtig wären. Da
man beut zu Tage allgemein auf Seiten des Verfassers steht und
Ton einer Gegenpartbei fast gar nicht die Rede ist, so halte ich
68 für angemessen, dass auch einmal die letztere ergriffen werde,
und versuche demgemäss, das Irrige der Ansichten, namentlich in
den genannten Aufsätzen des Herrn Verfassers, aufzuklären.
.1 •

2.

Zuerst also wird gegen die Methode der unbestimmten Coeffi-
cienten der schon wiederholt besprochene Einwand gemacht: ;,dass
noch gezeigt werden müsse, dass die Function'/(^)
durch die Eigenschaft, durch welche die Entwickelüng
gemacht wurde, vollkokmen charakterisirt sei, dass es
Keine andere Function 9(^) gebe, welche die nämliche
Eigenschaft besitze, ohne mit f{jjc) identisch zu sein.*^
Verstehe ich hier recht, so ist die Meinung die^ dass wohl für
zwei ganz verschiedene Functionen in Folge gemeinschaftlicher
syntaktischer Eigenschaften ein und dieselbe, in allen ihren Thei-
leo volikomnuen bestimmte, Reihe gefunden werden könnte. DanA

TIujU IV. \^

226

passt aber das aDgefuhrte Beispiel nicht hierber; denn nüsste dai-
selbe nicht so gewählt sein, duns durch die Methode der nnbestiMi-
ten Copfficienten für zwei verschiedene Functionsformen doch eil
und dieselbe Reihe hervorffioffe?

So haben allerdingfs die Funktionen •Jf^^ + ^sr*^) und cos ux
die Eigenschaft gemein, dass /T(^+y)+/*(^ — y)=r2/(^) ./(y),
allein diess beweist gnr nichts gegen die Methode der unbeBtiaa-
ten Coet'ficienteD. Beide Functionen haben die Eigenschaft, dais
sie =1 sind für ^ = 0 upd für gleiche aber entgegengesetzte
IVertbe von a: ganz gleiche Wertbe erhalten, so dass man für
beide setzen darf:

/(x) = 1 »+- bx* "f- c^* + flte* + . . . .

Durch die gedachte Eigenschaft beider Functionen - be^rnnft iM
nun für beide auch einerlei Relation der ReibencoefBcienCen» aber
auch weiter nichts. Denn setzen wir or + y und or — y iUtt J^
so erhalten wir durch leichte Rechniing:

Wir erhalten aber auch

und wenn wir nun beide Entwickelnngen einander gleich setieH)
8o hebt sich 2/(^) Und Alles läset sich mit y* dividiren. 8etsea
wir dann noch y=0, so wird

• • • •

1 . 2^ + 3 Acx^ + 5 . 6d:a?* -

ntad folglich ^ = *, c = j--^, </=^^ *^ u. s. w. Daher füt
für 1(0^ + IT-') sowohl^ als auch für cos aw die Entwickeluiig

i-t-OÄT -t-j^.^ ^3.4.5,6^ ^ '

aber b ist noch nicht bestimmt und hat in der That in jeder Fnne-
tion einen eignen Werth, der nur durch eine Eiffenschan gefunden
werden kann, die eine jede Function als verschieden von der so»
deren charakterisirt.

Hätre aber Herr Dr. Schlömilch nun noch für beide Functionen
dasselbe 6 gefunden, so wäre sein Beispiel tretend gewesen. 8d
wird aber im Beispiele der Schluss verfehlt. Es werden dem Ans-
drucke f(a:) die Eigenschaften beigelegt, die der Function arctg s
zukommen, und es iiodet dich für f(a:) eine vollkommen bestimoue
Reihe, welche zeigt, dass jedem bestimmten Werthe von sß ein
hestimmtw Werth von f{a:) angehört, und dass (olglick die Fnno-

227

tioD f{ap) durch die ihr beigelegten EiffeaschafteD vollkommeo be-
■tiMiiit ist. Die Nacbweisung, dass /jo^lz^arctg jc sei, bat mit
der Meth'ode der unbestimmte d Coefticiepten nichts iii schaffen.

Und wo wollte man auch den Beweisgrund hernehmen, dass
iwei verschiedene Fubctiooen- dennoch einerlei Reiiienentwickelnng
geben (cönnien. Dass eine gemeinschaftliche «jntak tische Eigen-
schaft derselben auch eine gemeinschaftliche Helation der Coeffi-
cianten iil beiden Entwickelungen begründet, ist doch wohl ganz
aatiirlich.

Dennoch aber müssen wir den Gegnern angeben, dass die Me-
thode der unbestimmten Coefficienten , so wie sie meintens in An-
wendung gebracht worden, nicht befriedigt; der Grund davon ist
aber nicht der vom Herrn Dr. 8chlömilch ungegebene, sondern ist
lediglich in dem Umstände zu suchen, dass, bevor die Coefficienten
berechnet werden, die Form der Reihe bezüglich der Hauptgrösse
gar nicht hinlänfflicb begründet ist. Weil für ar=0 auch /(^)=rO
wird, sagt Herr Dr. Schlömilch *), so darf die fragliche Reihe kein
iron se freies Glied enthalten. Ja wenn überhaupt eine solche Reihe
existirtv! Dann ist aber auch der Sutz nicht richtig, denn oft exi^ti-
ren zwei Reihen neben einiindcr, von denen die erste kein von or
freies Glied hat und nach positiven Potenzen von o? geur«lnet ist,
während die andere ein constantes Glied hat und nach negativen
Potenzen der Huuptgrösse fortschreitet. Vor diesem Schlüsse warnte

—1
Tor einiger Zeit ein Engländer, indem er die Function e ^ als

Beispiel anführte; dieselbe verschwindet für ;r = 0, hat aber in
ihrer Entwickelung ein constantes Glied und ist aus negativen Po-
tenzen von jp gebildet.

• Die Existenz der Reihe muss vor Allem erwiesen sein! und
dieses können die unbestimmten Coefficienten nicht leisten. So
wird der binomische Lehrsatz sehr gut allgemein mit Hülfe der
anbestimmten Coefficienten bewiesen, weil sich sehr leich^ zeigen
lässt, dass bei jedem Werthe von m fiir (1 + ^)" eine Reihe von
der Form 1 + iwar -+- -/^^* -f- jff^ •-+-.. . wirklich existirt. Die
Methode der unbestimmten Coefficienten soll die Reihe
nicht erfinden, sondern nur auf eine leichte Weise die
Coeffieienten und ihr Bildungsgesetz darthun. Hierauf
konimt der Herr Verfasser der gedachten Aufsätze später, wo er
das Beispiel y(^) = 171 sin ^H-^Va sin 2^+.... anfuhrt, wirk-
lich zurück. Die Existenz dieser Reibe hätte erst dargethan sein
müssen.

Die Existenz einer Reihe wird nur dann mit Evidenz bewiesen,
wenn sie auf schon bekannte Entwickelungen zurückgeführt wird.
Diess geht leicht bei dem Binom und dann bei deo Exponential-
functionen, nicht aber bei den Ausdrücken sin o? und cos ^, weil
dieselben nicht durch eine Sjnthesis der allgemeinen Arithmetik,
sondern durch geometrische Abstraciionen gewonnen worden sind.
Bier könnte man die Alethode der unbestimmten Coefficienten schon
damit cbicaniren, dass man fragte, ob denn auch sin op oder cos op
einerlei Functionsformen für alle Werthe von o? seien. Die geome-

*) Es versteht sieh, dass diese Behauptung nicht dem Herrn Verfasser
sondern Anderen zur Last fällt.

228

triscbe Betrachtung ^iebt ans keine bestimmtere Relation swiseben
Sinns und Bogen als die, dass die Sinns verscbwindender Bög«B
mit den Bög^en zusammenfallen, oder vielmpbr, dieser Satz ist ein
Postulat für die geometriscbe Ansebauung. Daber können wir aaf
keine andere Art vom Bogen zum Sinns binuber gefübrt werden,
als durcb die Betracbtung der verscbwindenden Elemente. Dafür
bieten uns die leicht zu findenden Formeln für sin umb und cos «sor
durch sin a: und cos x die Hand, und es bedarf der Methode der
unbestimmten Coefficienten nicht. Sind nun aber die Entwickelon-
gen für sin os und cos x gefunden, so erg^iebt sich alsbald auch
die Nothwendigkeit ähnlicher Bntwickelungen für alle anderen go-
niometriscben Ausdrücke, und hierfür kann man sich der Methode
der unbestimmten Coefficienten bedienen.

3.

Der zweite Vorwurf, weicher die Methode der nnbestimmten
üoefßcienten trifft, ist der, dass sie die Ergänzung der Reihe znr
vollständigen Function nicht beachte, wodurch die natürliche Be-
stimmung der Divergenz oder Convergenz verloren gebe. Dieser
Vorwurf hängt innig mit der jetzt allgemeinen Ansicht zusammen,
dass divergirende Reihen ganz falsche Ausdrücke seien, und diese
will ich daher zuerst zu beleuchten suchen.

Es ist sehr zu billigen, dass man ein gewisses oft getriebenes
unnützes Spiel mit divergirenden Reihen bei Seite setzte, abisr wo-
her der Scbluss gezogen wurde, dass divergirende Reiben fehler*
haft werden, ist nicht abzusehen. Wie es scheint, rechnete man
damit und fand falsche Resultate. Da aber anderseits auch richtige
Resultate aus divergirenden Reihen hervorgingen, so wird man
veranlasst zu fragen, nacli weicher Logik man den Grand der
Fehler in der Divergenz finden konnte. Wie es nun .mit jenen
Fehlern etwa stehen mag, davon will ich ein Beispiel ^ben, indem
ich die Irrungen aufkläre, wodurch Herr Dr. Schlömilch in neiner
Abhandlung auf so widersinnige Resultate durch divergirende Reihen
gekommen ist.

Zn diesem Behufe frage ich zuerst, was wird aas dem Ana-
drucke S = -. — s ;: — i wenn €^=1 und a?=0 ist? Setsen

1 — 2v cos o: -f- »"

cos ^ -^ 1

wir zuerst r=l, so wird S=z^ ^ ■ = — 4, und hiernaeli alio

<fc~~"<w cos Sf

S= — ^ für 9=rl und a;=0. Setzen wir aber zuerst «srssO, so

wird S z= /j__^v» = i~zrj;' ^*® ^"■* «^ = 1 unendlich wird.

Welches Resultat ist nun das richtige?

So hätte Herr Dr. Schlömilch berücksichtigen sollen, daaa die
Gleichung S =:z cqs a?-{-2S cos jc — 1 — S in dem Falle, wo
^ = 0 oder =2/i7r ist, keine Bestimmung giebt, dass also avcb,
wenn ar = 2y»;r, cos a? + cos 2a; + cos 3ar + . . . . nicht ohne
Weiteres = — ^ gesetzt werden durfite. Für diesen Fall Ifttst rieh
die Summe nur bestimmen, wenn man zu einem allgemeineren Ana-
drucke übergebt, in welchem der fragliche als besonderer Fall ent*
halten ist. Die Summe 1 + 1 + 1 + • • . • ist also =00 und Bieht
= — I, und dieses stimmt auf das Schönste mit anderen Bntwicke-

229

langen, >• B. mit der von yzi — zusammeD, wenn ^=1 geiiom-

men wird.^

Hiermit fallea nun alle Argumente, welche der Herr VerfuHser
der gedachten Aufsätze gegen die divergirenden Reihen uufgeätellt
bat. Zuerst nämlich ist nicht

Ä=-i = l + l + l

• • •

^»

2

u:^

n*-l-2»-4-3» -4- ) --

1 •

für jeden Werth von a:y sondern für a: = 0 wird

iy= 00=1 + 1 + 1 + ,

wu in der Ordnung ist. Für jeden andern Werth von a? uher or-
Mten wir das triviale Resultat oo — oe + oo — ....

Ich komme nun zu der unter (7) angeführten Folgerung. Der

sin ( — ^M*
Ansdruck cos o? + cos 2^? + , . . + cos na: = — | + — 5-: — \

1^, daaa, wenn eine beliebige Anzahl von Gliedern der Reihe
cos or+eos Zr+ .... die Summe — j gehen soll, immer noch

sin (— j— )ar
*■ n" .^ *'* Ergänzung hinzugefügt werden müsse. Dicss

K unsere divergirende unendliche Reihe auch eben so gut. Wir
in cos^r+cos&r+....+cosisar+co8(is+l )a>|-cos(»+*)^+

^ — ii also i^eon wir hei dem Gliede cos mar abbrechen, den
fteat Ä = cos {m + l)a: + cos (m + 2)a: +....= — i —
(cos .17 + cos 2^+ .... +C0S ita:)\ wir werden also darauf hiu-

5 «wiesen, die Summirung bis cos nar in endlicher Weise zu machen.
edermann sieht ein, dass hier mit der Supposition m = oo nicht
^ehr ausgerichtet wird, als v^^enn m^3 wäre, jene ist nur unbc-
stimmter. Diese Bemerkung würde den EJerrn Verfasser nicht auf
siii ooor und cos-oca7 = 0, sondern auf eine identische Gleichung
Scfölirt haben.

Die unendliche Reihe drückt nichts weiter aus als das Kut-
'^rickelungsgesetz, und ihre Bedeutung ist zunächst nur die syntuk-

^iBcbe« Es ist cos ^+cos2a?+....+cos*a? 5-: — 7——=: — -J,

^iid wenn der Rest noch weiter entwickelt wird, so kommen Glie-
der binzu,' die nach demselben Gesetz gebildet sind. Das Bildungs-
Kets der Reihe enthält also schon den Rest, daher dieser wegge-
ben ist. Desshalb kann man aus der Formel (7) durch die An-
Bahne ji = oe nicht auf Eulers Reihe gelangen, ohne zugleich auch
4en Rest wenulaasen. So aber ist die unendliche, d. h. die un-
Ttllendete oder unvollendbare Reihe mit der endlichen verwechselt
worden.

Zuletzt wird die Eulersche Reihe durch eine Integration mit
den Lagrangescben oder Fouricrschen Reihen in Verbindung gc-

230

bracht. Der Herr Verfasser hat aber Dar mit der beschränktoa
Sommenformei — 4== cos ^ + cos ^+ • • . gerecboet,- von wel-
cher wir .wisseo, dass sie für ^ = 0, welchen Werth das nabe«
stimmte lotegral durchlanfen mnss, nicht mehr gWt. Daher kann
anch die Rechnung, deren Basis die Allgemeingültiirkeit dfr
Summenformel ist, nicht richtig sein. Fährt man aber statt
cos a: + cos 2a: + . . . . die allgemeinere Reihe v cos jc +
€^' cos 2a: + v* cos 3a: + . , . . in die Rechnung ein , deren

V cos a: -^ t/'

Summe =■; — rf ; — =• sein wird, integrirt und setzt dann

1 — 21; cos a: -4- v °

f;:=rl, so wird man mit anderen, z. B. mit Martin Ohm, das ge-
wünschte Resultat mit völliger Allgemeinheit erhalten.

Also nicht in der Unrichtigkeit der divergirenden' Reihe, son-
dern in der beschränkten Geltung der Summenformel ist der Grund
aller Irrungen zu finden. Die Summe der Reibe cos af — cos &r

+ cos da: — wird von or = 0 bis o? = =k tt durch 4 richtig

durgestellt, daher man auch mit ihr richtige Resultate erhält, wenn
man ihre Anwendung nicht über die gedachten Grenzen ausdehnt
Multiplicirt man z. B. mit äof und integrirt von 0 an, so erh&lt
man {a: = 8iü a: — j-sin 2ar + |8in Zac — . . . ., welche Reihe bii
zu dbjr als richtig anerkannt wird^ aber für a^:=:i-JtLn nicht mehr
gilt , eben weil die Urreihe cos ac — cos 2a: + |. . • für dieses
Wertb nicht mehr gilt.

Keine unserer Functionsformen f(a:) kann unmittelbar die
Eigenschaft haben, dass sie constant ^ — ^ für jeden Werth von
a: wäre, aber für a; = 0, ar = 2/e7r unendlich würde. Daher lieu
sich auch die Summe der Reihe cos or-f-cos 2a? +. • • nicht all-

femein ausdrücken. Wir müssen daher den fraglichen Aus-
ruck einem allgemeineren unterordnen, in welchem er
als specieller Fall für einen gewissen Werth einer ge-
wissen Constante enthalten ist. Diese Bemerkung ist von
Wichtigkeit; so können wir eine Form von den gedachten Eigen-
schaften nur mit Hülfe einer Constante €^=1 .etwa in dem Aus*

. , f; cos o: — v* , ^ ,,

drucke -^ — jr— ^ — r darstellen.

1 — 2v cos ;F-4-f;*

Nach diesen Betrachtungen kann die Bemerkhng, dass die Me*
thode der unbestimmten Coefficienten den Rest der Reihe nicbt
brachte, nur noch wenig Bedeutung haben; sie ist aber auch durch*
aus grundlos. — Es i^t sonderbar, dass während in der allgemei-
nen Arithmetik überall nach Allgemeinheit der Formen gestrebt
worden ist, dieselbe bei den Reiben gegenwärtig so rntschieden
zurückgewiesen wird. Die Grundoperationen aller Grössenlehre
sind Zusammenfügen und Trennen, und die daher ent8prin{{:enden
des Vervielfacbens und Theilens.' So lange wir es unmittelbar nur
mit diesen zu ibun haben^ sind wir im Gebiete der gemeinen Arith-
metik, aber schon im Beginn der Wissenschaft macht sich die
Nothwendigkeit grösserer Allgemeinheit der Formen geltend. Die-
selbe wird nun durch die grosse Maxime erhalten, dass für jed-
wede zwei direct entgegengesetzte Operationen eine
einzige Form gesucht wird, in welcher beide enthalten
sind. Diess geschieht zuerst bei der MultipUcation , welche nr-

231

»rllDgliefc eil ^enrUlhchen isl;, jiber mit Hülfe mbroefaentr Multi-
plicotoren ftoeh die Operation deeTbeileas in sieb aafBinmt. Dieie
alljK^meine HultipKcation ist bloss eine syntaktische, die nur dess-
bafi» aicb ao eng an die aritbmetischen Grundoperationen anschiiesst,
weil sie sieb so bestimmt mit der Bildung der Zahlen aus der Eins
rergleicben lässt. Hier liesse sich aber der Unterschied zwischen
?ervielfältigenden und theilenden Fuctoren auf ähnliche Weise
darcbfiibren, wie der Unterschied positiver und negativer Summen-
glieder in der Addition. Die Theorie der letzteren bringt man ge-
wohnlich erst später, füglicher würde man sie aber gleich nach den
festgestellten Begriflen des arithmetischen Addirens u|id Subtrahi-
rens als das Mittel hinstellen, den Unterschied in der Operation
des Zu- und Abzählens aufzuheben und denselben durch Unter-
scheidung positiver und negs^tiver Summenglieder wieder zu ge-
winnen. Die Potenzenlehre schafft alsdann mit Zuziehung ge-
brochener Exponenten einen allgemeinen Ausdruck für die eigent-
liche Potenzirung und das eigentliche Wnrzelausziehen, und clurcb
Einführung negativer Exponenten einerlei Rechnungsgesetze für
die MultipTication und Division mit Potenzen. Weiter aber ist das
objge Princip mit Gewinn noch nicht durchgeführt worden.

Hieraus ersehen wir nun, dass in der ullgemeinen Arithmetik
jede Operation eine höhere syntaktische Bedeutung hat, der die
arithmetische untergeordnet ist. Diese höhere syntaktische Bedeu-
tung ist der Grund aller Schwierigkeiten, aber zugleich auch die
ftaelle aller Gleichförmigkeit und Kinheit und der meisten höberen
Entdeckungen gewesen. Wegen ihrer syntaktischen Allgemeinheit
haben daher auch unsere Formeln oft nur syntaktische Bedeutung
und verlieren die arithmetische Brauchbarkeit; sie sind blosse Fi-
guren der combinatorischen Analysis. (Vergl. Fries mathem. Na«
turphilosopbie).

Warum nun die Reihen in ihrer allgemeinen syntaktischen Be-
dentang bei Seite schieben wollen, ist nicht abzusehen. Ist denn

X

nicht ^ -+- ä' -+■ AT* -+-..• . die Entwickelung von ^ _^ und nur

von diesem, auch wenn nicht hinzugefügt wird, ac müsse kleiner
als 1 sein? Die Reihe hat vom Standpunkte der allgemeinen Arith-
metik ans zunächst nur eine syntaktische Bedeutung durch ihr Ent-
wickelungsgesetz, und die Frage nach ihrer Summe wird hier nicht
durch die Summe aller Glieder, sondern durch die erzeugende
Function beantwortet. Ihre arithmetische Bedeutung gewinnt sie
erst dann. Wenn sie convergirt aber unabhängig von dieser Eigen-
schaft ist in ihr Alles durch ihr Entwickelungsgesetz und folglich
auch ihr Rest bestimmt.

Indem nun die Reihe entwickelt wird, kommt es lediglich dar-
auf an, das Gesetz ihrer Entwickelung zu finden, und hierzu kann
der Rest nichts beitragen. Die Bestimmung der Coovergenz ist
eime untergeordnete und kommt erst dann in Frage, wenn die Reihe
arithmetische Brauchbarkeit gewinnen soll. Hier kann ich wieder-
um nicht absehen, wozu die Beachtung des Restes nützan soll.
Die erzeugende Function ist jedesfalls die wahre Summe, aber ich
kann sie aus der Reibe nur dann nähernngsweise erhalten, wenn
diese convergirt, d. h. nicht wenn der Rest verschwindet, sondern
wenn er gegen den Werth der erzeugenden Function verschwin-
det In den Fällen also, wie der Werth der eraengenden Function

aaeodlicli grow wird. hnmAt der Reit aicht «■cadlich kleia, ■««.
deni Dor eodlicb so werde«. Hiernach bestnat rieh der Begrtf
der CooTfrgenz allgeweiDer. Die Reihe 7 + i + i+. - . . diTcr*
girt oiebt, toodem coDTergirt, weil der Rest gegea ihre Sana»
▼erichwiodet. Daher bat Poiuoo gaox Recht, weaa er aagt, daiia
jede Reibe cooTergire, deren Glieder rerschwindend klein werdet;
and hiernach ist die RestimBnng der CooTergenz, die awn nickt
■it den Zasamnenzählen nnendlich Tieler Glieder verwechidi
■as0, wenigsteoB nicht ichwerer als «t Reachtnng dei Reatea.

5.

Die Abhandlang XXXIL wird ans recht klar seigea, wie
ndtbig es sei, anf die syntaktische Bedeatanff- anserer roraiea sa
achten. An die Spitze stellt Herr Dr. Schlöulch den aachher be-
wiesenen Satz

f.

0 1 — ar« ^ mn

aad findet dann fnr «s = 1 and « = 2 den Ansdraek

f.

^ dx ^

= 0;
1 — a:» — '

„allein wenn man ffir - __^ die Reibe 1 -|- or* -f- or* -f- • • . ,

/*• dx

9,und also =oo erhalten, ein ganz falsches Resultat.**

TiXk^vfit bemerke ich, dass der Herr Verfasser bei der Entwiche

lang des Ausdrucks Jt=z j . in dem Schlüsse, dass de

Rest allgemein verschwinde, sich geirrt bat, denn "es wird aller

dings die Function — \ unendlich^ nämlich fär ^ = 0 wen

a^^. Für 0 = j- bekommt man das unbestimmte Resultat 0^^
allein wenn «-«^j, so bat obiger Ausdcuck allerdings nur endliche
IVeribo zwischen ar = 0 und a: = l. leb will dauer zuerst mit
Berücksichtigung des Restes das Resultat genauer begründen und
zugleich die eigentliche Basis der ganzen Rechnung bestimmter
hervorbeben.
Man bat

« /»arg—'ifcg /^ij^g— lifo /* »xo—\da:

/o 1— ar ^/o 1—^ ß\ 1-— a? '

Hier erlaube ich mir nun im »weiten Oliede r »UUi

X — 1

1— ar

%u eetxen und erbalte

/o 1 — ar ß\ X — 1 '

Nun habe ich identisch

233

■ ar— 1

"*"/o 1 — a? /i 0?— 1 '

(an hat aber iwiachen dieien Grenien die erste Reihe

ie andere aber

o den ÜBtenchied beider =

aber

^^/o 1 — ^ 'l X — 1

Um DUD für die beideo Integrale gleiche Grenzen zu erhalten,
etze ich mit Herrn Dr. Schlömilch im zweiten — statt a: und er-
alte, es dadurch

/■O d» rO%n—adz rixn—adx
1j;o-«(1«-.3B) /il—Z /ol— «•

^aher erhalte ich für den Rest der Reihe den Ausdruck

/*ix»+^dx r^x»—^dx r^aßa^i
0 1 — 0? /o 1 — 0? /o 1 — 0? ^'*~*'"^>

reiches nun, da in Folge des positiven a die Function *-^j

1 ^~" X

^ftwischen a? = 0 und 0?=! immer nur endliche Werthe hat, für
^^achsende n verschwindet. Und da nun die ins Unendliche fort-

«setzte Reihe R den Werth ^ hat. so ist

^' tg an

0 1 — O? tg ÄOT' ^

234

Doch 4i€M Recboung kano not hier nicht snr Klarheit fahrei^
wir flinsMO ihre Gmoillage näher erörtern. Da sehen wir deoD,

datf ich, wie anch Herr Dr. Schlöeiilch, den Aoadmek z io

, ofliänderte; waa ffiebt mir eher dazn ein Recht? Wird den
hierdurch nicht die Functioosform ganz wesentlich abgeändert? Ii
ist gar nicht einerlei, ob ich x. B. /^^ oder — f _^'- schreibe.

^^ * ein isMiginärer; er hat

bloss eine syntaktische Bedeuinng und ist ein arithmetischer Un-
sinn. Wamsi derselbe aber doch ohne weitere 2asätxe in die
Lehrbücher überging, daran ist lediglich die beschränkte Aoffiuiyang
des bestisifliten Integraies Schald« DasseUbe ist nicht

/.

0

für J= ^ , das ist es nur, wenn das allgesieine Integral
fdr alle Werthe yon ar = 4s bis at^b eine reelle

fAo^ya:

Function von x ist. Das bestimmte Integral ist nichts an-
deres, als die Differenz zweier besonderen Werth»
eines allgemeinen, und diess ist seine syntaktische Bedeutung,
der jene arithmetische untergeordnet ist.

Betrachten wir nun den Ausdruck -z ---, so lässt er sich»

1 — x^ ^

weil m-^n und beide ganze Zahlen sind, in

Jdx _. B yp{x) da:

zerlegen, wo ^x) eine g&nze rationale Function von sc sein wird«

Hier ist nun aer zweite Theil immer das Differential einer reelle»

Function von ^ssO bis 47 = 00, nicht so aber der erste; denn es

dx
ist •; = — d log (1 — .r) und also nur von 0 bis 1 reell.

»- (fa •

Wollte ich aber -^^zTi »«*»«"> «• wäre dieses =-^€if log (or — 1)

und also nur von 1 bis 00 reell«

/dhc
j— -—

wählen, welches von 07 = 0 bis ar = oo nach dem Lehrsätze-

so viel als rrrz werden würde. Aber

/;

• 1— «<• ^ nm ' • "■" »1/8

"«TT

ich finde

1 _ i V!t^x\dx

1— AT« i — dp l-#-ar-f-ar«'

also wenn ich integrire

235

JKmt giebt nan n^ «"^ "-»vj- ▼©■ ^=0 bis j? = oo den'
Werth =-7j — r7| . — = ^p?-, also dasselbe wie oben ; aber iraa

riTJ"*"* '®Ä (!-*-«>-*- 00»)?

Also die Form mass vor Allem gesichei't sein! wenn
anders unsere Rechnungen 'nicht sinnlos sein sollen. Die wahre

Bedeutung von f ^"^^^ = ^— — ist die, dass es die Dif-

« . tg rj. »

ferenz zweier ganz verschiedener bestimmten Integrale bedeutet,

die sich auf die Formen j -r^ — ^^^ f — ZIY ^""fi»*" ***"

sen. Weil nun hier eigentlich eine Aenderung der Functionsform

während des lotegrirens eintritt, so sollte man so etwas nicht

• . /**«r* — ^dx

durch •/ ^^ ausdrückep.

Hier ist nun klar, worin der Fehler des Herrn Dr. Schlömilch
l^ei der Integration von / ^Z, — s ^^ suchen sei. Indem die In-
tegration mittels der Reihe . ^ = 1 -|- or* + ^* + . • . geschah,

wurde die Fuortionsform von a? = 0 bis 47 = 00 beibehalten und

/•Qo dx
l_,j,2 = 30 -4- 1 00» -f- 1 00» -I- . . , ' gefunden. Hier

darf ich nun nicht darnach fragen; was alle Glieder dieser. Reibe
zusamoiengeoommen ausmachen, sondern ich miiss ihre syntaktische
Bedeutung nachweisen. Darnach ist sie die Entwickelung von

ilog YZl — ^"'* 4?=too, und folglich ist

Wenn ich aber / -; -y in / -r -f- / z -=• trenne

/*^ Ax y^ OD AiC
— r — 7 aus / «5 r mache, so verändere ich
1 ir» — 1 f ^ y — ^

die Functionsform und habe zwei ganz verschiedene Integrale.
Dass ihr Unterschied =0 sei, findet man diirch Substitution der
Reiben

— i— = 14-^'-"

1 . 1

■OD sehr leicbt, dena wir erfaslteii

(l-l) + (i-i)+U--t)-*-....=0.

236

/♦l ^^^ •»OD |£i|7

verschiedeDeD Formen angebogen, kann man leiclit sehen, wenn

1 I X

man die allgemeinen Integrale sucht; ersteres ist ^log . ^ . das

andere lloir — — r-

Anmerkung. Meine eignen Ansichten aber die Methode der unbestimm-
ten Coefficienten darf ich als hinreichend bekannt Toraussetzen;
immer aber wenle ich auch entgegengesetzten Ansichten, wenn

/ sie nur mit Würde und Ruhe vorgetragen werden, gern verstat-

ten, sich in dem Archive geltend zu machen. 6.

XXVI.

Ooniometrischer Zirkel

Von dem

Herrn Oberlehrer Dr. Brehmer

am Pädagogium zu Putbus.

Werden die goniometrischen Functionen eines und desselben
Winkels as in einem Zirkel folgendermassen neben einander ge-
stellt:

so laaaen sich die einfachen Relationen zwischen ihnen dnrch fol-
gende Gesetze ausdrücken:

1) Das Product zweier in Scheitelwinkeln stehender FnnctioneD
ist gleich 1.

sin X • cosec x = 1». u. s. w.

2) Das Product zweier über oder unter derselben Linie stehender
Functionen ist gleich der eiBgeschlosseneD Function.

sin X • aec x = tang or, u. a. w.

237

3) Der Quotient zweier anüegeDder PuDCtionen ist gleich der dem
Dividendus auf der anderen Seite anliegenden Function,

sin X

jj5^ = tang;r, u, s. w.

Anmerkung. Wir verweisen bei dieser Gelegenheit auf das
Programm: Ein Schema zur Erleichterung des Elementar-
unterrichtes in der Trigonometrie von Dr. E. W. Grebe.
.Cassel. 1840. Dus in diesem Programm mitgetheilte Schema er-
streckt sich auch auf die Formeln zur Auflösung der ebenen recht-
winkliffen Dreiecke.

G.

XXVII.

Ueber Theilung und Verwandlung einiger ebe-
nen Figuren.

Von

Herrn A. Göpel

zu Berlin.

Wenn man H. Gerwien's sinnreichen Beweis der Gleichheit
zweier Dreiecke von derselben Grundlinie und Höhe vermittelst
blosser Congruenz weiter verfolgt, so gelangt man zu nicht min-
der merkwürdigen Theilungen und Verwandningen. Die erwähnte
Construction besteht im Folgenden. Man lege die beiden Dreiecke
ABC und ABC* mit ihrer gemeinschaftlichen Grundlinie AB so
an einander, dass die Spitzen C und C auf verschiedene Seiten
derselben fallen. Die Verbindungslinie CC* wird dann durch ihren
Durchschnittspunkt D Itiit der Grundlinie AB gehälfiet. Von D
ziehe man nach den Mitten der vier übrigen Seiten der beiden ffe*
ffebenen Dreiecke gerade Verbindungslinien. Durch dieselben wird
jedes dieser Dreiecke in ein Viereck und zwei Dreiecke getheilt,
die einander beziehlich congruent sind; so dass man also aus den
Theilen 'des einen Dreiecks mittelst geeigneter Drehung und- Ver-
schiebung das andere Dreieck zusammensetzen kann.

Eine solche Theilnng und Verwandlung lässt sich auch bei
zwei beliebigen Dreiecken ausführen, die weder dieselbe Grundlinie
noch dieselbe Höhe haben, sondern einander schlechthin gleich

238

■

sind. HeiMen ABC uDd A'B'C diese beideo Dreiecke, to kann
man offeobar immer ein Mittelglied (Dreieck) auffioden, welches
mit jedem der beiden |2;egebenen Dreiecke gemeiDscbaftlicbe Grund-
linie und flöhe (freilich mit jedem eine andere) hat. Man. darf
nur von jedem Dreiecke eine geeignete Seite z. B. Aß und A'ß'
(Taf. IV. Fig. 1.) auswählen und aus ihuen unter geeignetem Win-
i[el ein Dr,eieck ABB' bilden, -weichet mit ABC die Grundlinie
AB und mit A'B'C die Grundlinie AB' gern ei nschaff lieh hat.
Fuhrt mau nun, der obigen Methode zufolffe, die theilendeu Gera-
den für die beiden Dreiecke ABC und AoB* aus, so werden die*
selben hiedurch in die nöthigen Theile zerlegt, um das eine in
das andere verwandeln zu können. Die Theile des Dreiecks ABB*
werden durch eine nochmalige Anwendung derselben Construciioa
in Bezug auf die Dreiecke ABB' und A'B'C 'wiederum in Theile
zerlegt. Wenn man nun die letztere Theilung auf die schon vor-
bandenen Theile des Dreiecks ABC überträgt und wenn man um-
gekehrt die erste Theilung von ABC und ABB' auf das Dreieck
I ^'^'6^' ausdehnt, welche Construction in der Figur zu erblicken
ist, so sind offenbar die entstandenen Theilungen hinlänglich, nicht
nur um aus den Theilen von ABC der Reibe nach die Dreiecke
ABB* und A'B'C zu bilden, sondern auch um da^ Dreieck ABC
unmittelbar in das Dreieck A'B'C zu verwandeln. In der Figur
sind die congruenten Theile durch dieselben Buchstaben a, /9, . . .
bezeichnet.

Es ist nun klar, dass man auch die Gleichheit zweier ParalJo-
logramme durch Congruenz nachweisen kann. Mad braucht zu
dem Ende nur jedes derselben durch eine Diagonale in zwei
Dreiecke zu theilen, und auf jedes dieser Dreiecke die beschriebene
Theilung anzuwenden. Wenn man aber in Taf. IV« Fig. 1. die Paralle-
logramme über AB und AB' vollendet und in jedem der hinzu-
tretenden Dreiecke dieselbe Theilung anbringt, so wird man ge-
wahr, dass sich die Sache viel einßcher gestalten lässt. In den
beiden Parallelogrammen BD und B^D* haben nämlich einerseits
die Theile J, a, ( und andererseits die Theile /, /?, € dieselbe
Lage in Beziehung auf einander. Man kann sie daher beziehlich
zusammenfassen und braucht sie, um das Parallelogramm BD io
das Parallelogramm B'D^ zu verwandeln, nicht erst in ihre Theile
o, d, £ oder y^ /?, € zu zerlegen. Es ergiebt sich daher die fol-

gende Construction (Taf. IV. Fig.. 2.).
„Um das Parallelogramm BD in

das Parallelogramm B'jD s«
„yerwandelD , ziehe man durch die Mitte von BD eine Gerada
„dergestalt, dass das auf ihr von einem Seitenpaare (a. B. AB
„und CD) abgeschnittene Stück, einer Seite (z. B. AB') des Pa*
„rallelogramms B'D' gleich wird. Von den Mitten des aDderaa
„Seitenpaares (also AD^ ^^1 ^''® ^^^ ^^^ diese Gerade zwei
„ondere Gerade unter dem Parallelogramm- Winkel voit B'D^.
„Durch diese drei Gerade wird das Parallelogramm BD in aoieha
„Stöcke getheilt werden, dtiss sich aus ihnen das Parallelograma
j^B'iy zusammensetzen lässt.^*

Vermittelst dieser Construction kann man offenbar auch dao
pytbagoräischen Lehrsatz durch Congruenz beweisen , wena mao
auf Euklidische Weise das Quadrat der Hjpoteause mit der Höhe
des reehtwinkligea Dreiecks in zwei Rechtecke zerlegt» welche dea

Quadraten der beiden Katbeten bezieblich gleich sind. In diesem
Falle lässt sich die Coostruction einfucb so angeben:

„Durch die Mitte des QuadriCts BD (Tat. IV. Fig. 3.) ziehe
,,nian eine Purullele mit der Hypotenuse» und auf diese Pa-
,^ra1!ele fälle man von den Mitten der Seiten BC und DE
,,iw«*i Perpendikel; so wird man aus den entstandenen
„Sacken durch Drehung und Verschiebnng das Rechteck
^yCF zusammensetzen können."
M>aaae1be gilt natürlich auch von dem Quadrate der kleineren Ra-
uhere, nur dass man hier auch subtractive Stücke in Betracht zu
»eben hat.

Eiiv£ andere Verwandlung des Quadrats der Hypotenuse in die
ei den Quadrate der Katheten, wobei nur eine parallele Ver-
Licbiing nötbig ist, lehren Fig. 4. und Fig. 5. auf Taf. IV. Sie
lad ohne weitere Kriäuterung verständlich.

Den Beweis für alles Vorstehende wird man mir erlassen.

xxvra.

eber die Berechnung des ElasticitAts-Blodulus
aus directen Dehnungsversuchen.

Von dem

Herrn Fabriken- Commissionsrath A. F. W. Brix

SU Berlin.

Bei der Berechnung der Elasticität prismatiscber Rörper, die
^nrcb gegebene Kräfte nach der Richtung ihrer Länge gespannt
"^rnrden, geht man bekanntlich von dem durch die Erfahrung be-
"Mätigten CSesetse aus. dass unter übrigens gleichen Umständen die
Ikeobachteten Längendehnungen, sofern sie die sogenannte Kla^tici-
tilagrenie nicht überschreiten, den spannenden Kräften und den
Xängen der Prismen direct, den Querschnitten derselben aber um-

Slcebrt proportional sind. Bezeichnet also X die Länge^ m den
lersebnitt eines Prismas, und ist X die Ausdehnung, welche das-
selbe «rleidet, sobald es einer Längenspannong =/* unterworfen

^td» BO bt X der Grösse -~ proportional, und es findet daher die
Glaichmg Statt:

240

I

1) mX=^,

woriD m eiDen Erfahrppg^scoeCGcieDten bezeichDet, iler nur tob der
physis'cbeo Bescbaffenbeit des Körpers abbängig, f&r Körper einer-
lei Art also constant ist Man Dennt ibn bekanntlicb den Bla8.ti-
citäts-Modulus, und nm seinen numeriscben Wertb far irgend
eine gegebene Substanz durcb directe Debnungsversocb^ su eroiit-
teln, dient die Forme)

in welcber P, / und a bekannte, dem Versnebe cum Grande ve-
legte Grössen bedeuten, wäbrend X die beobacbtete Debnunjr ist^
die jedocb wieder verscbwinden muss, sobald die Spannung jP auf-
geboben wird.

Bei den auf Veranlassung Eines Hohen Finai^ministerii unter
meiner Leitung im Königlichen Gewerbe- Institut angestellten Ver-
suchen über die Festigkeit verschiedener Baumaterialien kamen
unter Andern auch scumiedeeiserne Rundstangen bis zu einer
Stärke von etwa I7 Zoll mittleren Durchmesser zur Anjrendung,
um sie in Bezug auf ihr elastisches-, Verhalten bei einer gewisses
LängenspannuDg zu prüfen. Da aber viele von diesen Stanges
nicht an allen Stellen denselben Durchmesser hatten, so kam es
darauf an, eine Methode zu ermitteln, durcb welche der Elasticitäts*
Modulus genauer gefunden werden konnte, als nach dem gewöhe-
liehen Verfahren, bei welchem die Stange als ein Cylinder voraus-
gesetzt wird, dessen Durchmesser dem mittleren Durchmesser der
feprüften Stange gleich ist. Das Ungenügende dieses Verfahreni
at schon Lagerhjelm erkannt, weshalb er liei seinen Verfluchen *)
diejenigen Stangen, welche nicht Überall denselben Durchmesser
zeigten, als eine Aneinauderfugung mehrerer Cvlinder von verschie*
denen Durchmessern betrachtete, und darauf die Berechnung ihrer
Längendehnung basirte.

Das zu gleichem Zwecke- von mir in Anwendung jgebracbte
Verfahren, welches den Gegenstand dieser Mittbeilung bildet, be-
steht im Folgenden:

Man denke sich die Stange in n gleiche Theile getheilt« und
in den Theilpunkten die Querschnitte bestimmt, welche sämmtiich
als verschieden vorausgesetzt werden. Betrachtet man demnächst
jeden dieser Theile als einen abgekürzten Kegel, und berechnet
unter dieser Voraussetzung die Dehnungen aller einzelner Theile,
so muss deren Summe gleich der beobachteten Dehnung der gan-
zen Stange sein. Auf diesem Wege gelangt mau zu einer Glei-
chung, aus welcber sodann der Elasticitäts -Modulus leicht gefun-
den werden kann.

Um dies Verfahren in Ausübung zu bringen, könnte es suvör*

*) Peter Latrerhjelm's Versuche zur Bestimmung der Dichtheit, Gleichar-
tigkeit, Elasticität u. s. w. des gewalzten und cesebmiedeten Stabeisens.
Ans dem Schwedischen übersetzt von Dr. J. W. Pfaff. Nürnberg«
1829. Seite 134.

derst darauf an, die Dehnung eines abgekürzten Kegels zu berecli.
iien, welche aich folgendemauen gestaltet:

Der grösseren Allgemeinlieit wegen setzen wir eine abgekürzte

Pyramide voraus, deren parallele Endflächen mit m und «^ bezeich •

net werden sollen. Es sei / die Länge dieses Körpers und Ä die

Dehnong, welche durch eine, nach der Richtung seiner Schwer-

pnnktsacbse wirkende Kraft P hervorgebracht worden ist. Man

denke sich von a aus ein uDhestimmtes Niiick ==a; auf der Achse

abgeschnitten, und bezeirhne den Querschnitt der Pyramide ioi Knd-

(lankte von jc mit y, 2t%kt Bestimmung dieses Querschnittes hat

■an dann die Gleichung

/l/y = (/ — a:)Va + aVt^
— i\/^^a:(\/a — \/a')\

108 welcher sich demnächst ergiebt :

y = ^ (t\/a - MVa - V^)y.

Beieichnet nun Xx die Dehnung des in Rede befindlichen KörporH
nf die Länge .r, dann ist dkx die dem Incremcnt </r zukommende
Dehonng, und dafür kann nun nach (1) die Gleichung aufgcstolU
werden:

m . dXx = .

y

Abb ihr ergiebt sich, nach Einsetzung des obigen Ausdruckes von y^

ibo

\y^)y

Vollführt man die hier angedeutete Integration zwischen den he-
uicIiDeten Grenzen, was keine Schwierigkeiten hat, so findet man

3) A = — —==—L=
' m • li/'aa' sfiWW"

Die Dehnung der abgekürzten Pyramide ist demnach
^er eines Prismas gleich, dessen Querschnitt das geo-
netrische Mittel zwischen den Bndflächen des ersten
KSraert ist.

Ist die Rede von einem abgekürzten Kegel, und man bezeich-
net die den Endflächen a und a' zugehörigen Durchmesser bezüg-
lich mit d und <f, so verwandelt sich die vorige Formel in folgende

4) X= *"

nmäif'

Zar Anwendung der letzten Formel auf den mir bei den Ver-
TMl IV. 16

242 -

\

suclieo vorgelegenen besondern Fall seien nun </j, </,,#/,,... «^i^i+i
die verschiedenen, in den i>+l Theilpankten gemeBseoen Ehirdi-
nesser, und A.,, X,, A,, . . . . ^n seien die Dehnungen in den ein-
zelnen Abtbeilungen der Stange. Alle diese Tbeile haben dieMlbfft

Länge = — , wenn / die Länge der Stange in ihrem naturliGhenk

Zustande bezeichnet. In Gemässbeit der obigen Formel hat
dann nach einander:

' nmn

•rf.rf,'

' nmn

1

X — *^^
* nmn

1

1 _^^

Atfi ^^» •

nmn

1

dndn+l

Summirt man diese Gleichungen, und setzt die ganze Dehnung der
Stange, nemlich ^, + ^^ + X, + . . . X» = A, so kömmt

nmn * </i^2 d^d^ d^d^ ' * * dndn+i '
oder, *wenn der Kürze wegen die Summe der Reihe in der Klam-
mer gleich -^fj^) gesetzt wird,

5) ;i = i^. ^(-L-).
' nmn d^d^'

Diese Gleichung liefert nun für den Elasticitäts-Modulus die Formel

^> "^ — -^v^^U)^

nach welcher die Eingangs erwähnten Versuche berechnet worden
sind. ^ •

Die dadurch gewonnenen Resultate werden später der Oeffent-
lichkeit übergeben werden, weshalb ich mich tür den Zweck dieser
Mittheilung darauf beschränke, hier nur einen der vielen Versuche
anzuführen, den ich nach der obigen Formel und nach dem ge-
wöhnlichen Verfahren berechnen will, um den Unterschied in deli
numerischen Werthen von m für beide Methoden ersehen zu lassen.
Dieser Versuch betrifft eine Stunge englisches Rundeisen von der
Sorte, wie es gewöhnlich zu den Ankerketten verwendet wird. £s
wurde auf derselben eine Länge von 5 Fuss abgetheilt, und von
Fnss zu Fuss wurden die Durchmesser ermittelt, für welche sich
folgende, in Linien ausgedrückte Zablenwerthe ergaben:

rf^ =12,29; ^/, = 11,68; ^,=11,71;
1/^ = 11,68; <=U,Ö6; i/, = 11,89.

243

Das arithmetische Mittel derselhen ist i/= 11,818 Linien. Die bei

den Versuche beobachtete Dehnung der Stange betrug im Mittel

' i^OQ zwölf verschiedenen Beobachtungen 0,307z Linien auf 5 Fuss

LäBrOy wenn eine Längenspannung jP=:9021 Pfd. angewendet

wurde.

Um nun hierauf die Formel (6) anwenden zu können, muss
■180 / in demselben Maasse wie ^, also beide in Linien ausdrücken,
«fann wird sich der Blasticitäts-Modulns in Pfunden für die Qua*
tfratlinie als Einheit des Querschnittes ergeben.

Demnach ist /= 720^" und ;i = 0,3072'". Nach den obigen
l^erthen der Durchmesser findet man zuerst

^^d^d/ — d,d^ ^ d^d^ ^ d^d^ ^ d^d, ^ d,d. — "'"*''^-

Setzt man diese Zahlenwerthe in Formel (5) ein und berücksich-
tigt zugleich, dass i»=?=5 ist, so findet man

«z=: 194933 Pfd. pro Q Linie.

Clin die Crosse m nach dem mittleren Durchmesser «f= 11,818 Li-
nien zu berechnen, dient die Formel

Welche nach Substitution der entsprechenden Zahlenwerthe

m = 192772 Pfd.
giebt, ebenfalls für die Quadratlioie des Querschnittes.

16*

244

i*

Auflösung einer, algebraischen Aufgabe, und

Hinstellung einer anderen.

Von

Herrn A. Göpel

zu Berlin.

Üb"

-i-cc"

— 0

b'b

-^c'c

= 0

bU

+ cc'z

= 0-

Aus den Gleicbungen

Ia* + ^' + c' = 1 ; aa' -
a"* ^- r * + c '» = 1 ; aa-

die Gleichungen

/^«-l_«'» + a"»==l; be + b'c'-hb"c'=z9

herzuleiten. (S. Litter. Bericht. Nr. XII. S. 191).

Diese bei der Verwandlung der Coordinaten yorkommenden
Gleichungen pflegt man gewöhnlich aus ihrer geometrischen Bedeu-
tung abzuleiten. Hat man nämlich zwei rechtwinklige Axen-
systeme OX, OY,' OZ und 0X\ 0Y\ OZ' und sind -

a, b, c die Cosinus der Winkel X'ÖX, X'OY\ X'OZ
a\ b\ d - - - - FÖX, YOY, TOZ

ä\ b% c" • - - - Z'OX, Z'OY, Z'OZ

so finden die Gleichungen 1) statt; und namentlich gelten die drei
letzten derselben, weil aV + ^'^" + <?V- gleich dem Cosidus* des
VVinkels Y OX ist, dieser aber als ein rechter Winkel vorausge-
setzt wurde; u. s. w. Unter diesen Voraussetzungen sind Aber
auch

a, a\ a' die Cosinus der Winkel X^X', XOY, XOZ

b, b\ b" ^ - - . YOX, YOY, YOZ'

c, c\ c ^ - - - zox\ zor, zon.

245

nd da dag Axensjstem 0X,\ 0Y\ OZ' rechiwioklig vorausgesetzt
rurde, so folffen aus ähnlichen Gründen die Gleichungen 2). Rein
Jffebraisch durften dieselben am leichtesten folgendermassen her-
geleitet werden. Schreibt man die erste, fünfte und sechste der
Gleichungen 1) so:

«" . a -+- Ä" . Ä -f- c" . r = 0,

folgt aus ihnen durch eine einfache Kliminatiön, wenn zur Ab-
k ürznng :

4) € = a(b'c" — b"c) + n\6"c - bc") -+- a(bc - b'c)

S'^setzt wird:

^ 5J f . « z= b'c" - b"c\ €.b = da' 7- cd, €.c = a'b' - ab'.

-^of dieselbe Art ergeben sich aus der 2ten, 4ten, 6ten; und aus
4«r 3ten, 4ten, 5ten der Gleichungen 1) die folgenden:

6) i\ ä' = b"c — bc'\ B.b' = da — cä\ € .d = a"b — ab"

7) « . «" = bd — b'Cy € , b" =z cä — c Ä, « . c" = ab' — ab

-'Moltiplicirt man nun von den Gleichungpen 5), 6), 7^ bezieblich die
Ersten mit a^ «% d'\ b, b' ^ b"\ c, c', c", und addirt, so ergiebt
^icjb nach Division mit e:

«Ä» 4- a'» -h «"» = 1 , »Ä + »'Ä' -h ab' zn 0, «c + a'd -+- ad' = 0.

üf ähnliche Art erhält man aus denselben Gleichungen die übri-
J^CD Gleichungen 2). Die Division mit £ setzt voraus, dass £ nicht
^^all ist; sein Werth findet sich sehr leicht bleich d=l. Deun qua-
^rit man die Gleichungen 5) (oder auch ^ oder 7)), und addirt,
^0 erhält man:

I

) %^{a^^b^+c^)={b'd'^b"dy+ida"'-d'a'Y'\'(a'b"-a"b'Y

= (a» -f. ^'» + c») («'» + ö'^ -HC»)

— (da -+- //r + dd'Y
^so wegen 1)

9) c» = l.

Dil Zeichen von c ist seiner Natilt nach unbestimqit; in der geo-
aelrischen Bedeutung hängt es bekanntlich davon ab, ob die Axen
0X\ 0Y\ OZ' in derselben Drehrichtung um einander liegen,
wie die Axen OX^ OYy OZ oder in entgegengesetzter. Im ersten
Falle ist c = +l, im zweiten e = — 1.

loh stelle nun die Aufaabex
Mab goH aas den Gleichungen:

246

Aa* -H Ä*'» -f- Ce* + 2ZIÄV -H ^Ee'm + 2/V^ + 2»«

+ 2Jro' + 2A?' = P

+ 2i5P;5" + 27i:" = P
Aäa" + Ä^'^" -H ^V + D(b'^ + ÄV) + E(cä' + c'm)

+ /X« Ä" -H «"*') + C^(« + •") + ^^'+ Ä ') + Ap' ■+- <?") = /»
Aaa + /f/^'Ä + Cc'r + D(b"c + de") + E(d'a -H ca)

+ €?(a-Ha) + M* + ^') + 7{c-|-r) = r

ähnliche Systeme tod Gleichungen herleiten nnd^dft
geometrische Bedeutung derselben darlhun.

Theorie der involutorischen Gebilde nebst An-
wendungen auf die Kegelschnitte.

Von

Herrn Fr. Seydewitz^

Oberlehrer am Gymnasium zu Heiligenstadt.

Gegenwärtige Abhandlung soll das Wesen der sogenannten
Involutionen im Verbältniss zu projektiviscben ' Eigenschauen über-
haupt darstellen und die bereits von Steiner S., 167. seines Wer
kes angekündigte Wichtigkeit dieser Lehre an' der Theorie der
zugeordneten Durchmesser, denen hier die zugeordneten Acbsen-
puokte und Achsenpunktwinkel mit ganz analoffen Eigen-
schaften sich zur Seite stellen, an der Theorie der iSrennpiinkte
und, wenn der Raum es gestattet, der gemeinschaftlichen Sekanten-
und Tangentendurchschnitte nachweisen. Denn durch diese l.«ehre
erhält die Geometrie nicht bloss einen Ersatz für das, was die Ana-

247

l^vsis durch den Gebrauch des linagiuureD vermug, sondern sogar
^i nen Vortheil über die let^^tcre, indem sie ibreui intuitiven Cbaruk-
^^r g^treo^ statt ein nicht -seiendes Objekt kraft der Form eines
■r^selleo sich einzubilden, vielmehr von einem Objekte der Anscbau-
KX ng zu einem anderen reellen Obj^tc von derselben Grösse, aber
'%r «rschiedener Bedeutung übergebt un<l somit zugleich nn Wahrheit
nd Mannigfaltigkeit der Begrille gewinnt.

Ües Zusammenhanges wegen und dem Hauptzwecke des Archivs

'«mäss geht eine kurze IJebersirht desjenigen aus der „Systemu*

machen Entwickelung der Abhängigkeit geometrischer

Gestalten von einander^' voraus, worauf im Folgenden Bezug

«Dommen werden wird, und für eiiv^ solche dürfte wohl eine blosse

ndeutUDg der Beweise hinreichen, um so mehr, da sich voraus-

itzen lässt, dass das genannte Werk sich schon längst in der

and eines jeden Mathematikers beGndet. **)

Die Gerade und der ebene Strahlbüschel.

1. Wird eine Gerade A von den Strahlen <v, ^, r, r/... eines

«ä benen Strahlbüschels ß d. h. von den sämmtlichen durch

^inen Punkt B (Mittelpunkt) gehenden Geraden einer Ebene,

^ ^ den Punkten a, 6, c, b... geschnitten, und man denkt sich so-

"^"^rt die beiden Gebilde A, B in irgend einer Luge zu einander,

^^ welcher nur die gegenseitige Neigung der Strahlen von B und

^S.ie gegenseitigen Abstände der Punkte von A^ so wie die Bezic-

^«QDg, dass immer diesem Strahl a dieser Punkt a entspricht, fest-

^^ehulten wird, so heissen die Gebilde A^ B in Ansehung der

Entsprechenden KlemeiiteniMiare a, b, C, b... und «r, b^ c, d.,j

(^rojektivisch, und zwar schief liegend, . wenn die Strahlen

'^ron B nicht durch ihre entsprechenden Punkte gehen, perspekti-

^^^isch liegend dagegen oder perspektivisch, wenn dies durch-

"^^pg der Fall ist. Die Projektivität von A^ B erlaube ich mir hier

^er Kürze wegen durch

A{a, 6, c, 5 . . .) = ^{^i ^9 ^> f^" •)»
^^nd dass sie insbesondere perspektivisch sind, durch

A(a, 6, c, b . . .) ^ B{a^ d, c, #/...)
^Q bezeichnen.

2, Für perspektivische Gebilde A^ B hat man in Bezug auf
^wei beliebige Klementenpoare a, C; <v, c, wenn Bp senkrecht auf
-A, die metrische Relation

Bip .ac= Ba, Bc. sin,, ac.

iia4 ebenso

*) Der Leser wird gebeten, di«? Figuren iler jedesmaligen Angabe gemäss
gelbst zu entwerfen.

248

also

ood ebeos»

also

Bp. bc=: Bb . Bc . sin . 6c^

oc
bc

ob
bb

Ba amm^

oc ob
bc ' bb

Bb ' sin . Ar '

Ba «n.grf
iTb ' sin . ^

sin. HC sin . ad
sin . Ac * sin . MT

als Fondaaieotal-Gesetz der Projektivität Oberhaupt; d. Ii.
es gilt TOD je 4 entsprechen den ElesientenpaareD, wenn -

-^(a, b, c, b . . .) = B{ay b^ €y d. . .),

and ist ersteres der Fall und zugleich die Ordnung der Elemente
in A und B nbereinstimsiend, so gilt auch das letztere, wie
durch Construktion näher nachgewiesen wird. Hieraus folg^:

«) Das ganze System der entsprechenden Elemeoteo-
paare zweier projektivischen Gebilde ^^ ifr ist bestiauBt,
sobald irgend drei dieser Paare gegeben sind.

b) Bei zwei beliebig liegenden Gebilden A^ JEt kanu
man ganz nach Willkür drei Paar Elemente o» «r; 6, b\
Cy c auswählen und «odann festsetzen, die Gebilde sol-
len projektiTiscb und diese Elementenpaare sollen ent-
sprechend^ Blementenpaare sein.

Besondere Fälle.

3. Hier ist hervorzuheben:
Wenn der Werth efnes der Doppel verhiUtnisse

at ab sin . oc wa.ad
bc ' bb' sin . Ac ' sin . bd

= 1

ist, was immer zugleich stattfindet, so heissen die 4 Punkte a,
b, C, b oder die 4 Strahlen a, A, r, d harmonisch, und zwar a
und b, C und b oder a und b^ c und d zugeordnete harmoni-
sche Punkte oder Strahlen.

Wird in diesem Falle die Strecke ah in c gehälftet, so liegt
b auf A unendlich entfernt, und wird der Winkel «^ durch c
gehälftet, so ist c rechtwinklig zu d. Geschieht dasselbe
aber in einem andern Punkte m, und durch einen andern Strahl i^
so ist

mc. tnb = ma' =: mb' ; tng ^hc . tng . Ai/= tng' . hm = tng* . Ab.

Bei irgend vier harmoni-
schenPunkten ist das Recht-
eck unter den Abständen
zweier zugeordneter Punkte
von dem in der Mitte zwi-
schen den beiden anderen

Bei irgend vier haräoni-
schen Strahlen ist das Pro-
dukt der Tangenten der Wid-
kel, welche zwei zugeord-
nete Strahlen mit chem in
der Mitte zwischen den bei-

249

liegenden Punkte gleieh dem
Quadrate des halben Ab Stan-
des fi^r letzteren von ein-
ander.

den'anderen liegenden ein-
s^hliessen, gleich der zwei-
ten Potenz derTangente des
halben Winkels, welchen die
letzteren einscbliessen.

Zwei und mehrere Gerade oder Strahlhüschel.
4, Ist zu gleicher Zeit

^(a, b, C, b . . .) = B{ay b^ c, d. . .)

^er ist zu gleicher Zeit

B(a, i, c, d. . .) = jl{a, b, c, b...)

I

^i(»iy^i> ^i> ^i..) = ^(a> b, c, b...)i

iKi heissen die Geraden A^ A^ selber in Ansehung der entsprer
«benden Punktenpnare a, b, C, b...; a,, b,, C,, b| ..., oder
die 8trahlbüscliel Zf, /f| selber in Ansehung der entsprechen-
den Strahlenpaare a^ b^ Cy d,, ,; a,, b^^ c^, d^ ,,, projektiv
vi seh, und ich schreibe

^((1, b, c, b...) = ^i(an b,, c,, b, ...);

B{a, b, €?, d..,)=:B^{a,, b,, c,, <...).

Liegen insbesondere A und A^ mit JB, oder ^ und ZT, mit A per-
spektivisch, so heissen ^, ^i oder ß, B^ perspektivisch u.s.iv.,
wo nicht, schiefliegend. Der Punkt If beisst der Projektions-
punkt der perspektivischen Geraden A, Ai, und die Geraden a^i,
bbi, CC, . . . in jedem Falle die Projektionsstrahlen von Ay Jf,.
Endlich wird A der perspektivist^he Durchschnitt der per-
spektivischen Strahlbüschel By B^ genannt.

Auf jeder von zwei perspektivischen und folglich auch von zwei
projekti vischen Geraden A^ A^ überhaupt giebt es einen Punkt r,
<|i, dessen entsprechender auf der anderen Geraden Ay^ A ihr un-
endlich-entfernter Punkt r,, <| ist. Diese beiden Punkte r, <|i
heissen die Durchschnitte der PaTallelstrahlen. Eben so
giebt es unter den entsprechenden Strahlenpaaren zweier perspek-
tivischen und folglich auch zweier projektivischen Strahlhüschel
B^ By überhaupt zwei Paare «, i^; s,, t^ von der Eigenschaft, duss
sowohl «zu /als auch «, zu/, rechtwinklig ist. Denn ein durch
die Mittelpunkte B^ B^ gelegter Kreis, dessen Centrum auf dem
perspektivischen Durchschnitte A liegt, schneidet letzteren in zwei
Punkten 6, t) denen solche Strahlenpaare «, /; <|, /, entsprechen
müssen. Sie heissen die Schenkel der entsprechenden rech-
ten Winkel.

250

5) Bei zwei projektivischen Gebilden A^ A^^ so wie B^ B^
finden folgende metrische Relationen statt:

ac ^ ab OiCi . Oibi sin . ac ^ sin . ad sin^Oi^, . sin.Hirft

bc ' bb ' biCi * b,bi ' sin • ^ * sin . bd sin . b^c^ ' sin . b^dx '

und demnach ähnliche Lehrsätze als die unter 2) ausfi^esprocbenen.

Hieraus ergiebt sich als Nerv der ganzen Methode der
Satz:

Ist hei irgend einer Anzahl n Gebilden — Gerade und
ebene Strablliüschel — in irgend einer bestimmten Ordnung
genommen der Reihe nach ein jedes Gebilde mit dem
darauffolgenden projekti visch , so ist jedes mit jedem,
also namentlich auch das erste mit dem letzten projek-
tiviscb.

»
Besondere Fälle.

6. d) Vertauscht man in 5) die Punktenpaare c, b; C,, b, mit
den besonderen <|, r; <|i, Fi, und die Strahlenpaare c^ ji\ €?!, </, mit

den besonderen *, t\ *, t^ (4), so sind die Verhältnisse r— und . * *

= 1, und sin .iarj^=cos .«r#.n. 8. w., folglich ar . tti^i = 6r . bjq, ;
tog. as , tog^,^, =:tng. hs . tog.^,^,.

Bei zwei projektivischen
Geraden ist das Rechteck
unter den Abständen irgend
zweier entsp rech enderPunk-
te von den Durchschnitten
derParallelstrahlen vonun-
verän der) i ehern Inhalt.

Bei zwei proj^ktiviscbeo
Strahlbüscheln ist dasPro*
dukt der Tangenten der Win-
kel, welche irgend zwei en t-
sprech ende Strahlen mit den
ungleichnamigenSc henkeln
der entsprechenden rechten
Winkel einschliessen, von
unveränderlichem Wertbe.

/

U) Vier harmonischen Punkten von A entsprechen vier barmo*
nische Punkte von ^,, und vier harmonischen Strahlen von B ent-
sprechen vier harmonische Strahlen von B^ (5).

7. c) Haben je zwei entsprechende Abschnitte der Geraden
A^ Ai gleiches Verhältuiss, d. b. ist

ab

6c

= = r U. S. W.,

ac
o,c,

b,t,

so beissen Aj A^ projektiviscb - ähnlich, und sind je swei
entsprechende Abschnitte einander gleich: ab = a|b,, bc=b,C|,
u. s. w., so beissen sie projektiviscb -gleich.- In beiden Fällen
sind die unendlich-entfernten Punkte* beider Geraden ent-
sprechende Punkte, ßben so hcissen zwei Strablböschel B^ B^
projektivisch-gleicb, wenn je zwei entsprechende Winkel ein-
ander gleich sind, und dann giebt es unzählige Paare entspre-
chender rechter Winkel. *

251

Gegenseitige Lage der Gebilde.

a) BediDgUDgen der projek'tiviscben Lage.

8. Da bei EW(>i proiektiviscben Geraden oder 8trabli)üschelu,

"OTeDD sie perspektivisch liegen, zwei entsprechende Punkte im Durch-

Mchnitte der ersteren, oder swei entsprechende Strahlen mit dem

^jfeoieioscbaftlichen Strahle der letzteren zusammenfallen, und da das

[anze System ihrer entsprechenden Punkten- oder Strahtenpaarc he-

timmt ist, sobald irgend drei Paare gegeben sind (5), so foJgt:

Zwei projektivische Ge-
ade befinden sieb allemal
ad nur dann in perspekti-
ischer Lage, wenn entwe-
erirgendzweientsprechen-
e Punkte in ihrem Durch-
ebnitte Tereinigt sind, oder
renn irgend drei Projek-
ionsstrahlen ineinemPunk«
e zusammentreffen.

ZweiprojektivischeStrahl-
hüscbcl befinden sich alle-
mal und nur dann in per-
spektivischer Lage, wenn
entweder irgend zwei ent-
sprechende Strahlen aufein-
ander fallen, oder wenn ir«
gend drei entsprechende
Strahleupaare«sich auf einer
Geraden schneiden.

d) Auf einander gelegte Gerade, concentrischc

Strahlbüschel.

9) Werden zwei projektivische Gerade ji, A^ beliebig anf ein-
ander, oder zwei projektivische Strahlhüschel beliebig conceutrisch
gelegt» so ist wesentlich zu unterscheiden, oh die Elemente bei-
der Gebilde nach derselben oder nach entgegengesetzter
RiöhtuDg geordnet, d. h. ob sie gl eich liegend oder un gl ei ob-
liege od sind. Ks fragt sich, ob bei solchen Gebilden, und wie
viele entsprechende Clementenpaare zusammenfallen könnend

Sind A^ A^ gleich liegend, so können sich höchstens nur
zwischen den beiden Durchschnitten der Parallelstrablen r, <|i ent-
sprechende Punkte vereinigen, und nie zwischen r, <|,. wenn^i, ^,
UDffleichliegend sind. Denn liegt ein solcher Punkt (eCi), in dem
sich entsprechende e, e, vereinigen, nicht zwischen r, q,, so ist die
Richtung der Puoktenreihe e^ r, <| der Richtung der entsprechenden
Pnnktenreibe fi, r,, <|, entgegengesetzt, einerlei dagegen mit die-
ser, wenn (ee,) zwischen r, <|, liegt.

Da nach 6) das Rechteck ar.a,q, constant ist z.B. = ^', so
ist auch für den Punkt (ee,) er.e,q,=^'. Theilt man also die
Strecke r<|,, wenn A^ A^ gidcbliegend, dergestalt in einem Punkte .r,
i%MB orr . a?<|, =^', so ist jp uothwendig ein solcher Punkt (ee,);
und bestimmt man, wenn A^ Ay ungleichliegend, auf der Verlan^e-
ruDg* von r<|| einen Punkt a: so, dass a:X *<sc^i=^g^ % so ist auch
jetzt or notbwendig ein Punkt (eej). Denn entspräche dem auf A
vorg^estellteo Punkte a: ein Punkt a:^ auf ^,, der nicht mit a: zu-
samaienfiele, so wäre doch .srq, =a;,<||, und es würden die Punk-
teoreiben ^, r, <) und oTi, r,, <|, im ersten Falle nach entgegen-
gesetzter, im zweiten nach einerlei Seite hin gerichtet sein.

JeDacbdea der Abschnitt r(|i grösser, gleich oder kleiner als
2g« aiud zwischen rundq, zwei, einer oder kein Punkt o; mög-
lich. Dagegen gibt es auf den Verlängerungen von r<|i beider-

seits einen Punkt ac, ' In jedem Falle liegen die beiden Punkte ar
zu den Punkten r, <|i symmetrisch.

Haben endlich zwei projektiviscbe Strahlbüschel B^ B^ einerlei
Mittelpunkt und werden durch eine beliebige Gerade geschnitten,
80 sind in dieser zwei projektiviscbe Gerade A^ A^ auf einander
gelegt^ indem A mit B^ Jl^ mit B^ perspektivisch ist. Jenach-
dem nun B^ B^ gleicbliegend oder uDgleicbliegend sind, sind es
auch die Geraden A^ A^^ und jedem Punkte (eCi) der letzteren muss
ein Strahl (ee^) der ersteren entsprechen.

ä) Werden zwei projekti-
viscbe Strahlbüschel belie-
big concentrisch gelegt, so
fallen, wenn sie gleichlie-
gend sind, entweder xwei,
odernurein, oder kein Paar
entsprechende Strahlen 4iuf
einander; dagegen allenial
zwei solche Paare, wenn sie
ungleichliegend sind.

a) Werden zwei projektiv
vi8che<^eraae beliebig auf-
einander gelegt, so verei-
nigen sich, wenn sie gleicb-
liegend sind, entweder zwei,
oder nur ein, oder kein
Paar entsprechende Punk-
te; dagegen allemal zwei
solche Paare, wenn sie un-
gleichliegend sind.

Insbesondere:
b) Werden zwei proje ktiviscb-äh nliche Gerade be-
liebig auf einander gelegt — gleich- oder ungleichliegend —
80 vereinigen sich allemal zwei Paar entsprechende
Punkte, wovon eines namentlich die unendlich-entfern-
ten Punkte sind.

c) Werden zwei projekti-
viscb-gleicbeGer adegleich-
liegend aufeinandergelegt,
so treffen sich entweder nur
ein Paar entsprechende,
nämlich die unendlich-ent-
fernten, oder je zwei ent-
sprechende Punkte.

Werden zwei projektivi seh-
gleiche Gerade ungleichlie-
gend auf einander gelegt,
so treffen sich allemal zwei
Paar entsprechende Punkte,
deren eines unendlich -ent-
fernt,das andere in derMitte
zwischen je zwei entspre-
chenden Punkten liegt.

c) Werden zwei projekti-
visch- gleich eStrahlbäsehei
gleichliegend concentrisch
gelegt, so fallen entweder
gar keine, oder es fallen je
zwei entsprechende Str«li-
len auf einander.

Werden zwei projektiv! sc b-
gleiche Strahlbüschel nn-
gleicbliegend concentrisch
gelegt, so fallen allemal
zwei Paar entsprecbende
Strifhlen auf einander, näm-
lich die Schenkel zweier
entsprechend er rechten Win-
kel.

ei-

Von dem ganzen weiteren Inhalte des Werkes hebe ich zu
nem, Zwecke nur noch das Folgende hervor:

10. Liegen die Strohlen 0, by c^ </...; a^ b^ c^ ^, ... zweier
projektivischer ebener Strahlbüschel B^ By in den Ebenen a, ^,
^, 8 ,,.\ «1, /?,, y^^ Ji . . . zweier Kbenenbüschel 3C, ,]Ci, d. b« in
solchen Ebenen, welche sich alle in einer Geraden Ü^ Xi schnei-
den, und man legt durch jeden dieser beiden EbeDenbfiscbeJ eine

253

beliebige Bbeoe, so erzeugen diese io jenen zwei neue ebene Strabl-
bü sehet B', B\y welche in Ansehung der Strahlen a\V^c\tt..,\
^\y ^19 ^1) ^1 •••« die nämlich denselben Ebenen a, A y^ <^...;
^19 ßii Y\\^\"» ^^^ ^^^ bezüglichen Strahlen von '/f, J^, angehö-
ren, projektifisch sind. Denn ßy B' sind beide mit einer Geraden
^, der üurchnittslinie ihrer Ebenen, und eben so iff,, ß*^ mit einer
Geraden A^ perspektivisch, also der Reihe nach

ÄV» ^'> ^» <^. . .) = ^(a, 5, c, b . . .) = ^(»5 ^. c, d...)
= ir.(a,,Äi,c,,#/,..,)=^,(a,,t,,c,,b,...) = ^i(»'i5^'n<?'i,fl^'i...).

11. Nachdem die Regelschnitte durch Projektion des Kreises

erzeugt und als unterscheidendes Merkmal ihrer Arten gefunden,

dass nie BIlipse keinen, die Parabel nur einen und die

Hyperbel zwei unendlich-entfernte Punkte, und da^ss

nor die Parabel eine unendlich-entfernte Tangente hat,

wird sofort mittels der Sätze, dass der Centriwiukel eines

Kreises, dessen Schenkel nach den Durchschnitten

zweier festen mit einer beweglichen Tangente gehen,

CO D staut ist, und dass somit seine Schenkel zwei projektiviseb-

jrleiehe conrentrische Strahlbüschel erzeugen, so wie dass Peri«

^heriewinkel auf gleichen Bogen gleiche Grösse haben,

Her folgende Satz zunächst vom Kreise, und sonach mittels 10) von

Kegelschnitten überhaupt erwiesen :

Jede zwei Tangenten ei-
Ki«s Kegelschnittes sind in
Ansehung der Punktenpaa-
■re, in welchen sie von den
ubrigenTangenten geschnit-
ten werden, projektivisch,
und zwar entsprechen den
in ihrem Durchschnitte ver-
einigten Punkten ihre wech-
selseitigen 'Berührungs-
punkte;

Jede zwei Punkte eines
Kegelschnittes sinddieMit-
telpunkte zweier projekti-
visch en ebenen Strahlbü-
schel, deren entsprechende
Strahlen sich in den übrigen
Punkten desselben schnei-
den, und zwar eütspreehcn
den vereinigten Strahlen
die Tangenten in den ge-
genseitigen Mittelpunkten;

und umgekehrt.

Involutorische Gebilde.
Zwei involutorische Gerade oder ebene Strahlbüschel.

§.1.

Werden zwei projektivische Gerade ^, ^, dergestalt auf ein-
ander gelegt, dass ihre beiden Durchschnitte r, <|i der Paral-
lelstrahlen sich in einem Punkte m vereinigen, oder werden
4wei projektivische ebene Strablbüscbel .If, Bi dergestalt concen-
Irisch gelegt, dass die ungleichnamigen Schenkel «, j^, ; ^, «,
ihrer entsprechenden rechten Winkel in einen Strahl «9, u
^nsammen fallen, so erhalten dieselben ganz eigenthümliche Ei-
fl^enschaften , welche überall da hervortreten, wo es sich um ganz
Bingulärd Punkte und Linien der Figuren handelt, und durch weiche

selbst Erscheinangen , deren Betraclitung sonst der Geonetrie der
Grösse gouz besonders anzugehören schien,' als nothwBDdige Mo-
mente des Systemes ,,der Abhängigkeit geometrischer Ge-
stalten** aufgezeigt werden.

1. 8ind a, Ai irgend zwei entsprechende Punkte der so auf
einander gelegten Geraden ^, A^ und denkt man sich einen Augen-
blick z. B. die Gerade ^, aus ihrer Lage gebracht und in der ihrer
vorigeu entgegengesetzten Richtung wieder auf A gelegt, jedoch
so, dass nun der Punkt a, sich mit a vereinigt^ indem sieb nSmlich
die ^, \im den Mittelpunkt des Abschnittes aai dreht, so' treten
jetzt im Allgemeinen die Punkte r, <|, wieder aus einander, und be-
zeichnet man denjenigen Punkt von ^, welcher vorher vom Punkte
a, gedeckt wurde mit a, und denjenigen Punkt von ^i, welcher
den Punkt a deckte, mit a,, so werden sich, so wie a und a^^ su-
gleicb auch die Punkte a und a^ vereinigen, und überdies die bei-
den Punkte (aai) und (aa,) zu den Punkten r, qi sjmmetrUcb zu
liegen kommen. Da aber eine solche Lage allemal den bejdeu Paa-
ren vereinigter Punkte (ee,), (fd) zukommt (9), und da (atti) ein
solcher Punkt (ee,) ist, in welchem sich zwei ;Rnt8precheDde ver-
einigen, so sind notbwendig auch die beiden anderen vereinigten tt, a^
entsprechende Punkte. Da nun das Entsprechen der Punkte von der
gegenseitigen Lage der Geraden ^, ^, nicht abhängt, und da a, a^
beliebig gewählt wurden, so folgt, dass, wenn in zwei auf einander
gelegten projektivischen Geraden ^, ^, die Durchschnitte r» <|| der
Parallelstrahlen sich in einem Punkte m vereinigen, je swei ent-
sprechende Punkte sich in doppeltem Sinne .entspreeheo,
jenachdem sie- wie a, a, als den Geraden A, A^ , oder wie a,., a
als den Geraden ^,, A zugehörig vorgestellt werden, d.h. die Ge-
raden Ay Ai sind in Ansehung der entsprechenden Punktenpaare
a, b, c, b . . . Ai, b,, Cij t)i . . . und- a,, b,, c,, bi . . . (i, b, c, b • • •
projektivisch, oder ^(a,b,C,b ... a^ b,, C,, bi ... = ^i(ai, 619 Cj, bf.«
a, b, C, b...), indem jeder Punkt zu beiden Geraden gerechnet wird.

Und umgekehrt: entsprechen sich bei -zwei auf einander geleg-
ten projvktivischen Geraden A, A^ ein einziges Paar Punkte a» ttj
in doppeltem Sinne-, so gilt dies auch von jedem Durchschnitte der
Paraltelstralilen und dem ihm entsprechenden unendlich -entfernten
Punkte, oder diese beiden Durchschnitte tr, qi vereinigen sieb in
einem Punkte tn, und dann entsprechen sich alle entsprechenden
Punktenpaare in doppeltem Sinne. Denn durch UmkehrUng der einen
Geraden erhält man zwei Punkte (aai) und (cm^)^ in deren jedem
sich zwei entsprecheode a, a, und a, a, vereinigen, folglich liegen
beide zu r, qi symmetrisch, und diese letzteren müssen also, wenn
die Geraden in ihre erste Lage zurückgebracht werden, in einen
Punkt m zusammenfallen.

Ein wesentlicher Unterschied tritt ein, jenachdem die Geraden A,
Aj gleichliegend oder ungleich liegend sind. Im ersten Falle
uämlicli werden dieselben durch die Umkehrung der einen ungleieh-
liegend, also müssen jetzt die Punkte (aai) und(aa,) ausserhalb der
Strecke rq,, ursprünglich also die wieder getrennten Punkte a» tti
zu beiden Seiten von m liegen, so dass jeder Punkt rechte von m
einem Punkte links von m entspricht. Im zweiten Falle dagegen
stellt sich alles umgekehrt, und es kann kein Punkt der einen Seite
von tn einem Punkte der anderen entsprechen. Hieraoi ersieht nanf
dass die Geraden A^ A^, wenn sie gleichliegend lind, weder

255

awei noch einen Punkt, in welchem sich ont^prechende vereinigten,
enthalten können; denn auch der Punkt m ist kein solcher, weil
in ihm zwei nicht entsprechende Punkte r, q, sich vereinigen sollen.
Dagegen giebt es, dem allgemeinen Gesetze (9) zufolge, bei un-
gleichliegenden Geraden ^, j4^ allemal zwei solche Punkte,
die io der Folge mit 9, ^ bezeichnet, werden sollen, und zwar liegt
tn in der Mitte zwischen teiden.

~ Da das Rechteck ar.Oiqi unter den Abständen irgend zweier
entsprechender Punkte a, a, von den Durchschnitten der Parallel-
strattlen von unveränderlichem Inhalt ist (6), so ist in unserem he-
sonderen Falle

am . o,m = 6m . 6,m = cm . Cjm == gm* = bm*;

folglich sind hei ungleichliegenden Geraden ^, ^| je zwei entspre-
ebeade Punkte a. a,; b, b,; C, Cj . . . mit den Punkten 9, ^ harmo-
BiBch (3). Und hieraus ersieht man auch, dass alle Punkte, welche
der unendlichen Strecke jenseits 9 (^) angehören, solchen entspre-
chen, die auf der begrenzten Strecke gm (^m) liegen.

Endlich leuchtet es ein, dass da^ ganze System entsprechender
Ponktenpaarc der in Rede siehenden Geraden ^, :A^ bestimmt sei,
WPDU zwei beliebige dieser Paare gegeben sind. Denn nimmt man
nnf zwei auf einander liegenden Geraden ^, ^, zwei Punktenpaare
üy üi ; 6, b, beliebig an, so kann man als drittes diejenigen Punkte
o, a, hinzufügen, welche z. B. mit den Punkten a,, a der jedesma-
iigen anderen ^,, ^ zutSammenliegcn, und sofort festsetzen (2),
beide Geraden sollen projektivisch und diese drei Punktenpaare ent-
sprechende sein. Dies wäre denn allemal und nur auf einzige Weise
möglich, und zwar müssen, wie gezeigt, die Durchschnitte der Pa-
rallelstrahlen zusammenfallen. Dasselbe ergibt sich übrigens auch
aus der in (2) entwickelten metrischen Relation, wenn man in die-
ser a,. statt b und a statt b^ setzt. Sie uniL die gleichzeitig statt-
habenden Relationen verwandeln sich hierdurcli nämlich in folgende:

Q|C| ^i. A fl^ ' ^^1 ctib . Qib|

b,Cj 507* . * ac . aci öTcTöTcT'

Ci\hi 0C| ^ f, bd . ba i ___ hiCi, biCii ^

Cib, cö7' ' bc.TcI b,c. b,c, '

b^di bc^^ ^ ca,tai CiO .Citti

CjO, cb|' ' cbfcbi c,b.c,b,'

Vertauscht man hier, was ofTenb'ir erlaubt ist, von Neuem zwei
entsprechende Punkte mit einander, so behalten die drei letzten Re-
lationen ihre Form, aus der Isten, 2ten und 3ten dagegen entstehen
durch Vertauschung von c, Ci ; b, b,; a, di die, neuen, aber unter
sich identischen:

7 Hi . jM £^. 2^1 . iib oCj^. bo^ . M ^

bc, * b,c bo, ' cbi * Cib ca, ' ca, ' c,a cbi'

Uehrigens erhält man diese auch, wenn 1) und 2) durch einander
dividirt, und das Resultat mit 3) verbunden wird.

Für den Fall eines Punktes g (oder 1^) ergeben sich die be-
sonderen :

i.

ac

bc

2.

ab

^«

cb

3.

ba

ca

256

1 «« . £i« J- 5^ Q <*Ö'

ab.a5,

H' b,9 ba,' ' a,ö» a.b.aib, '

2 gft'^g -— 0^ . A bg* ___ ba.bai ,
' aiö.b.ö o,bi' * b,g* b,a.bja, '

hieraus für g, ^, a, ttj :

09:a,9= a^:o,^.

Vielleicht war es der Umstaud, dass man die Auflösung eines
Producles von VerhäUnissen in ein Af^gregat eine Evolution zu nen-
nen pflegt, welcher D^sargues, den Lehrer des Pascal, veranlasste,
die 4te, 5te und 6te der obigen 7 Relationen mit dem Worte y^lo-
voluiinn'' zu bezeichnen. Und dieses Wort kommt hier um sO ge-
legener, da es, als französisches betrachtet, die scheinbare Verwir*
rung bezeichnen uürde, welche dadurch entsteht, dass die Pnokte
a,, b,«,c» b... ursprünglich zu ^, hinterdrein aber auch zD ji^ ge-
rechnet werden. Es sollen also zwei auf einan.der gelegte projekti-
vische Gerade, deren Durchschnitte der Parallelstrahlen sich in einen
Punkte vereinigen, zwei involutoriscbeGerade, und das ganze
System ihrer entsprechenden Punktenpaare eine Involution von
Punkten heissen. Ferner sollen je zwei entsprechende Punkte
derselben zugeordnete Punkte, der Punkt m der Mittelpunkt
der Involution und die Punkte g, ^ die ßauptpunkte der
Involution genannt werden. Drei beliebige Paare zugeordneter
Punkte bilden eine Involution von sechs, zwei solche Paare
mit einem Hauptpunkte eine Involution von fünf, und jedes*
Paar mit den beiden Hauptpunkten eine Involution von' vier
Punkten oder vier harmonische Punkte.

II. Sind andererseits B^ B^ irgend zwei concentrische pra-
jektivische ebene Strtthlbüschel , deren ungleichnamige Schenkel
«, ^, ; f, <i der entsprechenden rechten Winkel in einen Strahl m, n
zusammenfallen, su lassen sich von ihnen ähnliche Bigenschaften,
wie von den Geracfen A^ A^^ und zwar entweder auf dieselbe Art,
oder auch kürzer so, wie folgt, nachweisen. Eine beliebige Gerade
A werde von den Strahlen a, b^ c, d^ «, i^... des einen Strahl-
büschels B in den Punkten a, b, C» b, 6, t...» und eine mit A
vereinigte Gerade A^ werde von den entsprechenden Strahlen «|,
^19 ^1 ^i> *\^ ^1 • • • des anderen Strahlbüschels B^ in deD Punk-
ten ai, b|, Ci, bi, ^1, ti . . . geschnitten, so ist der Reihe nach

^(a, b, c, b, c^, t...) = if(<y, h^ r, </, «, ^...)

= ^l(»l> ^15 ^I> ^X'i *1> ^1 ...)=^i(Äi> ^I> C|, bi, <|, t, ...),

also auch

^(o, b, c, b, ö, t ..) = ^,(o,, b,, c,, b,, e^,, t, ...).

Nun fallen die Strahlen s und ^i, t und «,, also auch die Punkte
^ und t,, t und 5|^ zusammen, d. h. die Punkte ^, tx (ty t|) ent-
sprechen sich in doppeltem Sinne; demnach sind die Geraden A^ A^
invplutorisch, und da nun je zwei entsprechende Punkte derselben
sich in doppeltem Sinne entsprechen müssen, so gilt das nSsiliche

257

«uch von je zwei eDtsprecliendeo Strahlen von B^ /if,, mit denen
jene perBpektivisch liegen, oder

^(9^ Aj €y d^ *, ^... «,, Ä,, r,, 1/,, *,, ^1 . . .)

= ir,(a,, ^,, c,, 1/,, *i, /,...«, Ä, r, r/, *, /...).

Und da hierbei die Eigentbümlicbkeit der Sfrnleu s, /; «,, /^
bjcbt in Betracbt kommt, und es in zwei projektiviscben Strabl-
biitclraln nur ein einziffes Paar entsprecbender rechter Winkel giebt,
^« folgt auch umgekehrt, dass wenn in zwei concentriscben pro-
f «ktiTischen StrabIbÜBcheln Zf, B^ irgend zwei Strahlen sich in
doppeltem Sinne entsprechen, das nämliche von allen entsprechen-
den Strahleopaaren gilt, und dass, wenn nun n von (T,, «, von a
'"^ von Ti9 f, von t gedeckt wird^ /^ mit (T, , und t mit c einerlei
ein anss, weil sonst den beiden rechten Winkeln <^und ot von B
benfiillB rechte Winkel M^t^ und (r,T, entsprechen würden.

Denkt man sich insbesondere die Geraden A^ A^ rechtwinklig
n dem Strahle m oder », so schneidet er sie in einem Punkte m,
lern der unendlich -entfernte Punkt in doppeltem Sinne entspricht.
flieraas in Verbindung mit I. ergibt sich, dass bei gleichliegendcn
^StrahlbQscheln je zwei entsprechende Strahlen aur verschiedenen
Seiten von m oder n liegen müssen, bei ungleichliegenden dagegen
Vieide zwischen m und n\ ferner, so wie bereits aus dem Vorigen,
^MB nur bei Strahlbüscheln der letzten Art solche Strahlen g^ h
BBtattfinden, in denen sich entsprechende vereinigen, dass dieselben
siit je zwei entsprechenden Strahlen harmonisch sind^ und die von
und h gebildeten Winkel durch m und n gehälftet werden.
Ans (d) ergibt sich, dass

mng««P.tnga|M = tng^«i. tng^|i» = tng0ii. tng0iii = tng' hm

= tng'^iM = tng' An
mi. I. w.

Endlich lässt es sieb wie oben zeigen, dass das ganze System
entsprechender Strablenpaare der in Rede stehenden Strahlbüschel
^nrcii zwei beliebige dieser Paare bestimmt sei, und dass zwischen
je drei derselben, zwischen -je zweien und einem Strahle g oder /i,
«ndlicb zwischen jedem Paare und den beiden Strahlen ^, A fol-
gende Relationen statthaben:

1 iin.ae ^ sin. a^c^ sin »oA^ ^

sin .Ac' sin . AiC^ sin . Aa^ '

2.
3.

sin ,aA ^ sin *g|^i sin .gg, ^

sin . cA ' siii . c^Ai sin • cff, *

sin.<60 sin.Ä,<i| sin.^Ti

sin .ca * sin. Cj«, sin . c^, ^

A »ing^«»'" g^i sin .g|^.sin .aiA^

* sin ,ac> sin . oc, sin . »iC . sin . ajCi ^

sin .Aa.sm .Aa^ sin. ^t«. sin . A^a^

sin • ^ • sin • Aci sin • A^c . sin . ^|C, "*

5.

|. sin . ca . sin . cg, ^__ sin.g,g.sin »CiOi
sin . cA • sin • cA^ sin . e^A . sin . r,^, '
TMl IV. 17

258

1.
2.
3.
4.

sin . ag ^ sin.g|y ^__ sin > g^i ^
^\n,bg' sin.^i^ sin.^«,*

sin . ag . sin . hg sin . ab

sin.0,g .sin.^,^ sin.ai^*

B\x\* ,ag sin .od .sin .17^,

sin'.tfi^ sin.^i^.sin .ffi^i ^

sin^ . bg ^n . Ag . sin . ba^

sin'.^i^ sin. i&,a. sin «^i«,*

1. Vin » ag i ^\xk , a^gz=: huk . ah\ An ^a^h^

Zwei coDccntrische projcktiviscLe ebene Strablbuschel A, B^s
deren ungleichDamige Schenkel der entsprechenden rechten Winkel
sich vereinigen, heissen zwei involutorische Strahlbuschel»
und das ganze System ihrer entsprechenden Strahleopaare eine U«
volution von Strahlen, je zwei entsprechende Strahlen zuge-
ordnete Strahlen, die beiden mit im, » bezeichneten die Achsel
der Involution, und die Strahlen g, h die Hauptstrahlen der
Involution. Drei beliebige Paare zugeordneter Strahlen bilden
eine Involution von sechs, zwei solche Paare. mit einem Baimt-
strahle eine Involution von fünf, und jedes Paar mit beidea
HHuptstrahlen eine Involution von vier Strahlen oder vier
harmonische Strahlen.

Mit Hülfe dieser Benennungen drucken wir nan die beid,er8eiti-
gen Resultate dergestalt aus:

a) Bei zwei involutori-
schen Geraden entsprechen
sich je zwei zugeordnete
Punkte in doppeltem Sinne,
d. h. die Geraden sind in
Ansehung der zugeordne-
ten Punktenpaare projekti-
visch, wie man auch die
Punkte eines jeden Paares
unter beideGerade verthei-
len mag.

b) Entsprechen sich bei
zwei auf einan der gelegten
projektivischen Geraden
ein einziges Paar in dop-
peltem Sinne, so sind die
Geraden invointoriscb.

c) Bei zwei gleichliegen,
den involutorischen Gera-
den liegen je zwei zugeord-

a) Bei zwei involutori-
schen Strahlbüscheln ent-
sprechen sich je zwei-zuge-
ordnete Strahlen in doppel-
tem Sinne, d« h. die Strahl-
büschel sind in Ansehung
der zugeordneten Strahlen-
paare. projektiviscb, wie
man auch dieStrablen eines
jeden Paares unter beide
Strahibnscbel vertheilen

|mag:.

b) Entsprechen sich bei
zwei concentrischen projek-
tivischen Strahlbüscheln
ein einziges Paar Strahlen
in doppeltem Sinne, so sind
die Strablbuschel involuto*
riscb.

c) Bei zwei gleichliegen-
den involutorischen Strahl«
bi^scheln liegen je zwei zu-

k;

259

iieta Punkte recbti and
1 iiki TOB Mittelpunkte der
J Dfolation, und es wechseln
die Punkte jedes Paares mit
denen der anderen Paare
b; beiswei un gleich liegen-
en dagegen liegen je zwei
ngeordnete Punkte auf ei-
erlei Seite vom Mittel-
unkte, und schliesaen je-
es andere Paar entweder
^ in oder aus.

d^ Gleichliegende inTolu-
^ orische Gerade hahen kei-
waen Hauptpunkt; ungleich-
1 iegeudeaber haben allemal
^weillauptpunkte,und swar
1 iegt der Mittelpunkt der
K uToIntion in derMitte xwi*
^ehen beiden.

#^ Eine Involution von
M^unkten ist durch zwei Paar
^■ffoordnete Punkte, und
dabar auch durch ein sol-
^haa Pafr und einen Haupt-
punkt oder den Mittelpunk t>
^dar durch beide Haupt-
ttiBnkte, oder durch einen
Bavptpnnklr und den Mittel-

eankl bestimmt Und man
aon auf einer Geraden zwei
aar Punkte, oder auch ein
aar und einen dritten
unkt, o.der zwei Punkte
Hein beliebig auswählen
od sodann festsetzen, dass
ie in dem angedeuteten
inne an einer Involution
on Punkten gehören sollen.

/) Das Rechteck unter den
bständen irgend zweier
angeordneter Punkte vom
^Mittelpunkte der Involution
% st von unveränderlichem
■ Dbalt.

g) Zwischen den Abicbnit-
^en einer Involution von

geordnete .Strahlen rechts
und links von jeder Achse
der Involution, und es wech-
seln die Strahlen jedes Paa-
res mit denen der anderen
Paareab; bei zwei ungleich-
liegenden dagegen liegen
je zwei zugeordnete Strah-
len zwischen beiden Achsen,
und schliessen jedes andere
Paar entweder ein oder aus.

d^ Gleichliegende involu*
torische Strabibüschel ha-
ben keinen Uauptstrahl; un-
gleichliegende aber haben
allemal zwei Hauptstrahlen,
und zwar werden die von ih-
nen eingeschlossenen Win-
kel und Nebenwinkel durch
die Achsen der Involution
gehälftet.

e) Eine Involution von
Strahlen istdurch zweiPaar
zugeordnete Strahlen, und
daner auch durch ein sol-
ches Paar und einen Haupt-
strabi oder eine Achse, oder
durch beide Hauptstrahlen,
oder durch einen Haupt-
strahl und eine Achse oe-
stimmt. Und man kann um
einen Punkt zwei Paar Strah-
len, oder auch ein Paar und
einen dritten Strahl, oder
zwei Strahlen allein belie-
big auswählen und sodann
festsetzen, dass sie in dem
angedeuteten Sinne zu ei-
ner Involution von Strahlen
gehören sollen.

/) Das Product der Tan-
genten der Winkel, welche
irgend zwei zugeordnete
Strahlen mit einer Achse
der Involution cinschlies-
sen, ist von unveränderli-
chem Werthe.

g) Zwischen den Sinus der
Winkel einer Involution

17*

260

sechs, fünf, vier Ponkten
finden allemal die obigen
sieben, vier eine metrischen
Relationen statt.

von sechs, fünf, vier Strah-
len finden allemal die •li-
g^en sieben, fünf, rier ae-
trischen'Relationen statt

Besondere Fälle.

§. 2.

Sind die anf einander gelegten Geraden y^, A^ projekliviiek-
ähnlich, so sind beide Durchschnitte der Parallelstrahlcn ■■eid-
lich-entfernt (7); daher muss man in diesem Falle, an sicher u
gehen, die Entscheidung der Frage, ob solche Gerade iovolatoriMh
sein können, davon abhängen lassen, ob sie das andere weaeatlirke
Merkmal involutorischer Geraden besitzen, dass nämlich je gwri
entsprechende Punkte sich in doppeltem Sinne entsprechea. Viak
aber dieses letztere z.B. in Bezug auf die Doppelpunkte (oa,) wU
{a^a) statt, so wäre das ^'erliältniss der entsprechenden Absclaüte
aoe : o,«! = 1, also die Geraden ^, ^, nicht äherhanpt projektiviMlh
ähnlich, sondern projektivisch-gleich. Es können also när pif-
jektivisch -gleiche Gerade involutorisch sein; aber aach diese fli4
es offenbar nur dann, wenn sie gleichliegend sind und je swei cst-
surechende Punkte sich decken^ oder wenn sie angleieUiegeW
sind . in welchem Falle ein Hauptpunkt in der Mitte swischea je
zwei zugeordneten Punkten, der andere samnt dem Mittelpiakle
der Involution unendlich entfernt lie^t.

Sollen andererseits zwei projektivisch - gleiche StrahlbiicM
i9, ß^ dergestalt concentrisch gelegt werden, däas die nnglcich-
namigen Schenkel der entsprechenden rechten Winkel , deren m i*
diesem Falle unzählige giebt, sich vereinigen, so kann dies trf
doppelte Weise geschehen. Man denke sich beide erst in solcbtf
Lage, dass je zwei entsprechende Strahlen sich decken, so koaid
sie in dieser Lage involutorisch heissen, es ist aber dieses ein dnrck-
ans unfruchtbarer Fall und kann daher fiiglich, so wie auch der
ähnliche der Geraden A, ^,, von der Betrachtung ansgeschlotfei
werden. Denkt man sich aber sofort den einen Strahlbischel ^i
so lange um den gemeinschaftlichen Mittelpunkt gedreht, bis ei*
Strahl «, zu dem entsprechenden Strahle s rechtwinklig wird, s«
vereinigt sich «, mit einem Strahle $ von if, und # mit dem n^
sprechenden Strahle f, von if, , und so wie #, #, oder f, /,, ■•*-
sen sich je zwei Strahlen a, «Ti in doppeltem Sinne entsprediO*
Die Struhlbüschel sind also involutorisch, und dieser Fall ist ■ch**
deshalb, weil ihm kein ähnlicher von Seiten der Geraden ^, *^i
entspricht, vor allen anderen ausgezeicJinet. Denkt man sich ea^'
lieh den einen Strahlbüschel ü^. nachdem er die letztere Lapre e^
halten, um den Strahl {st^) als Achse herumgewendet, ■• falk*
anch die Strahlen #,, ^ wieder auf einander, jedoch kein andere
Paar entsprechender Strahlen bleibt rechtwinklig, und es fiUlt jetit
der Strahl ^,, welcher den rechten Winkel s^t^ hälftete, mit de«
entsprechenden Strahle g^ und der Strahl ^|, welcher mit g' ver-
einigt den rechten Winkel 9$ hälftete , mit dem entsprecheadeo i
zusammen, so dass also g und Ä rechtwinklig zu einander siod.
Uebrigens versteht es sich, dass zwei projektivisch •gleiche Strtkl*
hüschel, sobald sie ungleichriegend sind, sich allenal in dieser leti-

261

terao I.«age befiodeo müuen. waa oucb im ähnlicben Kalle vou den
G«r»den A^ A^ gilt.

• ) Zwei auf einander gelegte projektivitcb * ähn-
licbe Gerade können niemals invulutoriscb sein.

6) Zwei auf einander ge-
legte gleichliegende pro-
j ektivitch -gleiche Gerade
können« ohne sich zu dek-
keh, nicht involutorisch
■ eiD. Zwei ungleichliegen-
de dagegen sind allemal in-
▼ olntoritch, und iwar liegt
ein Hauptpunkt in der Mitte
zwiacbea je iwei zugeord-
neten Punkten, und der an-
dere Bamnt dem Mittelpunk-
te der Involution unendlich
entfernt.

fj) Zwei concentrischc
gleichliegende projekti-
vi.sch - gleiche Strahlbii-
schel sind involutorisch,
wenn je zwei entsprechen-
de Strahlen zu einander
rechtwinklig sind; zwei
ungleichlicgende dagegen
sind allemal involutorisch^
und zwar stehen die ilaupt-
strahlen senkrecht auf ein-
ander und ein jeder liegt
in der Mitte zwischen je
zwei zugeordneten Strah-
len.

Hiemach sind die Ausdrücke involutorisch - gleiche Ge-
rade, Involution der rechten Winkel, ungleichliegcnd
invointoriach-gleiche Strahlbüschel zu verstehen.

Endlich siebt man leicht ein, duss

e) zwei ungleichliegend
iDvolutoriscbe Gerade in-
volutorisch - gleich sein
netten, wenn ein Haupt-
punkt unepdiich-entfernt
ist

c) zwei involutorische
Strahlbüschel eine Involu-
tion der rechten Winkel
bilden, wenn irgend zwei
Faar zugeordnete Strahlen
zu einander rechtwinklig
sind, und dass sie ungleich-
liegend involutorisch-
gleich sind, wenn die Hanpt-
strahlen zu einander recht-
winklig sind.

Noch ein Grenzfall zwischen gleichliegendcn und ungleichlie-
genden involutoriscbcn Gebilden überhaupt ist zu erwähnen, wel-
cher dadurch entsteht, dass die beiden Hauptpunkte oder Haupt-
■trablen der letzteren mit dem Mittelpunkte oder einer Achse der
Involntion ticb vereinigen. In diesem Falle nämlich ist jeder be-
liebige Punkt oder Strahl der vierte harmonische zu den beiden
Haopfpnnkten oder Hauptstrahlcn und zu dem mit den letzteren
vereinigten Punkte oder Strahle, also alle Punkte oder Strahlen
einem einzigen zugeordnet.

Einiges über Involutioussysteme.

». 3.

An das Vorige schliesst sich zunächst eine Untersuchung an
über die zugeordneten Punkte oder Strahlen, welche zwei, einerlei

262

(veradon oder Punkte anffehörigea Involutionen ffemeinschaftlich
sind. Ich verschiebe sie aoer bis dahin, wo sieh Mittel darbieteB,
dieselbe schneller, als es hier geschehen könnte, za erledigen.

Denkt man sich eine Reihe beliebiger Doppeigehilde ^, ^j;
Jl^y A^\ By By u. s. w.« d.h. welche immer paarweise auf einan-
der liegen oder concentrisch sind, und nimmt an, dass sowohl einer-
seits Ay A^y i9 ... als auch andererseits A^^ A^y ß^ . . • der
Reibe nach projektivisch sind, so ist es klar, dass wenn eines die-
ser Doppelgebilde, z.B. AyA^y involntorisch ist, auch alle übrigen
es sein müssen. Eine solche Reihe involutorischer Doppelgebudi
heisst ein Involutionssystem. Solcher Systeme gibt es ver-
schiedene Arten, je nachdem entweder je zwei Doppelgebilde per-
spektivisch, oder theils schief theils perspektivisch , oder je swe'
schief zu einander liegen. Die Betrachtung der Systeme der eretei
Art fuhrt zu Constrnktionen einer Involution von Punkten ode
Strahlen, welche sich ohne Kreis ausfuhren lassen. Von denen d
zweiten Art soll hier der einfachste und fruchtbarste Failnih
betrachtet werden.

Hat man zwei beliebige schief liegende projektivische Strahl
büschel Bj B^^ wodurch also (11) ein beliebiger Kegelschnitt ge
geben ist, und liegt ein mit B concentrisch er Strahlbnschel JB^ mi
By perspektivisch^ so dass also

SO ist

B(a^ hy C, flf...)=i?a(«j, ^a, <?a, «/a---)5

und rechnet man jetzt alle Strahlen von B^ zu B und beieiehn.
die denselben in a^ entsprechenden durch a,, ^,, <?,, i/, ..., nn
die den letzteren wieder in B^ entsprechenden durch or',, ~^%i ^
ci', . . . , so ist

/?(», by Cy d.„ «a, ^a, c„ d^ ...) = i9,(a,, ^1 , <?i, dy ... a,, 6gy e^^d^,,,

= B^{a^y ^a, Ca, d^ ... a'a, lf\y //„ <f a •••)»

folglich
B{aylßyCyd,„a^^b^yC^yd^,..)=zB^{a^^b^yC^yd^^.af^^i/^y€f^yd^\„).

Denkt man sich nun zunächst nur die vier entsprechenden Strahle
a a^i a^t a^ gezogen und den perspektivischen Durchschnitt vo
Byy i?, durch die beiden Durchschnitte der Strahlenpaare m^y ^
und Uy a gegeben, so föllt der Strahl a', mit a zusaBAen,
dass sich also «r, «r, ^° doppeltem Sinne entsprechen. Bin Gleiche
gilt also auch von allen übrigen Paaren by b^\ Cy Cx\ dy </,...
und man ist somit zur folgenden Aussage berechtigt, der hier s
gleich eine analoge zur Seite gestellt wird:

1) Geht ein Kegelschnitt
durch zwei Gegenecken und
die Durchschnitte der Ge-
genseiten eines einfachen

1) Berührt ein KegelschniC:' ^
zwei Gegenseiten and di ^
Diagonalen eines einfache iv
Vierseits, so gibt es no *

263

Vierecks, so gibt es un-
sählige Vierecke, welche
dieieibeD Dorehselinitte der
Gegenseiten haben, und tod
deren Gegeneckeo das eine
Paar auf demselben Kegel-
seknitte, das andere auf der-
selben Geraden, als die bei-
den anderen' Gegeneoken
deaeTvterea Vierecks, liegt.

zähligeVierseite, welche der
Richtung nach dieselben
Diagonalen haben, und von
deren Gegenseiten das eine
Paar denselben Kegelschnitt
berührt, das andere densel-
ben Durchschnittspunkt, als
die beiden anderen Gegen-
seiten des ersteren Vier-
seits, hat.

- * Ist \/*de]& perspektivische Durchschnitt von B^^ B^^ und sind
A) <ti ; b» 6i o. s.w. die jedesmalfgon Gegenecken der (links) ge-
dediten Vierecke, welche auf dem Kegelschnitte liegen, so schnei-
den: die Verbindungslinien aai, 6b, u. s. w. der letzteren die Gerade
.A0, alleiaal in einem Punkte, welcher zu B^ B^ und dem Durch-
schnitte von BB^ und P der vierte harsionische ist. Dieser Punkt
(p.'i ist also unveränderlich derselbe , und ist zugleich zu je zwei
Punkten a» Oi und dem zu P gehörigen Punkte der vierte, dem
letzteren zugeordnete harmonische Punkt. (Nach dem bekannten
Satze über die Diagonalen des vollständigen Vierseits.) Hieraus
folgt links, und auf ähnliche Weise rechts:

2) Gehen durch einen Punkt
in der Ebene eines Kegel-
schnittes zwei beliebigeGe-
ra-de, welche den letzteren
in vier Punkten schneiden,
tond man verbindet diese
Punkte durch zwei neue Ge-
rade, so liegt der Dureb-
sehnitt dieser letzteren im-
mer auf einer und derselben
geraden Linie, derenDurch-
schnitt mit jeder der erate-
ren Geraden zu den dem Ke-
gelschnitte ungehörigen
Punkten und dem anfäng-
lichen Punkte der vierte,
dem letzteren zugeordnete
Punkt ist.

2) Werden von zwei belie-
bigen Punkten einer Gera-
den an einen Kegelschnitt
zwei Paar Tangenten ge-
zogen, und zwei Durch-
schnittspunkte dieser letz-
teren durch eineGerade ver-
bunden, so geht dieselbe
immer durch einen und den-
selben Punkt, dessen nach
einem der ersteren Punkte
ehender Strahl zu den von
etzteremausgehendenTan-
genten und zu der anfäng-
lichen Geraden der vierte,
der letzteren zugeordnete
harmonische Strahl ist.

f,

Dieser Eigenschaft wegen heisst (links und rechts) die Ge-
rade P die Iharmonische Polare von ;», und der Punkt p der
harmonische PoJ von /*, und man siebt sogleich, dass p aus-
serhalb oder innerhalb des Kegelschnittes liegen muss, je nachdem
P ihn durchschneidet oder nicht.

Bedenkt man endlich, dass die Strahlbüschel B^ B^ involiito-
risch und durch zwei Paar zugeordnete Strahlen 0, a«; <^, b^y so
wie der Punkt p durch zwei Sehnen aai, bbi., bestimmt sind; dass
die beiden Strahlen, welche nach den Durchschnitten von P mit
dem Kegelschnitte gehen, Hauptstrahlen von B, B^ sein müssen
und existiren oder nicht, je nachdem P den Kegelschnitt schneidet
oder nicht schneidet, so folgt links, und ähnlicher Weise rechts:

264

3) Die •&iiinitlicheD Pnok-j
tenpaare, in denen ein Ke-

feltcbnitt von einem belie-
igen ebenen StrablbQtcbel
gescbnitten wird, bestim-
men, indem sie mit einem
beliebig^en Punlcte seines
Umfangs dnrch Gerade ver-
bunden werden, die zu-
geordneten Strablenpaare
zweier involutoriscber

Strabibüschel, welcbe

gleicbliegend oder on-
gleicbliegend sind, je nacb-
dem der Mittelpunkt des er-
steren innerbaib oder aus-
serhalb des Kegelschnittes
Jiegt, und deren flanptstrah-
len im letzteren Falle naeb
den Punkten gehen, in de-
nen die harmonische Polare
dieses Mittelpunktes den
Kegelschnitt durchschnei-
det.

3) Die aäniBitlichen Tau
gentenpaaroy welche vti
den Paukten einer helMhi
gen Geraden au einen Ke-^
gelscbnitt gehen, heatim -—
men auf einer beliehigewa
Tangente desselben die tm«
geordneten Pnnktenpaare
zweier involutoriscber Ge-
raden, welche gleiehlieg^end
oder ungleichliegend sind,
je nachdem jene - beliebige
Gerade den Kegelschnitt ii
keinem oder in zwei Poak-
ten schneidet, nnd derei
Hauptpunkte im letzteres
Falle auf den Tangcntei
liegen, welche von dem hsr
monischen Pole dieser 6^
raden gezogen werden.

Und umgekehrt:

4) Bildet man um einen be-
liebigen Punkt auf demUm-
fang eines Kegelschnittes
eine Involution von Strah-
len, so gehen sämmtliche
Sehnen dieses Kegelschnit-
tes, welche durch die zuge-
ordneten Strahlen der In-
volution bestimmt werden,
durch einen nnd denselben
Punkt, welcher innerhalb
oder ausserhalb des Kegel-
schnittes liegt, je nachdem
die Involution aus gleich-
oder ungleicfaliegenden
Strahlhüscheln besteht.

4) Bildet man auf einerhe*
liebigen Tangente eines
Kegelschnittes eine Invo-
lution von Punkten, so lie-
gen die Durchnitte derTaa-
fentenpaare, welche • von
en zugeordneten Punkten
der Involution ausgeben,
anf.einer und derselben Ge-
raden, welche den Kegel-
schnitt in keinem oder in
zwei Punkten schneidet, je
nachdem die Involution ans

Sleich- oder ungleichliegen-
en Geraden besteht.

ich übergehe mehrere interessante Zusätze dieses letzten Sat«
zes, und behandle auch von den hierher gehörigen Aufgaben nur
die folgende, welche für die Theorie der gemeinschaftlichen Sekau'
ten- und Tangentendurchschnitte von besonderer Wichtigkeit ist:

5) Wenn von zwei concen- 5) Wenn von zweiauf ein«
tri sehen Involutionen von ander gelegten Involutio*
Strahlen je zwei Paar zuge- neu von Punkten je zwei
ordnete Strahlen gegeben Paar zugeordnete Punkte
sind, mittels des Lineals gegeben sind, mittels des
und eines festen Kreises Lineals und eines festes

/

265

dasjenigce Paar zugeordne-
te Strahlen zn finden, weU
chea beiden gemeinichaft-
lieh angehört.

Kreises dasjenige Paar zn«
geordnete Punkte zu fin-
den, welches heiden gemein-
schaftlich angehört.

Vermittelst einer beliebigen^Geraden, welche heide Involutionen
durehachneidet , wird die Aufgabe links auf die andere rechts zu-
rückgefährt.

Sind auf einer Geraden A für die eine Involution die Punkte
0, a,; b> b,, für die andere die Punkte a', a'i ; b', b', gegeben, so
verbiDde man diese Punkte mit einem beliebigen Punkte B auf
dem Umfange des Hülfskreises bezüglich durch die Geraden a^ay\
b^ ^1 ; «', 9ifx\ ^\ ^19 welche den Kreis zum zweitenmal in den
Paakten a, a,; /9, /?, ; a', a', ; ßf, ß^^ schneiden; dann ziehe man
die Sehnen aux^ /?/?,, die sich in p, und die Sehnen aW,^ ß'ß*, die
sich in p' schneiden, sofort wieder die Gerade pn\ welche, wo
möglich, den Kreis in /r, /ti schneide; endlich die Strahlen ÜA:,
JSJbfi so schneiden diese die Gerade A in den gesuchten zwei Punk-
ten f, f, oder f, !',.

Der Beweis erhellt unmittelbar aus 4) Ihiks. Sind die beiden
Paare involutorischer Gebilde, uro die es sich handelt, ungleich-
liegend, so liegen beide Punkte p^ p' ausserhalb des Kreises,
also ist es in diesem Fülle möglich, dass die Gerade pp' den Kreis
nicht schneide, und et folglich keine Punkte f, f, gebe, und zwar
tritt dieses letztere noth wendig ein, wenn die Hauptpunkte oder
Uanptstrahlen der einen Involution abwechselnd zu denen der an-
deren liegen. Ist dagegen eines jener Paare, oder sind beide Paare
gleichl legend, so lie^ einer der Punkte p^ p' oder beide zu-
gleich innerhalb des Kreises, und es giebt folglich in diesen bei-
den Fällen nothwendig ein Paar Punkte f, f,. In der Sprache der
Analjsis würde dieses Resultat so lauten: Ein Punkten- oder
Ntrahlenpaar, welches mit jedem von zwei andern 8ol-
eben Paaren harmonisch ist, ist allemal reell, wenn
eines dieser beiden letzteren, oder wenn beide imaginär
lind; es kann aber imaginär werden, wenn die letzteren
beide reell sind.

Zugeordnete harmonische Pole und Polaren; zugeord-
nete Durchmesser und Achsenpunktwinkel; die

Brennpunkte.

§. 4.

Bezeichnet man jetzt in der Figur, welche den Betrachtung«* n
des vorigen f. zu Grunde lag, die Punkte, in welchen die Gerade
/^ von den Strahlen a, b^ c, ^...; «i« b^^ e^^ </«... der involuto-
riachen Strahlbüschel B, B^ geschnitten wird, durch a\ h\ c', b'...
a'9« ^'%y C'si b', ..., und die Strahlen, welche den Punkt p mit die-
nen Punkten verbinden, durch 0', b'^ c^, if...; o',, b\, c',, r/^, . . .,
ao sieht man zunächst, dass der Punkt a' zu dem Strahle o',, a\
%n a^f V zu ^, U.S. f. in derselben Beziehung stehe, als p zu /*,
daaa also die harmonischeu Pole aller Geraden, welche
durch einen Punkt p gehen, auf der harmonischen Po-

266

lare P dieses Punktes Jiegen, and umgekehrt; feroer er-
gibt sich jnittels B^ B^^ dass sowohl die Punkte a', Vy c'» b'...;
A'39 ^3% ('39 b't . . . eine Involution von Punkten, als auch die Strah-
len o', h\ dy ^..*; a'3, ^,, c',, «fa ... eine Involution von Strah-
len bilden.

Zwei Puakte o', ft',, wovon jeder auf der harmonischen Polare
des «nderen in Bezug auf einen Kegelschnitt liegt, heisseu zwei
zugeordnete harmonische Pole in Bezug auf diesen Kegel-
schnitt, und zwei Gerade a', iv',, wovon jede durch den harmoni-
schen Pol der anderen in Bezug auf einen Kegelschnitt geht, heis-
seu zwei zugeordnete harmQ.nische Polaren in Bezug auf
diesen Kegelschnitt. Ferner heissen drei Punkte /i, a', a^a^ deren
jeder der harmonische. Pol der Geraden ist, welche die beiden an-
deren verbindet, drei zugeordnete harmonische Pole, und
diese Geraden JP, a',,^ drei zugeordnete harmonische
Polaren.

1) Die sämmtlichen Paare
zugeordneter harmonischer
Polaren, in Bezug tfuf einen
Kej^elschnitt^ welche einem
beliebigen Punkte seiner
Bbene angehören, bilden
eine Involution von Strah-
len, deren Gebilde gleich-
liegend oder ungleichlie-
ffend sind, je nachdem dieser
Punkt innerhalb oder aus>-
serbalb des Kegelschnittes
liegt, und deren Hauptstrah-
len im letzteren Falle dre
beiden Tangenten sind j wel-
che von diesem Punkte aus-
gehen. Und... (wie rechts)

2) Zwei Seiten eines einem
Kegelschnitte eingeschrie-
benen Dreiecks schneiden
eine jede Gerade, deren har-
monischer Pol auf der drit-
ten Seite liegt, in zwei ziv
geordneten harmonischen
Polen.

1) Die sämmtlichen Paare
zugeordneter harmonischer
Pole, in Bezug auf einen
Kegelschnitt, weiche einer
beliebigen Geraden seiner
Ebene augehören, hildea
eine Involution von Punk-
ten, deren Gebilde gleich-
liegend oder ungleichlie-
gend sind, je nachdem diese
Gerade den Kegelscfhnitt in
keinem oder in zwei Punk-
ten schneidet^ und deren
Hauptpunkte im letzteren
Falle die Durchschnitts-
punkte dieser Geraden und
des Kegelschnittes sind.
Und... (wie links)

2) Zwei Ecken eines einem
Kegelschnitte umschriebe-
nen Dreiecks haben mit ei-
nem jeden Punkte, dessen
harmonische Polare durch
die dritte Ecke gebt, zwei
zugeordnete harmonische
Polaren gemein.

Nach §. 1. f ist das Rechteck om.aim unter den Abständen
zweier zugeordneter harmonischer Pole a, 0, vom Mittelpunkte m
der Involution, so wie das Prodnct tngiariv». tng.0,«i der Tangen-
ten der Winkel, welche zwei zugeordnete harmonische Polaren isr, a,
mit einer Achse m bilden, constant, und zwar jenes, wenn die be-
treffende Gerade den Kegelschnitt schneidet, dem Quadrate der hal-
ben auf ihr enthaltenen Sehne, dieses, wenn der betreffende Punkt
ausserhalb des Kesrelschnittes liegt, der zweiten Potenz der Tan*
gente des halben Winkels gleich, welche die von ihm ausgehenden

267

TaDfenteo eiDschlieBteii. Findet diese Lage aber nicht statt, so
kann offenbar statt der Sehne der eben so grosse Abstand derjenigen
iwei zugeordneten harmonischen Pole, welche gleich weit vom
JMittelpnnkte tn entfernt sind, und statt des Tangentenwiiikels der
eben so grosse Winkel eintreten, welchen die neiden gegen die
Acbse m gleicbg^neifften zugeordneten harmonischen Polaren ein-
schlieasen. Jener Anstand soll daher eine ideale Sehne, und
dieser Winkel ein idealer Tangenten winket des Kegelschnit-
te« heissen.

8) Das Prodoct der Tan-
genten der Winkel, welche
zwei beliebige zugeordnete
harmonisjche Polaren, für
einen bestimmten Punkt,
aiteiner Achse der Involu-
tion einschliessen, ist von
aBTerKnderliehem Werthe,
■nd zwar der zweiten Po-
tenz der Tangente des hal-
ben reellen oder idealen

leich,
;e

Tangentenwinkels gleich
welcher zu jenem Punkt«
gehört

3) DasRechteck unter den
Abständen zweier beliebi*
ger zugeordneter harmoni-
scher Pole, für eine be-
stimmte Gerade, vom Mit-
telpunkte der Involution
ist von unveränderlichem
Inhalt, und zwar dem Qua-
drate der halben reellen
oder idealen Sehne gleich,
welche zu dieser Geraden
gehört

Bndlich überzeugt man sich leicht, dass:

4) die spitzen Winkel,
welche die einzelnen Paare
einer Involution zugeord-
neter harmonischer Pola-
ren einschliessen, von 0®
bis 90** oder von der Grösse
dea idealen T'angentenwin-
kela bis 90® wachsen, je
nachdem der betreffende
Punkt ausserhalb oder in-
nerhalb dea Kegelschnittes
Jiegft,

4) die Abstände der ein-
zelnen Paare einer Involu-
tion zugeordneter hurmo-
nischor. Pole von einander
von Null bis ins Unendliche
oder von der Grösse der
idealen Sehne bis ins Un-
endliche wachsen, je nach-
dem die betreffende Gerade
den Kegelschnitt schneidet
oder nicht. '

Ganz ungesucht bieten sich nunmehr folgende Fragen dar:

1) Gibt es in der Ebene eines beliebigen Keffcl-
nchnittes zwei oder mehrere Involutionen zugeordne-
ter harmonischer Pole oder Poloren, welche bezüglich
den Mittelpunkt oder eine Acbse gemein habend

2) Welche Eigenschaften haben die einzelnen Paare
flerjeniffen Involution zugeordneter harmonischer Po-
laren oder Pole gemein, welche einem solchen Mittel-
punkte oder einer solchen Achse angehören]?

3^ Gibt es in der Ebene eines beliebig^en Kcgel-
«chnittes ungleichliegend involutorisch-gleiche Strahl-
bttschel, und involutorisch-gleiche Gerade, welche von
zugeordneten harmonischen Polaren oder Polen gebil-
det werden]^

268

4) Gibt es in derselben iDvolutionen der rechten
Winkel, deren Scbenkel ingeordnete harmoDisehe Po-
laren sind?

1) Denkt man sieb in der Ebene eines KeffeiscbDiUe« eine
Gerade in beliebiger Ricbtunff ins Unendliche hinaasg^rückt, so
sind alle Gerade, welche durch ihren harmonischen Pol geben ,
harmonischen Polaren von Punkten, welche in den Terschiedeue
Richtungen der Ebene unendlich -entfernt liegen, also niuB ein
jede derselben sämmtliche nach dem entsprechenden' unendlich- ent
fernten Punkte gerichteten pjEirallelen Geraden in den Mittejpunkte
der ihnen angehörigen Involutionen zugeordneter harmonischer Pol
und insbesondere zwei parallele Tangenten in den Berührnngs
punkten treifen. Demnach ist der harmonische Pol dieser unend

iich-entfernten Geraden Mittelpunkt sämmtlicher Involutionen sage-
ordneter harmonischer Pole, welche den unzähli^n durch ihn gehen«
den Geraden angeboren, und somit auch der Mittelpunkt süaust-
licber reellen oder idealen Sehnen des Kegelschnittes, welche as(
diesen Geraden liegen. Er wird deshalb der Mittelpunkt dei
Kegelschnittes genannt, und zwar besitzt jeder Kegelschnit
nur einen solchen Punkt, weil eine Involution von Punkten nicht
zwei Mittelpunkte enthalten kann, und daher gibt es in seinei
Ebene auch nur eine unendlich-entfernte Gerade.

Da die letztere mit der Hyperbel zwei, mit der Ellinsi
keinen und mit der Parabel nur einen Punkt, nämlich den d«
rührungspunkt, gemein hat, so liegt der Mittelpunkt der erstei
ausserhalb, der zweiten innerhalb, der dritten unendlich -ent-
fernt aut dem Umfange der Curve.

Jede reelle oder ideale Sehne eines Kegelschnittes, die durch^s— ^
meinen Mittelpunkt geht, heisst sowohl der Richtung als der Grdsi
nach ein Durchmesser desselben. Die Hyperbel hat also reeih
und ideale, die Ellipse und die Parabel nur reelle, und zwar dit
letztere lauter parallele Durchmesser. Je zwei zugeordnete barmo«
nische Polaren, welche durch den Mittelpunkt des Kegelschnitte«
gehen, heissen zwei zugcordn(*te Durchmesser^ die Achsel
der Involution dieser letzteren heissen die Achsen des Kegel<
Schnittes, und die Hauptstrahlen derselben die Asymptoten dei
Hyperbel. — Bei dieser ist jedem idealen Durchmesser ein reellei
zugeordnet, und umgekehrt. Bei der Ellipse kann man den Win<
kef, welchen die gegen jede Achse gleicboceneigten zugeordneten^ff~^
Durchmesser bilden, und welcher der kleinste unter allen ift« den^^E^^^
idealen Asymptotenwinkel nennen.

Betrachtet man irgend einen Punkt einer Achse des Kegel-'-— '
Schnittes als Mittelpunkt einer Involution zugeordneter harniooischerr:^ -'
Polaren, so läuft der der Achse zugeordnete Strahl mit der ande-
ren Achse des Kegelschnittes parallel, steht also auf der «erstereUi
senkrecht. Jede dieser beiden Achsen ist also die gentein-
scbaftliche Achse aller dieser Involutionen, und hat
analoge Eigenschaften als der Mittelpunkt des Kegel-
schnittes. Je zwei zugeordnete harmonische Pole, welche auf
einer Achse des Kegelschnittes liegen, sollen zwei zugeordnete
Achsenpunkte, und die reellen oder idealen Tangeatenwinkel,
deren Scheitel sie sind, zwei zuge-ordnete Achsenpunktwi n-
kel heissen. Von diesen Punkten und Winkeln ist, meines Wis-
sens, noch nirgends wo gehandelt worden. Endlich heissen die

269

Haoptpankte der-Ton den zugeordneteD Aehsenpnnkten gebildeten
Invointion oder, in ihrer Krmang^lung, die beiden vom Mittelpunkte
dea Kegelaehnittes gleich weit entfernten zugeordneten Achsen-
pankte die -Scheitel des Kegelschnittes. Die Hyperbel hat
Bwei reelle 'und zwei ideale, die Ellipse zwei Paar reelle, die Pa-
rabel zwei reelle aber einen unendlich -entfernten Scheitel.

2)' leb übergehe mehrere längst bekannte Sätze , welche fast
nur Wiederholungen der allgemeineren 1), 3) und 4) sein würden,
n« sofort einige metrische Relationen zu entwickeln, deren Inter-
esse besonders darin besteht, dass io ihnen das Princip der Duali-
tät sieb erhalt.

Es sei M der Mittelpunkt einer Ellipse oder Hyperbel, m ein
KoHer Seheitel derselben und A die Tangente in m, welche mit
4er anderen Achse parallel und daher auf mm senkrecht sein muss.
Es seien ar, <r, zwei beliebige zugeordnete Durchmesser, welche die
A id a, a, und zwei mit «r,, a parallele Linien, die durch m ge-
hen, in a, ic, schneiden. Dies vorausgesetzt, so sind sowohl a, a
als ai^ tti zwei zugeordnete harmonische Pole, indem s.B. die har-
monische Polare von a sowohl durch m als den harmonischen Pol
von a gehen, also mit a^ parallel sein mnss; folfflich sind die
Rechtecke MviMa^ M^L^.Ma^ den Quadraten der halben Dureli-
nesserlängen «r, ^a^ gleich. Nun ist aber

Max il/a = aa, :ma,
und

^Ai :^ai =aai :ma,
also

und nach dem pythagorischen $atze ist
also

WO die oberen Zeichen für die Ellipse, die unteren für die Hyper-
bel gelten, weit dort die Involution der zugeordneten Durchmesser
ffleiäliegende, hier ungleichlicgende Gebilde enthält, also dort die
Punkte a, Ol auf verschiedeneu, hier auf einerlei Seite von m lie-
gen müssen, und zwar gehört hier dem idealen Durchmesser der
grössere ma, von beiden Abschnitten ma, mai an.

Aber m ist der Mittelpunkt einer Involution von Punkten, welche
auf A durch den zugeordneten Durchmesser bestimmt werden; also
ist das Rechteck ma.ma,, folglich auch die Summe oder Differenz
Jlfa . Ma zb Mql 1 . Ma^ constant.

Zn demselben Resultate gelangt man auch auf folgende Weise:
Es seien 0^ O^ die Endpunkte eines beliebigen reellen Durch-

270

I» oiy Oll üe EndponlUe einer reelleD Achte, durch O sei
eiae TaagCDte gelegt, welche diese Achse io ai schneide, nnd von
O eine Senkrechte Oa mai die Achse sefallt deren Pnsspnnkt a sei;
ansserdea seien die Geraden 0ni, Alti, O^m nnd durch JH eine
Parallele mit Oa^f d. h. der dem 00^ angeordnete Dnrchinesser
gesogen, welcher Ton Om in c, von O^m in d, ¥on Äll| in b
geschnitten werde. Endlich werde die andere Achse ¥on Om in 6,
von Omt in 6| geschnitten.

Da die Seite 00^ des Dreiecks OO^m durch den hanumiachen
Pol der Geraden Jfc, and die Seite mnii des Dreiecks Omtüi durch
den harmonischen Pol der Geraden 3ib g^ht, so sind (nach 2) links)
sowohl C, Ci als 6, b| sng. haroi. Pole, also das Rechteck Jft . MCi
de« Qaadrale des halhen Dnrchniessers, der dem 00 ^ sugeordne
ist, und das Rechteck Bib.Mb^ dem Quadrate der halben anderen
Achse gleich. Es sei diese halbe Achse =iff, so wie Jfai = JftUi
= ^; lerner MO=zA^^ Jfc JfCi =Ä,*.

Der Punkt a, ist der harmonische Pol der Senkrechten l^o,
also Jfu.iVOi =4ftn'=ui*; und aus den Proportionen

Mb : ^ttt = iftUt : aitUi ;

ergeht sich

jm.Mc oderMc.MCi = B,* =

tfim «ttinii

Oa : JUbi = onii : Mm^ ;
Oa:Mb:=zcm:MiBa

^» —

' ^ • um • unii<

Aber

Oa,* = Oa* + aa^* und i^ö» = ^,*= öa»-Mfti*;

«m • am, = (^ — Ufa) (ui -f- J/a)
=.i» — ü/a» = Ufa . Ma, —Ma*
= ilfa.aai.

Demnach ist

a,m.a,m,=(ifai— ^)(Jfai-|-udf]^
=ilfa, »-.i» =ilfa, »— Jfa. Jfa, .»:
=ilfai .aa,.

^ « = ^ . «m . am, -4- Äa» = J?» . ^i^ -I- Äii»

A^ Jna*Jnai

B*.aa,'^Ma*.Mai R*.aaj

Ma,

Ma^

.Ma

^ , A*.0a*-h'4*»aai* g*.am-ami -f-^*«aai*

* aini*aini, aim.ainii

R*.Ma+d*.aai

also

ivat

/

271

iudtm hfl ilerfilUpie» wo t •wiacheii Jü and A, fiUlt, die oberen, bei
der HyperM ^o tti swiscben M and a faUt; die Unteren Zeichen
zu nenmen sind.

Gehen wir jetzt zur Figur des ersten Beweises zurück, so ist

' * * aai* aai"'

weil dort

. » Ufa. Jfadrüfai .üf«, Ä^i*dbÄ,* = ^^±ma.ma,

war; also ist
^. . Af ==: ^a . Ma^ . — , oder jii , Ä, : Ma . J*li = -Ä : aa^.

Ist aber P der Inhalt des Parallelogramms, welcheii durch die End-
punkte zweier reellen oder ideiflilen zugeordneten Durchmesser be-
stimmt wird, so verhält sich:

P:A3fMi=^i »i^iiMa-Müt^ also, da Maai=iMm.aai ist,
P:2J.aa, = ü:aa,, folglich P=2J.B.

Nennen wir m den von ^j» i^, eingeschlossenen Winkel, so
ist P='ZJ^.Ü^. sin a = 2J.B, also (ji, + B^)* =ji* + B*

'^^JB ^ I, fyr die Ellipse ist A^ + /^., und für die Ellipse
sina ^ ...

und Hjperbel ist ^^ . B^ ein Maximum oder Minimum, je nachdem
a ein Minimum oder Maximum ist; und da für erstere

fiir die letztere

80 ist für beide A^--B^ ein Maximum oder Minimum, je nachdem
A^ +i^i ein Minimum oder Maximum ist.

Seien andererseits a^ Oj zwei beliebige zugeordn. Achse n-
punkte^ welche «r) entweder einer von zwei reellen, oder ^) einer
idealen Achse angehören; durch tti, den äusseren Punkt in beiden
Fällen, seien zwei Tangenten gezogen, und ausserdem die beiden
Tangenten in den Scheiteln m,. nti der anderen Achse, deren eine
von jenen beiden in n, q» die andere in n,> %x geschnitten werde.
Die Tangente ntii berühre den Kegelschnitt in r und schneide die
andere Achse in f. Man ziehe noch die Geraden n<ti^ »iq,, ra,
welche auf Otti senkrecht stehen «nd dieselbe in 6« 6^9 <t- schneiden.

Da. die harmonische Polare .des Punktes a durch die Ecke a^
des dem Kegelschnitte umschriebenen Dreiecks aitiq geht, so sind
(nach 2) rechts) die Geraden an, aq zwei zugeordnete harmonische
Polaren. Ist also Winkel naib = a, und tng . na6 . tng . qabi =
tng'.a/so sind dk, <x^ die Hälften zweier zugeordneten Achsen-
punktwinkel.

Da dio Punkte f> n, tj ni harmonisch sind, so. sind es auch.

272

die Punkte M (4er Mittelpniikt des Kegeltclmitte)/ 6^ A» ft«; aVet
0,6 = 0,6.» also auch Oi^f. aia = a,6*=ra,6|'.' Demnack ist

^ , n6* Mm* A^

° a,6» axM.aa^ aiüf.aai'

1

* a6 ' a6, ob. ab,'

aber

06.06, =(0,6— aax)(tt,6,-f-äfl,) = tt,6»— oa,»=:a,ilf*ttai— oa,'

also

tn^ia = ^^— nnd tög»a±tnff»a, = — • ^'^'^'^i^.

° oif.tta, ^ ^ * oa, aiJU.aM

im Fall einer idealen Ach^e ist o,il^+ A^=aa, » and im Fall
zweier reellen ist o,il# — oilf=aai; und da i/o . iVOi = dem ttai-

drate dieser halben Achse = i7*, so ist fng'a=i=tng*a, ^"^^
Ferner ist

also

j4^ ji9 ji% Ai

tng'a . tng»aj = -^^^ — . — ^ = t k^

^ * * aülf.oa, Oiif.o^, Ä'.ao,*'

tng«.tng«, = -^

Endlich im Falle b)^ wenn 0, a, auf dec reellen Achse einer
Hyperbel liegen, seien m, ttl, die Scheitel dieser Achse, Ay Jf,
die Tangente^ in ttl, ttt,, und von dem äusseren Punkte o seien
zi^ei Tangedten gezogen, welche den Kegelschnitt in r, 6 beröh-
ren und die A, Jt^ in n, q; n,, 0, schneiden. Zieht man jetzt
die Geraden a^ti^ ai<t, so müssen aieselben (nach 2) rechts) zog.
harmonische Polaren sein, und eben deshalb muss a,tt durch q^
und o,q durch n, gehen. Die Winkel naq = 2a und naiq = 2a,
sind zugeordnete Achsenpunktwinkel und man hat

^ am am, ^ ' Oim a,m,

Aber

om . aiti, = (Mxa — ma)(ü/m + Ma) = ^» — üfo*

=^0 .Ma^—- Ma* = 3fa . aai,
a,tti.a,ttii = (i/a, — iftti)(il#a, + Mm) = Mai* — A*

=:Äfai* ^Ma. ^«1 =-ÄfOi .aa|.
Also ist

Die Tangenten A^ A^ werden von allen übrigen projektivisch ge-

273

8choitteD, und ihr Durcbschnitr, dem die wechselseitigen Beriihrnngs-
punkte entsprechen, ist hier unendlich entfernt; also sind m> tili
ihre Durchschnitte der Parallelstrahlen, und es ist folglich das
Rechteck 'nm.n,mi constant (Einleit. 11, 6), Das nämliche gilt
also auch von der Differenz tng'a — tng'a,, und da, wenn a mit
M snsammenfallt und zur idealen Achse gerechnet wird, die Tan-

g^Ate des Complementes von a=:-^, also tnga=c--|-, weila|=Oy

so ist nitt.tiiltt, oder das Quadrat des halben Segmentes, das die
Asymptoten auf jeder Scheiteltangente abschneiden, =z ü* y und

tng»a — tng'a, = — .

Im Falle der Parabel ist am=:aim, also tnga = tnga,.

5. in jeder Ellipse ist die
Sumi&c der Quadrate zweier
beliebigen zugeordneten
Durchmeäser der Summe der
Quadrate beider Achsen,
und in jeder , Hyperbel ist
der Unterschied der Qua-
drate eines beliebigen reel-
len und des ihm zugeordne-
ten idealen Durchmessers
dem Unterschiede der Qua-
drate der reellen und der
idealen Achse gleich.

6. in jeder Ellipse oder
Hyperbel verhalten sichdie
ftecbtecke unter je zwei zu-
geordneteii Durchmessern
umgekehrt wie die Sinus
der von ihnen eingeschlos-
senen Winkel.

7. 1

5. In jedem Kegelschnitte
ist die Summe oder Diffe-
renz der zweiten Potenzen
der Tangenten zweier zu-
geordneten halben Acbsen-
punktwinkel der zweiten
Potenz der Tangente des
entsprechenden reellen oder
Asymptotenwinkels gleich,
und zwar die Summe, wenn
die Acbsenpunkte einer
idealen Achse^ die Diffe-
renz, wenn sie einer reel-
len Achse angehören, und
es ist in diesem letzteren
Falle bei der Ellipse der
ideale, bei der Hyperbel
der reelle Achsenpunktwin-
kel der grössere von beiden.

6. J n jedem Kegelschnitte
verhalten sich die Producte
der Tangenten je zweier
zugeordneten halben Ach-
senpunktwinkel umgekehrt
wie die Abstände ihrerSch ei«
tel von einander.

in jeder Ellipse oder Hyperbel sind alle durch die
Endpunkte oder Richtungen der zugeordneten Durch-
messer bestimmten eingeschriebenen oder umschriebe-
nen Parallelogramme einander und den durch die Achsen
bestimmten Parallelogrammen gleich.

8. In jeder Ellipse ist die
Summe zweier zugeordne-
ter Durchmesser umso grös-
ser, und ihr Unterschied um'
so kleiner, je kleiner der
Winkel ist, den sie ein-

B«Bd IV.

8. Die Summe zweier zu-
geordneten Achsenpunkt-
winkel, deren Scheitel auf
der idealen Achse einer Hy-
perbel lieg'en, ist um so
grösser, und ihr Unter-

18

■ chliestea; daher bil4c8 4ic
idealeo Asjnploce« die

■ ckicd ■« ■• kleiaer, je
kleiner der Afefttaad ihrer

ciaaB^er ist;

l^röstte Saane aad tisd eift-iSckeirel tob c
ander g'leicli, aod die bei-[daher bilden diejeai^CB.d
den Achsen bilden die klein- ren Scheitel die ideale
Ute Saniroe, nnd die eine ist Scbeitel des Ke^elscknit —
der grösste, di*t andere der tes sind, die grös^re Saiini^
kleinste aller Durchmesser, und sind einander gleich

jnod der eatsprcckead»
p4s¥aiptotenwiniLels valcke:
[der grösste nnter allen ist
bildet mit dem ihmzngeor
• neten Achsenpvaktvinkel
welcher gleich \nll ist» di
: kleinste Samme.

3) Gehen wir noch einmal znr Figur des ersten Bevcisca
vorigen Sätze (links) zaräck; doch sei jetzt Mm ein Dorcbmo
dessen zugeordneter den Nebenwinkel von aa^ hälftet. aa ist

zzzMai nnd ^Va, =ma==aa, also

^e

^1

Ma. UfaztzJlfag ».Ma^ = Ma . Mazi: Ma . aa:=: MalMadtzaa)

Wiederholt man diese Betrachtung in Ansehung der fikriger
drei, von a, a^ gebildeten Winkel, so erhält man ein dem Kegc10^
schnitte umschriebenes Rechteck^ dessen Diagonalen die constaat»'^
Grösse 2Afa haben ; also darf man scbliessen :

9. Die Scheitel aller rechten Winkel, welche eine
Ellipse oder Hyperbel umschrieben sind, liegen aaf de
Umfange eines mit dem Kegelschnitte concentrischeiv'
■Kreises, und je zwei Sehnen dieses Kreises, welch»
durch die Schenkel dieser rechten Winkel bestimm
werden, haben die Länge zweier zugeordneten Dorch-
messer der Ellipse.

Da nun zwei involutorische Strahlbüschel ungleichliegead ia-i
volutorisch • gleich sind, wenn ihre Hauptstrahlen rechte Winkes
bilden, und da zwei involutorische Gerade involuteriscb-gleick aia
wenn einer ihrer Hauptpunkte unendlich - entfernt ist, so folgt:

-1

10. In der Ebene einer je-
den Ellipse oder Hyperbel
liegen die Mittelpunkte al-
ler nngleichliegend involu-
torisch-gleichen Strahlbü-
schel, welche von zugeord-
neten harmonischen Pola-
ren gebildet werden, auf
dem Umfange eines mit dem
Kegelschnitte concentri-
sehen Kreises^ dessen Durch-
messer die Diagonale des
von den Achsen gebildeten
Rechtecks ist»

10. Die Ellipse beaitst iw
ihrer ganzen Bbene kein»
Gerade, deren xogeordnet»
harmonische Pole InTolatar
risch-gleiche Gerade bil
den; dagegen kat in de:
Ebene der Hyperbel jede mi
den Asymptoten parallel*
Gerade, und in der Eben
der Parabel jeder Dnrek
messer diese EigeBachaft.

i

275

Bei der gleichseitigen Hyperbel, welche rechtwinklige Aiym-
ptoten hat, schwindet der Kreis (links) in den Mittelpunkt der
Curve susammen, und bei der Parabel, wie aus dem Folgenden
herForgehen wird, artet er in eine Gerade aus.

, 4) Wenn es einen Funkt Zugibt, dessen Strahlen, ols zuge-
ordnete harmonische Polaren in Bezug auf einen Kegelschnitt, eine
Involution der rechten Winkel bilden, so muss derselbe, du eine
solche Involution gleichlicgende Gebilde enthält, innerhalb des
Kegelschnittes liegen; und er muss zu einer Achse gehören , weil
■onot eine mit der Achse parallele Gerade auf der ihr zugeordneten
harmonischen Polare nicht senkrecht stehen könnte.

a) Man denke sich von dem fraglichen Punkte F nach den
Berttbrnngspunkten zweier beliebigen Tangenten die Stralcn ;;, q,
Bach dem Darchschnitte beider Tangenten den Strahl a und aus-
serdem die dem a zugeordnete, aut ihm senkrechte harmonische
Polare aj gezogen , so geht die Berührungssehne dieser Tangen-
ten, als harmonische Polare eines auf a liegenden Punktes^ durch
den auf aj liegenden harmonischen Pol von iv, schneidet also die
vier Strahlen a, ;/, a,, q in vier harmonischen Punkten, und da
nun diese Strahlen selber harmonisch sind und a zu a, rechtwinklig
ist, ao hälft en die Strahlen a, a^ die von py g eingeschlos-
senen WinkeLund Nebenwinkel.

A) El seien sofort ^, Jt^ zwei feste , und Jt^ eine beliebige
dritte Tangente, aus F seien nach ihren Berührungspunkten die
Strahlen //, ^, r, und nach den Durchschnitten von 3^ mit A^ A^
die Strahlen a^ a, gezogen, so ist

iS. flr;i = aj. ar
9B. iar,^=SB. a.r; also

SB. fl/idz®. a,y=SB. arrdbaB. a,r = gB. «a,,

Wo die oberen oder unteren Zeichen zu nehmen sind, je nachdem
^ xwischen oder ausserhalb p. q liegt. Es ist aber SB. ;^^ =
^. ««i+S}. ir;;=l=SS. ar,^=2 SS. aa^\ also ist SS. aa^^ von
Unveränderlicher Gröss>e.

■

c) Insbesondere seien jetzt A^ A^ die Tangenten in den Schei-
teln einer reellen Achse, welche den Punkt /^enthalten würde —
flenn auf einer idealen, deren sämmtliche Punkte ausserhalb des
Keg;elBchnitte8 liegen, kann F nicht sein — so ist jetzt der so eben
mit pq bezeichnete Winkel =2/1, also der Winkel aa^ für eine
beliebige dritte Tangente A^ = /l. Beschreibt man also über dem
von ja^A^ interceptirten Segmente der A^, als Durchmesser, einen
Kreii, lo schneidet er, wo möglich, die Achse in zwei Pupkten,
dereo jeder ein solcher Punkt /^ist.

In der That, da die harmonische Polare des Punktes F nach
dem- anendlich entfernten Durchschnitte von A^ A^ gehen muss,
-welche mit A^ ein dem Kegelschnitte umschriebenes Dreieck bilden,
■o sind die rechtwinkligen Strahlen a^ a^^ welche F mit den bei-
den anderen Ecken dieses Dreiecks verbinden, zugeordnete harmo-
nische Polaren; und da bereits die Achse und der in F auf ihr
senkrechte Strahl ein anderes Paar dieser Art bilden, so müssen
(nach f . 2, r.) alle Paare zugeordneter harmonischer Polaren,

lOtt

276

-welche darcb dieien lo beitiBBten Ponkt P geben, zu e»«i4er
recbtwiokrig lein.

Sind tn, nii die BeriibniDgspaDkte tod A^ A^ und a, a^ ibtt
Darcbfcbnitte Bit A^^ lo sind die Dreiecke /\Ba nnd Fm^^^ ibi-

licb, also />n:roa=:m,a, :jFmi nod /\n./\ni =ina.inai, aber

ma.ma, ist coostant und dem Quadrate der balben anderen Acbie
ffleicb, also findet man auch die beiden Punkte /*, /*, , wenn ma
bei der Ellipse die eine Achse selber, bei der Hyperbel deren Ter
läfigerungen so tbeilt, dass jene Bedinguns^ erfüllt wird. Zugleich
folgt hieraus, dass nur die grosse Achse der KIlipse solche P«nkte
F, F, enlhält.

Für die Parabel findet man den Punkt F^ indem man, weis
A die vorhandene Scheiteltangente ist, in a auf A^ eine Senkreckte
errichtet, welche die Achse in F schneidet. Denn die dieser Sesk-
rechten zugeordnete harmonische Polare fär F ist ibit A^ parallel
u. s. w.

d) Noch eiofacher und ^ic^kt überzeugt man sich fou der
Exislenz des Punktes F mittels des ihm zugeordneten Achsenpuak-

tes. Denn setzt man in der Relatioo tng'c( — tng'a, =-^ den Win«
kel a für die Ellipse und a, für die Hyperbel =^i2,.80 ist bezug-
lich tang'a, = ^ und tng*a = ^ — , und für die Para-
bel a = a| ^^jR, Also ist der Punkt F allemal auf einer reellen
Achse vorhanden, welche grösser als die andere ist; und man er-
hält hiermit zugleich eine neue^Construction von F, welche darauf
hinausläuft, an den Kegelschnitt eine Tangente von gegebener
Richtung zu legen.

Jeder Punkt in derEbene eines Kegelschnittes, des-
sen sämmtliche Paare zugeordneter harmonischer Pola-
ren zu einander rechtwinklig sind, heisst ein Brenn-
runkt des Kegelschnittes, jeder Strahl desselben eine Zug-
in ie und jeder Winkel, dessen Scheitel er ist und dessen Schen-
kel nach den Durchschnitten zweier Tangenten A^ A^ mit einer
beliebigen dritten gehen, der zu ^, ^, gehörige Zugwinkel die-
ses Brennpunktes.

11. Ein jeder Kegelschnitt hat zwei Brennpunkte,
welche hei der Ellipse auf der grossen Achse^ und bei
der Hyperbel auf den Verlängerungen der reellen Achse
liegen und dieselbe in je zwei Segmente theil«n, deren
Rechteck dem Quadrate der halben kleinen oder idealen
Achse gleich ist. . ^

12. GebeO von einem Brennpunkte nach den Berüh-
rungspunkten irgend zweier Tangenten zwei Strahlen,
so wird der von ihnen eingeschlossene Winkel durch
den nach dem Durchschnitte der Tangenten gehenden
Strahl gehälftet.

13. Der zu zwei festen Tancrenten gehörige Zugwin-
kel ist von unveränderlicher Grösse und zwar dem hal-
ben Winkel gleich, welchen die nach den Berührungs-
punkten gehenden Zufflinien einschliessen.

14. Der zu zwei Tangenten gehörige Zugwinkel,
deren Beriihrungssehne eine Znglinie ist oder* deren

277

Dnrebschnitt auf der harmonischeo Polare, dei Brenn»
pnnktei liefft, ist ein rechter.

Geht im Falle der Parabeh die veränderliche Tangente ^, in

die nnendlich entfernte Tangente über, so werden die Zuglinien

J^a, jPaj den Tangenten A^ A^ parallel, so dass 93. a/\i, dem

Yon At A^ gebildeten und zwar von der Parabel abgewendeten

"Winkel gleich wird:

15. Die Durchschnittspunkte dreier beliebiger Tan-

Senten einer Parabel liegen auf dem Umfange eines
reises, welcher durch den Brennpunkt geht.

Ist S der Durchschnitt der Tangenten A^ A^ einer Parabel,
to ist kraft des vorigen Satzes auch noch ®. aa|/^=9ß. CiSF\
variirt man also die Tangenten'^ und A^^ so folgt:

16. Die Fusspunkte aller Zuglinien, welche mit den
verschiedenen Tangenten einer Parabel einerlei Win-
kel bilden, liefen auf einer imd derselben Tangente»
und xwar auf der Tangente im Scheitel, wenn dieser
Winkel ein rechter ist.

Es sei« jetzt m der Berührungspunkt einer beliebigen Tangente
eines Kegelschnittes, und a, b seien die Durchschnitte derselben mit
der grossen oder reellen Achse^ welche die heiden Brennpunkte
Fy Fl enthält, und mit der Tangente in dem einen ihrer Scneitel;
■an ziehe die Zuglinien Fm^ Fb, F^m, /^,b; so ist (nach 12)
sowohl SB. mFb = ^. aFby als SS. nii^,6 = SB. ai^,b, also hat
man nach einem bekannten Elementarsatze die Proportionen:

Fm:Fa = bmiba\ F^m:F^a=bm:ba,

folglich ist /\n:/^a = /^ini:/^ia, woraus durch Umkehrung des
redachten Satzes sich ergiebt, dass der SB. FmF^ bei der Hyper-
bel, und sein Nebenwinkel bei der Kllipse durch die Tangente in
m gehälftet wird.

17. Gehen nach einem Punkte auf dem Umfange eines
Kegelschnittes von beiden Brennpunkten desselben zwei
Zuglinien, so wird der von ihnen eingeschlossene Win-
kel oder Nebenwinkel durch die Tangente in jenem
Punkte gehälftet.

Sind m« n die Berührungspunkte zweier beliebigen Tangenten
eines Kegelschnittes und r ihr Durchschnitt, und zieht man die
Znglinien jRn, Fn^ FXy /^,m, i^,n, F,r, und sind ö, «, zwei be-
liebige Punkte auf den Verlängerungen von ttn> cn, so hat man
folgende Winkelbeziehungen:

mFx = «m/* — fivF
m/", r = sm/", — ^rF, ; also
a) für die Ellipse:

mFv -h mF^ t = {mF -h mF^) -^ {^tF+ «rF, )
und eben so

Aber nach 17. ist«

«m/^-h «m/*, = 2Ä = 6,nF-h «,n-F,,

278

und zugleich ist

n/'r + nF,r == 2/J — (/'r/', + 2 . ^,rFi). ,
ö) Für die Hyperbel ist

m Fr — mF, r = (<m F — <mF, ) — («r/*— ^rF', ),
nFV — nF,r = («,nF— «.nF',) — («.rF^— ^.rF",);
aber

ßmF'rzr^mF'^, ^.nFs^.nF',

and

ivF^ itF, = FVF't — 2 . ^rF",
«iCF— <irFj=FVF', — 2-.6,rF,; also hat oiaB.

mFt — mFit = F'rF", — 2 . f^vF.
nF'r — nF,r = FrF"j— a.^.rF',.

c) Eodlicb ist (nach 12) für die Eilipse^

mFr = nF>, mF4r = nF',r;

und für die Hyperbel

mF'r = 2/1 — nFr, mF,r = 2/l — nF'.r;

also zuDächst für beide

^rF'=^,rF,

und deshalb für die Ellipse

mFv -h mF', r = JmFh + imF^ n = 2Ä — - mrn,

für die Hyperbel

mFr — mF,r = ^mFn — ^mF^n = nirn.

18. Die Zuglinien, welche den Durchschnitt zweier
.Tangenten mit den beiden Brennpunkten verbinden, bil-
den mit diesen Tangenten gleiche Winke-1.

19. In der Ellipse oder Hyperbel ist bezüglich die
Summe oder Differenz, der zu zwei festen Tungentea
gehörigen Zugwinkel beider Brennpunkte dem einen
von diesen Tangenten eingeschlossenen Winkel gleich.

Ich srhiiesse diesen §. mit der Entwickelung einiger Eigen-
schaften der Brennpunkte, voa denen die sogenannte Geometrie der
Grösse oft die übrigen Ei^euschuften der Kegelschnitte überhaupt
herleitet, und um derentwillen, wie es scheint, Herr Poncelet zur*
Theorie der doppelten Berührung seine Zuflucht nimmt.

Eine beliebige Tangente berühre einen Kegelschnitt in q und
schneide eine HaUpt-ScIieiteltangente in a; von a sei auf die Zug-
linie F\| oder F^iq eine Senkrechte onti gefällt, deren Fussptinkt

279

niij und es sei in der Scheitel des Kegelschnittes, von dem gere-
det wird : so ist (nach 12) n

also , .

20. Zieht man vooeinem beliebigen Punkte der Tan-
gente im Scheitel der groasen oder reellen Achse eines
Kefferschnittes die zweite Tauffente an denselben, und
fallt auf dieZuglinie, welche den Berührungspunkt der
letzteren mit einem Brennpunkte verbindet^ von jenem
Punkte eine Senkrechte, so liegen die Fusspunkte al»
ler dieser Senkrechten auf dem Umfange eines Kreises,
der jenen Brennpunkt zum Mittelpunkt und die Entfer-
nung desselben von jenem Scheitel zum Halbmesser hat,
ond zwar gibt es vier solche^ paarweise concentrische
Kreise.

Aehnliche Sätze galten unter Modificationen von den beiden
anderen Scheiteltangenten, ja von vier beliebigen festen Tangenten.

Es werde in der vorigen Figur die Tangente a^ von der har-
monischen Polare des Brennpunktes /^ in Z geschnitten; von q, a
seien auf dieselbe PolBl*e die Senkrechten q^, üa gefällt, deren
Fusspunkte ^, a sind, und Z mit F verbunden, so verhält sich

q^ : 0« = Zq : Za =;: -Fq : Fnij,

indem /\) und /!Z zugeordnete harmonische Polaren, also recht-
winklig zu einander sind; und da i)iun ^^:Fc^ = aa:Fm^^ aber
Oa und Fttii coDstant sind, so ist aucli das Verhältniss ^^iF^ für
alle Punkte, q coostant. Bei der Parabel ist aa = /^m, also q^ =
/*q, und im allgemeinen Falle,- wenn n der Gegenscbcitel von m,
uod wenn f der zugeordnete Achsenpunkt von jr ist, hat man:

aa : Fm = f m : Fm = f n : /'n = f n •— f m : -Fn — Fm = mn : FF^ ,

d.h. dem Verhältniss der grossen oder reellen Acbse zur Excen-
tricität gleich.

21. D^as Verhältniss der.Abstände eines beliebigen
Punktes auf dem Umfange eines Kegelschnittes von ei-
nem seiner Brennpunkte und von dej* harmonischen Po-
lare 'des letzteren ist constant, und zwar im Falle der
Ellipse und Hyperbel dem der Excentricität zur grossen
oder reellen Achse, und im Falle der Parabel dem der
Einheit gleich.

Verlängert man die mit tnn Parallele q/ über q hinaus, bis sie
die harmonische Polare des zweiten Brennpunktes F^^ in ^^ schnei-
det, und ist f, der zugeordnete Achsenpunkt von i^,, iüf der Mit-
telpunkt des Kegelschnittes, so ist für die Ellipse

qy -h qy i = T^'i = ff 1 = 2^f»
und für die Hyperbel

W — Wi = Wi = ff 1 = 2^f»

280

und for beide

also aoch für die erstere

/'q-hF,q:^q-f-y.q = Fq + /',q:2ilff = /'F, .-itin,
und fiir die letztere

/'q — /"^q : yq — ^,q :;= Fq — /".q : 2^= /^F» : ran.

Aber es ist Mm^ = MF,Mf^ also Mm:Mf=JliF: Mm oder mn:
= /lP, :mn. Folglich ist bezüglich i^q zfc /^j q = mn.

22. In jeder Ellipse ist die 8nmme und in jeder H
perbel ist der Unterschied der Abstände der beid
Brennpunkte von einem beliebigen Punkte des Umfa
ges bezüglich der grossen oder der reellen Achse g^lei

Dieser Satz ergiebt sich übrigens sehr leicht auch aas d
17ten Satze.

Verlängert man /^,q über q hinaus und fällt von F auf cB. le
Tangente io q eine Senkrechte, welche sie in a und die iP,q \tm f
schneidet, so ist ®. /"qa = SB. fqa (17), also /\i = fa, und da au «b
MF -=2 MF y^ so ist die Gerade il/a parallel F^\^ also FF^ xF^Ji
= /',f:il!/a=:2:l, und da /",( = F,q zfzFq = mn, so ist /PIfa

= illin.

23. Die Fusspunkte aller Senkrechten, welche a ^s
den Brennpunkten auf die Tangenten jeiner Ellipse od er
Hyperbel gefällt werden, liegen auf dem Umfange ein. es
Kreises, dessen Durchmesser die grosse oder ree^Hl^
Achse des Kegelschnittes ist.

(Wird fortgesetzt.)

i

281

Jeher die Transformation der Figuren in an-
dere derselben Gattung.

VOD ^

Herrn Professor C T. Anger

zu Dajizig.

Die ftllgemeintte Lögnng des. Problems: Fig^ureD in andere der-
Iben Gattung za transformiren , wird, wie es scheint, durch die
trspective, und zwar, wo es sich um die Transformation körper-
ber Gebilde haikdelt, durch die Basrelief - Perspective geboten,

-wir werden uns sogar überzeugen, dass diese ^ auf gewisse
eise specialisirt, auch geeignet ist, für ebene Figuren eine all-
imeine Transformation darzubieten. Wir beginnen mit einer hier-
r gehörigen Aufgabe, welche Newton im ersten Buche der Prin-
pia, Lemma XXH, vorträgt, von der sich zeigen lässt, dass sie
D besonderer Fall der Perspective ist« Da eine genaue Einsicht

da« Wesen der Newtonschen Methode wünschenswerth ist, so
VL^ eine Debersetzung jener Auflösung der folgenden Betrachtung
er vorangehen.

Figuren in andere Figuren derselben Gattung

umzuwandeln.

EU sei (Taf. V. Fig. 1.) irgend eine Figur HOI umzuwandeln,
[an ziehe beliebig die beiden parallelen Geraden ^^, BLt^ welche
vend eine dritte, ihrer Lage nach gegebene JIB in Jl und B
äneiden, und von irgend einem Punkte O der Figur nach der
ieraden jiB eine Gerade OD parallel mit O^i. Ferner ziehe
lan von einem beliebigen in der Linie Oui gegebenen Punkte 0
ach dem Punkte JD die Gerade ODy welche die BL \tk d trifft,
od vom Durchschnittspunkte die Gerade dar^ welche einen belie-
igen gegebenen Winkel mit der Geraden BL bildet, und ^ Od
asselbe Veibältniss hat, wie DO zu 0D\ dann wird g in der
euen Figur bati ein Punkt sein, welcher dem Punkte O entspricht,
^uf dieselbe Weise werden die einzelnen Punkte der ersten Figur
ben so viele Punkte der neuen Figur geben. Nimmt man daher
,D, dass der Punkt O mit stetiger Bewegung alle Punkte der er-
ten Figur durchlaufe , so wird der Punkt g mit ebenfalls stetiger
Bewegung alle Punkte der neuen Figur durchlaufen, und dieselbe
eachreiben. Der Unterscheidung wegen heisse DO die erste und
^g die neue Ordinate; AD die erste und ad die neue AbiciMe;

282

0 der Pol, OD der Schneidestrahl (radius abscindeDs), OA der
erste Ordinatenstrahl und Oa (durch welche das Parallelogramm
,OAßa vollendet wird) der neue Ordinaten strahl.

Ich behaupte nun, dass wenn den Punkt O eine ihrer Lage
nach gegebene Gerade trifft, auch der Punkt ff* durch eine ihrer
Lage nach gegebene Gerade getroffen wird. Wenn der Punkt 0
durch einen Kegelschnitt getroffen wird, so findet dasselbe auch ia
Punkte g Statt. Der Kreis wird hier den Kegelschnitten zugezählt
Wenn ferner den Punkt O eine* Linie der dritten Ordnung trifft,
so ist dasselbe auch im Punkte g der Fall, und eben so bei den
Linien der höhern Ordnungen. Die beiden Linien, welche die
Punkte G und g treffen, werden immer von einer und derselbea
Ordnung sein. Wie sich nämlich ad %\l ^^ verhält, so verhält
sich Od zu OD^ dg zu DO und AB zu AD\ demnach ist AD

gleich ^^^^ und J>G gleich ^^^^. Wenn nun den Punkt 0

eine Geradel trifft, und daher in irgend einer Gleichung, welche
die Relation zwischen der Abscisse ^/> und der Ordinate /^€r aus-
Üriickt, jene Unbestimmten AD und DG nur bis zu einer Dimension

OA X AH

aufsteigen, so wird, indem man in dieser Gleichung — ^ — ffir

AD und — ^y^ für DG schreibt, eine neue Gleichung entsteheUi

in welcher die neue Abicisse ad und die neue Ordinate dg nur
eine Dimension erreichen, also eihe Gleichung, welche eine gerade
Linie ausdrückt Wenn aber ADuii^DG (oder eine von beiden)
in der eisten Gleichung auf die zweite Dimension steigen, so wer-
den auch ad und dg in der neuen Gleichung dieselbe Dimensien
erreichen. Dasselbe gilt von drei und mehrern Dimensionen. Die
Unbestimmten ad und dg in der zweiten Gleichung, und AD und
DG in der ersten, erreichen immer dieselbe Anzahl von Dimen-
sionen^ weshalb auch die Linien ^ welche durch die Punkte O und
g gehen, von einer und derselben Ordnung sind.

Ich behaupte ferner, dass wenn irgend eine Gerade die krumme
Linie in der ersten Figur berührt, diese Gerade, auf dieselbe Weise
mit der krummen Linie in die neue Figur übertragen, jene krumme
Linie in der neuen Figur berühren wird, und umgekehrt. -Wenn
nämlich zwei Punkte einer krummen Linie sich gegeilseitig nähern^
und in der ersten Figur mit einander zusammenfaßen , so werden
auch dieselben Punkte, wenn sie übertragen sind, sich einander
nähern, und in der neuen Figur zusammenfallen, weshalb «lenn
auch die Geraden, welche diese Punkte verbinden, zugleich Tan-
genten der krummen Linien in beiden Pigureu sein werden. Bt
Hessen sich für diese Behauptungen auch Beweise mehr nach geo-
metrischer Art geben, ich will mich aber kurz ausdrücken.

Wenn also eine geradlinige Figur in eine andere updzuwandeln
ist, so reicht es hin, die Dnrchschnittspunkte der Geraden, dnroh
welche sie gebildet wird, zu übertragen, und dieselbe in der neuen
Figur durch Gerade zu verbinden. Wenn aber eine krummlinige
Figur umgewandelt werden soll, lo sind die Punkte, Tangenten
und andere gerade Linien, durch welche die krumme Linie be-
stimmt wird, zu übertragen. Dieses Lemma dient zur Auflösung
sehr schwieriger Aufgaben, indem man dadurch gegebene Figuren
in einfachere umwandelt. Denn irgend welche zusammentreffende

283

Gerade werden in parallele Gerade umgewandelt, indem man für
den ersten Ordinatenstrahl eine beliebige, durch den Durchschnitts-
ponkt der beiden Geraden gehende Gerade annimmt: und zwar des-
halb, weil j.enes Zusammentreffen unter dieser Annahme ins Unend-
liche fällt, Linien aber, welche nach einem unendlich entfernten
Punkte ihre Richtung haben, mit einander parallel sind. Die Auf-
ffabe wird alsdann in der neuen Figur gelöst, wenn man durch
die umgekehrten Operationen diese tigur in die erste umwandelt.

Dieses Lemma ist auch nQtzlich bei der Auflösung körperlicher
Aufgaben. So oft nämlich zwei Kegelschnitte vorkommen, durch
deren Durchschnitt die Aufgabe gelöst werden kann, so lässt sich
eine von ihnen, sie sei nun Hyperbel oder Parabel, in eine Ellipse,
und darauf diese Ellipse leicht in einen Kreis umwandeln. Eben so
lassen sich, eine Gerade und ein Kegelschnitt, bei Aufgaben der
ebenen Geometrie, in eine Gerade und einen Kreis umwandeln.

Diese Methode Newton's für die Umwandelung von Figuren
in ändere derselben Gattung ist eine Anwendung der gewöhnlichen
Perspective. Denkt man sich nämlich die ebene Figur HGI um
AJ als Achse gedreht, so dass ihre Ebene mit der des Papiers
einen ji^ewissen Winkel bildet, so kommt auch BH aus der Ebene
des Papiers heraus und tritt in den Raum ein. Nimmt man nun
die Ebene, in welcher u^/ und ^^ alsdann liegen, als Bildfläche

SProjectionsebene), den Punkt 0 aber als das Auge an, so ist klar,
lass, da die Geraden BI und Ba mit dem Punkte 0 in einer
Ebene lieffen, die perspectivischen Profjectionen aller Punkte der
Geraden al in die Linie Ba fallen müssen , also z. B. d die per-
spectivische Projection von D ist. Es sind aber alle Geraden wie
OD^ weiche mit Ba parallel in der Ebene des Papiers liegen, nach
erfolgter Drehung, noch parallel mit der als Bildfläche angenom-
menen Ebene, und müssen daher in der perspectivischen Projection
ebenfalls als parallele Gerade erscheinen, auch muss wegen Aehn-
liclikeit der Dreiecke sich DG zu ihrer perspectivischen Projection
wie DO zw dO verhalten. Der Winkel^ welchen die perspectivi-
Bclie Projection von GD mit da bildet, ist endlich offenbar gleich
dem constanlen Winkel, um welchen GD gedreht wurde, nämlich
gleich dem Winkel, welchen das GD in der Ebene des Papiers
und das GD im Räume mit einander bilden. Denkt man sich nun
die Bildfläche um Ba gedreht, bis sie in die Ebene des Papiers
filllt, so erhält man die New ton 'sehe Figur, mittelst welcher die
im Räume anzustellenden Operationen in der Ebene ausgeführt wer-
den. — Was die Eigenschaften eines perspectivischen Bildes in
Beziehung auf die projicirte Figur betrifft, so lassen sich diese im
Allgemeinen am einfachsten erkennen, wenn man die geometrische
Operation analytisch anffasst. Bezeichnet man nämlich die recht*
winkligen Coordinaten eines zu projicirenden Punktes durch ^, y
und X, die des Auges durch X, F, Z, und nimmt man, der Ein»
fachheit wegen, die Bildfläche der Coordinaten -Ebene der a!% pa-
rallel an, so dass ihre Gleichung y=a wird, durch welche An-
nahme die mathematische Allgemeinheit nicht beeinträchtigt wird/
so erhält man, wenn «r', ^, %! die Coordinaten des perspectivischen
Bildes bedeuten:

284

welche Ausdrücke in Beziehnnff auf ^, y nnd % nur yop der entn
DimeniioD lind. Daraus geht aber hervor, dastf die Projeclion riner
Curve von keinem höheren Grade als diese selbst sein kann, aidi
ergiebt sich aus diesen Ausdrücken, dass, wenn irgend eine Gertde
die zu projicirende Curve berührt, auch in der Projection eine Be-
rührung Statt findet u. s. w.

Chasles sagt von der obigen Methode Newton's in seiner
Geschichte der Geometrie unter dem Artikel Newton: M ,^ Dieser
ausgezeichnete Geometer gab eine sehr einfache eeometnsche Con-
struction und einen eben so einfachen analytischen Ausdruck für
die transformirten Figuren', ohne jedoch den Weg erkennen so
lassen, auf welchem er zu dieser Transformationsart . der Figurea
gekommen war, und in diesem Umstände liegt vielleicht auch der
Grund, weshalb sie seit jener Zeit wenig bearbeitet ist; denn der
Geist hat immer einige Bedenklichkeit und einigen Widerwille!
gegen das, was zwar die augenscheinliche Gewissheit für sich hat,
wooei man aber Nichts findet, wodurch das eigentliche Verhältnisi
der Sache erklärt und dargcthan wird. Wir haben uns sorgfaltig
bemüht, diese Methode mit der 4^8 De La Hire zu vergleiche!,
um die Unterschiede aufzusuchen, welche sie characterisiren und
yielleicht der einen vor der andern einen Vorzug geben könnten,
indem wir dadurch den Faden aufzufinden hofften, an welchem New-
ton geleitet wurde; und wir haben dabei erkannt', dass seine Fi-
guren keine andern als die des De La Hire waren, nur in einer
andern gegenseitigen Lage, und dass man sie auch durch die Per-
spective erlangen kann, wenn man sie hernach in eine und dieselbe
Ebene legt, nur in anderer Weise, als es De La Hire gethan hat
Diese Art ist es wahrscheinlich, auf welche Newton seine Methode
erdacht hat.*' Chasles deutet darauf in Note XIX. die Ableitung
an. Wenn der berühmte Geometer in dem Umstände, dass New-
ton für seine Transformation der Figuren keinen Beweis gegebeu
bat, den Grund zu finden fflaubt, weshalb sie wenig bearbeitet wor-
den sei, so erregt dies Be&emden. Wie viele mathematische Wahr
'heiten sind und werden nicht noch heute bloss als Sätze -hinge-
stellt, deren Beweis dem Leser überlassen bleibt! — Nicht Wider-
wille gegen solche Sätze stellt sich ein, sondern diese Form' der
Mittheilung ist für den Leser gerade anregend, indem er genöthigt
wird, in das Wesen der Sache selbstständig einzudringen. Ungleich
wahrscheinlicher ist wohl der Grund einer Nichtbeachtung der
Newton'schen Transformation der, dass diejenigen Mathematiker,
welche sich mit solchen geometrischen Betrachtungen beschäftigten,
in jenem, der mathematischen Physik gewidmeten Werke des un-
sterblichen Newton dergleichen nicht suchten.

Was die Methode des De La Hire für die Transformation der
Figuren betrifft, so werde ich zeigen, dass sie als ein ganz spe-

*) Sohncke's Uebersetsung S. 132.

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285

der Bagrelief- Perspective zu betrachten igt, welche letz-
rhat die allfn^emeinste Quelle verBchiedener in der ueueni ' {

pebräuclilichen ülethoden zu »ein zcheint. Da die ge- i

erspeefive, welche iu diesem Theile der Geometrie mit V,

em Erfolge angewandt wird, nur ein besonderer Theil y*

ir ein specieller Fall der Basrelief • Perspective ist, so 1*^

daraus die grosse Allgemeinheit dieser hervor. Ich habe r

14 eine kleine Schrift unter dem Titel: ,, Analytische
lg deV Basrelief-Perspective'^ herausgegeben, in
die von Breysig in seinem ,, Versuch einer Er-
der Reliefsperspecti ve, Magdeburg bei Keil
Construction der Basreliefs gegebenen Regeln in die
Sprache übertragen und darauf &rnere Untersuchungen
ibe. Dieses Werk von Breysig war mir längst bekannt,
Poncelet's,,Trait^ des propriet^s projectives
s, Paris 1822*' kennen lernte. Ich überzeugte mich
e Methode zur Construction der Basreliefs, welche der
fasser in dem Supplement jenes classischen Werkes mit.
sn von Breysig gegebenen Vorschriften, wenn gleich
entlichen, vollkommen übereinstimmt, während die
wie sich erwarten lässt, verschieden ist. Ich nahm
enheit, Herrn Professor C. G. J. Jacobi die Mitthei- '

;hen, dass die Methode des Herrn Poncelet schon
Ireysig erfunden sei, und derselbe hatte die grosse
iiner ersten Anwesenheit in Paris, 1829, Herrn Pon-
I mündlich in Kenntniss zu setzen, welcher letztere
n Jahre 1832 die Priorität der ErGudung Breysig's
erkannte, indem er in seiner Abhandlung: ,, Analyse
»rsales*', welche im Crelleschen Journal, Band VUI,
, S. 397 sich wörtlich wie folgt darüber ausspricht:
' en mdme tems de cette oc<^sion, pour pr^venir qu'en «^;;

natierc des No. 584 et suivans du suppUment du
», concernant la perspective des bas-reliefs, j'igno-
Qent qu'il existdt en Allemagne, sur cet objct, un
i fait uyunt pour titre: Essai d'une th^orie de
■ ve des reliefs, disposde de maniere k servir
»s aux peintres, par J. A. Breysig, professeur *\*l

-k a P^cole royale et provinciule de Magdeburg, im- i,'^

ille, chcz Georg Christian Keil (annöe 1798)/'

m

m •

■ V

4

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;*.■

V; '

•• '

fte mSmc ville, chcz Georg Christian Keil (ännöe 1798)/« :v.|.j

< ouvrage qui m^riterait d'dtre traduit dans notre •■•*p

9 un vol. in 8vo .|ie 134 pages, accompagn^ de .v*-'^

^t qui contient, sur le trac^ des bas- reliefs, des pr^
•ur le fond, se trouvent d'accord avec ceux quo j'ai
blis a Tendroit cit^. Je dois la connaissance de ce
i du cdlebre Docteur Jacobi de Koeuigiberg, qui, *" -^'1

voynge en France dans Pann^e 1829, m^en toucha .\,'\

» et daigna m'en adresser un exemplaire au commen- ; «V

niiöe suivante, ce dont je le prie de vouloir bien .[

Pression de ma vive et sinc^re reconnoissance.*« i^^i

f Erklärung steht eine, ungefähr 11 Jahre spätere
berühmten französischen Geometers, welche sich im
des seances de l'academie des sciencea, vom 8. Mai
beCndet, im Widerspruche; sie lautet wörtlich so:
■^droits d^ja cit^s du Supplement du Trait^ dei

286

propri^Us projectives, DotommeDt ceux (j^oi concernent 1« per*
spective ou projection centrale des reliefs, qae none.ttvoot
fü^^^D^ralement Dommee homologie des fig^ures. Je saisirai cette
occasion pour präsenter, au sujet de la th^orie de la perspeetive
des reliefs doun^e duDS cc mdme endroit, une remarque coDcernanb
ia pr^tendue conformit^ qui cxisterait entre cette tkeorie et les m^-
thodes pratiques exposdes daiis la Perspective des reliefs pn*
bliee k Magdebourg, en 1798, par J. A. Breysig^ conformit^ que jo
me suis trop empress^ de reconnaitre dans uoe Note ins^r^e ä I«.
page 397 du Tome Vlll du Journal math^matique de M. Crelle
{l8ä2). Une traduction exacte de cet ouvruge diflus, entreprisc k.
ma recommandution, par M, Polke, sous la direction de M. Bardin^
ancien professeur aux Lcoles d'artillerie, a convaincu cet estimable

bistorique sur Porigine des mdtbodes en G^om^trie, pu-^
bli^ par M. Chasles, lequel, je dois le reconoaitre, se trouvait, moin^
que moi, a mSme d'en constater Pexistence.''

Wir können nur bedauern, dass die Herren Polke und BardiiM.
nicbt tief genug in die beiden Metboden von Brejsig und Pon —
celet eingedrungen sind, um sieb zu überzeugen, dass dieaelbeiB.
in der Tbat identiscb sind. Die analjtiscbe Auffassung der Brey —
sigscben Construction lässt dies leicbt genug erkennen. * Henr*
Poncet et bat sieb nicbt im Irrtbume befunden, als er im Jahr^
1832 die Uebereinstimmung beider Metboden anerkannte. — D^
meine im Jahre 1834 erscbienene analjtiscbe Darstellung nur iiB
einer kleinen Aufluge vorbanden war, und wabrscbeiniicb keica
grosses Publicum gefunden bat, so erlaube icb mir eine Stelle dar—
aus bier mitzutbei^n.

Der Raum, in welcbem das Bild (das Basrelief) dargestellt wer—
den soll, ist zwar nacb drei Dimensionen ausgedehnt, jedoch naclB
einer bin beschränkt; wir wollen ibn daher ansehen , als zwiacbeim
zwei parallelen unbegrenzten Ebenen enthalten. Ferner wird an--
genommen, dass man das Relief für einen bestimmten Gesichta--
pnnkt, dessen rechtwinklige Coordinaten X, F, Z sein mögen,
construiren will. Diejenige von jenen beiden parallelen Ebenen^
welche dem Auge am nächsten liegt, wollen wir die Bildfläche,
die andere, aus einem sich später ergebenden Grunde, die Ver»
schwindungs fläche nennen; der Kürze wegen seien diese Ehe-
nen einer Coordinaten -Ebene parallel.

Alle in der Bildfläcbe befindTicbe abzubildende Punkte erleidem
durch die Projection keine Ortsveränderung, indem bier Gegenstand
und Bild zusammenfallen.

Der Raum in welchem das Basrelief dargestellt werden soll,
ist durch die Bildfläche und die Verschwindungsfläcbe begcrenzt»
demnach werden alle in unendlicher Entfernung von der Bildfiäcb0
befindliche Punkte in der Verschwindungsfläcbe abzubilden sein ;
die Bilder aller endlich entfernten Punkte fallen in den cwischea
jenen beiden Ebenen enthaltenen Raum.

Das basrelief-perspectiviscbe Bild liegt in der geraden Linie,
welche das Auge mit dem abzubildenden Punkte verbindet

Bezeichnet man die rechtwinkligen Coordinaten des za proji-
cirenden Punktes durch ^, y, », seiner basrelief - perspectivisclieo

287

Pl'ojection durch ^, ^, «', und nimmt man die Bildfläcbe nnd die
yerscbwinduBgsfläche der CoordinateD- Ebene der js% parallel an,
80 bat man, wenn y=a, y = ß respective die Gleichungen jener
Flächen sind, für die Coordinaten des gesuchten Basreliefs fol*
geude Ausdrücke:

^/_ (ß-Y)%-^Zy-^aZ _

nnd umgekehrt:

: {ß — a)af-Xy^^aX

ß—y

Setst man a unendlich gross, so erg^eht sich:

y^=y^

d.h. das basrelief-perspectivische Bild hört in diesem Falle auf, ein
solches zu sein, und wird mit dem abzubildenden Gegenstande
identisch.

.Aus jenen Gleichutfgen habe ich in der angeführten Schrift
unter andern folgende Sätze abgeleitet:

„Die basrcli'ef- perspectivischen Bilder aller paral-
lelen Linien treffen in der Verschwindungsfläche in
einem Punkte zusammen, und zwar da, wo eine aus dem
Auge mit jeoer Linie parallel gezogene die Verschwin-
dungsfläche trifft."

„Ein jedes System von geraden Linien im Räume,
welche einen gemeinschaftlichen Durchschnittspunkt
hab^n, kann als die basrelief-perspectiTische Projac^-
tion eben so vieler unter einander paralleler Linien
betrachtet werden."

„Die Form der Gleichung lässt ohne Weiteret erkennen: dass
die basrelief-perspectivische Projection einer Ebene
wieder eine Ebene ist, und überhaupt, dass die basre-
lief-perspectivische Projection einer Oberfläche der
»ten Ordnung eine Oberfläche derselben Ordnung ist,
und dass, wenn zwei Linien oder Oberflächen einander
berühren, auch ihre basrelief-perspectivische Prp-
jectionen einander berühren müssen."

„Die Projectionen aller parallelen Ebenen haben m

288

I

. der Verschwiodangifläclie eine gemeioscbaftlieheDnreh«
scbnittslioie/'

„BiD jedes System ron Ebenen, welche eine geoieii-
scbaftlicbe Durcbschnittslinie hüben, kann als die bai-
relief - perspectivische Projectioa eben so vieler unter
einander parallelen Ebenen betrachtet werden."

„Die Kugel ist für das Basrelief dasselbe, was der
Kreis für das gewöhnliche perspectiviscbe Bild auf einer
Ebene'ist. So wfe oämlicb die perspectivische Projec-
tion eines ICreises im Allgemeinen eine Ltinie der zwei-
ten Ordnung ist, so ist die basre lief- perspectiv! sc he Pro-
jection einer Kugel eine Oberfläche der zweiten Ord-
nung u. s. w.

Von diesem letzten Satze habe icb sowohl in der angefahrten,
als in einer spätem, im Jahre 183d erschienenen Schritt, welche
den Titel: „Beiträge zur analytischen Basrelief-Perspec-
tive*' führt, auf die Oberflächen der zweiten Ordnung verschiedene
Anwendungen gemacht. . ^

Was die geometrische Construction des Bosreliefs betrifft, ans
welcher jene analytischen Ausdrücke abgeleitet sind, so ist sie in
der Form vorgetragen^ dass der Künstler, welcher ein sojches Werk
auszuführen beabsichtigen sollte, dazu vollständige Anleitung er-
. hält, nämlich nach der in der beschreibeoden Geometrie (mittelst
des sogenannten Grund- und Aufrisses) üblichen Methode« Sie
wird aus dem Folgenden di^utlich hervorgehen:

Es -sei (Taf. V. Fig. 2.) im Grundrisse A der zu projicirende
Punkt, 0 das Au^e, im Aufrisse A* und 6^; TQ der Grundriss
der Bildfläch%, TP deren Aufriss und US und UR seien dasselbe
für die Verscbwindungsfläche.

Um den Grundriss des gesuchten basrelief-perspectiviscben Bil-
des zu finden, ziehe man uA^ in welcher er liegen miiss, alsdann
AB beliebig, OC m\\. ihr parallel, und BC^ so ist der Punkt. a,
in welchem AO und BC einander schneiden, der gesucbte Grund*
riss. Für den Aufriss könnte man deo Punkt a\ wie die Figur
zeigt, auf dieselbe Weise bestimmen, es ist aber einfacher, ihn aus
dem Gruudrisse auf die in der beschreibenden Geometrie gewöhn-
liche Weise zu übertragen, da man weiss, däss er in der Linie A'O
vorkommen muss. Für die Pratis ist es einfacher AB senkrecht
auf TQ, zu ziehen.

Nach dieser Abschweifung kommen wir auf die Methode für die
Erzeugung der Kegelschnitte in der Ebene durch den Kreis zurück,
welche De La Uire in seiner Schrift: „Nouvelles methode en
G^om^trie, pour les sections des superficies coniques et
Cjrlindriques, 1673,'' und zwar im zweiten Theile, welcher den
'Titel führt: „Planiconiques'', angegeben hat. Es ist mir nicht
gelungen, dieses Werk hier am Orte aufzutreiben, obgleich das
'grössere desselben Verfassers, die Sectiones conicae, 1685, in
zwei Exemplaren hier vorhanden ist; ich beziehe mich daher anf
die betreffenden Mittheilungen von Chasles in seiner Geschichte
der neuern Geometrie.

Man denke sich in einer Ebene (Taf. V. Fiff. 3.^ zwei parallele
Gerade R8^ PQ und einen Punkt '0. Durch einen beliebigen

289

Punkt n einer gegebenen zu transforoiirenden Curve ziehe man die
€erade Oa u na eine beliebige Gerade BC^ welche die PQ in 3
und die MS io C schneidet. Daranf ziehe man CO und durch ß
mit. dieser eine Parallele, welche die Oa \u A schneidet, so ist A
der Punkt, welcher durch den Punkt a gebildet wird, d. h« der,
dem Punkte a in der ersten Curve entsprechende der neuen. Die
Curven selbst in der Figur zu ziehen, schien überfliissig. De La
Hire nenpt die Gerade HS die Directrix und PQ die Formatrix.

Dm die Uebereinstikumunff dieser Construction mit einem ganz
specielleil Falle der BasreliefoPerspective einzusehen, überlege man,
dasa wenn ein Kreis basrelief-perspectivisch gezeichnet werden soll,
dessen -Ebene durch das Auge geht, die basrelief - perspectivische
Projection desselben auch in diesem Falle ein Kegelschnitt werden
müsse. Die Geraden, in welchen jene verlängerte Ebene des Krei-
ses die beiden Ebenen, welche wir Bildfläche und* Verschwindunffs-
fläche nennen, schneidet, sind keine andern, als die Directrix AS
und die Formatrix Pfi, während bei De La Hire das Basrelief a
•Is gegeben, und der zu projicirende Punkt A als der zu suchende
Punkt erscheint^ wodurch im Wesentlichen nichts geändert wird.

Die analytischen Ausdrucke, welche ich in meiner Schrift:
„Beiträge zur analytischen Basreliefperspective. 1836^'
für die Aufgabe: diejenige Kugel zu finden^ von welcher
eine gegeliene Oberfläche der zweiten Ordnung die bas-
relief-perspectiviscbe Projection ist, führen unmittel-
bar zur Auflösung der Aufgabe: denjenigen Kreis zu
finden, von .welchem eine gegebene Linie der zweiten
Ordnung die basrelief - perspectivische Projection ist,
indem man nur dort eiife Coordinate, das % , gleich Null zu setzen
hat*. Setzt man nämlich das Auge in den Anfangspunkt der Coor-
dinaten, und zieht mit der Axe der xc zwei parallele Gerade, von
denen die eine um a von jener Axe entfernt ist, und welche
von einander um b abstehen, und ist die Gleichung des gesuchten
Kreises x •

•

«o handelt es sich nur um eine solche Bestimmung der Grc^ssen a,
^, ä, /9 und r, dass die gegebene Linie der zweiten Ordnung als
basrelief-perspectivische Projection jenes Kreises erscheine.
Wenn nun erstens eine Ellipse durch die Gleichung:

gegeben ist, wo g die halbe grosse und k die halbe kleine Axe
bedeuten, so findet sieh (Taf. V. Fig. ,4.) 6:=zk=i Ü7\ a =

Ist zweitens eine Hyperbel durch die Gleichung:

gegeben, so findet sich (Taf. V. Fig. 5J b^kz=L l/T; a=. .-^ ■
Tfcdl IV. X 19

ir« 4m B«pratiTe Zddbe« roo /? leiehi sriae Erkliing ffe4eL

l«t ea^liek ^ritteas 4ie gq^ebeae Liaie eise Parabel, doci
GleidiBfig

M knao (Tai V. Pig. 6.) ^ = £^ wiUkttriidi aaseaaBMa wer-
4eo9 iui4 maa erhält a'=,—p^=.OT\ a=0; /f= — ^=0Jf;

Maa fieht deaioaeb , wie 4ie Efseagvag 4er Kegdaehaitta n
der Kbeae, Mittelst eiaes Kreifes, ab eiae apeddle Aa%abe ler
Basrelief- Penpectire herrofgeht.

Bei de« grossen Reiefacbaa der aeaera GeoaMtrie acbeiat «
nicht ttberfliissir, rerwaodte Mediodea aater eiaen Gesiebtapaafct is
briagen, welcher einen ■dgliebst griMMea UeberUick gewibrt
Ntfcute dieser An&ats als ein, weaa aneb aar kleiae^, Beiliag u
jener An%Bbe betraebtet werdea dürfea!

xxxu.

•

In integrationem aequationis Derivatarum par-

tialium superficiei^ cujus in puncto unoquoque

principales ambo radii curvedinis aequales

sunt signoque contrario.

Auct
Dr. E. G. Björling,

ad Acad. UpsaUens. Doeens aratfaes^s.

Prooemium.

ineunte vix bddo 1842 praecedente opulMulam quoddam ,,Cal-

culi Variationum Integralium duplicium exercitationes^

Intitalatum tjpis Upsaliensious ezscribendum caraveram, in quo pro-

poMitum <iflter aliaj mibigfae^at aequationem (formae finitae) an-

l^rficiei «ioimte tali 4|nid«iii wik eoue^, «t arbfiCnriM qmui
•eciupi ftrt fiiacti^oes deterafnari nnqaam Itceret Scilicet, ut cop-
8tut, Integrale aequationis derivatarum paitialinm ciaperficiei illtut — -
• (ML Mopf^e |)riaio (et quidem dnobos Modis) *^) nee non a €el.
Legendre*^*^) loventum — arbitrarias coadnet duas fuoctioBes sin-

ruiarnm quantitatua (si vis) indeleminatarnm , qua« determinatis
dum fieri potc^st) formis functiooum elimioari ex sjstemate triam
Integralis aequationum oportebit, quo optata proveniiut relatio coor-
diDatarnm a?^ y et x. At in eo ipso cardo rei vertitur^ nt inveoia*
* tur modus quidam determinandi functiones arbitrarias. Quem qui-
4««!^ antisa aon fnisse inventom, in caussi (nt mihi videtur) ipsae
■Hat ■ metbadi latefi^ralis dedncendi adbibitae. — Contigit mihi ex
saatentia rem gerere, ita ut postfaaee Itceat arbitrarias illas functio-
nes in casn admodum generali determinari.

At praeterquam quod rem in genere,' quae' ciri:a inveniendum
äptiori quädam vid integrale hocce versatur, tractare conatus fue-
ram, singularia aliquot genara „ superficierum minimarum^^ exami*
nare ad^ressus respopsum tuli quaestioni, qaaenam sint in nuaM^o
superficierum revolutionis earumque, quae rectä ad pla-
num quoddam parallele motft generpntur^^ae quibus contin-
gat idioma superficiei minimae; quam auidem rem comparatal aequa-
tione illä derivatarum partialium supernciei minimae successive cum

fjaidem non soinni priori sed hoc etiam ipso ^nno) agi coeptum
tuisse^ cognovi. Scilicet, ut ex Tcrhis infra citatis**^) a^paret,
M. Catalan et M.'Wantzel suä uterque viä (alter priori alter
lioc fpsa anno) responsum quaestioni, quaenam sit stiperficierum
■in genere recta generatarnm ea eui cbnflngat idioma super-
ficiei flftiflimae, dederunt '

Quae cum ita sint, tempori me ut par est cedere duxi, si ex
Oper« in primis lioeis hnjus prooemii citato ea^ quae prpblema illud

*) Monge, Appl. de TAnaL a la Geom, (Paris, 1809),j)ag. 192; La-
eroix, Traue du Calc. DIff. et du €al€. Int. 2. edit. T. 11. pag. 627.
') Hist. de TAcad. Roy. des Sciences (Paris, 1789), pag. 313.
) L'Institut, No. 448 (an. 1842). — Verba formalia baec sunt: ^,M. Ga-
jjtalan communique le resultat d'une recherche qu'il Tient de faire
„snr;. leb «rfaces minimum.'' . • . . „Lm r^soltet da son travail peut
„wVeDonoepr.ainsit Da toutes les sttrfac-es r«gl^es rbeli^o'ide
„a plaji directemr est la seala qai sioit une surfaee mini-

„mum.*'

L'InstItat, No. 479 (an. 1843).-^ ,.Il est donne communication
„d'une note de Mr. Wantzel sur ia sumce d^t l'aire ek un mini-
„mum pour certains cas particuliers. Mr. Catalan a cherche la sur-
„face dont Taire est un miDimumf |)our Je tas ob cette surface devrait
„etre reglee.".... „Dans le cas trai(i jpar Catalan on combine
„cette equation differentielle'^ (seil, aequationum deriVatarum partia-
lium taperfict«! minima«) „avec les- ^quatjens de, la drdite Tariabie que
„ la strrrac^ doit renfermer. On retrouye ainsi presque immediatement
„la surface heli90idale qu'il (Mr,. Catalan) a obtenue par un calcul
„assez löfig.'*.... „Paar les sili*iacMde revolution on combine Tequ.
„aax diffi partielles se-oesü surfaees S^ec* oiille de la satfaeaen question,
„et le caleMl s'aebeve saus düfieuke.*' '

292

saperficiei nininae spectant, ezcerpta eadenqoe retractaU panlln-
liUB atqne aucta prodire jaa in celebritatem iMMiaan MatliateM
stndiis ernditorom cnrarea.

Komm, qoae in seqneDtibiia ex caiculo Variationnm (et qnden
Don nisi in notulis) citavi, denongtrationen — si placet — ex opere
snpra allato „Calculi yariationnra Integralinra etc^**) n-
cognoscere licet.

Upsaliae, mense JuL 1843.

1. Uti omnibiis constat' — p et q denotantibns partiales ipuM
% derivatas 1* ordinis resp. ad or et y (eoordinatas independentes)
atqne r^ s et t derivatas 2*' ordinis — aeqnatio, de qnA qsaeri-
tar, est:

(1 -f- ;»»)/— 2^^#-|-(l-f-^»)r=0.... (1)

Nee ninns constat **) simplicissinam , onam integ^ali illins ( a Cel.
Monge primnm invento) reddi liceat, rormam esse

quo ex systemate, determinatis dernnm g> et Xi eliminando indetei-
minatas a et ^ habebitur relatio ipsarum «, a: et y>^^*)

Attamen non tanti refert formam utique simplicissimam integra^
lis expetere, quanti eaodeai — si fieri possit — tali qnddati vi4
conseqni, qua arbitrarias illas functiones determinari umqaam liceat
Forsitan ea, qnae sequuntur, ad bunc finem apta quodaoinio4o dija-
dicabnntur.

2. Loco variabilium or et ^ aliae duae u et v independentes
inferantnr. nimirnm

(3)....]* = ^-^«'^'
vz=af — yl/ — 1.

•■^

T. II. pag. 630.

''''*) In opere „Appl. de l'Anal. a la G^om/' (Paris, 1809), p. 192, hie
formulU idem exhibuit integrale:

quam utique eandem alil su4 Tik CeLLegendre in Mem* sur l'in-
t^gr. de quelques ^qu. aux diff. partielles (Hist. de l'Acad.
Roy. des sciences« An« 17^. Paris. 1789. p. 313») inTsnit.

293

Solitii ex formnlii*) partialei fimetioDis % derivaUs resp. ad
' rmaodi in derivataa resp. ad t» et v heic erunt:

Solitia ex formal
^ et jf traBiformaodi

^ Qua« tarnen, ut in promtu sint, breviter heic attulisae ja-rabit« Scilicet
poaitis

« dv BS t/dx + Viify,
erk

ideoqne

d% , dx ,

(a) . • • •

"^S'^+Ä"'

Tnne poaitis

dtizssf/'dx-hu'.ify,
dug^ct/^dx + Uf/fy,
dvT^i/'dx+tf.ify,
dVimv\da:^ t/'tfy ;

erit differentiatione prioris (a)

' ^ ^di^ , ^^Thi^ . dx ., d%..
i. e. — quoniam aquationi huic {a) convenienter

dx '^du^^'^dudv^' dx '^dudv^'^ dv*^'

«•#* ^^ dudv dv* du ^^ dv

consimilique ratione

. rf*% - - d^% ' d*% ^ dx ,r dx tr tj\

294

d*x
''=du^

+ a

d*%
dudv

+

d^%

dv*'

— «

d^x
dudv

+

d^x
dv^'

0

^ ~ du* dif*'

Uuibus iinpositis aequatio illa (l) abit in

■«,■.1 • I ■■■%

,d%^d^x n ■ f^dxdx^d^x rdx^^d^x «

^dv^ du^ ^ "•" rf« di/d^v "*" vJ rft;» ~ '

seu brcviter

7i'r. - (1 +2;i,^.)*, +p,H, =0 (4)

Si beic^i et.^i tpsae Qssejot variables ladepend^ntesy— quoDian
tUDc ista aequatio föi*inae esAet co^nitäe liorcaris H^^Ss+Tt

+ /J» + Q^-^- N% = M^ denotantibus /2, S^ M fuDctiooes

solarum vuriabilium. independentium — ; traosformari eam Ifceretio
aliam fürinae illius

^H_5(*L+3jg + €*=s© . . . . (5)

4lad^ da dß \ ^ '

' . ' ^' ■'■■'< ^

{7i ^ denot. fuDctiones solarom a et /?) , cujus in integrali

t'ormae fioitae (siquidem inveniri tale liceat) functronnni arbitraria-
rum altera a solam altera ß solam, earumque autem modo alter*

utram sub signo /j conti n eret **) Et quidem tunc vid, quam in

dissertatione infra citatä munivit Laplace, functiones istas arbi-
trarias determinari in casn admodom generali liceret.

^) Sufficit beic yerba attulisse Illustr. Laplace sub finem (pag. 395) dis«
sertationis Recherches sur le Galc. Int« aux Diff. partielles
(Hisc. de TAcad. Roy. des Sci^nces^ An« 1773. Paris, 1777) sequehtia:

„ on doit en conclure g^n^ralement, que toutes les foi.s que Tin-

„tegrale complete de requ.*', iKr-f-<S^#-f-etc. (yid. supra) „est possible

„en termes finis, eile est necessairement debarrassee du sJgne / par

„rapport a Tune ou a )*autre des fonctions arbitr. f{fc) et iff{ß)y et

„dans ce cas on peut toujours obtenir cette integrale par la methode

d^x
„de Tart« VII.'' — transformatione aequationis in formam -y—r.'h

aadß

d%
%-r- -f- eto» tttm- integratione faujus secundum metbodum in art. illo Vü

praeced. expositam — ; „on Yoit ainsi que cette methode donne gene-
„ ralement les integrales compl^tes des equations lin^afres aux diff. par-
„tielles, lors^u'elles sont possibles en termes finis; ayant une fois ces
„integrales, il ne peut rester de difficulte que dans la determination
„des fonctions arbicraires; ör la methode de Vart. VII a eneore l'ayan-
„ta^e de donner un moyen tres simple pour cet objet, dans un cas
„tres-general, et qui parait etre celui de presque tous les pröUemes
^^ physico - matfaematiques.''

3. ttoae ciui ita lint, primo transforBetor aeq«. (4), ex me-
thodo Cel. Legendre^j, in aliam cnjus variabiles indepeadentea
ipaae aint p^ Jtt q^, Scilicet est.

=:j»,i#-f-^,tf — «er, (6)

PosiU

«

iUo:^$Hip^+pdf^^

aeu

dw dm /«x

•=^'*'=;^ ^>

Cideoqae cognita erit «, si modo uf innotuerit

oecnndum locum cit. habebitur transformata baecce:

^ao fiicto ja» iitam, nt modo monoimus, transformari decet in
«aliaM formae (5) et quidem formulis gub No. 2 allatis (d), (c), (d).
Ponwdo'in iia

Wj pi et 7i loco «, a: et y^
a et ß loco «f et v^

«'. «u «?"» «'i» «// •««<> »'» •'^j «^'> «'m «//*
/*'? /Ju ß^> ß'i^ ßif <^® <^f «'u t^'> <^i» «'/z»

iL. II', a», o', «„ a„ <enot.j^, ^, ^, ^^^^ j^,

ne /y, Ä| etc. denot r-> "ir* «tc.

aequatio (8) primo abit in

]

da'

<f*to

+>.*/»"+(H- W.)/»'. + 7. •/»/.! ^=0- • • (9)

*) Yid, Lacroix, tu opcre cit« T. IL p. fKi2; conf. jLeff andre, Mein,
aar IMntiffr. de quelques ^qaatioBf aiix diff» partielles»
mb Ne« !• eit

296

Janqae u et ß rantiB talibus nt satisfiat qaaliterevwqae eaodtttio-
Dibus

aequatioBi Iraosformatae optata cootioget forma: id qood fiet po-
neodo

i^-V^T?!?:^ ....(11)
ß= /' MJ

Qaibaa* iD aequ. (9) adhibitis isto comparatar loco aeqaitio-
Dis (8) transformata ""*):

*) Seil, positis a' ss tnai )

{ satisfiet aequntionibus (10^ satisfadend* Me

unde

«. ^;7 "^^ ^7^ ^-

Ideoque aequationibus (10) fiet sa^s sumendo a et ß talea ut &ie latii
qualiterouinque faiace:

quod (ut jam facile est probatu) fit positione illa (11).
**) Scilicet habentur ex (11):

N ■

V • •• *

"-^w^,^'"'

( — 2y>,* 2;pjj|

%

997

5Kl4-4p.V. -4- 27.(1 - W'i + V.«'.)^

-2«r.(H-V/lVW.)0: = O;

c. — quoDiam aecuiid« (11)

4. Bt qaidem fornae iinitae integrale^ hnjui aequa-
i^ais leciiDdatn nethodum III. Laplace iDTenire licet,
t jaa erit probandam: ,. .
Etenim positA

dw . 2» [\k\

;^+ 57^1^ *?=*'• '•••/">

<.S) redi^itor in

2w 93 dwi ' g'^*^

(a — /!)• a» — /!• ■ - »a • . •

■ae ipaa« uf dabit cogDitft modo w^. -*- At sumtis ex npviuima

iloriboa ttav wet— tum sttbstitutis in (14), iita äbit in iio-

• ■ • »' 0p

aa banc:

!yi • V dwx 2ß dwi . hßwi _ ^ .jß.

>Mqne. positi

>/ tandem qnaeri licebit ex bac 1*' ordiniB aeqaatioBe liqeari:

'^"-r^-. = o....,(i8) ■'""[

da a*^ß* ^'^

' I

lOx hac conclnditnr (V^'" denot fanctit>nem arbitr.)

±|»„==V"'(«5 ....(!»)

ton secaDdam (17)

(20) ... . (o» - ^)«'. =sK«)-*-y<[«-«Vtf)*.
(eonat «rbitr. in f{a) inclui], atque leciiDdiMi (15) taoden
(21) . . . . (a -»- |?)«r = 9p(a) +/*(« ^ ß)'r'(ß)dß

qnod igitur quaesitom est integprale aeqnationis (8) datis a tt P
ex (11). ^ . . . ■ .

Haie, si placet, ginpficioren reddi licet formam iategrando p. p*

terminoB Bigno / affectoe. Sciltcc^t poiitis

■ • ■ ■ ' ■ . ■ , '■

habebitnr
(23) ... . (« + ^)«, = 5<a) + 2^-i^[9'(a)-a^(/»)l.

5. Determioatig in singulari qaodom problemate fnoctionibus tf
et ^, ex aequatione (21) ant (23) ope aequatioDum (6) et (7) ex-
primi licebit ipsas fr, c^ et « functionibas ipsarum p^ et ^|' (vd
etiam, si ita qonVeiiiet, ipsaram a et /?). Tiim p^^ et ^^ (vel etia«
a et /?) elininatis ex hisce — diim fieri potest — relatta proveniet
ipsarum t#, t' et «; ac denique % exprimetur fnnctione ipsarumi ap e^
y ope aequationum (3) seu

/24V i'^a^^M^v,

§

6. ADtequam Tiam, quft in genere ad determinationem functio-
num arbitrariarum perveniri liceal^ indicaiius; juvabit — quo accn-
ratius de bac re quodammodo sit dispatattmi — syatema illud finale
iotegralis (t#, v. %) sea isc^ y. %\ deduxisse et.quidem ex formnlis
(23), («), (7) et (24).

Bat quidem

dw dw da . dw dB a-^ß dw du\ ^^^ /,,x . ttc%\
•'=^=Ä^^-^^.^=2^)-<i-f>'"'"- <")«M12),

dw^ dw da^ dw, dß . 2(a-f-/>) , ^dw ^^ dw^

dg^ — da dq^^ dß dq^~ a^ß * ^" da ^ dß^'

(« + ß)' ^- ^ Cy 4- ay) -^ «y + «Pt» -^ 2^ y?.

da . t ^

<« + '*)' S = - (9» -♦■**) -»- «y -*- W^- («• -^•)f*;

^ude concrnditur integrale hocce:

!4fi z= y" -^ 2t^'^ ^ •

2Ȁt^<ifp'HhV)rHAy^+a/yV'^ . -.

^«n, secnndum (24): ^ V

ar = ^ 2(gp -i-| 2^) 4- aCoy* ^4- 2ßy/)

+ i{l-,4a»)y".+: (l-.4/?»)2tp"},

(26) (2yV/'I=l = 2(9 4- 2^) — 2(0^' 4- 2^^0

-f-i{ 1-4- 4a»)y"+ (1 + 4/J«)2^^},

t v2«^ — (y-4-2^) + a9*-|-2^V^. "'

I . i^... .. • i - ,. ....

De caet^rA ; Heere, (si;4)lacel) '^uies^stemfitif^Mrn^ reddi sim-
pKcem* ill^m (2 k perfacili eqaidem negolio patebit:
' Nimii^uiÄ positir ~ " '

-29 + 2a9f>' + i(l-4c^»)5P" = 2d, j

-2v + 2i?V''-i-^l-4/?»)V^'=; ^; j * * • ' V;

tum positis' ... * »

^*' l2t^ — 2i?ti;'+4(H-4/?»)V^'= ^(^).V/:^;

■ habebitur: y = <I>(a) + 2^(^)5

porro ex (26) sequitur^ .^;'.-

at differeatiando (/). habetur .

i • a(l ^ÄU^)^ . db =±: 5iife,

'>r

aiiMie djffiBreptiaDdo (^): ^

/ ^(1 4. 4a»)9'" . i/a = 2l/^^ . ä)'«^,

\

Deai^pe ■iili^rt» (Sf) ■■fiiim ftyoaiUc (1), frefll aafw ■••
MtM ßcct praMii. — Btnm «i^, «„ fr, ß^ iiemttamSkm fwtiihi
ifMnm a et ß rfcmalM rasp. a4 « et jr, totia

V=«^<+Äf-V.

at jpriMCf mbae

o=s (i-4«»)«.i»"-i- (1— i^xy^if,

- 0= (l+4a*)a'y--|- (1-».>V)^.«<,
»/^TT = «l-»-4«»)«,<-». 4(1 + I^X».. Jf-i

tiDde

•tque (A) abeaDt in

tum barnm differeotiatioDe iidUbitiaqne''(() comparantur

» _ (I H- *«')» . »'" - (1 ■»■ 4^')» . 2»'"

A . -i. •

.... (I)

^1_ (1 - ■*«»') (1 + ha'W- (1 - V) (1 + V) .

V>"'(«* — /»») (« -*- /»)»

wr quas aequatiJBDl (1)' fieri latia« facUIimiim est. probatu.

301

7.' In deterninationein fanct|onan arbitrariarom^
Deteraiinientnr istae ex eo quod transeat superficieg

per curTam I^^-^yM» p«' amtitum cu|ai Üt super-

fieiei p=/^{jpy

Conditionea istaB in u et v traDsformari licet aecoadinn (24),
•intque

p=U{p), )

Patet equidem f"' {ß) determiDari Heere ex (19), si modo cogm-
tom Sit, a superficiei quaenam sit functio ipsius ß in ambitu cnrvae
(C7) nee non Mf^,.

Pritti quaeratur. Est.qnidem

«=-. £i

p^ et ^1 denot'?- et -^ Quaerantnr /y^ et^j in ambitn (27).

Quoniani superficiei d% = p^du + f,i/cf, at in ambitn
* = j;!*) j '^^^^ j 5 erit ipsan^m p, et 7. superficiei in smbitii al-
lent luteeee rtlatio:

* '

Tum quoniam 8uperficieij9 = j-V + ^t^^/'i -f^f^i^^und. (3),
altera, erit

ex quibus lequitur esse in ambitn (27)

(28).... ( - V/

Jam a et /? in ambitn exprimi licet in v ope aequat« (11) vel (12),
eliminatftque v babebitur ibidem'

(29) .,..«s=JP(/?).

Porro w,, superficiei qnaenam sit functio ipsius ß in
ambitu quaeratur. — Est quidem sec. (17) et (14) supferficiei

(Wj «,^, ______ -f. _,

■•Jo w in Bipbito. Kst

ibV

-.•-4-fir — a.

inqus

m\n ^«les SU Dt in anbiti
ükiu; sitque id ambitu

ir-

31.

. w = r,{ß).

«^ = =- db

-T— iijv. ml !■

ftt = ^"f i)^

iti

; ^ftC

Ap

dm

r^.%^=^rxß)

■psanim ;^ et ^ i

Kl

Ä ♦: "*■ djl djp,^

t^ e

H«

«^ l-^^.9^

{eh

.«•l«^«4M

<4»C

LtVl

A ****

HtlMült

4j^

S2 Oi^iti« tancL jL • . . . (32)

^s< Mtrai saMrficiei ^(^) = ^^
]|r^7 >■ ««Ute secaB4. (3») «t {33.},

UtoMpw

^

*\ II A c o ^ u o q u f — III #x C^lculo iHo VarianoniuB ■OMMcick <— e»t
niui», q«ia» f«^f 4«f««i curraa {terimecro» dnoi lioeat,
p^flic ierum •» cui aiiniaa sit area i&tarclva« ^ eriair

y

N • t a.

Lieebit etiam (nt fiMsile patet) fnnctioaea arbitrariag
ak eo datermiDari ^nodaninodo, ut in ambitn inter-
seclioDis auperficiei qoaeaitaeatqaa cyliBdriy=yi(^)
aint

qiiae quidem conditioneaj eluBinatis jp et yi abaut ia

/• = f(r),
(33) .... }p = t,{»),

Scilicet, nt inpra, primo qaaerator a qn^enam ait fuactio
ipsiuB ß in aaibitu mtanectionia. Qaoniam superficiei

«rnnt in ambitn

idcoqne

ftiv)=ipt+gft.

(84).... |^'=''-f»-^'

ex qnibus, nt in casu praecedenti, a licet expripii in ß.

Tum w in ambitn cognita erit in ß aecund. (6), si modo %
snperficiei ibidem innetnerit ftat anlem dK^=sp^du + ^idp\
ideoque secund. (34) et (33) erit per totnm ambitnm

4^=£(tf) + 0,
WZ=E,{ß)'^€,

nanente e const. arbitrarift.

datA allAqua in eadem superficie ductA» parimatrit carte
quarum in ory^lano projactienum altera altari sit circnm-
a crip ta: sciiicet lis solis in comparadaneM Toci^tia auperficiabus, qaarum

araam perimetns bisce definitam formuli illly /^dlawiJEyV^ 1 -#-p^ -W*

(eommmiibua integrationia limitibii^ axpiim uomlU

Caetem seqaniitor, nt in cata praece^eafti; attuieB," ad
— jastam, arbitraria heie reaaaebit constaas c, ain praetcrca
editom tit pnneton per qood traasire saperfideai labeat.

Porrtf' ex eo determinart liceblt fnacttaaes arki-
trarias, nt io arabittf^iiitertactioiiifl saperficiei qaa^
sitae cttM soperficie «=r/(^, y) sint

et g =/,(ar, y).
HcÜicet tnac erit ia aabita

(rf« =) g «to + ^«fy =/. ^te-H/.i^

1

qoae tone aeqaatia est differentialiB ambitns, cni igitnr licet
oonclndi

(denot. c const arbitr.). — Caetera pateot.

Janqoe ut (corroborandi qdodamfiodo calooli causa) paucorom, ii
qoibus caiculum ad fiaesi asfue si|oeyaiaxiaiis tricis perduci liceat,
uoicbn ofTeratnr exemplum et qoidtfeni (uti videtur) admodun sia*
plex; postuletm* nt in ambitu perimetri sint

I.'

p=z2Ba:,)

(A et B const. reales).

Eliminatis xc ei y baliehir definitio Ista perimetri:

• f

Brunt ig^itnr in ambftii secandttn (28)

9^1 — -JT?

J V

atqne aeqnationes (11) dant

U^_^ '■ ■ Bv : B

SOS

Meoqae erit io ambiti)

»==^ -ft» • • • • (*•)

2Dß'

da ~ Dß *

dw, A*B{C—D •)

^— ^ V

dadß /»* ''

ß ■ ' • . ; . .

Unde \ .

«'"tf)=£^.^;..-. («)

Ct-D' ß

atque

y\« - «• . r'(|Jk«iJ» = - ^ (2^ + 2a log /?),

(log denot. logarithm. naturalem);

ande (20) abit in

(«»-/?.)«., = y(a) - ^ (51:=^ + 2« log /?),

ex qn« jam 91(0) est determinands. ,

In ambitu est

*) Quoniam ex positis,

2Z^ 1 — 1/1 + W»i?» sequitur C-»- Z^ ä 1.
TMiiy. W

90^

atque secnnd. (14)

(o«-/JV.£=a(^-2); •

unde

(„).... ,,(«) = -^2«(l - j^ log|«).

Qaae quum ita sint, integrale (31) abit in
seu, repositis jam valöribas (11) ipsarnm ä et ß^

Ex quo conseqauntur

u

{7)

ex qua novissima elimiuari licet ^pi^x ^P^ duarum praecedentiuBi)
quae qifidem dant multiplicando

4 hA^B^ ' - , 4 J*g^

^^^^ (C''DY\üv — hA''B^'^(\-^kA^B^),uv-^kA^B^''

Ideoque quoniam nunc

C i_V/^i^4;i.yi
seu i:epositis valoribus 7(Jv C et D,

\/T+4Ä^

e A^B

(x-l)

:; -ti •.

.* '

+

307

;&

»

M
C«

ii

8

3

+
I

8«

m

M

N

1^

+

N

3

S

5Q

«

M

I

»4

+

I

e

TS
9

00

•I is

»4
s

i-

H

0
0

a
e

*3

il il

N

«5

I

+

H

«5

a
e

I

^^

II

i

e

OB

'S

&

»4

B

S

§

•^

II

+

M

et

20

308

cui quidem snperficiei revointionis circa x-axim Meridianai est
Catenaria, cujus vertez (punctum axi revol. proximiloi ), inftry-
plano Situs, ab axi distat unitate loDgitudinis.

9. Gx eo tandem determinari licet functioDes illaa arbitrariM,

quod transeat superficies per curvam !^^^^«^v \i dati

insuper relatione quadam ipsarum p et 9 superficiei, ia
genere

(36) /^(a?, y, *, py y) = 0.

Qu4 quidem, ut patet, perfecta determiuatioiie responsum erit id
quaestionem, an per datam curvam dnci liceat superncieni quandaa
illius generis, quod in aeqaatione (36) derivataiam 1' ordinis par-
tialium comprehenditur, eandemque talem cujus »'puncto nnoquoqae
principales ambo etc.*)

Scilicet loco conditionum (27) heic postulatyr, ut per ambitn^
curvae sit

«=f(*'),

In determinationem ipsarum pi et ^i superficiei in ambitü babetnr,
ut in casu priori, altera haedce relatio:

Et quoDiam superficiei

;» = ^*»' + ^«^ = /».+«'i •ecund;(3),

babebitur, conjunctä bis quidem relatione illa

altera relatio ipsarum ;i,, ^^ et e^.

Quo facto comparabitur in genere, ut in casu priori^ ,

Caetera, ut in casu priori, sequuntur.

*) Ideoque etiain hoc modo responsuin erit ad quaeiftionem, an per da-
tam curvam duci liceat superfieiem generis (36)j cui con-
tingat esse omnium, quas per datam curvam duci liceat, sa-
perficierum eam cui minima sit area interclusa perimetro
data aliÄque in eadem superficie duct4, perimetris certe
quarum in xypiano projectionum altera alteri sit circum*
scripta; — adhibitä equidem reservatione in notula snb No. 8.18:
dicatL

aD9

At quaestio, quonam demum modo liceat arbitrarias illas fanctio-
nes ex eo determinfiri, qnod per datas dua^s curvas transeat
snperficies, — quaestio (inquam) quae fere amnium priaa in su-
perficielms tractandis, quaram natura aequatione derirataruni 2* or-
dinis partialium definita est, sub sensum cadere solet — hucusque
in medio est relicta. Nee in sequentibus responsum illi conciliare
conabimur. Scilicet per se patet, quaevis olim in genere methodus
hujuscfi rei explicandae forsan fuerft inventa, perraro tarnen fore
ttt reverä usui sit ista methodas: et quidem eam ipsam ob caussam
qnod tantum abest ut per data» duas curvas quascumque doci
liceat superficiem generis heic considerati, ut rnuzimd äane opus sit
circumspectione , quo inveniantur umquam duae curvae, quarum et
naturae et positioni inter se conveniat bocce idioma. — ^uae cum
ita sint, re istä in praesenti relictä unam vel alteram quaestionem
latius patentem magisque delectabilem propositaieque nobis materiei
intime conjunctam in sequentibus pagellis tractabimus«

10. Quaeratur, an et quaenam sint superficies revolutio-
nis tales, quarum in puncto unoquoq^e principales ambo radii cur- ,
vedinis etc.

Tali superficiei (si exsistat) erit

aequatio (1),

denotantibuB tunc (si azis jrevol. snmatur '% - axis) p^ g^ r, #^ t

fiartiales ipsius % derivatas eas, quae aequationi superficierum revo-
utionis circa % • axim contingunt. Quae autem cum sit

ideoque commonstret % puncti superficiei band pendere ab @ (an-
gulo radii vectoris puncti ejusdem, in xj* piano projecti, cum ipso
^ - axi ) ; . transformetur hac supp.ositione aequatio (1) secundum
formulas nötissiinas .

■ ■ I . I

^'äs=^'cbs9^ y=r^sin@.
Qnoniam % heic fu'Üctio solius q putetur, ideoque

~ = » CQS © + q sin ©,

' ■ • * «

^ = 0 = y^ COS © — ;i^ sin ©;
09

erunt

(#>.... ^ = *lcos0, ^=~sin©.

Tiim quoniam

^=:rcos©-h#9iD©, ^=5#öC08©-:-r^8in©,

310

cmt secnsd« (#):
tmiitm^n oio^o Ubebitnr

Cbukas inposUis (1) abit in

MS, C ileBotaate kreriter ipsMm ^ -
iategnle

^ = ± ^ , («)

<r«>ti»te igitv cout arWir. «. ipsui ^ pvactonu^ ia fsibai p'*

taBgeas sapeificiei (sea liae« teagfM MeriAani ifäus)
■ale Sit «4 plaaui pf jactiaiit (sssO);

^«•4 i4€B TalH,

dcBataatikfts Wk « et r in feaere ^ el a paactaraai modo

Ect ^aidca Catcaariac — Jf * ^ kamaalali atfae

per

* — *-
idca^pe« fMii ari^iar alicsK ia lacU (orss — a^

J

^1

ätque

dy |_ 1»»

dx V/ar» — fli«'

•
■ 1

.iogr=^^*-^n..

..(«)

m

n et m denOtatitibas ipsas ^ -et ^ ptneti ordinätae Jt aüfilmae.

Itaque collatis ex aequationibus (39) et (u) facillimo; , utiqjie
negotio perspicitur proposiiae quaestioDi , an superficiem revolutio-
nis (circa da tum axim) talen, cujus iu puncto unoquoque prin-
cipale^aitabo etc., ditci liceat per: data duo puticta seu (quod heic
idem valet) per datos duos circulos

•»'■••cr^c:^

(aiti revpl. sumto » - axi), hoc modo esse respondendum: Quo
ducatur meridi^ous illius, Catenariam construi oportet^
ovJBS constantibns a et c ^-^ \, e. q et » pnncfio'rif.m'^^^
revol. proxi morüm — fiat satis coDditonibus '

(41) ...;

ns=z€ -^ u log ( ■■ > >')

1* '}

^ = <? + a log ( ).

Qfuiid 81 quando* fiert neqaeat;'ex eo indicatür^ nnllum
per datos illos circulos dufci Heere liujusce generis su-
perficiem revolutionis circa datum axim.*)
Si ex. gr. perimetri datae forent

., .... ■ ;. 0 •:

U,)(,

aeqantioDUib (41) prior daret

i' <

0 = c -». « log (l+»^r^) •*)

*) In doctrina illa maximorum minimorumque id^m Tbeoreina hoc
fere modo exprimi decet: Quo ducatnr merldi.anus superficiei
reTof. circa datum axim, quae in omnibiis [necsoli$-^uti antea
fuit pronuntiatum hoc Theorema -^ superficiebus revol.J, quas per
datas duas perimetros (40) düci liceat, superfipA^hua mini-
mam habeat aream hisce limitibus definitam; Catenariam
construi oportet etc. (ut supra). Qiiod «i quando fieri ne*
queat; ex eo indicatur, minimam quam per datas perime-
tros duci liceat superficiem non esse revolutionis circa
datum axim. — Seil, apponatui^ praeterea necesse est reseryatio in
notula sub No. 8. exposita. <—

**) Scilicet, ut patet, 8o)o signo superiori hoc loco opus erit. '

S12

UDde aequatio (39) superficiei abit in

= «iog(£±^

seu

..(r)

2^=:(l+»/l-.«»)i?«"h(l — l/l — »*)* •

determiDandä a ex

i=a

l/l — 1,»)|?« + (1 — v/l — «•)if"

cui com fiat satis assnilieDdo « = 1, concludi licef conditioDi, de
qua heic quaeritor, satisfieri superficie ilU

««-f-c— »

= ^; {^)

qnod equidem exemplo eodem aliter tractando in Nr. 8. supra fiiit
iDyentum*).

De caetero ex antecedentibus patet, in superficiebus re-va^
lutionis in genere unicam, cujus in puncto nnoquoqn^
principales ambo radii curyedinis aequales sint aign«^'

4ei

tiit.

*) Quam sit necessaria reservatio illa in notulis praecedentibus indieat^^
Tel ex hoc solo exemplo (si placet) satis liquet. Scilicet si sapera»^
canea esset; pfonuntiari Ijceret ex gr. aream superficiei (w) perimetriau

\2p = «-j-i/ V2p=:«^-/

determinatam minorem esse areä convexÄ cylindri recti, cuj
axis (et qua situm et qua longitudinem) est recta per centra circul
rum modo commemoratorum ducta atque radius baseos r pars qua
übet radii ^, additis areis annulorum circulariorum exti
b^ses cylindri ambas restantium; quod quidem evidenter a
surdum.

Altera equidem est

►Ke^-r)

..2,/ Vel/i-H0'=««/: 'pÄ=^.U-i-i(.'-i>y;

altera autem est

2».[Sr-r»^i(e-l-i)»];

quae ut ex. gr. quantitate 7r(|~-^) minor sit priori, sufficit sniui
r SS 0,2 circiter.

SIS

ue contrario, eam esie qna fiat satis aequatioai (39),
d azim revol. ut x - axim relatae*).

11. ftaaeratur denique, an et quaenam aint luperficies, quae
BctA ad planum quoddam parallele motd generantur,
las quarnm in puocto unoquoque priacipales ambo etc. — Tali su-
)r6ciei (si eziitat) erit

aequatio (1)^

motantibaa — ai plaoam dirigens samatnr xy planam — ;»,
, Ty 9y t partiales ipsins % derivatas eas, quae iu aequatione bujus
anoris aoperficierüm generali occurrunt. 4uae antem cum tit**)

q^r^%pq9 + pH=,^\ .... (42)

rit, eliminatd /, aequatio quaeeitae luperficiei isla:/ jB

2|^^#-(y«-p»)r = 0,

en (positA y contt.)

ajna eqoidem bomogeneae a^quationis integrale hoc est:

p»+y>=;i.^(y) (43)

At perfecte non eat arbitraria ista fp. Eliminatd enim r ex (44)
t (1) quaesitae erit superficiei

2pqs + {q^^p)t==0, X

H (poaiti or conit.)

^pqdp + (y» — p^)df == 0,

ioi integrale

;i« + y«=57.9(ar) (44)

Quae jam (43) et (44), quoniam eandem repraesentabunt su-
rficiem» combioatae dant illi

ß— y^* j— y^' -

*) Et quidem mantfettum est, si — - Taloribut ex srbitrio dacis ipsit a et
■ e — coostructa fuerit tuperficies (M), bane esse omni um» qiiM per
duas in eldem ex arbifrio ductas perimetroa duci liceat, superficierum
eam cui minima sit area biace perimetria determinata, — perimetria
certe, quanim in piano ad axim reTol. normali projectionum altera al-
teri ait circumscripta: — debiti rationt babiti reaerrationia Jam plu-
ries coomiemoratae.

**) Yid. ex« ffr. Lee. da Calc Diff. p. Moigno p. 4M', conC Monge
appl. de rAnal. a la Geom. (1809) pag. 64. —

814

ideoqoe, iit sit -^ = ^, crit

dy dx

9* ^*'

quae tarnen, nulU exsiHtente Telatione ipsarum a: et y, Iiis utdcÜBi-
tis aliter obtineri neqait, nisi sit

^ = coDst. arbitr, — = — %-,

Integrando Imbebitnr

— Ä. ^ a -

unde sopeffll^

g(y ■— c) — a{x — b)

* • •

atqae integrando, quoniam

habetur

« — i/=a. Arc(Tang=^=l^); (45)

y — ^

qoae quidem, ut liquet, saperficiem djenotat generis heic conside-
rati, qnippe cujas aequationem generalem (ut constat) ita licet
describi

nostra rero dat , ^

^=(y-c)Tang(^)-f-^. .... (46)

Ex aequ. novissimai qnoi^iam qnattnor eontinet conataates ar-
bitrarias, patet in gen^re inveniri licere superficieoi generis keic
considerati, quae per data auattuor puncta transeat. — Cnjas ot
breviter inyestigetur natura, naec fere notentiir.'

Comparatia inter se intersectionibns superfieiei- cboi jry plaao
atque piano Q/=;2c)9 nimirnm

I _

» ^d=z a . Are (Tang s= t:^)

"" . y ....(4(7)

» — #/= ö . Are (Tang = 21=1?)

915

invenitur esse % alterius, pro a: quacumqu« $, aeqaalem ipsi «
alterius pro a:z=:26 — £. Ejnsdem igitur sunt naturae hae
intersectiones at (ut ita dicam) directionis reciprocae.
Itaque iDvento — determlii»lis m pr^blemate quodam siogulari
pnnctis, per qaae transire Inbeat BnperSeieiii — valore constantium

v^A,<!^¥^atqueefitftiiielftiB ^«pte«o,cinvailUHeJic^^>r . Jt

. I in piano (y=Sc) facillimo negotio constmi lice-

bit; quo facto superficies generabittfl* motd generatrici super has
ambas, ita ut assidue ad ary planum parallela maneat: atque habe-
bitur superficies illa „Heli^oide (gauche) a plan direc-
tenr^^***)! quae igitur superficierum , recta ad planum quoddam
parallele motä gcnenitaivm, unica est eüi «tBtiDgant in puncto
anoquoque principales ambo radii curvedinis aequales signoane con-
trano ***). — Obseryes tandem, si quando i»=:Oy supernciem in
planum (x==:^ abire.

At — numne ista in omnibus superficie'lius rectä ge-
neralis (surfaces regl^es) sola est, cuisin puncto unoquo-
que contingant aequales signique contrarii principales
ambo radii curvedinis? — Mr. Catalan primus et deinde Mr.
Wantzel (ut in.prooemio ex Epbemerida illa „l'lnstituf cita-
Timus) su4 iiterque yiä responsum buic qus^estioni dederunt: quod ut
fnamprimum promiilgatum &cere iis placeat, est quod yebementer
optämüs.

*) TidL «x^^. Moignd <!Me. Diff. pi^. 294.

**) Vid« ex.^^« Moigno ibid., Leroy Geom. descript No. 616 etc. —
Patet, azem directricis (jj-iQ-is) cs*e I^^aIj «eil. intersectionem
sujMrficlei cum piano {yssic) aut pkno (;r^^)« .

***^ Atque siümtis itä 4 punctis, ut per ea duci liceat superfi-
' oiem hujusce generis; pars illius quaelibet perim^tro cir-
cumscripta omnium per 'eaodekn^ perimetrum transeuntium
superficierum minimam ista pra<ebebit aream, nimirum

limitibus a perimetro modo dicta datis: — (debita ratione reserratio-
nU nostrae nabitä). — Demque saperficierum generis nniie cön^ideratt
: aliaia non esse» cm conliiigat esse „superfici^m minimam," patet.

I '

'*

316

XXXffl.

I

lieber die Zerlegung der bestimmten Integrale
in andere von kleineren Integrations-
intervallen.

Von

Henm Doctor O. Schlö milch

zu Weimar.

f. 1.

Es seien a und h die Grenzen eines bestimmten Inte{[ra1ef,
a, /?,/,... ^ /i* eine Reihe von Grössen, welche sammtlich zwiBcbeo
u und b lieffen nnd von denen jede folgende grösser als die tor-
hergehende ist, dam hat man

Von der Richtigkeit dieses sehr bekannten Satzes fiherzeügt wn
sich sogleich durch die Bemerkung, dass ein bestimmtes Integral,
wie

nichts anderes ist, als die Fläche, welche von den zu den Abscisseo
a: = a^ a: = 6 gehörenden rechtwinkligen Ordionten, dem Stucke
6 — a der Abscissenachse und der Curve, deren Gleichung y=:/(ir)
ist> begränzt wird.

Der oben ausgesprochene Satz kann oft dazu benutzt werden,
die Werthe bestimmter Integprale aufzufinden, sobald die Mittelgros-
sen a, ßy y . . . fi auf eine zweckmässige , der Natur der FunctioD
A^) entsprechende Weise gewählt werden. Binige sehr gefügige
Integrale dieser Art mögen dies darthnn.

f. 2.

Es sei folgendes Integral gegeben:

f^A^) Arctan jp .

317

■ Tbeilen wir i|as Intervall 0 bis oa iq zwei andere von 0 bis 1
und von da bis oo, so ist anser Integral auch

. r^^r V Arctan ;r , . /**-/ v Arctan a: ,

Setzen wir im ersten Integrale ar = x, im zweiten ^7 = — , so än-

% ^ ■

Afg* tt!K

dert jenes seinen^ Wertb nicbt, für dieses aber wird — = ,

sc %

und wenn a: die Werthe 1 und <x angenommen hat, ist x = 1 und
% = 0 geworden (weil aus a? = — • folgt » = -j). Wollen wir

aber di^e.Gr^n^zen 1 und 0 vertauschen,^- also 1 zur oberen Gränze
machens so babf^nwirdem Integral das entgegengesetzte Zeichen
s^u gebellt wodurch es wieder positiv wird. Es ist alsq:

y'*^/ \Arctan« , . /** -z 1 » Arctan x ,

I

^ ; ■ '

Beide Integraler auf der rechten Seite können jetzt wegen' der glei-
chen Gränzen in eines zusammengezogen werden , und dies gäbe

• ■ '1
eine sehr gute Redui^tion^ wenn nojch /*(~z~) =/'(^) wäre, weil man

dann f{x) — als gemeinschaftlichen Factor der beiden Kreisbogen
absondern könnte.

Der B^dingiin^jf('—)=y^(») kann aber isehr leicht genügt

» ■ t

1

werden, wenn man /*(«) = y(« + ---) setzt, wo g> eine beliebige.

Function bedeutet; es ist dann durch Vereinigung der beiden In-
tegrale

= I ^ tArctan x -f- Aretan -—l 9(«.+ —) "T*

Nun gilt aber für jedes x die Formel:

Aretan x -f- Aretan -— = Aretan oo = -jr-.

' SS <6

Dadurch verwandelt sich die obige Gleichung in die folgende, in
welcher wieder or für « gesetzt worden ist:

• . y .:..r '•.'■ - . ■ . ■ • . • . ■ . . .

S18

Dnreh eine ganz analog^ Betrachtung wird man auch feigende
Gleichuqg finden:

d. h. *

/^"&r.5<a; + l)§ = 0....(2)

weil A + Z—z^O Ut.

Jede der beiden Gleichungen (1) und (2) kann zur AufBodnog
bestimmter Integrale von angebbaren Werthen dienen^ die ente,
wenn man die Function ^ so wählt, dass sieb die Integration anf ,
der rechten Seite durch die gewöhnlichen Mittel bewerkstelliffen
lässt^ die zweite dadurch, dass man in ihr eine neue Veränderhche
für a; einfuhrt.

f. 3.
NimmC'man fiir die Anwendung der Formel (1)

y(ar + -) = (-— .) =

' 0

so wird

wobei das Integral ein rein algebraisches für jedes rationale n
ansföhrhares ist. Z.B. f^r ff = 1, f»=:2: *'

/'*Arctana: , ti* ,,.

0 {i+x'y*^=^9'^'^^r-

Setzt man

tt(arH — 1) = i-,-

X .• ■• ,,

so ergiiebt sich

Ja l + 4r»i^ 2/0 l-l-a?V* V*^^

wobei es ebenfalls nicht schwer ist, den Werth des Integrales rechts

»19

«acb des 'gewöhDliohen Regeln su bettimiiieii. Man findet z.B.
f&r die Fälle fi = 4^ und f*=34:

»• . " . .

/**Arctanj: das /^\' /-rv

Nehmen wir für die Anwendung des. Theoremes (2)

so ist wieder

Ix, X v^^ + l

7 0.4? n-f-ar»' ,

Von diesem Integrale können wir uns zu einem allgemeineren von
älmlielier Form erheben , wenn wir für as eine neue Veränderliche

—^.einfühlen, wodurch sich . die Oränzen nicht ändern ; es muss dann
micli setli:

/O 07^-1-0?»'

odifr, wenn ^r den Factor aV*+i weglassen und te — /a für
schreiben, » •

t • ■ '

£s handelt sich jätzt noch um die Ausfi^hriln^« des Integrales auf
der rechten Seite. Es wird aber für ae-rsz^nX/m -

und unter dieser Form kann man den WertL des Integrales nach
der bekannten Formel:

" * * I •

für /i=r^£=^/ti-t-j< leicht btstimmeü. '>Fühiit man diesen^^in die
Gleichung (9) ein, so ergiebt sich:

!'■'•.• •

Ein Paar beaerkeMwerthe apeiialle Fälle ^iaaer FonMl Urfen
die AnnalitteB ^ = » — i and ^ = 19, webet »eiae poaitife gaaie
Zahl bedeutet Vemoge der Gleicbaageo

r(a»)=1.2.S....(ai — 1),

welche för jedes ganxe posithre m geltea, erhält aiaa näalich
LVf X ^^ l,2.>....(jt — 1) la |.||v

/.

0 ^ ^«*-|-d:'

0 "F^«»-Ha?*^ — 2.4. 6. ...(2«) • 2««»-M- — ^"'

Ffir /i*=;0 erhält aian aaaiittelbar aus (10)

■

. -r rÄa?=-^ . — ....(13)

Zo benerkea ist noch, dass die Fonaeln (10) bis (13) bloss fir
positive a, welche weder =0 noch unendlich gross genoauiei
werden dürfen, GSItigkeit besitzen. Denn die Herleitnng dieser
Integrale beruht auf der Toraussetsung, dass die Gränsen des fri*
her betracliteten Integrales

/ 0 X ^1-l-ar»'

sich nicht äodenii wenn man — für of setzt Dies würde aber der
Fall sein, wenn az=;0, oo oder negativ genommen wurde.

♦. 4.

Bevor wir weiter gehen, mögen noch ein Paar Anwendungen
der Formeln (12) und (13) Platz finden.

Man setze in (12) « = 0, 1, 2, 3 etc., multiplicire die entste-
henden Glieder mit ß, 7^', jß^ etc. und addire Alles, so kommt:

— ^mA-i.« uP\*^^'^ ^(^\'^ I

— a:ial^+^ t(^) +274^^2^^ ^ •^•

Bevor von einer Summirung dieser Reihen die Rede sein kann,
müsseo wir wissen, in welchen Fällen dieselben convergiren. Dies
ist auf der rechten Seite der Fall, wenn der absolute Werth des

Quotienten J- die Einheit nicht übersteigt, oder wenn 2a ^/} ist

In diesem Falle ist die Summe der Reihe = Aresin J-. Ferner

2a

321

haben wir für jedes a und ar, a*+aT*'^2aaT, weil «• — 2a^H-^',
als Quadrat von a — a:, immer, eine positive Grösse sein muss. Da

wir nun schon die Bedin^un^ ^^ß gefunden haben, so ist um

so mehr a' H- lar* >• ßa:. folglich ^ ^ „ ejn ächter Bruch, für ie-

den beliebigen Werth von a:. In diesem Falle convergirt die Reihe
unter dem lotegralzeichen für alle Werthe, welche ^ innerhalb
des Intervalles 0 bis oo annehmen kann, und hat zur Summe den
Ausdruck

1 . ß^

s

j _ ßx ^ a» 4- ^» — /5a?*

a»-|-iir*

Fuhren wir diese Summe nebst der vorhergehenden in die Gleichung
(14) ein, so ergiebt sich:

/.

•te ,«M-M±£»^ » . 4,„. ^

0 X a* —ßx + X* 2a' ='^

Setzen wir noch 2ß für ß, wo nun a^ß sein muss, so ist auch

r-^/?;±.2fiy-.£!dir = W«.Arct.ni..«>/?. (15)

Ein ähnlich>es Resultat ergiebt sich aus Formel ^(13) auf folgende
Weise. Man nehme a veränderlich =f#, multiplicire beiderseits
mit ^dtt und iutegrire zwischen den Gränzen »=:^, » = a,
so ist

r^2udur^—^^daf = nr^ hidu. (16)

ß a /O «»-4-^* Ja ^ '

«

Hier kann man auf der linken Seite die Ordnung der Integrationen
umkehren und zuerst nach u integriren, wodurch man erhält:

/•*, , /*b'2udu /"*, , ,ar*-i-Ä«

ijcdjff I —z 1= / Ixdas.l , -T.
0 Ja a:*-|-w' ^0 ar* -h<»'

Auf der rechten Seite von (16) ist

/ludu = ulu — « = /(««) — tf ,

folglich

a aß ^ ^^

Führen wir diese Ausdrücke in die Gleichung (16) ein^ so erscheint
das Resultat:

r*/^./£l±£!V^ = 7r(a — Ä) + 7r/^. (17)
/o «»-f-d?* aß ^ '

Thdi nr. ^\

322

Die Gcössen m ood h giod ovr in so weit beliebig, als sie weder
= 0,00 D9ch Degativ genoMineD werdeo dorfen. Dens m osd h
waren die Gränzwertbe far », d. b. für das frohere a; daher geltes
dia Determinationen fnr a aocb für a nnd b.

§. 5.

^ie Zerlegung eines bestimmten Integrals in andere yon klei-
IntervalleD ist auch mit grossem Vortheil auf Inlegrale von

Die

neren Intervallen ist auch mit grossem lortbeil aut inleffrale voi
der Form

/ /(sin ^, cos w)

dx

X

anwendbar. Man denke sieb nämlich die obere Gr.äoae als ein «S'
endlich hohes Vielf/»che von tt, und zerlege demgemäss das Inte«
gral in eine unendliche Reihe anderer, welche sämmtlich nach den

Intervall ^r fortschreiten. Es wird dann , /'(sin Xy cos ai) kurz mit
f[ai) bezeichnet^

%

2

r ■>

Ein Paar auf einander folgende Glieder dieser Reihe mit dem all-
gemeinen Indei^ r würden, sein:

Im ersten sptze man" as^z.m — x, im ^weiten ^ = r;r^-Ä, so wer-
den dieselben

•/ 71 TU -—2» / 0 ^^ "T" 3»

2"

Will man im ersten dieser Integrale die Gränzen vertauschen, so
hat man demselben das entgegengesetzte Vorzeichen zu geben; da-
durch wird es wieder positiv und stellt sich mit dem zweiten unter
die gemeinschaftliche Form

TT

/ 0 rndkzz

Wenden wir diese Transformation auf die Gleichung (18) an, indem
wir r der Reibe nach = 1, 2, 3, u.s.w. nehmen und im ersten Inte«

323

grale s fiur jt setzen, so ertaUeo s&mnitliclie Integrale anf der
recliten Seite die gleichen G ranzen 0 bis — - und können daher in
ein einziges zusammengezogen werden» nämlich in das folgende:

/>)f

1 ) (1»)

Es kommt jetzt auf die besondere Beschaffenheit der Funktion
f(x) an, wenn die unter dem Integralzeichen eingeklammerte Reihe
summirbar sein soll. Dass hierbei die Funktion immer noch ziem-
lich allgemein bleiben kann, wird man sogleich sehen.

I

Man nehme erstlich y*(^) = sini^.9>(sin'^, cos'^), wobei 9
eine nreue beliebige Funktion bedeutet. Da dieselbe nur die Qua-
drate von sin. und cos. enthält, so ändert sie ihren Werth nicht,
wenn man n — «, tt H- as, Stt •+- a u. s. w. für x setzt. Die Zeichen-
folge in der Reihe (löj hängt jetzt bloss noch von sin ^2; ab^ und
da dieser positiv Von 0 bis tt, negativ von sr bis Stt und so ab-
wechselnd ist, so wird das erste Paar Glieder jener Reihe positiv,
das zweite Paar negativ, und so paarweis weiter.. Wir haben
daher

/ 8ioa:§p(sin'^, cos*^) —

Die Summe der eingeklammerten Reihe ist aber nach einem be-
kannten Satze = -; — , folglicli wird

n

ßÄn X . 9p(sin*^, cos*ar) — =^ ß^{&\n*»^ co^^%)dx, (20)

Da das Integral auf den rechten Seite viel einfacher als jenes auf
der linken ist, so wird es leicht sein, die Funktion tp so zu i^ähr
len, dass man deu Werth des Integrales rechts angeben kann.
£s sei z. B.

5P(8in'^, cbs'o:) = (siu'iar)"». (cos'^)»,

80 ist die rechte Seite

/r-

^V

324

t

Fir sin X =: or geht dieses Integral in das folgende ^herz

yVa-(l-;r») * da:
und dieses verwandelt sieb fiir ar* = ff in

2m— \ 2n—l

i/^y * (1-y) » rfy,
dessen Werth sich nach der bekannten Formel

leicht angeben lässt, wenn man ;9 = i99 + j^,^=:is + j- niattt
Wir haben daher ^

n
f\\n^z . cos»«« rf^ = i . ^(^ + J)f(^-*-*)

ond

Für ganze positive m und it erhält man hieraus

«/o . « 2.4.6«....(2»i-|-2«) 2 '^ '

Für if =*0 scheint die Formel unbrauchbar zu sein. Man erhält
filr diesen Fall unmittelbar aus (21):

/""sin^i^. ^= ^f'f7'^^"/^v> c^y

J ^ X 2.4.6.. ..(2i7t) 2 ^ ^

Man dhrf die Formel (21) auch für gebrochene m und m benntien,
sobald die Nenner dieser Brüche ungerade Zahlen sind. Denn wäre

im Gegentheil z.B. 1»=^, 1»=^, so würde '

<jp(sin'i^, cos*;r) = sin ^x . cos^^

sein, und diese Funktion hat im Allgemeinen nicht mehr die Big^n«
Schaft, ihren Werth zu behalten, wenn man rirzti» für j; sutst,
wie dies zur AufstelluDflr des Theoremes (20) nöthig war.

Ein anderes bemerkenswertbes Beispiel für die Anwendung des
Satzes (20) liefert die Annahme:

325

Auf der Techten Seite stebt dann daa Integral

/.

n

3 dx

0 l+2^co82s + A;* '
i^elches für x = ~ io das folgende übergeht:

^t/o l-i-at

da:

cos d: -f. ^* '
dessen Werth nach der bekannten Formel

7 = .y Arctao .^lJ! 1^, «>»

gefunden werden kann. Für jedes beliebige ^ ist hier 1 -f- ^*

:>^2Af, folglich a>Ä, ferner l/«»— ^» = 1/ 1— 2X?»H-X?*, wofür
man 1 — ^' oder Xr' — 1 setzen wird, jenachdem Xr -^ oder^l ist.
Wir erhalten zuletzt

y"* sin J^ äx 1^«^ 1 f2Jk\

0 l+2itco8 2ar + >&' ' a: , 2 ' 1 — X?» ^ ^

Wobei das obere Zeichen für den Fall i& •< 1 und das untere für
den FÄll *:> 1 gilt.

♦.7.

In den allgemeinen Theorem (19) nehmen wir jetzt

yi(a7) ^ tan or . 9(sin*^, eoü*a).

Die Zeichenfolge in der dortigen Reihe richtet sich jetzt nach
^^r tan., und da diese in jedem Quadranten ihr Vorzeichen wech-
sle» so ergiebt sich:

/ tan ^ . 9)(sin'^, cos'^) —

ie Summe der eingeklammerten Reihe ist aber =cotx = 7-— ,

folglich haben wir:

2.

/^tan ^ . 5P(sin'iar, cos»^)— = /^gp(8in**, cos*«)«^«. (25)

Vergleichen wir dies mit dem' früher gewonnenen Resultate (20),
10 ergiebt sich:

/^tasÄ?.f(iin*^, cos»^) — ==/^sinaf.jp(sin»Ä:, cos'ät)— (26)

326

SO dass man also in den GleichungeD des vorigeo Paragrafilieii, olive
sie zu stören, den Faktor tan ^ für sin or substituiiren.darf. Z.B.
aus (22):

0 X 2.4.6 (2j!iH-2if) 2 '

Ebenso folgt aus

y** sin or - n ^

0 o: 2

auch

' r^^da> — l (58)

und lius dem Integral (24):

0 l-+-2Arcos2a: + ^» • a: 2'J— *»' ^ '

Während wir bisher in der allgemeinen Rednktiönsfonnel iar^
die Funktion ip einmal mit dem Faktor sin jp, das andere Mal mit
dem: Faktor tan or multiplicirt gesetzt haben, können wir auch

* 1 ^ 1
/"(sin ^, cos a) = -r-. — 9>(8in*ji?, cos'ar) und= 9(sin'^, cos*^)

SID yC CSD tJC

nehmen. Die Zeichenfolgen in der Reihe (19) sind dann 'die näa-
liehen wie in den Beispielen der Paragraphen 5. und 6.; man er*
hält leicht

1

n

y""* y(sin*a;, cos*^ da^ __ /*gy(sin*g, cos^g) ^ roA\

;i

y"* 2(sm*£2_co8*a:) «^ /*g y(sin»g, cos^a) ,
0 tan ar * x ''^•Z o tan'«

oder, weil — -- = -T-r 1 ist,

/ cot^.g)(sin*^, cos*iar) — j

y'2a)(sin»«, cos*«) , /*2 , , . \ ^ I

^ — r-^ 'd% — / 9)(8in*x, cos'x) osi

Zu diesen Sätzen ^30) und (31) wird man eben so leicht passende
Keispiele finden, wie sie sich für. das Theorem (20) friiher darboten.

Ein anderes bemerkenswertbes SeUpiel für die Anwendung der
Gleichung (19) liefert die Annahme: ,

1 — tan a:
Man ^ findet nämlich

/•(*) =/(^ + ») =/(2;r + *) =/(3» -^ *),

i -f- tan s
mithin

y** «1_-Htan^. 3 äx
0 M — tanar' a;

n

=r\i — ^-^-^ — _i_+ i/(i+Hü5).^

«/ 0 2f TT — a 7I-I-X 2/1 — X ^ M— tan«'
oder, WeSi die Satnme der eingeklammerten Reibe = ist.

taus

n

y '**'./ 1-f- tan gr. 3 (far X^^/fidti25^U ^^ ^32)
0- M— tano;' a: "^t/ o ' u — tan » ' tan st* ^

Setzt man in dem Integrale rechts tanx=:fi, aho « = Arctan tr,
so wird ^js ==: - — ^^, nnd wenn:« = 0, « = x geworden ist, hat
u die Wertbe 0 und. oo angenommen. Also:

n

y-g .l^Man^ -^ = /%ldl!fp ^^ . (33)
./o M — tan«' tanx t/ o M — m' ««(1 + w*) ^ '

Wollen wir jetzig den Logarithmus in eine Reibe verwandeln, «o
müssen wir dieselbe so einrichten, dass sie für alle Weftbe von
ü = 0 bis fl» = 00 convergirt. Dies geschieht leicht durch die Be-
merkung, dass

^ 2»

4 — «^ \ 2ti

1 —

l^u

3

22«

ist. Denn die vorsteh^de Reihe convergirt immer, wenn ■ ^^
ein ächter Bruch, d. h. 1 + «»' > ^ ist, was aber für jedes belie-

32B

bige m stattfindet Sabstitoiren wir diese Reibe ia das lateg^al (33)
aad integrirea jedes eiazelae Glied, so ergiebt sieb:

2^ /** du 2* r^ M*dM . 2* /** u*iu '* ^ '

— i/o (1-f- «»)»"*" 3^0 (l-#^ «»)•"*" 5/0 (1 ^ « »)• "*"•"

Ein allgeaieines Glied dieser Reibe wäre, abg^esebea Toai Coef-
fizienten,

t/o (1-H«»j
welches für ü = \/li in das folgeade übergebt :

* x»-H-iÄ

X)8»«'

dessen Wertb sieb nach der in §. 2. an^fuhrten Forael Ton den
Gaaiaiafiuiktioaen angaben lässt. Derselbe ist nämlich für |i =: »+|»
;»+^i=2i» + 2» also^ = « + f:

^* iX2it-t-2) ^* 1.2.3 (2» + l)

n l.3.5....(2it~l)

2>»+«' 2.4.6. ...(2it) •

Für « = 0 hat aian unaiittelbar ./

. rft)r(i)_, \/n,^Vn__ n
^' r(2) — ^- 1 —2»*

Sobstituiren wir diese Werthe für » = 0, 1, 2, 3 . . . in die Glei-
chung (34), so ergiebt sich

0 ^ii-J 11(1-4-1^) *^^*'^^2.4-^+2:7:e-^^--"^

71

folglich vermöge der Gleichnngen (33) nad (32):
Nimmt man ähnlich
so findet sich

L

32»

wie man ancfa mit Hülfe der Formel (23) ableiten kann, wenn mao
dea Logarithmus in eine Reihe irerwandelt uod jedes einzelne Glied
iotegrirt. Man darf hier eine solche Reihenentwickelung anneh-
men, weil die Reihe

/(i±45-^)» = 41sin^ + 4^8in«^ + isin»^+... (
U — sin a;' • • '

converg^rt, indem sin an ein ächter Bruch ist. Wollte man dage-
gen in der Formel (35) für den Logarithmus die Reihe

4|tan« + itan*a? + -i-tan*«-+- ....t

letien, so würde ein ganz falsches Resultat erscheinen, weil die
Reihe nicht für alle Wertbe, welche ac in dem Interiralle 0 bis oo
erhalten kann, convergirt.

Ebenso unrichtig würde es sein, den Werth des Integrales

r.

tan X .

dx

0 x

dadurch finden zu wollen, dass man für tan x die Reihe

1.2 ^«•*'"T- i,2.S.4 • ^
setste und jedes einzelne Glied integrirte. Man würde finden

^ ^ X 1.2 * 1 1.2.3.4 • 3

d. h« =00, weil alle Glieder positiv sind. Das Resultat erweist
Bich, mit Formel (28) verglichen, als falsch; was daher rührt, dass

Jeoe Reibe nur dann tan x zur Summe bat, wenn w nicht > -^

ist. Für ^ = ^ divergirt sie^ darüber hinaus um so mehr, während

tan (^ + 07) = — coto? ist. — Wieder ein Beispiel, wie vorsieh-
tig «an beim Gebrauch unendlicher Reihen sein muis!

i

330

XXXIV.

Geometrischer Lehrsatz.

i

VOD

Herrn L. Mossbrugger,

Lehrer der Matbematik an der Kantonssehule sa Aarau.

iD.dem Dreieck BAC (Taf. IV. Fig.^) halbirei die
Linien ^^ und CD die Winkel ABC\knAACB, überdies
ist BE= CD; man soll beweiseji, d^us AB =:ACy also
das Dreieck Ä^^ gleichschenklich ist*).

Setzen wir AB = c, AC=lß, BC=a, DC=f, BE = h
so ist nach eiaein bekannten geometrischen Shtze:

^ — ' (o-Fc)»

^ — (S+3p •

Weil nach der Voraussetsung ß=yy so ist, wenn wir c — ^ mit ^
bezeichnen, a+{c — ^)=«i-i-a?; a — {c — ^)=i» — a^y c=6'+^\
a+czriza+d+a^f und daher:

woraus wir die Gleichtang

erhalten.

Dieser Gleichung wir4 Geniige geleistet

a) wenn : Är = 0, oder e — ^=sO;

ist. Aus a) folgt c = ^, was zu beweisen war. Aus 6) folgt,
dass auch

^) Der Herr Verfasser des Torliegenden Aufsatzes schreibt mir bei des-
sen Üebersendung, dass ihm der obige Lehrsatz von Herrn Prof. Steiner
zu Berlin, als derselbe ihn auf seiner letzten Schweizerreise besuchte, mit
der Bemerkung mitgetheilt worden sei, dass der Beweis dieses Lehrsatzes,
ungeachtet dessen scheinbarer Geringfügigkeit, doch mit einigen Schwierig-
keiten verbunden sei. Herrn Professor Steiner sei aber der Lehrsatz vor
zwei Jahren von Herrn Prof. Lehmus in Berlin vorgelegt worden. G.

331

Sind a/ und a^* die Wurzeln dieser Gleichang, so ist nach eini^eo
RedoctioDeo: '

ar'=-(« + ^) (2)

ar =^ 2 . . . . (ö)

Es folgt also aus (2) oach den obigen Aonahmen, dass
o — ^ s= — («+^) oder c ss — « . • . . (4)
sei, und aus (3), dass

c-^=-<''+^)^''-^'^> also . = - K*-*-^);^'^' ... (5)

Aus (4) geht aber hervor, dass, wenn -wir j4B'=:BC machen und
ß' mit C verbuideo« alsdaBD die Winkel B^SC nod £*€£ durch
die" Linien iT^ und CD' halhiren, endlich diese bis zu ihren re-
ipeoliven Durchschnittspuakten E' nnd B* mit CB* und BB ver*
Ungern, auch in diesem Fall

B£r = CD'

lei.

, Endlich folgt noch aus (5), dass, wenn wir zu d u. {/{a^öy-^-aö
dia dritte Proportionale suchen, und diese auf die Verlängerung der

Uni« BA von A nach B' tragen, so dass als6 AB' _li?±^^±f^

iit, aladann B' mit Crerbinden, nnd die Winkel B'BC, B'CB
durch die Linien BE' und CD\ welche AB und ^C'in D' und
iST treffen, halhiren, auch in diesem Fall BE' = CD' sei.

Eine zweite mehr elementare, aber nur den einzigen verlangten
Fall beweisende Dcduction des Satzes ist folgende:

Wir setzen folgende geometrische Sätze als bekannt voraus:

BCiAB=iECxAE (1)

BCx AC= BDiAD (2)

mABE^:=iBCxAC—BDxAD .... (8)
CD^=BCxAB^ECxAE . (4)

lU nnn BE=i CDy so folgt aus (3) und (4)

BCxAC'^BDxAD=BCxAB^BCxAE ... (5)

^eil über AB=BD-^ADy und ACz=zEC+AE wt, so er-
lialten wir leicht aus (1), (2) und (5)

BCxEC-hBCxAE—BDxAD^zBCxBD-^-BCxAD

-^ECxAE (6)

BCxAEzzzÜCißD+AD),
BCxAD = BD(CE+AE)\

fblglich wird auch No. 6 zu:

BCXEC'^ADXEC+AEXEQ=BCXBD^AEXBD +

ADxBD oder

ECX\BC^AD^AE\=BDX\BC'\'AD'\'AE\ oder

EC=i BD.

1b den Dreiecken BEC und BDC sind daher alle Seiten gleich,
mithin diese congruent, und daher <iECB:=z<.DBC^ folglich
auch AB's^ACy was zu beweisen war.

Uebongsaofgabeo ffir Sehfller.

Ein geometrisclier und ein arithmetischer Satz.

Von dem Herrn Professor Press an der polyteehniseken

Schale zo Stuttgart

Satz 1.

Kennt man von einem geradlinigen Dreieck den Halbniesser r

des einbescbriebenen , den It des nmscbriebenen Kreises und den

^ eines der ftnssem Bernhrnngskreise, und setzt der Kurse wegen

l/ÜIi: ZLS. = m» so findet sutn die drei Seiten des Dreiecks dsick

die Gieicbong:

^t — ^mga?'' + {m*Q* + r* H- 4Är)a? — 4mQRr = 0.

S a t z 2.

Eine decadische Zahl ist durch lO.is + a theiibar, wens der
Unterschied zwischen dem «fachen der letzten und dem «fiicben
der übrigen Ziffern durch 10. » + a theilbar ist; oder sie iatdnich
IOm. — a theilbar, wenn die Summe aus dem «fachen der letsten
und dem ofachen der übrigen Ziffern durch 10.» — a tbellksr ist
(In beiden Fällen bezeichnet n jede beliebige ganze Zahl tob 0 an
und a die einfachen Ziffern von 0 bis 9.)

So ist z. B.

«

301 theilbar durch 43 = 40 + 3 = 10 . 4 + 3» weil -

30 . 3 — 4 . 1 = 86 durch 43 tkeilkar ist
261 theilbar durch 29 = 30 -- 1 = 3 . 10 — 1, weil

3 . 1 + 26 . 1 = 29 durch 29 theUkw ist
1157 theilbar durch 89 = 90 -- 1 = 9 . 10 ^ 1, weil

7 . 9 + 1 . 115 = 178 dnrch 89 tkeilkar ist
816 theilbar durch 68 = 70 — 2 = 7.10 — 2,wril

7 . 6 + 2 . 81 = 204 dsrck 68 tkeOhar Ist

333

Lebrsatz von den Binomialkoefiizienten.

Yoo dem Herrn Doctor 0. Schlönilch zu Weimar.

Beieiehnet /* eine beliebige Grösse, » eiDe ganze positive Zahl,
so ist die Summe der (i» + 1 Jgliedrifi^n Reibe

= ^"^ ^ A^»* für ein irerades n
UDd = 0 fiir ein ungerades «.

> •

Wie läMt sieb dieser Sats, der gelegentlicb gefiiadeu wurde,
auf elementarem Wege beweisen?

XXXVl

iscellen.

Auszuf ans einem Briefe des Herrn Professor SieicbeB
an 4cr Ecole militaire de Befriqne au Brissel an den

Heransgeber.

J'ai In dans le demier No. de rotre estiauJile ionmal *^ T^one^
flTnn ftUKAf^ geaeral de meeaai(fae, fai ne me pamit gaerei non-
vcaa (si tonles foi« j^en aii bien cowpris le sens), et qae j'^tabfis
de la maaiere snivaate daas man cosrs de mccansone, qae je j^ro-
fesae a J^Jbcolc militaire. 4itnaad des fvrces ap^iqnees ä an Systeme
yulcenqne de corfis ne se fönt pas fqailibre, il j aara maniemeat
afKs am teaips qaelcoaqae t» et peadaat TiAStaat aaivant di^ ces
irnntm aM^iüeraat iafinimeat pen les vitesses des diS^reates miiies
«fiiieaie; aMäs ces accroisscaiCBti de iritesse iarfantaaes doane-

i«mt Cm« a dca räactiaats, et VefuUkre ai^baiate c«tre les forees
aailiciiiintias et ces ferces de reactaaa daes a riaertie de la ssatiere:
Em cfiet i«s f#rces modi£cjitnces traaaaMtteat par lear actiaa ia^
mfdiirtr «« |iar le mayen des lais de limaoa des effarts, les qaek»
a^ts ^taaeot |irts es aeas eoalrure, feraieot ^quifibre ans forees pro^
paafcs, pnaqa^s empMieraient ees modifiealiioas de titosset mais

) Cütenaimfaer Boricfat. Kr. JÜL 6. i^ G.

334

ces efforts ainsi eDrisasres. sont precisement la aesure des r^actions
d'inertie. Dodc il y a ^uilibre catre les forcea lollicitastcs et les
r^actioDs d^ioertie. Od voit qoe le principe est la g^o^ralisation
naturelle d'nn principe qni date de Newton, et qni eat conna aons
le nom d'^galile de Taction et de la reaction ; Tid^ de cette g^n^
raliaatian, je me bäte de le dire, ne B'appartieBt böac paa; je l'ai
pais^ dans le cours de a^canique BalheureiueBent trep pea r^pandn
encore de Monsieor Poncelet; mais je pars de la ponr Aablir en-
snite toutes les autres notions de dynanique et poar aiontrer le
moTcn de mettre en equations tous le's probtöaes poasiblea; ce qni
dispense du fameux principe de D'Alembert qoi me parait aioins
clair, moins direct. et snrtout plus eaibarrassaat dans les applications.
Tradnisons maintenant TenoDce en fornole. Soient P^ F'^ /''....
les forces appliquees ä de certains points ^y ^. ^, .... d'sn ay-
stemede massesai, m\ at^, ot"'....: r, r'. p*. r^.... les vitesaca de

Celles -ci apres le teaipa /, et dv, dtf, dtf^ ihT les accroiaie-

■ents de vitesse instantanes engendri^s par les forces dona^ies; la
nasse as eprouTe donc de la part de ces forces nn effort de pras-

sion dans le sens de r donoe par reqnation 9) == as . ^, En adaet-

tant one notation analogne ponr les antres aasses, 00 Toit ^Yidea-
Bient qne reqnilibre doit snbsister entre les forces P, P'y /** ....

et entre les forces — 9. — y'. Ty*'."". y** > •l"* «craieDt ap-

pliqnees a as, m\ ai", ot^...., puisqu'ainsi les impressions ^proams
par ces nasses seraient d^niites par des Forces Egales, et oppoato:
donc en nommant de^ d^^ de"y dt'" .... les cbemins d^rits en
Terta des Titesses acqnises r, r'. . . ., pendant le teaips di^ ob anra
par le principe des vitesaes virtoellcs eflfeGtires:

Pdp-\-P'dp'+P'dp'*+... - 9) . €fe- sp'.iÄr'— 9". de^—f'^dd^. ^ete.=0

OQ abr^TiatiTement^ et a cause de de^=zvdi^ dd=it^d$., ,.^

2.Pdp^2.m.^.vdi=2.Pdp—S.m.^.de=0,

^nation qoi exprime le principe des forces rives laataBtasdea; qai ^ ^
coadait aussi par Tint^gralion k celni des forces mes finiea, et^*^-^^

?Bi se troore aossi d^montree deja dans le cours dt Mr, PoDcelef. .^ ^^>
!oBinie on a, en nommant Q. ^, QT .... les poids des wiattim ai, .^ ^)
ai', at^...., amen^B a la surface terrestre^ on ^f^loera cca der- ^— *"

Bieres par les ^uations: ai=-^, «i'= — ff ezpriaiaiit k n-

tesse acquise par un grave peadant une seconde: ce qai
d'ecrire aossi:

Oz=::S.Pdp-'2-%..d€.dif=2.Pdp ]j-,S.Q.dp.de^....

gdt '^ gdl

^uation qoi exprime sans doote l'^nonce mtee da priaäpe ea
qaestion: mais snpposons maintenant qu^apres le tempa $ oa paisae
an^ntir tont-ä-coup lea Titesses des masses as, ar, ai'',...aana
troubler toutefois la fig^re du Systeme: des lors ob poorra Ini im-
primer un deplacement arbitraire, dans lequel les points d^application
^, A\ A" d^rivent les cbemins d/r, äp\ d^ . • • ^ aaitaat lea

335

1

lignes d'action des Forces /*, R^ P\ F*** ,,, ., et cenx des poinU
d*application m, W, m'' . . . . des forces — y, — y', — qp", — 9"' . . . .
decriront aussi des chemiDs arbitraires 8e^ i^, ^e'\ de"* .... et Ton

aar» •ncore:

2 . PSp -^S ,tp .6e = 0ion2rdp ^ -L.2 . fi . dv. de=0

et cette ^nuation est plus (i^^n<^rale quc cellc donn^e d'abord. Au
reste ce-ci ne saurait cd rien porter utteinte au m^ritc de l'ouvrage
aDDonc^, et il n^y a saus doute pas d'iiicoovdoient, Monsieur, de
voir pr^sent^ quelques observations a cet dgard.

Si a Pavenir les remarques de ma part, sur la m^canique ra-
tiooDelle et appliqu^e, ayant quelque mdrite de nouveautd peuvcnt
faire plaisir a vos l€ctcurs, je pretidrai la libertd de vous en com-
mnoianer plusieurs; ponr le moment je me bornerai k ce qui suit.
DepDis loDg-temps je m^^tuis apper^u de la faute commise par
Poisson aux sujet des axes principaux et qui a 6t6 signalde dans
Totre Journal. En effet dans la tb^orie g^o^rale que j'^tablis sur
lea azes principaux des corps, et qui comprend dans les consequen-
ces tous les i^^sultats, trouvds anterienrcment par Poisson, Bi-
net et Ampere, se d^montre la propri^t^ suivante: Tontes les
fois qn'un solide est pourvu d'nn point fixe, sitn^ dans
Pnn de ses troispl ans principaux du centre; Tun des tr Ol s
azes permancnts de rotation cn co point est normal au
plan, et \^h deux autres se trouvent dans ce möme plan
ou ils occnpent nnc position qu'on pcut calculer. Ce
tb^oreme conduit a une conclusion en enet oppos^e k cclle dePoiason,
comme on Pa rcmarque. Voici nn autre thdorcmo sur cette matierc,
qui para?t ^galement nouveau: l^es trois axes permanents de
rotation, relatifs a uo point fixe quelconqued'uu solide
de r^volution, sont l'un perpeudiculairc au plan, ddtcr-
min^ pjar ce point et par Taxe de ri^voiution, et les deux
autres occupent dans ce plan une position que notre
tb^orie pDrmet de calculer. Dans un solide bomogene
de l^re clas8ennpointfixeque]con(iue(6^), int^rieurou
ezt^rieur, et difr^rent du ccntre d'iuertie (/) est ce

3ne je nomme un centre de radiation plane normale
'azea principaux: c'est-a-dire que tous les axes en ce
point situ^s dans un plan normal a la ligne centrale OJ
sont des axes permanents de rotation du solide, et ils
correspondent tous a des moments d'inertie du corps,
^ganx entr'eux.

Pour le moment je ne pousscrai pas plus loiu cette enumdration.
Mais si des resultats de ce genre pourront vous faire plaisir, l\lon-
sieur» et dtre utiles a vos lectcürs^ je vous prierai de bicu vouloir
n'en donner avis, et des lors je mettrai tout mou travail en ordre,
et m'empresserai de vous le commuoiquer ^ ). Je termine par une
derni^re remarque; eile se rapporte a la 3^roe loi de Kepler. Ku
irfmettant eette loi comme un r^sultat d'observation, les autcurs

*) leb sebe mit Vergnügen diesen Mittheilungen entgegen und werde sie
sebr gern in das Archiv aufnehmen, so weit es irgend der Rani» ge-
stattet. (>r.

336

de m^canique en concinent que la foree attractive du loleil sur denx
planstes de mdme masse et ä m^me distance, est la inline, partant
que Pattraction iob^rente a la mati^re inerte est ind^peDdante de
la Dature chimique des corps attir^s. Pour Dotrc part, nous penaons
qu'il vaudrait mieux reo verser la these, et raisonner de la maniere
suivante: Dans la maniere de mesurer Ics forces on pent et Tod doit
d^jk admettre tacitement que Fintensit^ d'une foree ^valu^e en nom-
bre, est proportionnelle a la quantit^ de mouvement au'elle engendre

en Tunit^ de tenips, et qn'on a en g^o^ral g>z=zm^; ^quation on

Ton fait abstraction de la nature cbimique de la masse, pnisque
Celle -ci n'entre dans la formule que par sa quantit^. Pour pronver
Diaintenant qu'il en doit dtre ainsi, on a ä faire voir que toutea les
forces sont comparables a des poids; car Texp^rience prouve que
Tacc^l^ration terrestre est la niSme pour tous les corps que nous
manions ici bas, et que par suite eile est ind^pendante de la Batnre
cbimique de ces corps. Donc puisque l'induction nous porte k con-
sid^rer la pesaoteur terrestre comme un cas particuller de la gravi-
tation universelle, il faut qu^en g^n^ral celle-ci smt ind^pendante
de la nature des corps attir^s; donc il devient Evident ainai qa*a
distances Egales et sur des masses Egales Paction du centre attrsctif
est la mSme. Mais en nommant P, Pacc^ldration d'une plannte plar "
c4e h une distance initiale r, , T la dur^e de sa revolation tyii» —
rale, a le demi-grand axe de son orbite, on a par la, th^rie cod- —

nue: P, = \'t) "fz* P^"^ ^^^ autre planete, placke ä nne di« — >
stance initiale r', , on aura encore /*', = ^«7,J jrr»; partant: —

Mais puisque les acc^ldrations P, , /''j sont ind^endaDtea de la
nature des masses plan^taires, la loi des forces inveraement propor-
tionnelles aux quarr^s des distances s'observe, et Ton aura panoite
/»',.r',» = P,r,*: partant: T* : T'* = a» : a'» , ce qui dteontre
rigoureusement la troisi^me loi de Kepler.

Berichtigung.

Seite 240 ganz am Ende setze man kömmt statt kdaate.
Auf Seite 266, Zeile 17 und 35, und auf Seite 267, Zeile 10 nd 85,
setze man statt der Nummern 1), 2), 3), 4) die NnmBern 1., 2i.| 3., 4.

XXXVII.

Bfittheilimgeii ttber die Constraction von Tan-
genten, Krümmungshalbmessern und Normalen
an Cnrveu, deren Natur völlig unbekannt ist.
Rectification und Quadratur der Kreisevolvente
mid der entwickelbaren Sehraubenflftche.

Voo

Herrn Wilhelm Pressel,

Ingenieur -Eleyen auf iler polytechnischen Schule zu Stuttgart.

Ehe ieh aaf die Sache selbst eingebe, glaube ich Folgendes
Sbcr die allgeneineii EigenschafteD der Cunren voramschicken zu
nttaaen.

Ich denke mir eine jede Curve zusammen gesetzt aus einer Reihe
>oii unendlich kleinen, gleich langen geradlinigen Elementen; als-
dann wird hei jedem Punkte die Verlängerung des zuoächstliegen-
den Elements die Richtung der Curve in besagtem Punkte angeben
Und diese Verlängerunjg heisst alsdann die Tangente. Man kann
KQr Tangente auch aut folgende Art gelangen: man zieht durch den
auf der Cnrve angenommenen Punkt eine Anzahl Secanten, so wer-
den auf denselben Sehnen von verschiedener Länge abgeschnitten,
aod man kann alsdann diejenige Secante die Tangente für den ge-
gebenen Punkt nennen, auf welcher eine unendlich kleine Sehne
ibgetfchnitten wird.

Denkt man sich nun eine Curve als zusammengesetzt aus un-
«odlich fielen ffleich grossen geradlinigen Elementen ,^o werden
diese Elemente Winkel mit einander bilden, die man Contingenz-
Winkel nennt, und welche dazu dienen, die Krttmmung der Curve
in jedem beliebigen Punkte zu messen. Da nämlich die Elemente
der Curve gleich lang sind, so werden im Allgemeinen die Contin-
.genswittkel verschieden sein, und man kann die Krümmung einer
Carve in einem gegebenen Punkte dem zugeMr\^«u CfO\A.vn^^^i.-

Bamä iV. "^VL

338

Winkel proportional setzen; denn man sieht, dass die Curve sich
desto mehr biegt, je grösser der Contingenzwinkel ist.

Die Krümmung einer Curve in einem beliebten Punkte wird
aber gewöhnlich durch den Halbmesser eines fi^reises gemessen,
welcher in dem angenommenen Punkte die zwei znnächstliegeBden
Elemente mit der Uurve gemeinschaftlich hat, oder zwischen wel-
chem Kreise und der gegebenen Curve eine Oscnlation ,der zweiten
Ordnung Statt findet. Diesen Kreis nennt man den Kriimmungs-
kreis, seinen' Halbmesser den Krümmungshalbmesser und sei*
nen Mittelpunkt den Krümm ungsmittelpunkt für den angenom-
menen Punkt auf der gegebenen Curve.

Es seien nun AB* und AC (Taf. VI. Fig. 1.) die Elemente einer
. Curve, welche sich- in dem Punkte A begegnen, der Contingeni-
winkel BAD = 9, so inuis man .also, um den KrümmungsbalbnNs-
ser zu erhalten, den Mittelpunkt eines Kreises bestimmen, von wel-
chem AB und AC zwei Elemente, d. b. awei OBODdlich kMw
Sehnen sind. Man hajbire beide Elemente in iPund O und etriclite
in diesen Punkten auf denselben Perpendikel, so wird der Pa^ti 1^
in welchem steh dieselben schneiden, der Miltelpunkt, des lurifi»
mungskreises und also EA der Krümmunffshalbmesger soyi. Ibl
siebt nun leicht, dass der Winkel FBO dem CoiariiigeB» w<»iyt f
gleich ist, und man hat demnach

FA = EA^\xi%,AB = 'lFA=:^EAm%^

Da aber y ein unendlich kleiner Winkel ist, so kann mau statt sei-
nes Sinus den Bogen selbst setzen, also:

Bezeichnet man nun die Lance der EleneDte ^C und ^B mit db,
den Krümmangshalbmesser mit ß, so hat man nach dem Obigen

l)dt = ß,g,.

Da aher nach der Annahme die Krümmung einer Curve dem Coa-
tingenzwinkel proportionirt ist, so sieht man aus No. 2, daas die-
selbe auch umgekehrt proportionirt ist dem Krümmungshalbmesser.

Erste Aufgabe.

Es ist eine Curve f^F (Taf. VI. Fig. 2.) gegeben (ver-
zeichnet^ deren geometrische Eigensrchaften unbekanut
sind, es soll für einen beliebigen Punkt ßf derselben
die Tangente und der Krümmungshalbmesser eonstruirt
werden.

(Leroy, G^metrie descriptive. §• 572, 676.)

339

Erste Auflösung.

Man liebe ^dttfch den Punkt ^verschiedene Sehnen MA^MB^
JfC.,. MD^ ME.,*.^ verläng;ere dieselhen und auiehe Aazsz
Bb =s Cb SS . . . . = Dd:=, Ee = . . . . alle gleich einer beliehig an*
oenaBBeneD iJinge /, und yerbinde die Punkte a^hyC....d^e.\..
btdi eine stetige Cnrve £7' V\ Beieichnet nun (Tat VI. Fig. 3.
und Fig. 4.) P einen beliehig auf der Cbrve UV angenommenen
Punkt und 0 seinen entsprechenden Punkt auf UV\ # die Länge
de^ Sehne JffP, so hat man:

4f;i==/+#(Taf.VI.Fig.a.), it^i s= / — # (Taf. VI. Fig. 4.)

NiaBuni üuin nun den Punkt p unendlich nahe bei M^ so wird 9, im
Verliältniss 2U / unendlich klein und kann also vernachlässigt wer-
den. Beseiehnet nun (Ta£Vl. Fig. 2.) m den dem Punkt M ent-
snreehenden Punkt auf Vf\ so hat man Mm=z:i~\-*d9 oder=::/.
llan erhält also den Punkt m^ indem man von M aus mit dem
Balbveaaer / einen Kreis beschreibt; alsdann wird der Punkt, v^
velehe» dieser Ü'V schneidet, der gesuchte Punkt m sein, und
verbindet man diesen Punkt mit M^ so ist diess die Tangente fär
letsteren Punkt.

Bs seien nun MA:=zMß:=:ids (Taf. VI. Fig. 5.) die Elemente
der Gurve ÜV^ welche sich in dem Punkte M begegnen, so erhält
man die entsurechenden Punkte a und 6 der Cnrve UV\ indem
man Aa = Bb = / macht, so dass also die Linie ab die Richtung
der Tangente des Punktes m der Curve ü' V angibt. Fällt man
von b aus das Perpendikel bU auf Aa^ so hat man:

bb'zjuMb sin 9, Mb'^=zMb cos 5p.

Da aber 9 ein unendlich kleiner Winkel ist, so kann man statt sei-
nes Sinus den Bogen seihet und statt seines Cosinus den Werth
1 setzen, so dass also:

bb' = Mb.q^ \ i ^'ä(/— rff)^)

Mb=Mb \ ^^""^ i Mb'^l-^d,.

Ferner ist ab z=:Ma-^ Mb' = (/+ «^) — (/ — 19^) = 2^^ und :
tang« — ^— 2^ _^ — ^_^ -.

Da aber der Krümmungshalbmesser ß des Punktes JXf = — , so
ist 2 = T °^^ ^Uo> nvenn man dieas substituirt:

tang a = — — |- oder (<Ja ^ unendlich klein ist)

^ '^ "^ 2tang«V

«

I

340

Diese Formel kann daza dienen, den Kriimmangshalbmesser des
Punktes M der Gurre VV %u bestimmen (Taf. VI. Fig. 6.).

Construirt man ^ämlicE die Tangente mT der Curve Ü'T
(ganz anf dieselbe Art,, wie diess bei der Construction der Tangente
JUm ffescbeben ist), halbirt Mm in E^ fällt von E aos ein Pe^
pendikel EF anf die Tangente m T und verlängert dieses, bis ee
die Normale des Punktes J§ in O triflft , so ist dieser Pnnkt O der
Kriimmungsmittelpunkt für den Punkt ßi der Curve UV, denn es ist:

M0 = :^= '

tang a 2 tang a

§

Anmerkung. Da die Länffe / ganz beliebig ist, so kann man
sieb dieselbe ändern lassen, und man wird auf diese Art ein Systen
von Curven U'F' erbalten, welche sich alle in dem Punkt Jf scbnd«
den. Ebenso erhält mau alsdann auf jeder dieser Curven einet
Punkt, welcher dem Punkte m entspricht; Construirt man nun fftf
alle Curven Ü'V in den Punkten m die Tangenten, so werdet
diese eine neue Curve einhüllen. Ich habe die Gleichung derselhes

fesucht und gefunden, dass es eine apolloniscbe Parabel ist, deres
xe die Normale des Punktes M, deren Scheitel dieser Ponkt M
selbst ist, und deren Brennpunkt die Entfernung 2/? von dem Schei-
tel M hat, so dass also der Krümmungshalbmesser dieser Parabel
fiir ihren Scheitel M 4mal so gross ist, als der der Cnrve ü¥
fiir denselben Punkt.

Zweite Auflösung.

Man ziehe Sehnen durch den Punkt. Jlf ( Taf. VI. Fig. 7.) und
verlängere dieselben, bis sie eine beliebig angenommene gerade oder
krumme Linie X Y schneiden ; alsdann mache man :

'A"a = Aa = MA n'd=^Dd^MD

B"b = Bb=^MB E"€ = E'€=ME

C'c = Cc = MC und

verbinde <lie Punkte

-« 5 -ö^, C/ . , , , Iß ^ E ....

•A , D , €/ .... JO''^ E . , , .

durch zwei stetige Curven V V und V'V" ^ so werden «ich diese
in einem Punkte m der Curve X.Y schneiden und dieser Punkt, mit
M verbunden, gibt alsdann die Tangente dieses letzteren Punkts.

Dritte Auflösung.
Durch die Punkte et, l, c .... d, e V'^^^* NV ¥\^. 80^ is

341

lieben die willkürlich angenommeDe XY durcb die Sehnen des
Dkts M jB^eschnitten wird, ziehe man Linien parallel unter sich,
och in einer ganz beliebigen Richtung, und mache:

J'iB=:jf'a = JliA

Bhz=iB'bz=zMB

. €rc=C'c=MC

Dtd—B'd=MD
ETe = B:e = ME

und

binde alsdann die Punkte

jA , D ^ C • • • • »Jf y Jtä , , , .

A *, Jo y t7* . • t . £r ', E . . • .

ch zwei stetige Curven Ü'V und V'*V'\ so werden sich diese in
sm Punkte m der X Y schneiden und Mm ist alsdann die ge-
bte Tauffente. (Diese beiden Auflösungsarten geben wieder mit-
, den Krümmungshalbmesser des Punktes M zu bestimmen, wel-
t jedoch etwas verwickelter sind, als die erste.)

Zweite Aufgabe.

Es ist eine ebene Curve f/F (Taf. VI. Fig. 9.) gegeben
id ausserhalb derselben ein PunktP, man soll von die-
tn Punkte aus eine Normale an die Curve l7Fzieken.

(Leroy, Geometrie descr. f. 324, 325, 326.)

Auflösung. •

Man beschreibe von dem Punkte P aus Kreise, welche die ge-
bene Curve in den Punkten A^ B^ C. . . . a, ^, c . . . . schneiden,
irch diese Punkte ziehe man Linien nach P und mache :

AA:

= A''A:

■Situi:

= «0"

der Sehne Aa

BB'

ssBB"

z=bb

= UI'

der Sehne

ßb

CC

= CC"

= cc'

=:cd'

der Sehne

Cc

rbindet man nun die Punkte

342

durch zwei stetige Curven ü* V und ü" V^ lo werden sich di«w
in mnbn Punkte M der gegebenen Curve schneiden , und dies« iit
alsdann der Fusspunkt der yerlangten Normale.

Anmerkung. Man könnte auch auf den nach P geit;ogenen
Geraden Stacke auftragen, welche so gross sind als die halben eit-
sprechenden Sehnen.^ Auf diese Art würde man wieder, swei Cnrvea
erhalten , welche sich in dem verlangten Fusspunkte üf schneidei,
und zwar so, dass jede diesf^r neuen Gurren die gegebene Gnrve n*
ter einem Winkel von 45® und dieselben einander selbst unter einen
Winkel von 90® schneiden; ferner haben die beiden Uilfscnrven in
dem Punkte M gleiche Krümmungshalbmesser, und zwar erhält nan
die Länge ß dieser Krümmungshalbmesser als die Diagonale eines
Quadrats,' dessen Seite gleich dem doppelten Krümmungshalbmesser
r der Curve ÜT für den Punkt M ist, d. h. ßz=:tr\/%.

Dritte Aufgabe.

Es s<3i ei^ie Curve UV von doppelter Krümmung ge-
geben, deren geometrische Eigenschaften unbekaniit
sind; es soll für einefa beliebigen.Punkt Jf derselben die
Tangente und die Osculatiqnsebene bestimmt werden.,

^ (Leroy, G^om. descr. §. 572, 654.)

(Da die gegebene Gurve windschief ist, so denke ich mir dieselbe
auf zwei Projectionsebenen bezogen und sämmtliche GonstrnctioDen
nach den Lehren der iieschreibenden Geometrie ausgeführt.) ,

ErsteAuflösung.

Man ziehe durch den Punkt M (Taf. VI. Fig. 10.) verschiedene
Sehnen MA^ MB^ MC .,.. MD^ JvJ^..,., verlängere dieselben,
und mache

• Aa^=LBb=,Cc=. =zDd=:zE€

alle gleich einer beliebig abgenommenen Länge /; alsdann werden
die Punkte 9, ^, c .... 1/, ^ . . . . mit einander verbündet
eine neue windschiefe Gurve Ü'V* bilden. Um nun den Punkt def
Curve V F' zu erhalten, welcher einem unendlich nahe bei M ge-
legenen der Gurve ÜV entspricht, beschreibe man . von jlf aus mit
dem Halbmesser / eine Kugel und bestimme den Punkt m, in wel-
chem dieselbe von der Curve U'V^ durchbohrt ^wird, alsdann wird
dicss der gesuchte Punkt und also Mm die verlangte Tangente
sein, woraus sich leicht die Normalebene des Punktes M er-
gibt. Bestimmt man nun auf dieselbe Art die Tangente mT^ des
Punktes m der Gurve Ü'V' und legt durch diese Tangente mT
und die Mm eine Ebene, so sieht man leicht, dass dieses die Oscu-
lationsebene der Curve UV für den Punkt M isr. (^Projicirt man
nun die gegebene Curve UV auf diese Osculatioosebene und be-
stimmt den Krümmungshalbmesser für den Punkt M dieser Pro-
jectiou, so ist diess zugleich auch der Krümmungshalbmesser für
den Punkt M der gegebenen Gurve.)

343

Zweite Auf lös im g.

Man nehme ganz beliebig eine Ebene FJF^ (Taf. VII. Fig. \A
an, ziehe Sehnen dnrch den Punkt ilf der gegebenen Cunre, und
veriängere dieselben, biii^ie die Ebene jPdnrcnbobren; es geschehe
dieM in den Punkten m, ^ , e .... «f, ^ . . , . Nun verbinde man
diene Punkte durch eine stetige Curve JC F; ferner ziehe man in
der Ebene JFJR durch die Punkte a^ b^ c .... d^ e ,•.. Linien pa«
rallel unter sich, jedoch in einer ganz beliebigen Richtung, und
aache alsdann

e^ z=z etf' = MEl
dd^=dd'= MD

cd = c^ = MC

verbinde alsdann die Punkte

€F ^ wt • • • • €m y O ^ C m • • • '

durch zwei stetige Curven V V* und V* V'\ so werden sich diese in»
einem Punkte «»der XFscbneiden, und dieser Punkt gibt alsdann»,
mit M verbunden, die Tangente des Punktes M der Curve ÜV.
Die Sehnen, welche man durch den Punkt ilf gezogen hat, bilden
eine Kegelfläche, deren Spitze der Punkt M und deren Leitlinie
die Curve f/Fist, und welche die Ebene FFsin der Curve XF
durchdringt. Man sieht nun, dass eine Ebene, welche die Kegel-
fläche längs der Seite Mm berührt, zugleich die Osculationsebene
der Carve für den Punkt M ist. Constmirt man also die Tangente
nT der Curve XFund legt durch dieselbe und die Tangente Mm
fine Ebene, so wird dieses die Berührungsebene der Kegelfläche
Itngs der Seite Mm und also auch die Osculationsebene der Curve
Ly für den Punkt M sein.

Vierte Aufgabe.
Die Länge der KreisevöLvente zu bestimmen.

A u f 1 ö s u n g.
Dr Kreisbogen AM=sz=:ra (Taf. VII. Fig. 2.) sei in eine

344

uDendlich grosse Anzttbl m gleich langer Elemente von der Länge
dM getheüt. Die Contingenzwinkel dieser Elemente werden einan-
der gleich sein; mbfk setze jeden derselben = gp. Man hat demnach

— ==:r;9> = — \ mih := ra =z AM, Man findet nun die Längen

der Evolventenelemente Aö^ de, cd .... üs die Längen von klei-
nen Kreisböeen, deren Halbmesser die Linien Aß^ bCy el}^ dB,^
= i&, 2i^, ödsy \d» .... md$ sind, un^ deren Centriwiokel imaer
= ip ist. Man hat also Bogen

AN =, ds .^ + 2ds . <jp + Zds . 9 + .... + mds . y
= «^.99 (1-+-2 + 3+ .... -+-«i)

z=zds,fp (1 -h «») y.

Da aber m unendlich gross ist» so verschwindet in der Parenthese
die Zahl 1 gegen m^ und man hat also:

AN=ids ,ip-^\ es ist 9) = --7, also diess substitnirt:

AN'=i ■ ; da aber mds = MA == ra, so ist auch

Die Länge eines Umlaufs der Evolvente findet Hian , indem man in
dem Werthe für / a = 2;r setzt, alsdann ist

oder gleich dem Umfange eines Kreises, dessen Durchmesser gleich
dem Umfange des gcgeoenen Kreises ist.

Fünfte Aufgabe.

Den Inhalt des Stücks zwischen dem Kreise und sei-
ner Evolvente zu bestimmen.

Auflösung.

Dieser Inhalt wird erhalten durch die Summation der Kreisaii*
schnitte ABb^ bCc^ cDd...,

Es sei dEe der n*^ Ausschnitt, so ist sein Inhalt:

gzr^^de .dE^=z\nds.^ .ndsz=z^n^ds* . gp.

Setzt man in dieser Gleichung /# = 1 , » =z= 2 .... bis m = j/ uod
summirt die hiedurch entstandenen Werthe, so erhält man d«i In-
halt Q des Stücks zwischen dem Kreise und der Evolvente, s» dass
also:

V

/

345

Q = ^» - y + i .2*ds^q> -f^ i . 3»i/#» . y + + \m^ds*^ oder

4 = iiilf »y (l-f- 2» + 3» + . . . . + «I»).

Bs ist aber die Summe dieser Reihe = -y- H — ^ "*~ T"» a^ao:

ds ,

Setzt man für qp seinen Werth — und dividirt sämmtliche Glieder

iB der Parenthese durch m^ , während man die Grösse ausserhalb
derselben mit m* multiplicirt, so hat man:

^ — 2r ^»1» "*" 2m« "*" 6»i«^

m'ds* .11 1 .

2r ^ "*" 2«! "*" 6»i«^'

Da aber m unendlich gross ist, so kann man in der Parenthese
die Brüche r— und ^^ vernachlässigen, und ferner kann man statt ^
m*ds* die l^änge Aßi* oder r*a* setzen, so dass also:

Sechste Aufgabe.

Den Inhalt der entwickelbaren Schraubenfläcbe zu
finden. (Leroy §. 450.)

Auflösung.

Diese Fläche entsteht durch die Verlängerung der Elemente
einer Schraubenlinie und ist also eine entwickelbare Fläche* Nimmt
man die Axe der Schraubenlinie senkrecht an und schneidet die
Fläche durch zwei Horizontalebenen, welche um eine Ganghöhe von
einander entfernt sind, so wird hiedurch die Fläche nach zwei Kreis-
evolventen geschnitten, zwischen welchen beiden Grenzen die Flä-
che nun berechnet werden soll. Wickelt man die Fläche ab« so
bleiben hiebei die Contingenzwinkel der Wendecnrve unveränder-
plich, weil die Drehung um die Verlängerungen der Elemente vor
sich geht. Die Wendecurve wird sich also nach einer Curye ab-
wickeln, welche bei gleich grossen Elementen gleich grosse Con-
tingenzwinkel hat, das heisst nach einem Kreisstück^ dessen Länge
gleich der Länge der gegebenen Wendecurve und dessen Halbmes-
ser gleich dem Krümmungshalbmesser derselben ist. Die Kreisevol-
venten, <lurch welche unsere Fläche begrenzt ist, wickeln sich nach
Kreisevolventen an der abgewickelten Wendecurve ab, so dass man
also den Inhalt des einen Mantels der gegebenen Fläche als den

9146

Inhalt ' des Stücks zwischen der yerwandelten Wendecurve und
^ ihrer Evolvente berechnen kann. Man bezeichne den Halbmesser
des Grundkreises mit r und den des Krümmungskreises der
Schraubenlinie mit /?.

Es seien nun AB =l BC=Ld%' (Taf. VII. Fig. 3.) zwei Ele-
mente der Schraubenlinie, welche den Winkel a mit der Grundfläche
bilden; ihre Projectionen a6z=zbcz=^ds sind alsdann .zwei Elemente
des Grundkreises. Der Contingenzwinkel BBC werde mit 9' und

der Contingenzwinkel BbC mit 9 bezeichnet, alsdann ist r = —

di
und /9 = — 7. In den gleichschenkligen Dreiecken BBCxivA. BbC

hat man nun:

BC=z^ßB sin I = ÄÄ' . sin |

BCz=z 2Bb sin | = 2iÄ . sin|.

Da aber y und |> unendlich kleine Winkel sind, so kann 'man statt :
ihrer Sinus die Bögen selbst setzen, so dass

B €-=, ds . 9>' und
BC'=: ds . 9), also auch

ds\q> z^ds .w. oder da ds' = , so ist auch ^ ■ = ds\ cp,

* ^' cosa' cos a ^^

hieraus 9' = y/cos a (I)

Nun ist weiter ß = —,t substituirt man für ds und ui ihre Werthe,
so hat man:

ds

a _ cos« ds

ycos«"^ gpcos'a*

Es ist aber — =^ r, also

2) ^=-V.

^ '^ cos' «

Bezeichnet man nun mit i> die Länge eines Gangs der Schrauben- — ^'

2m -

linie, so dass also L = ^jj^, so hat man ( nach der Formel für ""^ '•'"

Inhalt des Stucks zwischen dem Kreis und seiner Evolvente) für "^ ^^
die Oberfläche Q eines Mantels

^ L*^ L^eos^tc 8r»Ä«cos»a 4r»»»

6^ 6r 6rcos'a Scos«*

und also die Oberfläche beider Mäntel = = .

Scosa

347

Anmerkung. Aas der Formel 2) geht hervpr, dass (da,
cos 45® == 1/^1, cos 60* =E5|) der Krimmungsbalbmesser einer
Schraabenlinie bei einer Steigung nm Ah^ das Doppelte und bei
einer Steigung von 60® das Vierfache von dem Halbmesser der
Gruadflieli« beträgt.

Andere Auflösungsart.

SSmmtliche Elemente unserer Fläche haben dieselbe Neigung
gegen die Grundfläche, wie man leicht sieht, wenn man die Be-
rührungsebenen construirt, und zwar ist dieser Neigungswinkel
gleich dem Winkel a, den die Schraubenlinie selbst mit der Grund-
fläcte bildet Man findet aber den Inhalt einer ebenen Fimr, wenn
man den Inbak ikrer Projection mit dem Cesinus ikres Sfeigunffs*
winkeis dtridirt. Da aber alle Elemente uoserw Fläche dieselbe
Neigttng haben, se findet man den Inhalt derselbea, indem man den
loMiJt der Prajection dvch« cesis diridirt. Es ist aber die Pro-
jection des unteren Mantels. der Flädie das Stück zwischen dem
Ghndkreise and ciines Umgangs seiner Kvolt ente, so dass also der

lohalt dieses Mantels = ^^^ = j^^i und man erhält folglich
den ganzen Inhalt unserer Fläche:

** — Sees« • .

348

XXXVIU.

Einige Bemerkungeo aber felilerzeigende

Dreiecke.

Von dem

dem Herausgeber.

WeoB Ban durch drei Ponkte in einer Ebene mit deM^lbea,
die wir im Folgenden alt Ebene der asy annehmen werden , drei
beliebif^ gerade Linien legt, so werden diese drei geraden Linien
im Allgemeinen ein Dreieck mit einander einschliessen, welches wir
im Folgenden nach einem in der Geodäsie gebräachlichen Ausdrucke
ein fehl er zeigen des Dreieck nennen wollen; und über solche
Dreiecke sollen die ielgenden Blätter einige Betrachtungen ent-
halten.

Die Coördinaten der drei in Rede stehenden Punkte, sollen

^15 Vxy ^»1 y»; ^3> Vx

und die Gleichungen der drei durch diese Punkte gelegten geraden
Linien sollen

y — yt=-A^ (^ — ^f)

sein; die Coördinaten der Durchschnittspunkte der Isten und 2ten^
2ten und 3ten, 3ten und Isten Linie wollen wir aber respective
durch

?i> ni\ ?a> »?»; ?ts n%

bezeichnen. Bestimmt man nun diese Coördinaten auf bekannte
Weise, so erhält man

2)

3)

„ AjA^ (Xy — Xt) -f- ^,y, — ^,y ■ .

Aa -"■«»

4)

_J,Ai (a:, — a:i) + ^,y, — ^,y.

n

t

A^-A,

99ß

eteen wir jetzt der Kürze wegen

erhalten wir ohne alle Schwierigkeit

X

6)

7)

8)

5' - 5» — (A,-A,HJ,-J.) '
A^H

r

R

Bezeichnet ^ den Flächeninhalt des fehlerzeiff enden Dreiecks,
ist nach einem bekannten Satze der analytischen Geometrie ^)

iun man nur in dieser Gleichung das obere oder untere Zeichen
nmt, jenachdem man sich, um von dem Punkte (^ii^i) durch den
inkt y^^fii) zu dem Punkte ($,^s) zu gelangen, nach derselben
chtung, nach welcher man sich bewegen muss, am von dem po-
iven Theile der Axe der a: durch den Coordinatenwinkel hin-
rch zu dem positiven Theile der Axe der y zu gelangen , oder
eh der entgegengesetzten Richtung hin bewegen muss. Also ist
ch dem Vorhergehenden, wie man leicht findet, wenn man immer
^selbe Bestimmung wegen des Vorzeichens wie vorher festhält:

R^

tzt man

( ^1= tanga,,
11) j ^, = tanga„
f :4, = tang«,;^

ist . ^

V (XxBxnay^ — y,cosg,)co»<iga — (^aSin«a~ygCOgflga)cos«|

2X1 sin(a,— «a) ""'

(^tsinci —y'tCoscgJsinc^-^CjraSincga— ya<^ostta)sintt|

^' " sin («1 — a^) '

Arcfiiv. ThI. ill. S. 263.

350

1»)

14)

und

' ^ SID («, — «,)

(argsin«^ — ya^^o««») sin«, — (xtsin«, — y,costt,)ting,,

^* sin («, — «,) *

j. (artsinc, — ytO<»«t) co»g| — (j?tsintt, — y|Caggt)eo»g|

'• sin (g, — gj) '

(ar,singt — y^cosg,) sing| — (j?|Smg| — yicosgt) sing^

^* N sin (g, — a^) '

oder

15) /l=(ari — ar,)taDga, taDga,
-I- (ät, — ;r,) tang a, taug a,
-I- (2r, — or,) tang a, tavg a^

4-(y«— yjtanga^
4-(ys— yjtanga,

16 ) cog Ol cos o, cos a, • /l

= (^i8inoi| — ^,<cosaj)8i»(a, — «,)
■4- (^ssina» — yaCosa,) sio (o, — a,)
-|-(^,8ina, — y,co8a,)8in(ai — «i).

^>etzt man nun der Kürze wegen

17) 0 = (^,8ina, — y,cosa,)sin(a9 — a,)
■4- (^^sina, — yaC08tts)8in (a, — oj
-I- (^,sina, — y,cosa,) sin («, — «,),

so ist nach dem Obigen

18)

19)

20)

y, y; ^ COS g,

^» ^* sin (g, — g,) sin (g, — g,)'

B sin gg ^

^1 '^?'~" sin(gj — g2)^i'^ («2 — ««)'

-. j. O cos g,

^» "" ^* sin (g, — ga) sin (g, — g,)'

S sin g,

''» ^« 8in(ga — g,) sin (g, — gj '

^ ^ O cos gl

^» * * sin (g, — gl) sin (g, — g»)'

O sin gl

•?f — ' «^i — iiu(g, — gl) sin (gl -- gj)'

351

21 \ 2A =: =«: ■

'\ ^ ■"sm(a, — a3)sin(a3 — a,)si]](a, — «,)'

er. mit derselben BestimmuDg wegen des Vorzeichens wie oben,
eicbnet man die Seiten des feblerzeigenden Dreiecks, so wie
elben in der ersten, zweiten und dritten der drei durch die Glei-
igen 1) charakterisirten Linien liegen, durch #i, #,, «,.; so ist

22) [ ,,»=e, -?.)»+(•,.-!,,)-,

folglich nach dem Obigen

* |sin(a, — er,) sin (a, — «i)!*'

23) ,,» =

jsin («a — a,) sin (a, — a,)! *'
• |sin(a, — ai)sin(as — «t)(''

3

ohne Beziehung der obern und untern Zeichen auf eiqander:

* ^ Sin («j — «,) Sin (a, — a,)

j \ a -^ giU ^^^ ^^J gjj, ^^^ ^^J 1

^ _^ 9

' sin («t — «i) sin («» -r a,) *

braucht die Winkel a,, a,, a, nicht grösser als 180^ zu neh-
Dann sind auch die absoluteb Wertbe der Differenzen

ccj — tt), a, — ttj, a^'—a

1

; grösser als 180^, wobei natürlich vorausgesetzt wird, dass
I, a, positiv sind; und weil nun

(«, — a2)H-(«, — a,)4-(a, — a,) = 0

«

IG haben ...

; sSmmtlich einerlei Vorzeichen. Also haben auch

sin(a2-^a,), sin(a, — «,), 8in(a, -*a|)

; sammtlich einerlei Vorzeichen, und es ist folglich, wenn man
obern oder untern Zeichen nimmt, jenachdem ® positiv oder
tiv ist, immer entweder

352

'i

'a

e

sin

(«.

— «,) sin
9

(«,

~™

«.)'

sin

(«.

— a,) sin
9

(«.

~~"

«,)'

sin (a» — «i) sin (a, — a,).'

oder

'i

*.

e

nn

(«.

— a,) sin

(«.

-«.)•

sin

(«.

— «,) sin

(«.

•

• ■" sin (a, — a, ) sin («r, — «i) '
oder

• ■" sin (a, — a,) sin (a, — «,)'

9

' . "** sin (a, -^ «,) sin (a, — «,)"

I ^

• sin (a, — a,) sin («j — «,) *

Daber ist jederzeit

25) *,*,*, =± jsin(a, — «,) sin (a, — «,) sin («,—«,)!»'

wenn man immer das obere oder untere Zeichen nimmt, jenachd
& positiv oder negativ ist.

Denkt man sich, was offenbar verstattet ist, die Winkel
a,, a, nach ihrer Grösse aufsteigend geordnet, so ist

V

sin (a, — a,) negativ,
ain (a, — a,) negativ,
sin (a, — «i) positiv;

also unter dieser Voraussetzung, wenn man die obern odel* uot<
Zeichen nimmt, jenachdem 0 positiv oder negativ ist:

* '^ sin («1 — «,) sin (a, — «,) '

9
^ \ ' sin (a, — a,) sin (air^«i) '

9 ■

• """"+" sin (a, — «I ) sin (a, — «,) * •

863

Also ist

27) #1 : #s : #, .
= sin (a, — «i) ! siD («, — «,) : sin (a, — a^)
= sin (a, — a^) : sin (a, — «1)2 sin (a, — w,).

Weil anter der gemachten Voraussetzung das Product

sin (a, — a,) sin (a, — a,) sin (a, — «,)

positiv ist, so ist nach 21) unter dieser Voraussetzung

^) 2A = -^-7 , . , ^' v-w— ;•

' " sm(ai — ()r,)siil(<r2 — ctt) sm («, — «,)

«

Bezeichnet man die den Seiten Sy, #,, #, entsprechenden Höhen
des fehlerzeigenden Dreiecks respective durch' ^,, ^„ ^,, so ist

A _2A z _2A jr _2A

'i 'a '1

und folglich nach dem Vorhergebenden

A — — ^

29) (i^,=±^-r^ ■„

also

93

^ * * ' ~~* siii(rti — «,) sin («j — «,) sin(a3 — «j)'

d, i.

' 31) >6|Ä,Ä,=db2A©,
oder

32)® = ±^'.
Auch ist

^^) TtV =s«n(ai — ajsin(a, — a,)sin(a,— aj.

Leicht überzeugt man sich auch von der Richtigkeit ^er beiden
folgenden Relationen:

i #jsinai — «^sina, +«, sina, =0,
34) <

( #iC08ai — #, cosa, +#,cosa, =0.

Ist r der Halbmesser des um das fehl erzeigende Dreieck beschrie-
benen Kreises, so ist (»ekanntlich

Tkeüiy. 23

354

also nach dem Obigen

r

35\ ^-—-t. ü :

' 2sin (a, — a,)sin(a, — a,)sin(a, — «,)'

Beseichnet ferner q deo Halbmesser des in das fehlerzeigen<K^ d
Dreieck beschriebenen Kreises, so ist bekanntlich

*a + *j

nnd folglich^ wie sich hieraus Mittelst des Obigen mit Bnlfe eini
gonioMCtrischen Relationen leicht ergiebt:

36) ^ = = -^-7 ^

sin (a, — a,) -f- sin (a, — «,) — sin («, — a,)
oder

37) ^ = ±

4cos4^(a, — a,)cos|(a, — a,)sin^(o,— a|)*

Wenn sich die drei durch die Gleichungen 1) diarakterisirfl^ — ten
geraden Linien in eines Punkte schneiden sollen, so imss ^ = " 0>

also nach 21) die Grösse 9=0, d. i. nach 17)

38) (^isina^ — 3rjCosa|)sin(a, — a,) \
-|-(iar«sino, — ir^coso,) sin (a, — a,) f =9
+ (^gsina, — Sft^^^^s) *'■ (*i — **»)• ' •

sein, wobei auf der Stelle erhellen wird, dass diese Gleidi
eigendich die Gmndgleichung des gewöhnlidi nach Potheuot
nannten Problems ist. Leicht bringt man die TOihergehende
dinng auf die Fora

, (^, — ^1 ) cos (a,—a,) sin (a, — a,)
f + (y. —yj 8in(a, — a,) sin («, — a,)

(y» — yi) «» («i — «m) «■ («t — «i)
= !-4-(y.— yi) «■(«!— «t)<»sK—«i)|

-i

)

■ (Jr. — *.) M« («» — «») MB («t — «.)

w*ms sich s*glciA

») r»«^« x.-x.-(r.-y.>cot(«. -«.) -(».-».)€•»(■.—«,>

355

ergiebt, und also erhellet, dass der Winkel a, bloss -aus den Coor-
dinaften ^i 9 ^i ; ^39^3; ^t 9 ^t ^^^ ^^^ Differenzen a^^^a^^
a, — «1 bestimmt werden kann, welches das vorzüglich den Po-
tbenot'Aehen Problem zum Grunde liegende Princip ist. Weitere
Entwickeltingen über diesen Gegenstand halten wir aber nach den
in dem Aufsätze No. XIV. im ersten Theile des Archivs angestell-
ten Betrachtungen an diesem Orte für überflüssig, und können die-
selben füglich dem Leser überlassen.

Yerschiedene mathematische Bemerkung^en und

Aufisätze.

Von

Herrn Dr. Wilhelm Matzka,

k. k. Professor der Mathematik an der k. k. philosophischen Lehranstalt

zu Tarnow in Galizien.

I.

Benierk,angen zu dem Aufsatze auf Seite' 57 im ersten
^ Theile des Archivs.

D*er in diesem Aufsatze auf contbinatorischem Wege erwiesene
Lehrsatz :

„Alle ganzen Zahlen kann man aus den Gliedern der nach den
Potenzen von 2 fortgebenden geometrischen Progression, so
dass jedes Glied* nur einmal vorkommt, durch Addition bilden
und zwar nur auf eine einzige Weise;"
lässt sich als eine höchst einfache Folgerung aus dem leicht nach-
zuweisenden Satze entnehmen, „dass jede Zahl nach dem 4ja<ii-
sehen Ziffersjsteme, in welchem man sich nur der Ziffern 0 und 1
bedient, geschrieben werden kann, und zwar auf nicht inehr als
Eine Weise."

Uebrigens kann man, bloss auf die Lehre vom Theilen ge-
stntzt^ den allgemeinen Satz erweisen:

„Jede Anzahl lässt sich als algebraische Summe von
Vielfachen der natürlichen Potenzen jeder die 1 über-
steigenden Anzahl 80 darstellen, daaa die t^«U% ^^%v.

356

tiv«D, tlieils negativen Multipticätoren möglichst

klein, d. i. nicLt grösser als die Bälfte der potenzirten Anzahl,

sind, und zwar nur auf Eine Weise."

Denn ist a die potenzirte und » die darzustellende Anzalil, nsd

sind «9o 9 ^1 9 ^3 » • • * • 'Wr die algebraischen Multiplicatoren fär die

Potenzen a**, a^ , a', . • . . «r'*; so- soll der Forderung .gemäss sein:

oder

« = «lo H- («»i H- «»2» -+-.•••-!- «•r«'^^) «,
oder auch, wenn man

setzt,

in :=: j9iQ -|- if |0.

Die Aufgabe ist also darauf zurückgeführt, daas man die An-
zahl n vorerst nur aus den beiden niedrigsten Potenzen von a, der
nullten und ersten, nämlich aus einem Vielfachen, dem Mjfacheo,
von a und aus einer möglichst kleinen, positiven oder negativen,
Anzahl m^ zusammenzusetzen hat; folglich dass man die darzustel-
lende Anzahl n durch die zu potenzirende a dergestalt theilen solle,
dass der Rest möglichst klein, mithin der Quotus nächst zustimmig
ausfalle. Dann ist der Multiplicator m ^ von a^ j^ner möglich
kleinste Rest und der Multiplicator n^ von «> dieser nächst zu-
stimmige Quotus; nämlich, wenn man nicht erst noch neue Zeichen
einführen will:

m^ = möglich kleinster Rest von » : a,

I», '= nächst zustimmiger Quotus von n : a.

Weil nun eine solche Theilung jederzeit, aber auch nur auf eine
einzige' Art, ausführbar ist, so kann auch jede Anzahl n immer,
und zwar nur auf Eine Weise, au^ den' möglich kleinsten Vielfa-
chen der Potenzen a® und a' algebraisch zusammengesetzt werden.
So wie aber n zusammengesetzt wird , eben so wird 'sich der
Quotus ♦

», = «i H- iw^a H- . .*. . -f- «ir»**~*
neuerdings zusammensetzen lassen; es wird nämlich sein:
«», = möglich kleinster Rest von n^ : a^ und

zunächst zustimmiger Quotus von n^i a.

Wenn man demnach die zusammenzusetzende Anzahl n durch die

zu potenzirende a so theilt, dass der Rest möglichst klein ausfällt;

und wenn man den Quotus, und auf gleiche Weise jeden nachfol-

geadeu QuotUBj wieder so tWilt) duaa d^T Rest immer so klein als

357

_ I ausfällt: 8o sind die der Ordnung nach sich ergebenden
Reste die gewünschten Multiplicatoren moi fff,,, »,, . . . . »r; we^en
«r^>l wird jeder nachfolgende Quotus wenigstens auf die Hälfte
des vorhergehenden, mithin endlich einmal einer unter a selbst,
herabsinken und bei ihm die Rechnung abbrechen.

Ist insbesode re a = 2, äo sind die möglich kleinsten Reste,
daher auch die Multiplicatoren 0 und 1; und darin liegt der obige
Satz. Ist aber a= 3 , so werden die möglich kleinsten Reste,
Folg'lich auch die Multiplicatoren, — 1, 0, ] ; und somit ist der, in
dem Gitirten Aufsatze auch angeführte Satz erwiesen, „dass man
jede Anzahl aus den natürlichen Potenzen von 3 dnrch^ Addition
und Snbtraction, und zwar nur auf Eine Weise, bilden kann".

II.

Feststellung und Würdigung des in dem Archive, Theil 1.
d$. 204, über eine Stelle in Cauchy's Begründung der Dif-
ferential-Rechnung ausgesprochenen Tadels.

Der Herr Herausgeber des Archivs leitet die citirte Abband-
luDg mit folgenden Worten ein:

,,Cauch^ hat bekanntlich die Entwickelnng der wichtigen Dif-
ferentialquotienten der Functionen log a: und a^ auf den hatz ge-

srilndet, dass sich die Grösse (1 + 0) ^, wenn 0 sich der Null

.111
oähert, der Summe der convergirenden Reihe 1, Y>r~ä>| o 3> "">

welche wir wie gewöhnlich durch e bezeichnen wollen, als ihrer
Gränze nähert, . . . .^'

Auf der nächsten Seite fährt er fort:

„Gegen den von Cauchy gegebenen Beweis des .... erwähnten
Satzes hat aber Herr Liouville in seinem Journal (Aoüt. 1840.
p. 280) die sehr gegründete Einwendung gemacht, dass demselben

12
die Annahme zum Grunde liege, dass das Product (1 ^^^ '^'m^

n •—' 1

...• (1 — -) für «» = 00 der Einheit gleich werde, welches

Bwar dann seine Richtigkeit habe, wenn n eine bestimmte von m
Dnabhänpge Zahl sei, sich aber dann offenbar nicht mehr behaup-
ten lasse, wenn n von m abhängig, z. B. » = «» oder n = m — 1

■AI *'

WOif • • • •

Allein Cauchv stützt sowohl in seinem R^sum^ des Ije^on«
.... sDf le caicul infinit^imal. 4. Paris. 1823. pag. 2, als
euch in der verbesserten Ausgabe eines Theils dieses Werkes, näm-
lich in seinen Le^ons sur le caicul diff^reteticl. 4. Paris. 182^ p. 2,
die Herleitung der in Rede stehenden Differentialquotienten, in letz-
ter Instanz, auf folgende, wörtlich also lautende Stelle:

,>Si Ton suppose d'abord la quantit^ a positive et de la forme

-— , m d^ignant un nombre entier variable et susceptiblc d'un ac-
croissement ind^fini , on aura

358

(! + «) «=(14-1)"

• • • •

].2.3.,.in ^ m' ^ m^

Comme, doos le second meinbre de cette derni^re fbrmule, les ter-
mes X qui renfeimeiit la quantit^ m sont toas positifs , et croissent
en valenrs et en nombre eo m^me temps que cette quantit^^ il est

1 m

clair que Pexpres-sion (1 + "I^) croitra elle-m^meaTec le nom-
bre entier m, en demeurant toujours comprise entre les denx
sommes

I '

et 1+1+ l" -tiz-*- 2X2 + «*«'• = *-*-» -»-*== 3 5

dbnc eile s'approcbera indefiniment, pour des valenrs croissantes
de m, d'une certaine limite comprise eotre 2 et 3. Cette li-
mite est un nombre qui joue un grand rdle dans le calcol infini-
tesimal, est qu^on est convenu ded^siffner par la (.ettre e*^

Gaucby iässt sieb demnach ffar nicbt darauf ein , die GrenseD
der einielnen Glieder der entwickelten Binomiai -Potenz für eine
unendlicb wachsende Anzahl m aufsusnchen, sondern benutzt diese
Entwicklung bloss, um das stete Wachsen dieser Potenz zwisckea
den Anzahlen 2 und 3, also die Annäherung der Potenz selbst an
eine fixe Grenzzahl, die er e nennt, zu erweisen. Darum erwähot
er keineswegs, dass die Grenze dieser entwickelten Potenz die

Summe 1 + y H- j-r H- . ^ « + sei, noch weniger bezeich-*

net er diese Summe durch e, sondern er versteht unter e die

Grenze, der sich die Binomial- Potenz (1 + — ) , bei dem unend-

fn

liehen Steigen der Anzahl «s, unbestimmt nähert, wie auch immer
die successiven Werthe dieser Potenz berechnet werden möffen and
jene Grenze derselben gefunden werden mag. Ihm ffeniigt, für
seine Herleitung der Dinerentialquotienten, die blosse Nachweisuog
der Existenz einer solchen Grenze; da er die Grösse derselben
für diesen Zweck gar nicht zu kennen braucht.

Jedoch in den Pr^liminaires der oben angeführten jüngeren Le-
bens, pag. 10, nicht aber in den älteren R^sume, führt Gaucby, znr
Erläuterung der Convergenz der Reihen^ folgendes Beispiel an: .

Une s^rie digne de renarque est celle, qu'on obtient» lorsque,
dans le developpement de l'expression

359

OB fcil: coBver^r le nombre entier m vera la limite oo. Cette i^-
riei dont les diffi^ents termes sont respectivejnent

*' 1' J.2' 1.2.3* •• 1.2.3. ..n ®*^ '

reste coovei^ente . . . . "

Hier acmiesst Caucbj^ allerdio^s aus der GreDzform der An-
£uigsglieder der Reihe, in einer nicht genugsam begründeten In«
diiGtion, auf die Grenzform ihres allgemeinen Gliedes, indem er
stillschweigend

Hm(l_±)(l-l)(l-.A).... (l-fL=i) = l, für lim m = <x>

gelten lässt.

Diese Stelle ist es demnach, welche von Liouville's Tadel mit
Recht getroflfen werden könnte; ob er sich aber wirklich auf sie
beziehe, yermag ,ich nicht zu entscheiden, da ich den Jahrgang 1840
' seines Joi^rnals nicht mehr besitze. Mit dieser Stelle hängt jedoch
die später, pag.. 19, folgende Bntwickelung der Differentialquotienten
logarithmischer und exponentiellec Functionen durchaus nicht zu-
sammen { was auch schon daraus einleuchtet, dass dieselbe in dem
Resum^ gar nicht vorkommt. Mitbin ist diese Entwickelung
üb«r die ihm zugemuthete Unrichtigkeit völlig erhaben;
waa diese. Zeilen zu beweisen einzig beabsichtigten.

111.

Bemerkungen zur Bestimmung des Schwerpunktes im
sphärischen Dreiecke, auf Seite 6 bis 9 im dritten Tbeile

des Archivs.

1) Die hiei; vom Herrn Director Esch weiler aufgestellte ele-
gante Bestimmung des Schwerpunktes eines sphärischen Dreieckes
hatte ich bereits im Jahre 1836 selbst gefunden ; ich hoffe, er werde
mir gern gestatten, seinem Aufsatze Folgendes -von meinem dama-
ligen Funde anzuscbliesseo.

I. Nach seiner Ableitung (S. 7 und Taf. VII. Fi^. 4.) ist das
statische Moment eines sphärischen Dreieckes ABC in Bezug auf
die Ebene des zu dem Kugelhalbmesser OA einer Dreiecksspitze
A senkrechten grössten Kreises, d. b. das Product aus dem Flä-
cheninhalte € des sphärischen Dreieckes in den Abstand ^I —

seines Schwerpunktes von jener Rreisebene = ^a . sin ^ sin /. Der
erste Factor \a dieses Productes giebt den Flächeninhalt des Kreis-
ausschnittes BOC an, welcher der jener Dreiecksspitze A gegen-
über liegenden Dreiecksseite BC zugehört Der zweite Factor
sin ^ sin /'zrz sine 810/9 drückt den Abstand derselben Dreiecksspitze
^ von der Ebene dieser Dreiecksseite BC aus. Mithin ist das
staiische Moment der Fläche eines sphärischen Drei-
eckes ABC in Bezug auf die Ebene des, zu dem Kugel-
halbmesser OA ein^r Dreiecksspitze A senkrechten oder
zu dieser Spitze als einem Pole gehörigen, grösstcoKreises

360

gleich dem Producte ans dem Abstände der Dreiecks-
spitze von der Ebene der ihr entgegen liegenden Seite
BC in den Flächeninhalt des dieser Seite angehörigen
Kreisausschnittes BOC,

2. Es dürfte wohl nicht ohne Interesse sein, diesen Aasdrack
des statischen Momentes eines sphärischen Dreieckes auch mittels
einer elementaren Betrachtung aufzustellen. In dieser Absicht thei-
len wir die Seite ßC (Taf. VII. Fig. 4.) des Dreieckes ABC in
beliebig viele und beliebig grosse Stücke, und fuhren durch alle
Theilungspunkte nach der gegenüber liegenden Spitze A Bogen
grösster Kreise, und zwischen jeden zwei benachbarten solchen
Kreisbos^en, wie AD und AE^ um dieselbe Spitze A als Pol, Bo-

fen kleinerer Kreise, wie DF und EG. So wird dem Kugel-
reiecke ui.DE nicht bloss ein kleineres Dreieck ADF einge-
schrieben, sondern auch ein grösseres AEG umgeschrieben, tob
denen jedes ein Ausschnitt der Seitenfläche eines Kugelabschnittes
ist. Sind HD und HF Halbmesser der Grundebene des ersteren
Kugelabschnittes, so ist AH seine Höhe und der Inhalt^ seiner ^u

tennäche=27r. J^J7. Zu ihm verhält sich der Inhalt des Dreieckea^K s
ADF^ wie zur vollen Umdrehung 2nr der Winkel DAEj den wir^v r
durch 9> bezeichnen wollen ; mithin ist ^ ADF ^ (27r • AHi 2;r).^ ^*
fpz^z^ .AH, oder wenn wir den Bogen AD-^iu setzen, sofl
costf). Aehnlich muss, wenn wir ABz=ztif annehmen, ^AEO
y>{l — cos ff') sein.

Der Schwerpunkt der Seitenfläche eines Kugelabschnittes, s<
wie jedes Ausschnittes derselben, steht um die halbe Höhe des Ab-
schnittes von seiner Grundebene ab. Bezieben wir demnach di«
statischen Momente auf die Ebene des zur Dreiecksspitze A ah
einem Pole gehörigen grössten Kreises, so hat von ihr der Schwer-
punkt des Dreieckes ADF den Abstand ^J7+ ^NA = l iOA -f
^j£f) = j(l -t-cos«), mithin analog jener des Dreieckes AeO dei
Abstand |(l + cost#'); und der erstere Abstand ist offenbar grösser,
der letztere aber kleiner als der Abstand des Schwerpunktes dei
Dreieckes ADE selbst von der Momentenebene.

Daraus folgt nun, dass das Moment des Dreieckes ADE^
d. i. das Product aus seinem Inhalte und aus dem Abstände seini
Schwerpunktes von der Momentenebene, wenn man dessen Factorei
einmal durch kleinere, ein andermal durch grössere ersetzt,

;>9(1— cos»).^(l-f-costf') und <y(l — costf').|(l+Gos»)

sein muss.

Zur ferneren Umgestaltung dieser einscbränkeoden Grenxen aetse^ '
rir DE = v, ADB = u), AEB = co'; dann ist im Dreieck -^^<

sin 9) sin t# = sin v sin inf

und im Dreiecke ABE

sin co' sin «>' =1 sin c sin /¥

k

folglich, wenn wir muUiplii-iren und ahknnen, '

r ^

sin 9 . sin ff sin 1/ ^= lin e au /) • lin r. • i ^\

361

Hieraus ergiebt sich

siu c sin ^ .

SID CD = -: : — S SIO V,

nod BonacL

a> er siucsini? siiiü

Setsen wir diese Ausdrücke für 9, so finden wir des Dreieckes
ADE Moment

^Isincsin/J.i-r^^ : -: — J .-t-^-^-t — ^ '- .m

*^ * '^ ^siny sintr sintcsintf

j ^, . • /» / T «^ \ (1 — cosk') (1 -Hcos«)
und << 4 sm c sin Ä . (-r^ : -: — ) ^ \ — , . ^ . v.

Für den Winkel 9 lässt sich auch noch folgender Ausdruck
vortheilhaft verwenden. Es ist

9 = DAE^=L DHF^=i DF\ DIi=DF: sin «,

daher, wenn man durch sinci>'sin«' theilt und mit dem, nach dem
Obigen, ihm gleichen sine sin /¥ multiplicirt^

I

sincsini9 DF .. . ■ sine sin i9 EG

CD =ir -. r-^ . — r — ; . V Und aualog = . ■ . ^ . — . — . V,

Mitbin zeigt sich das Moment des Dreieckes ADE

^ , . ' o (1 — cos«)(l + cosf*') DF

> i sin e sin a . : -. — ; -. —. — ; . v

^^ * '^ sinffsui» i;sioai

und <v8incsinp. -. ,- -.- . — : — »v,

• ^ smtf sioM vsino)

Nun ist das Moment des Dreieckes ABC gleich der Summe der
Momente aller dasselbe constituirenden Dreiecke, wie ADEy folg-
lich grSsscr als die Sufnme aller unteren und kleiner als die Summe
aller oberen Grenzen der Momente der Dreiecke ADE für sämmt-
liche Theile v = DE der Seite BC=i a.

Lassen wir demnach alle Theile v der Seite AC unendlich ah«
nehmen, so nimmt auch der Winkel 9 unendlich ah, und die Kreis-
bogen f» und u nähern sich unendlich ihrer Gleichheit; daher stre-
ben die Quotienten -^— und -: — ihrer bekannten gemeinschaftli-

sin y sin v ^

eben Grenze l, die Producte (l — cos«) (1 -f-cosi«'), (1 — cos«')
.(1 +cosir) und sin« sin ff' ihrer gemeinsamen Grenze' 1 — cosm' =
sin«* zu; die Kugeldreiecke DkF und DEG^ welche an F und
G rechtwinklig sind, nähern sich unendlich ihrer Ausebnung, folg-
lich .dem Zustande, in welchem DF^Mwam' und j&& = i;sin o;
ist; kurz, das Troduct der in den Ausdrücken der einscbränken-
dtn Gren;ien als Factoren vorkommenden Quotienten strebt seiner
Grenze 1 ohne Ende zu.

Bei der Summirung sämmtlicher Werthe der a;le\cUii(i^v%^^

362

t^r^UAitn ü«r Momente aller constitutiveo Dreiecke kosaU ikr ge-
ni^inMcliaftlicker Factor j sin e sin ß mit der Summc tod laater Pro*
dili^tttn XU multiplicireD^ io deoen die eioen Factoren eiaer grcMeia*
Hüitiru larenze zustreben; daher ist letztere SoniMe gleiä dea
Producte dieier geBeiBsanieo Grenze, — hier 1 — in die Sbwm
aller zweiten Factoren *) — hier in die SaniMe aller Bestandstäcke
V der Heite BC-ma^ d. i. in die Seite a selbst. MithiB strebt
Novfobi die untere als auch die obere Grenze des MoBents vom
Dreiecke ABC derselben Grenze \ sin e sin ß . a ohne Ende la;
folglieh Biuss dieses Moment eben dieser Grenae ^woLewa^ß glticb
sein, welche' man auch durch ^sin^sin;^ aasdrficken kaut.

IV.
Neuer Beweis der Gleichheit von Parallelepipeden.

Der Satz: Parallelepipede yon gleichen Grondebenea
und Höhen sind ^^leich, wird in allen mir bekannten Lehrbii-
chern der Stereometrie hioss für den sehr eingeschränkten Fall er-
wiesen, wo die Gmndebenen congment sind; aach drängen sich \%
den zum Beweise dienenden Figuren die Linien in einen so engen
Raum zusammen, dass besonders in öffentlichen VorlesuBffen das
Siebten und Ueberseben derselben den Zuhörern sehr beschwerlich
fällt. Der folgende Beweis, den ich im Jahre 1838 fand» ist yon
beiden Mängeln frei.

I. Zuvörderst betrachten wir den Fall, wo die g^leichen
Grundebenen der Parallelepipede je eine Grundkante und
den Kantenwinkel an ihr gleich haben.

Hier gehören daher zu den gleichen Grundkanten, als Grund-
linien der parallelogrammischen Grundebenen, auch gleiche Höben,
d. h. gleiche Entfernungen von den parallelen Seiten.

In dem einen Parallelepipede AvEG (Taf. Vli. Fig. 5.) erwei-
tern wir nun die Grundebene AC und die parallelen Grundkanten
AB und CD^ welche den Grundkanten ab und cd des anderen
Parallelepipeds aceg gleich sein sollen. Zwischen diesen verlänger-
ten Grundkanten und mit dem ersteren Parallelepipede auf die näm-
liche Seite der Grundebene stellen wir das zweite Parallelepiped
*aceg dergestalt auf, dass die gleichen Grundkanten paarweise in
einerlei Gerade zu liegen' kommen, die Oeffnungen der ffleichen
Kantenwinkel an ihnen nach einerlei Gegend gerichtet sud üod
die Parallelepipede selbst nirgends zusammentreffen. In dieser Stel*
lung fallen die erweiterten zweiten Schenkel der gleichen Kanten*
winket , so wie auch die erweiterten zweiten Grundebenen der
gleichhohen Parallelepipede, in eine Ebene zusammen; und die Pa-
rallelepipede, machen mit einem zwischen ihnen stehenden schief
abgeschnittenen Prisma BdFh ein eben solches Prisma AeEg aus.

*) Denn bekanntlich ist, nad) Caucby (vergl. auch Archiv. Theil 1.

S. 293), a« + aV H- « V :5 . =s («-#_«' -^- «" -| ) . Med. («, a.

ff", ....); folglich, wenn lima = lim a'=: lim a" = ....= ^ ist,

lim(«a4-«V-f-«"«"-*-....) = lim(a-Ha'-|-a"-f.,..,)x Med. (lim<i,
Uma, limA",....) =s ^. lim (a4^(«'-f-a"-f-....).

363

NuDmebr lässt sich leicht nachweisen, .üass die schief abffe-
•chnittenen Prismen Ad£h^ und BcFg conffruent sind.
Depo 1) sind alle parallele Kanten, als Seiten desselben ParaUel-
epipeds, gleich, wie AEz=zßF^ aezrndf...,; 2) sind jede zwei
in «iD^r Geraden gelegene K^anten gleich , wie uia ==ä Biß , Ee :=
/y u« dffL» weil sie aus ffleicben Stücken bestehen, da ABz=zaby
aUio anen AB -^ Ba^=,Ba'^ aö^ d. i. Aa:=iBö ist; daher sind
3) nicht nnr die Winkel der gleichgerichteten Kanten gleich, wie
DA€fz=:CBb,EAa=:FBö...., sondern auch 4) die Winkel der
gleiehgestreckten Ebenen gleich, wie die der Ebenen J^i^ und JQTtr
nit den sie schneidenden Ebenen Ae oder Bf, u. dgl. Denkt mao
sich, daher ein solches Prisma, BcFg, zu dem andern AdEh der-
gastalt gebracht, dass eine Kante ab mit der ihr gleichen Au^
und an ihr die gleichen Kantenwinkel übereln fallen; so fällt die
Seiteaebene ^€r auf die congruente ^i/ und die Seitenebene bg
auf die congruente uh^ mithin auch Jede Ecke des ersteren Prisma
in eine des letzteren.; das Prisma JacFg wird gleichsam zwischen
der es einhüllenden parallelepipedischen Fläche : .^/I^c^ um das
.Stück AB von B gegen A geschoben und erfüllt so g^nz das an-
dere Prisma AdEh, Da nun in dieser Stdlung beider Prismen
jeder Unterschied zwischen ihnen aufgehoben erschein t> so sind sie
congruent.

Zieht m^an demnach von diesen congruenten Prismen AdEh
und BcFg das ihnen gemeinschaftliche BdFh^ oder sie selbst von
dem ganzen Prisma AcEg ab, so müssen die Reste, welche gerade
die mit einandec zu vergleichenden .dfCi^(9 und aceg sind, gleich
gross sein.

IL In jedem anderen Falle muss, weil die Grundebenen
der Parallelepipede Parellelogramme und einander gleich sind, in
jeder Grundebene wenigstens Eine Höhe kleiner oder nur
höchstens so gross als eine Seite der anderen Grund-
ebene sein. Denn der Flächeninhalt eines Parallelogramms gleicht
dem Producte aus einer Seite (der Grundlinie) in ihre Höhe, und
jede Seite desselben ist wenigstens so gross, wenn nicht grösser,
als die der anstossenden Seite zukommende Höhe; folglich ist der
Flächeninhalt des Parallelogramms nie kleiner als dus Product sei-
n<^r beiden Höhen und nie grösser als das Product zweier zusam-
menstosscnden Seiten, Bei zwei gleichen Parallelogrammen, wie
hier die Grundebenen sind, ist demnach das Product der Höhen des
einen . sicher nie grösser als das Product zweier zusammenstossen-
den Seiten des anderen. Daraus folgt sogleich, dass nie beide
Höhen 'des einen Parellelogramms zugleich grösser sein können
als jede der Seiten des gleichen anderen Parellelogramms.

Sei nun^ die zur Seite AB (Taf. Vll. Fig. 6^) der Grundebene
AC gehörige Höhe, d. i. der Abstand der zwei parallelen Seiten
AB und CD von einander, nicht grösser als die Seite ab der
Grundebene des zweiten Parallelepipeds aceg. Dann kann man
zwischen jenen Parallelen und ihren Verlängerungen durch jeden
Punkt a wenigstens Eine der Seite ah gleiche Gerade ab führen.
Zieht man zu dieser in demselben abstände, wie die Parallelen ab
und cd^ die cb parallel, so ist das entstehende Parellelogramm ac
dem andern ac gleich , weil sie die Grundlinien ob und ab sammt
den zugehörigen Höhen gleich haben. Nach der Annahme ist aber
auch JCzziaCy daher auch noch JtfCssac. Beide Parellelogramme

364

Hegen überdiess zwischen einerlei Paralleleti, mithio haben sie auch
ihre Grundlinien gleich y jiBzrzai. Kurz das Paralleloff ramm ac
hat mit jedem der zwei einander und ihm gleichen ParelleTogramne
j4C und äc eine Grundlinie und ihre Höhe gleich.

Verlängern Wir endlich die Parallelen ab und cb, und stellen
wir auf sie die ihnen gleichen Grundkanten u6 und cä des P&nl-
lelepipeds aceg''^ erweitern wir dann die durch jiJ^ und CDj w
wie die durch ad und cd gehenden Seitenebeaen , und die von der
Grundebene ACac gleichweit abstehenden, also in Eane Ebene zn-
sammenfallenden Grundebenen EG und eg\ so begrenzt dies Paar
Grundebenen mit jenen zwei Paaren parelleler Seitenebenen ein
neues Parallelepiped aceg. — Für die Darstellung bleibt es hierbei
vortheilhaft, die Gerade ab so weit von der Grundebene AC und von
ihr die Grundebene ae so weit entfernt zu halten, dass keine zwei
Parallelepipede irgend wo zusammentreffen. -^ Mit diesem dritten
Parallelepipede aceg hat nun, vermöge seiner Entstehung, jedes der
zwei Parallelepipede ACEG und aceg^ ausser der Grundebene und
Höhe, auch noch eine Grundkante und an ihr den Kantenwinkel
gleich; mithin sind sie, dem vorigen Falle gemäss, ihm einzelD
gleich, daher auch einander selbst gleich.

Der behauptete Satz gilt demnach ganz allgemein.

XL.

lieber die höheren Differentialquotienten

einiger Functionen.

Von

Herrn Doctor O. Schlömilch

zu Weimar.

I. Wir wollen uns zunächst mit den höheren Difierenzialquo-
tienten der häufig vorkommenden Function

y = <? , (1)

beschäftigen. Durch successive Diffcrenziation derselben, unter be-
Btäadiger Zuwendung der Salze

365

1

dM ~ ' dx ~^ 4x^^ 4x
)t man folgende Reihe vod GleicbuDgeo:

^ = (+ 16»* - 48»' + 12)7*'

0 = (- 32»« + 160»» — 120»)7*'

^= (-H 64»« — 480»* + 720»» — 120)7*'

u. s. f..

wir müssen nun in dieselben ein Gesetz zu bringen sucben.
Man bemerkt zunächst, dass die erste Vertikalreihe nach Po-
en von 2» fortgeht; wir wollen daher ans den Coefiizienten in
anderen ebenfalls so hohe Potenzen von 2 ausscheiden, als die
iben stehenden Potenzen von » sind, damit sämmtliche Hori-
alreihen nach Potenzen von 2» fortlaufen. Es wird nun

g = + I(2»)»-2J**'

g=-[(2,)'-6(2*)l^*'

g= + 1(2,)« _ 12(2«)»+ 121?*'

0 = - [(2»)« - 20(2*)' -f. 60(2«)l7*'

^ = + [(2»)« — 30(2*)* + 1«0 (2»)» — 12e|7**

n. s. f.

ra bandelt sich jetzt noch um die independente Beitimmung der
VxiQnten der Potenzen von 2x, n&Blich

1

1,2,

1,6,

1, 12, 12,

1, 20, 60,

1, 30, 180, 120

366

Zerlegt man die Zahlen der zweiten Vertikalreihe in Factoren, so
bemerkt man leicht das Gesetz : 2 = 2.1, 6=3.2, 12 = 4. 3,
20 :;= 5 . 4, 30 == 6 . 5, so dass diese Zahlen unter der F'orm «(«— 1)
= 2ii, zu stehen scheinen, wenn wii^ mit m^ den zweiten Bioo-
mialkoeffizienten des Exponenten m hezeichnen. Die Zahlen der
vierten Vertikalreihe hahen den gemeinschaftlichen Factor 12=3.4,

und lassen sich auf folgende Weise schreihen : 12 = 3 . 4 . ' ',' ,

60 = 3 . 4 . , ' ' *^, 180 ^3.4. . o'a 4 » ^** •"^ ^•^ Gesetz

3.4.ii4 hinzudeuten scheint. Die Zahlen der vi^ten Tertikalreihe
müssten demnach von der Form 4. 5.6.«, sein, auf welche aocb
die Zahl 120 für « = 6 passt. Wir wollen nun ilieses Gesetz der
Coeffizienten annehmen und zusehen, oh es fiir den (» + l)ten
Differenzialquotienten richtig hieiht, wenn es fiir den itten gilt
Sei demnach

g=(-l)-[(2»)--i_4(a«h-«H-i^(2»)»-4- . . . . 17** (2)
und irgend ein Coeffizient

J,,_^ = (r+l)(r + 2)....2r.«8r (3)
also der folgende

^^ar-» = (r + 2)(r + 3)....(2r + 2)ii2r^ (4)
so musste gleichförmig für

^H-ly «H-l n+\ _a5« r^i

gs=(- l)-+U(2»)"+>— -^— 1(2»)— M-^«-3(2»)-^-^.k '^)

auch

«-hl

^»^Sr4-i = (r + 1 ) (*" •+• 2) . . . . 2r . (« -H 1 )ir

und

X^^l = (r + «)(r+3)....(ar + 2),(m^l)fc^ (7)

sein, wie man sogleich erkennt, wenn man » + 1 fir m setzt« Bb"
erkalt «her die Gleickiwg (5) ans (2) duck Diftüettiatien ^
letzteren; diess gikt kei wirklicker Ansfökrwig

. ( — l)«+i [— 2» (2»>»-i + 2 (is — 2) X-2 (2»>^

-2(« — 4) JLi(2z)»-«+

' 367

Vergleicht man diess mit der Gleichung (5), so ist

w+l n

n+1 n n

An-J% SS* 2 (« — 2) An-^ -^-'Jn-A

«4-1 * n n

An^^ = 2(l» — 4) ^n_4 + Anr-%

U. 8. f.

oder allgemein

«+1 n n

An-^2r—l = 2 (li — 2r) An-^ + -^n— 2i^2.

Nelimieti wir jetzt das oben ausgesprochene Bildungsgesetz fSr den

n

iften Diffefentialquotienten als richtig an und substituiren CürAn—ir
und An—2r—2 die in (3) und (4) gegebenen Werthe, so ist •

iH-l

^^_2r-i = 2(« — 2r) (r + 1) (r + 2) . . . . 2r . «2r

+ (r + 2)(r-4.3) ....(2r-h2)ii2^

Es ist aber (« — 2r)ii3r = (2r+ 1)«2m-i und 2(r+ l) = 2r-F2,
folglicb

^»_a^i = (r + 2) (r -f. 3) . . . . 2r (2r + 1) (2r H- 2) [»8^, -I- «3M4jI

•der unter Anwendung eines bekannten Satze» von den Binomitil-

koeffizienten \ .

- - I

n+l

Dieser Aufdruck ist aber mit dem in (7) identisch, welcher letztere
ans (4) dadurch abgeleitet worden war, dass » + 1 für «gesetzt ^
wurde. Das Bildungsgesetz unserer Coeffizienten gilt di^ber für den
(» + l)ten Di^epenzialquotienteUf wenn es für den /#ten richtig ist,
d. h, es gilt allgemein, da es für den ersten Differentialquotienten
Gnltiffkeit besitzt.

setzen wir nun in der Gleichung (2) die Werthe der A ein,
BD ergiebt sich:

= (— l)** I(^)* — ^ t (2«)«-3+ 3 . 4»4 (2*)«-^— 4 . 5 ,6y», (2«)«-6 } ( ^ >

^immt man »z=:zauj wo a eine Constante ist, so wird €/js'*=a''r/t»",
blglich

368

dun I

= (— «)« [(2«»)«-^2i»,(2«»)«-2-4.3.4|,^(2«ti)'-^-....l7''**'' j

ii?oiDit die 'gestellte Aufgabe allgemein gelöst ist.

df^iue )

•

dun

ableiten.

Aas dem bekannten Satze

dun

^dun^ 1 •

t-

dn-^q
dun--l

"J" • • • •

erbält man

nämlicb für

p = u, g =

e

K»

dn{ue )

d^{e

«f L^

1^-

dun " dun

—a^u^^

[9)

II. Aus dem Vorigen lässt sieb aucb leicbt der Werth ^es
Differenzialquotienten

folglicb, wenn wir für die recbte Seite die gefundenen Werthe ans
(9) substituiren und wieder An—^t An-^ etc. zur Abkürzung braue vsen,

dnjue'"'')

dun

MM _

= (— a)«« l(2auy — Jn-2 (2a»)«-2 4-^n-4 (2««)»-^ — . . . . J ^

«—1 n—l _

n— 1 „^H»

V

'«'

Nebmen wir die CoefiGzienten gleicber Potenzen Ton 2am sn««B-
men und bezeicbnen die neuen CoefSzienten mit iff«+i9 Jfm^h
Bn—i etc.» so ist

n n — 1

Bn—2M-\ = An—2r ■+- 2» -£^n— 2r-|-l

= (r + 1) (r -4- 2) .... 2r . if2r

-h 2/# . r (r + 1) (r+2).... (2r — 2) • (« — l)srws

= (r-hl)(r-h2)....(2r-2) [(2r— l)2r.if2r+2iir.(ii— IVa]

= (r+l)(r+2)....(2r-2).2r[(2r— l)«2^-4-ii.(ii— l)2r^l.

Nun ist aber «.(« — 1)3^-2 = (2r — l).«2r— 1, folglicb

369

Ä^.j^i = (r+l)(r + 2)....(2r-2)(2r-l)2r[i»2r + «2r-il
= (r+l)(r + 2).,..2r.(«+l)2r.

Setzen wir nun r == 0, 1, 2, 3, . . . • so wird

_ ^ ( — l)n «ii-i [(2a«i)«+i — 2 («-4-1), (2a«r)«-i ) (^^)

Wir wollen nun einige Anwendungen der gefundenen Formeln (9)
und (10) mittheilen.

III. Es sind folgende Integrale bekannt:
,,/- 1.3.5....{aiii— 1) _i_ /^:_n.»-**'j ,io^

Y

Setzen wir im ersten Integrale ^ = ti' und differenziiren ivmal
nach «#, wobei' or wie früher a constant für die Integration bleibt,
80 wird

mu* t/ 0 die*
Führt man die Di£ferenziation auf der linken Seite aus, setzt unter

dem Integrale rechts für — ^^ seinen Werth aus der Gleichung

(9) für A = 07, und integrirt die einzelnen Glieder rechts nach
Formel (12), so ergiebt sich folgender arithmetische Satz:

1.2.3....IS \

^ o K /o 1 ^ o l»3,5....(2n-3) . « . 1.3.5....(2/*-5) [ (13)

=1.3.5...,(2ii— 1)— 2/ja. ^ +3.4ii4. -^ ^""-V \

Aehnliche und allgemeinere Sätze lassen sich durch ein ähnliches
Verfahren leicht in grösserer Anzahl ableiten. Wichtiger als dieses
ist, dass man aus den oben gefundenen Diflferenzialquotienten die
einiger anderen Funktionen ableiten kann, wie man sogleich se-
hen wird.

IV. Man setze in Formel (llj ^ = l + ff', so ist

folglich

V^ d^ , 2_ I _ /•* fl«£^)-«*

2 'dun^V^l^u^^~Jo dun ^ ^^

Tbttt IV. 24

du^ __ 1(9)

= (— a)« [(2w)''-.2i»,(2<wi)'-24.3.4«^(2«ti)'^-....l e^^^^ \

inroniit die ^gestellte Aufgabe allgemein gelöst ist.

II. Aus dem Vorigen lässt sich auch leicht 'der Werth des
Differenzialquotienten

dn{ue )

ableiten.

Aus dem bekannten Satze

«&*» '^ rfw« \ ' du* duf*—^ '

••• • •

r«»»

erhält man nämlich für ;? = », ^ = e

rf«(w« ) d>*(e ) . «K-K« );

ii?ii« rf«» dun—i

folglich, wenn wir für die rechte Seite die gefundenen Werthe ans

n n "^

(9) substituiren und wieder jin—^y -^n-^ etc. zur Abkürzung brauchen,

dw*
= (— a)«« l(2auy — ^«-2 (2a»)«-2 -h^n-4 (2»«)»-^ — . . . . J ^

n— 1 n— 1 _Ä*«*

=4(— l)"«"""^ [(2a«#)«+i— JL-2(2««)'»-i-f-^«-4(2a»)«-»— .... J^ *

n— 1 — Ä»U*

+ 1 (— l)«a^i [— 2i» (2a«i)«~i -f- 2j» ^„-1 (2a»)»-» — J^

Nehmen wir die CoefiGzienten gleicher Potenzen von 2am zusam-
men und bezeichnen die neuen Coeffizienten mit Bn-^\y Bn-rU
Bn—i etc.» so ist

n n — 1

Bn—2r+\ ^ -^n— 2r + 2» ^n—2r-*-l

= {r'^l){r + 2)....2r.n2r

+ 2/#.r(r+l)(r+2)....(2r~2).(;» — 1)2^2
= (^+ 1) (f +2) .... (2r-2) [(2r--l) 2r. »2r+2»r . (1»— 1)2^2]

= (r+l)(r+2)....(2r-2).2r[(2r— l)//2r+M.(ii— l)2r-2].
Nun ist aber «.(« — l)2r— 2 = (^ — l).«2r— i, folglich

369

ir^«j^i = (r+l)(rr»-2)..,.(2r — 2)(2r — l)2r[ii2r + «2r-il
= (r 4- 1) (r + 2) .... 2r .(«H- l)2r.

Setzen wir nun r = 0, 1, 2, 3, . . . . so wird

= i ( — l)»? an-i [(2a«i)«+i — 2 (it-4-1), (2»«r)«-i 5 (^^)

Wir wollen nun einige Anwendungen der gefundenen Formeln (9)
und (10) mittheilen.

III. Es sind folgende Integrale bekannt:

^^•V^=/oV'V^ (11)

,,/- 1.3. 5... .{am— 1) _L /**,„-**' j /10X

*V/ff. ^ '-.p==J^a:^e da: (12)

Setzen wir im ersten Integrale ^ = t» ' und differenziiren umal
nach «f , wobei' o; wie früher a constant für die Integration bleibt,
so wird

Führt man die Di£ferenziation auf der linken Seite aus, setzt unter

dem Integrale rechts für — ^ seinen Werth aus der Gleichung

(9) für az= a:, und integrirt die einzelnen Glieder rechts nach
Formel (12), so ergiebt sich folgender arithmetische Satz:

1 .2.3... ,n i

/o K /o 1 ^ o l»3.5....(2n— 3) . « . 1.3.5....(2/*-5) [ (13)

=1.3.5...i(2ii— 1)— 2/ja. ■ ^ • -4-3.4»^. ^ ^"^-v \

Aehnliche und allgemeiuere Sätze lassen sich durch ein ähnliches
Verfahren leicht in grösserer Anzahl ableiten. Wichtiger als dieses
ist, dass man aus den oben gefundenen Diflferenzialquotienten die
einiger anderen Funktionen ableiten kann, wie man sogleich se-
hen wird.

•

IV, Man setze in Formel (11) ^ = 1 + «*, so ist

folglich

V^ d» . J^ , _ /•* 4i^)-ar*

TheU IV. 24

372

Herausgeber im Isten Hefte des 4teii Theiles d. Arcb. S. 111 ge<«
{^teilten Aufgabe. Die dort gegebenen Ausdrücke stellen sieb unter i
die obige Form, sobald man in ibnen cos(jp(l — sin^)') für cos'y,
cos*9)(l — sin'g)) für cos^g) u.s.w. setzt, die nocb nötbigen Multipli-
cationen ausführt und Alles nach Potenzen von sin <jp ordnet.

VI. Setzt man in den Gleichungen (14), (15) und (17), (18)
^\/^~\ für «, so erhält man die folgenden beiden Sätze:

Für

V/1—«**
ist

; i_ Ml )W

1.3,5....(2« — 1) • du;^

und für

«7= **

» .

ist , ,,

I 1 ^JI \{^

1.8.5.,..(2«— 1) • d^
— [^±? n j. 2(^ + 1)2 J. j. S.4(n-t-l)4 J_ . ,

Nun hat aber Euler folgendes Resultat gefunden:

' dun
n\.un M . , 1 . l.S 1 , ' }(^^)

I

Vergleichen wir diess für 1/ 1 — «* = £7 mit Formel (20)^ so er-
gieht sich folgender Satz: ,

Für

ist

^4w-2^wf/^ ^ (4» — 2) (4^ — 6) W^ ^

1.2.3....» ,g j 1 _- lj_§ JL _L 1

— 1.3.5. ...(2«-l)l^"*"^'*»ii» "♦"2.4'**- t»*"*"-*-^

oder für ti = .-7=-

373

2»— 1^ 2 ^^(2»— 1)(2« — 3)^ 2 ' ^•••-

■^1.3.5....(2« — 1)^*"*"^''»'*^"*~2.4**'^ rt--- -J

Diese Gleicliung enthält die Formel (13) als speciellen Fall fdr
07 = 0. Nimmt man ^==1, so, erbält man eine bekannte Eigen-
schaft der Binomialkoeffizienten.

Könnte man das vorliegende Theorem unabhängig von dem
Vorigen beweisen, so Hesse sich duroh dasselbe umgekehrt die
Gleichung (20), so wie die daraus folgende (21) aus dem Euler-
sehen Resultate ableiten.

XLI.

Aufgaben über Maxima und Minima.

Von

Herrn L. Mossbrugger<^

Lehrer der Mathematik an der Kantonsschule zu Aarau.

I.

Im zweiten Bande dieses Archivs Seite 405 wurde für das
grösste , in einem gegebenen rhombischen Octaeder beschriebene
Ellipsoid diQ Gleichung

Sefunden, worin 2a, 2^, 2c die Grössen der drei Achsen des Octae-
ers bezeichnen; wir wollen nun umgekehrt dasjenige unter
allen Octaedern mit gleichen Achsenrichtungen zu be-^
stimmen suchen, dessen Seitenflächen das Ellipsoid (1)
ebenfalls berühren, und das zugleich den kleinsten lu-
balt h&t.

Es sei AßCDEF (Taf. Vll. Fig. 7.) das verlangte Octaeder
jiC^ BD und EF seien die Achsen desselben, und zugleich die
der 07, y und z\ /, ß und a die Winkel, welche die Achsen der
asi und y, der «r und », der ^ und % einschliessen ; ferner setzen
wir [^ABCz=,^, l^CAB z=.'^^ und schreiben in der Gleichung (1)

der Kürze wegen a^^ b^ und c^ statt ^-^^rp:z=. und rp—^ so ^»-

S74

ben wir, wenn ^»i, y^, *i5 — Jr^, y,, *, ; ^t9 '—tft9 »i; — ««

-— 3r,, — Xg die Coordinaten der Berübrunffspunkte der Seitenla-
chen ÄßE, BCE.AED, CED^ ABF, CBFyADFmACDFmi

dem EUipsoid bezeichnen/ für dieses und f&r jene die Gleichungen:

».•

XX g'
XOß^

«1»

XX f

e

- =1

V

yy»
yyr

Cr*

^^1 yy%

2S,

2««

9»

Cl»

(3)
(4)
(«)
(6)

(7)

(9)
(10)

Setzen wir die senkrechte Höhe von E bis auf die Ebene ABCD
gleich hy und den Inhalt des Octaeders gleich K, so ist:

K=^ iAB . BC. h . sin y

und

^=^l/Binig±|±3Jri„0!±|i:Z),i„Cl^^

folglich

1/

• sin y

sin — ^ — 2 s'*^ ■'^ — 2 2 2 ^ '

Um die Grössen AB, BC, EO zu bestimmen, setzen wir in der
Gleichung (3) ae = 0^ so ist die Gleichung von AB folgende :

Aus dersMben Gleichung erhalten wir aber auch, wenn wir nach
einander ;8^=0 und y = 0; « = 0 und a? = 0; a; = 0 und 5f=0
setzen :

375

iUi jri »1

Dadurch erhalten wir aus den Dreiecken OjiJB und BOCz

VillireD wir die gefiindenen Werthe ton u^iff, iff Cund i?<^ in No. 11
«in, und setzen der Kürze wegen:

-|\/»f^" + ; + y)Bin^ii±|^«a^"-^^:^^>8in^-".Y'^=^

ist

« ^^

^ir fiuden aber auch für die Gleichung von Aß:

J\U8 (12) und (14) folgt:

Li* £j siny»

«1* yi "^ sin(y-|-V)'
woraus, wir

also

und

. . Ä.*a?, siny ^

sin tl) ' ^ f — — ""

^^»i*yi' -4- ^1*^1* — 2ai»i6i»«riyi cos y

a »y, — Äi»a7i cosy.
cos V' =, ^-^^ ' —

erhalten.

Weil aber auch ^i7t AC=: sin (9 + V'):8in^, so ist:

Da endlich

AC=z^ und auch J C= \/ Jf Ä» + Ä C» — 8^^ .ßC. cos 9p,

AT

1

376

I

SO finden wir nacL der SubstitutioQ der Werttie von AB und BC
und der Gleicbseizung beider Wertbe von AC

\ cos 9> =,

also aucb

« ^ • sin 9 =

2g|'^i^ar,y, siny

Fübren wir diesen Wertb von sin 9 in der Gieicbung (13) ein,
so ist

IJm den kleinsten Wertb'von, K zu finden, betrachten wir x,

als eine Function von a:^ und y^ , und setzen die Wertlie von -rz

f ••»•'I

tlK"

und -j— gleich Null, bestimmen alsdann aus den resultirenden Glei*
chungen die Weitbe von a:^ und y^y so erbalten wir:

. dK _ 2gx>^,»p,^.4f j d%i)

Nach No. 2 ist aber «^ =Ci l/l— j^j*— j|ij', also auch

— = --<yi

mitbin sind die Bestimmungsgleicbungen für ^|, y, und %y\

','*. l/i

--i'-*^''=c,y.' (17)-

«1' UJ.

— V'-föi'-itr «

woraus wir leicbt

877

finden; setzen wir statt der Grössen ai, If^ <?, ihre oben angege«
benen Wertbe, so ist

a A c

^1 — Y» yi — y» «I — y5

Auf gleiche Art finden wir

^2 — "~ 3 ' y» —

a^

^» — 5 »y» —

3

ITy »2

5 j Ä.

^4 = — i-,y4= — T> *♦ =

^i — a 1 y» — « »*» — — 9

3
3

3

c

T

3

^« — 5 * y« — * >*• — »

^1 — • ly?— ^"^ « 5*t—

3

^t — 9 »y»— —

— 3**t:

3

(20)

f'

Fnr den Inhalt des gesuchten Korpers finden wir daher

oder anch

....(22)

Vergleichen wir die Gleichungen (2), (19) und (22) mit jenen in
(1), (20) und (21), so finden wir nacli den drei erstem:

DasB, wenn um irgend ein gegebenes drelaxiges Ellipsoid^
von welchem allgemein drei beliebige, jedoch einander zugeordnete
Durcbmesser die Grössen i^, tß und 2C haben, das kleinste rhom-
biaehe Octaeder, dessen Ecken in den Verlängerungen dieser Durch-
messer liegen, bescLrteben werden soll; alsdann ^-7=:, r-^nuA r^

die absoluten Grössen (ohne Berficksichtigung der Zeichen) der
drei Coordinaten der acht Berülirungspunkte des Ellipsoids mit den
Seitenfiäcben des Octaeders aind^ ferner daas

^ A:'==8^iyci/»|/riB^'''-^^W-S±|^>»i«^"-^-^>aiJ-'^^-^>

378

der Inhalt dieses kleinsten Octaeders ist (wo- a, ß nnd ^ wie obei
die Winkel bezeichnen, welche die Darcbmesser 2B und 20, %A
und 2Cj 2A und 2B einschliessen).

Bndlich ergiebt sich aus den drei letzten Gleichungen No. 1,
20 und 21, dass, wenn in ein gegebenes Octaeder, dessen Achsen
(Diagonalen) 2a, 26 und 2c sind, ein' grösstes Ellipsoid einbeschrie*
ben ist,, und alsdann um dieses letztere wieder das kleinste Octae-
der, dessen Ecken auf den Verlängerungen der Durchmesser ^,
2^, 2c liegen, beschrieben werden soll, dieses letztere mit dem ffe*

S ebenen Octaeder identisch wird; so wie auch die Berührnngsponkte
er Seitenflächen des erstem gegebenen Octaeders mit dem gross-,
ten Ellipsoid, mit jenen der entsprechenden Seitenflächen des ge-
suchten kleinsten Octaeders mit dem Ellipsoid zusammenfallen.

II.

Es ist ein Parallelogramm AB CD (Taf. TU. Fig. 8.) gegeben;
man soll die grösste Ellipse in und die kleinste um dasselbe be-
schreiben.

Für den ersten Fall seien AB ^=z Uy AC^h die Seiten,
und CAB = tt der von diesen eioffescblossene Winkel des Pa-
rallelogramms; ferner sei für ein rechtwinkliges Coordinatensystem

^y» + 2i?^y+Gr* + 2Z>y-|-2^Är+JF = 0.... (1)

die allgemeine Gleichung für einen Kegelschnitt.

Nehmen wir aber AB als Achse der oe und AC als Achse
der y^ so ist, wenn ac^ und yf die neuen Coordinaten bezeichnen:

AT == ^ + y cos a, y'=L'i/ vkna.

Führen wir diese Werthe von oe und y in der Gleichung (1) ein,
so erhält sie die Form

^y»+2i?'^y+CiF'*+2Z>y+2^^+j5'=o.... (2)

wo

A'zizA sin a* + 2 A'sin a cos a + Ccos a'

>

i?^ == i? sin ä + C'cos a
Z^' == uO sin a + J& cos a

ist.

Für ar' = 0 erhalten wir aus (2)

y—'^i — y Ä •

Da aber die Ellipse die Seite AC berühren soll, so kann yf hur
einen einzigen Werth haben, folglich muss

ö'»-«^'/»=0.... (3)

879

4MiiL. Dadnrch wird aber, wenn / der BerttbmngBpttBkt der Ellipse
mit der Seite AC ist,

Gans anf gleiche Art erhalten wir, wenn M der BerUbrnngpipunkt
der Ellipie mit AB ist:

^ — CF=0.... (4)
and

Ala^^ Üs = -— jp;.

Um die Ordinate BL des Berührungspunktes L der Ellipse mit der
Seite BD zu erhalten , setzen wir in der Gleichung (2) ^ = iy,
wodurch wir

erkalleii. Da aber auch in diesem Falle y* nur einen einzigen Werth
babea kann» so muss die Gleichung

jÄ'a-h/y|»— Jf'{ßi»+2Ji»4-/l==0.... (5)

statt finden; daher wird

^enso bekommen wir ffir y=3 die Gleichnng^

\m-\-E\*— C\A'b* -H2/>'Ä + J'! z=.0 . . . . (6)
und wenn sich die Ellipse und die Seite CD in K berühren, so ist

Bb ^E

CK=a^=L

Aus der Verbindung der Gleichungen (3), (4), (5) und (6) ergeben
sieb folgende zwei:

m

Vervielfachen wir die erste dieser Gleichungen mit b and die an-
dere mit 0, subtrahiren aladann die Producte, so erbalten wir

/y^s^. Aas No. 7. ist aber B'^ — ~ ±.^\Ea-\-FV

380

Führen wir in dieser GleichuDg den Werth von Z^ ein,
haben wir für das Zeichen

ii'=^r.... (9)

Fb
und für das Zeichen •—

«

/?'=-§ i£;« + 2Fj.... (10)

Werden die Werthe von A\ €, D' und der letzte von B* in No.(2)
eingeführt, so ist die Gleichung der EVfipse:

^y'»-gi.EW-2/'!a:'y'+5^»-h?f?y'+2.Er'-|-iR==0...(ll)

Aus dieser ist

f/=^^(Ea+%F)a:'^Fa\ dh^y F\Ea+ry(a^*—aa:').... (12)

Wird diese Gleichung mit sin a . da:' multiplicirt, alsdann inte|^rirt,
und das Integral von ^ = 0 his ^ = <v genommen^ so erbalten
Ze ■ "■ • ~ •

wir für das Zeichen + den Flächenraum der Figur AIKLtB^ BDd
für das Zeichen — die Fläche der Figur AJMßJL. Im ersten Falle
erhalten wir:

1^ (2^' - a) VF{Ea-hF){a/*^aa')

I — ^^V FiEa-t-Fj'log j -i-^ j +Comt

¥üra/ — 0 ist Const == ^^ VF(Ea + F) log (— 1),
mithin ist

siw tt/^i/da;' =z'^8iu(t J^^yF(^Ea-i-F) . log(-l),
folglich ist
dieelliptischcFläche^/ÄZ.Ä=Y8»n<H-*-|J?l//pS+7).log(--l)

Für das Zeichen — finden wir ehenso

• „II-

aieelliptischeFläche^/.ifZ,Ä~8ino-^l//'(jE'«-h/^.log(-l)-

Daher ist die Fläche der Ellipse hs^\h&t—-^\/F{Ea+F)M%{'-^\

381

F

Setzen wir in dieiem Ausdrucke ^ = «j differeuziireii deuselheu,

und «etzeu alsdann dos Differensiol desselben gleich Null, so er-
halten wir:

hm

a + 2« = 0, also «== — r-;

mithin wird der Ausdruck für die Fläche der Ellipse ein Maximum,
wenn j = — Y oder /^=: ^ ist. Durch die Einführung dieses

Werths von F in den. letzten Ausdruck für den Inhalt der Ellipse
erhalten wir, wenn wir jenen Ausdruck mit /hezeichnen:

/=?p8ina.V/iri,iog(— 1)_.. (13)

Da aber allgemein log }cos y :^ sin wV/ZZi I = — (2^ — y)V/Zrr

ist, was auch k für eine positive ganze Zahl bedeutet, so ist, wenn
wir ^^=1 und 9=:;r setzen:

iog(-i)=±7rv/rrr.

Nehmen wir das untere Zeichen und substituiren diesen Werth von
log ( — 1) in der Gleichung (13), so ist

/= -T- sin a ... • (14)

Fuhren wir endlich den obigen Werth von JF in der Gleichung
(11) ein, so erhalten wir:

oder, wenn wir die Quadrate ergänzen, und t/ — 5- = i#,a:' — y
=sf setzen:

a»ii» + ^»^» = ^.... (15)

Es sind also die durch den Mittelpunkt des Parallelogramms mit
den Seiten desselben parallel gezogenen Linien /// und MK die*
jeiiigen zugeordneten Durchmesser der Ellipse, welche ihre Be-
rührungspunkte mit den -Seiten des Parallelogramms verbinden.
Endlich ist die Fläche des elliptischen Raumes

and die Fläche des elliptiscben Raumes

AIMBL= ^ |4 — JT j sin «.

382

Un die kleinste Ellipse nm das Parallelogranmi zu liesck^-ei.
l»eiij nehmen wir AB und AC zn Coordinatenacfasen und behalisB
alle übrigen AnMÜimen wie in ersten Fall bei^ alsdann finden ^
leicht, dass

SO daas also die Gleichung der umschriebenen £llipse

^'y»+Ca/»— >V^^^=0.... (16)

ist. Bestimmen wir aus. dieser Gleichung y', TerFielftcben.alsdau
mit sin a . da/ und integriren, so ist

«n a / ^da^ = -g- sm a ± -g- | — 4 K *

sin a / VÄa?' = -^ sm a zc — :;- { -^ — z — v^ o» H — ^p J"

(2*^

->V3

+ (^. + ^) Arag-—=^==.\ +Conat.... («)

K * ^-Ä ^

um den Inhalt JT der Ellipse mittelst dieses Ausdrucks zu be-
stimmen, so müssen wir vorerst bemerken, dass die Seiten AC inl
i?/l des gegebenen Parallelogramms parallele Sehnen der za be-
stimmenden Ellipse sind, und dass daher eine durch die Mitten die-
ser beiden Seiten gezogene Linie ein Durchmesser derselben iit;

Terbindet man daher die Gleichung y= -^^ dieses Dnrchmeneis
mit der Gleichung

die wir aus (16) erhalten, so erhalten wir die Abadssen AfnA
AQ der Durchschnittspunkte dieses Durchmessers mit der Wßf^
nämlich:

und

Dos Intetrral zwischen diesen beiden Grenzen genommen und das
obere Ziehen im Ausdruck (17) gebiaucht, giebt die Flache des
elliptischen Raums PXCSDOQ. Das Integral tou ^ = 0 bis

^.= — it« — 1/«* + ^^| genommen nnd das untere Im-

eben in No. 17. gehrancht, giebt die elliptische Finde APS»
Xebngpn wir ferner" das IntegnS Ton ^ z=z m bis «^ = |-{«-f-

l/«* + y^'| eben&Us mit dem unten Zeichen in No. 17, so er-

383

halten wir die Fläche des Ranmes BOQ\ endlich pebt das Integral
von ^ = 0 bis ^ = iv mit BeibehaitUDg des Zeiebens — die
Fläche AHB.

Fähren wir das so eben Anffegebene aus und bemerken, dass
die Fläche der nrnschriebenen Imi^ne RN80=zK9Likm Pß^CSDOQ
-H Raum ARB — Ranm ^PA^ — Raum BOQ ist, so erbalten wir
für den Inhalt der Ellipse folgenden Ausdmck:

jÄ*-|- -s«*| ^sin«

r= f= .... (18)

t

Setzen wir wieder ^7 = «9 >o ist

mithin

Ä = -^l 2xt/« '""'" 17— |=»-

Abb dieser Gleichung ist « = ^ = 2?> mithin C=-^; dadurch

wird der Ansdrupk für den Inhalt der Ellipse BJVSO in No. 18
oder (19) zn

i'ss-g- sin« ...• (20)

Weil nun die Grösse des Durchmessers JV0 = AP+ AQ
= ^a» + ^Ä*, eo ist NO = «\/2.

It^ C m

Setzen wir endlich in (16) ~ statt ^p» und -j ^^^^ ^> ><> ^i^*

halten wir für die Grösse des Durchmessers BS, der dem NO zu-

f geordnet ist, den Werth b\/% Die Gleichung der gesuchten El-
ipse ist daher: ^

oder

«' (y - y)' 4- ** (* — y)* = -g-.

und wenn wir ff statt y — y und ^ statt jc — »* schreiben:
Aus (14), (15), (20) und (21) folgt:

384

. n) dass die umschriebene Ellipse zweimal so gross ist als die
einbeschriebene;
b) dass beide ähnliche und gleichliegende Ellipsen sind.

Der zweite Theil dieser Aufgabe, nämlich die kleinste Ellipse
um das Parallelogramm ABCD (Taf. VII. Fig. 8.) zu beschfeibeB,
lässt sich auf viel kürzerem Wege auflösen. Ziehen wir nänlieh
durch den Mittelpunkt E des Parallelogramms mit AB und AC die
parallelen Linien NO und SR^ so geben diese die. Lage zweier
zugeordneter Durchmesser der zu suchenden Ellipse an. Bezeichneo
wir nun NE und RE mit /* und g^ ferner den Winkel, den SR
mit der grossen Achse ^A der Ellipse macht, mit a;, und den, wel-
chen ^^ mit derselben bildet^ mit 9}; und ist endlich 2^ die kleine
Achse der zu bestimmenden Ellipse, so haben wir, nach den be-
kannten Sätzen von den Kegelschnitten, folgende Bestimmungsglei-
chungen :

4/»^»=«v*+^y'-.-. (1)

s ^^sinca_ >

*' cos(a — (t))sinc( ^ -'

^a ^» COS {a -- ft>)

S =^ = : • • • • («>)

° sm cü . Sin a ^ ^

A , B '=^fg sin a ... • (4)

Bezeichnen wir endlich den Flächeninhalt der Ellipse wieder jrit/,
so ist

l — ABn.... (5)

Drücken wir I' durch a^ h^ n und Functionen von a und td üs, >o
finden wir:

j, n (_o l/sm2(a — w) , /«l/ sin2oi ( . ,-v

y= T 1« 1/ ^— K + ^* 1/ > nf \ l sin a . . . . (0)

4 ' r sin 2ctf r sin 2 (a -« (u) ) ^ '

mitbin

dr n , i — a*sin2a ^'sinSa

:-rSin tt

«fc* 4 |sin2w2l^sin2acotg2a>-cos2a siD2(ü«|sin2acotg2oi— co«2irt»

Setzen wir diesen Ausdruck gleich Null, und bestimmen alsdann dei
Werth von cotg2cu, so erhalten wir:

^ rt «' cos 2a -4- b^

cotg 2c«> = a . ^ .

° a' sin 2a

Suchen wir mittelst dieses Werths die Ausdrücke X/^^E^Lu^i

y sin 2a»

V:.

sin 2(0 , ,,

;, 80 erhalten wir:

sin 2 (a — w)

385

/= —zr- Sin a,*

iUo dasselbe wie obeo.

. ■ A .

XLIl

lieber eine neue geodätische Aufgabe.

VOD

dem Heransgeber.

§.1,

Dfe folgende Aafgabe ist, so yiei wir wisseo, nocb niemals
bcha^dcU warden, duma aber sowobl ia tbeoretischer als aoeb id
praktiscker Beziehnog mehrfacbes loteresse darbieten:

Aas Tier in einer und derselben geraden Linie lie-
genden Pankten il#, Jf , , iV,, Jf , , deren Entfernungen
Ton einander bekannt sind, werden zwei andere mit je-
nen Tier Punkten in einer Ebene liegende Punkte S
und i9, geseben, und in den Punkten M^ üf , , jlf,, J/ die
180* nicbt abersteigenden Winkel SMS^, SM,8,, SAf^S^,
Sßi^S^ , welcbe die Ton einem jeden der Punkte J/, ^g,
Jf,, JKf, nacb S und S^ gezogenen Gesicbtslinien mit
ainaader eiascbliessen, gemessen. Man soll die Lage
der Punkte S und ^i bestimmen.

Weil diese Aufgabe eigentlicb nur ein specieller Fall einer weit
angeaMinem Aufgabe ist, welcber wird bald eine besoodere Ab-
kandlang zu widmen boffen, so wollen wir in den drei nächsten Pa-
ragraphen von einigen allgemeinern Betrachtungen ausgeben, welche
«as späterhin bei der Anflösang des io Rede siebenden allgemeinen
Problems Ton Nutzen sein werden, wenn dieselben auch für unsem
nächsten Zweck eigentlich nicht «n dieser Allgemeinheit angestellt
xn werden brauchen.

Wir denken uns drei beliebige Punkte Jf mnl 8^ ß^ im Ranme,
and hezeichaen deren Coordinaten in Bezug aaf ein beliebiges
rachlifmUigei CaaidiMismijatw wipitiiii. daaeh is, ^, e «od

TkAVf. »

386

Xy y, x; üßx^ ^19 X,. Ferner wollen wir die Biitferninigen M%
und MSx ^CB Punktes Jlf von den Punkten S lind S^ durch r
und r,, den von den Linien J/jS^ und Jf^S', an dem Punkte if mit
einander eingeschlossenen, 180® nicht übersteigenden Winkel dnreli ;
a, und die 180® nicht übersteigenden Winkel, unter denen die *
, Linien M8 und MS^ gegen die positiven Theile dreier, durch den
Punkt M gelegter, den primitiven Axen paralleler Axen geneigt
sind, respective durch 9, t^, x und 9,, t^i, X\ bezeichnen. Dies
vorausgesetzt haben wir nach den Principien der analytischen Geo-
metrie die Relationen

1

Ia7=3a + r cos y,
yt=£h^r cos t^>
a = c + r cos x\
und

1^i=«-i-r| cos 9»^,i 'ä ,
Vx =^4-r, cos V'i» , ^
*i =^ + ^1 cos ;|f.; j

so wie ferner die Gleichungen ' '

j cos 9* + cos V'* + cos /• = 1,
1 cos 9j * + cos ^1* -f- cos ;ifi^ = 1 .
und

4) cos 9) cos 9i +eos ^ cos ^Z + cos j|f cos %^ sscos a.

Aus den Gleicbuogen 1) und 2) folgt

IX — a y — h % — e

cosy = — — , cosV=-7r-5 cos;|j = — -;
cos 5Pi = — - — , cos^x ==-— — , cosju, =-*-—; .

also mittelst der Gleichungen 3) und 4)

j (^-«)« + (y-Ä)»-h(«-e)'=:r»,
^ I (a;.-«)»4-(y.-,Ä)» + (*,-c)*=r.» .

und

7) (jr—«)(^,—4i)+(y—Ä)(y, —*)+(»— e)(«,—c)=rr, coict.

t

Bezeichnet nun ^ den doppelten Flächeninhalt des Dreiecks
SJUS^y SO ist bekanntlich

8) ^ = rri sin a,

nnd folglich nach dem Vorhergehenden

«87

ider

10) ^^, +yy, +»Ä| —«(^ + a?,) — ^(Sf-f-yi) — <?(« + «,)

= A cot I« — (a» + 3» + c«).

Liegen die drei Punkte ^ und S^ i§r, in der Bbene der ^y,
I» Mt, T^i« ftick am dea Vorhergehenden iinmittelbar ergiebt:

11 ) 07^, +yyi — «(ä?+^, )— ÄCy+y») = A cot a — («* + 6*).

♦.3.
Wir wollen uns jetzt vier in der Ebene der jey liegende Punkte

denken i deren Coordinaten in Bezug auf das zum Grunde gelegte
reclutwinklige Coordi^iAtensjstem respective

a» ^l ai, d^i a^^ d^i a^y d^

lind; und Sy JSj tollen wieder zwei beliel|»ige Punkte 4bi Räume
lein, deren Coordinaten in Bezug auf dasselbe rechtwinj^lige System

^j Pf » nnd ar», y,, *i
lind. Bezeichnen wir nun die ISO* niekt fibersteigenden Winkel'

^ -' SMS,, SM^S,, SSi^S.y /SM.S,
respectiye durch

«> «1» «»> '««;

die, doppelten Flächenräume der Dreiecke

/
/

rMpeetive durch

"'v' • - . A, An A.. A.5

niid setzen der Kürze weglen

und

A cot a — («» 4- 2») = Ä, .
A. cot«,— (»,» + *. ») = i2„
^^^ VA. cot«, - (Ä.» 4-«.»)= J2„

>o erbalten wir noch 10) die vier folgenden Gleichungen:

1 1 < I > . . 1 1

388

ü—aX—bY=iQ,
«7— a,X — Ä,r=ß,,

U—a,X—6,Y=Ü,.

BliminireD wir nup aus dicüen vi^r GleiebuDg€B die drei Gr&iMi
Ü, X^ F, so erhalten wir die bemerkenswerthe Relation

15) j(«,-«.)(*.-«J-(«.-«,)(*,-Ä.)j Ä

-h {(«.-«,)(&- Ä,)-(«-«,)(*.-Ä.)|Ä, ' *

}(«-«,)(Ä,-Ä,)-(«.-«.)(Ä-«,)!Ä.

oder

+ i(a, — a,) Ä -h («, — «) *, 4- (a — a,) *, j fl,

— t(«, —«.)*+(«.— «)*.+(*-^«i)*»|Ä.

und folglich, wenn man fär'die Grössen ^, i^^, i2„ 53, ihre ans
dem Obigen bekaä'nteti Werthe in diese Glc^ichung einführt:

17) |(flr, — Ä,)^, 4-Cflf, — »,)^, + («i — »a)^,j Aco*«

— i(«a— «,)^H-(4r,r-«)*, + 0^«,)Ä,j Ai cot«,
4- JCflTi — «jp,3^ + C«, --:«)Ä, -f-^Ä — »,)Ä,j Aa cot a,

— i(»i —<ra)^ + (flr, — «)^i +(« — », )^,| A« cot a,

= K«« — <»t) ^1 + (^. — «i) ^2 + («1 — O ^« i (»* + **)

Wenn die vier in der Ebene der a:y liegenden Punkte- ;Af, Mn
3f^y jl/, in einer und derselben geraden Linie liegen, und diese
gerade Linie als Axe der a: angenommen wird, so erhalten die
vorhergehenden Gleichungen die identisch^ Form* 0:^0, In die-
sem Falle hat man^aber, wenn man bloss drei in derselben geraden
Linie, welch^.als Axe der a: angenominen wird, liegende Punkte
üf, jl/i, JÜ^ in Betrachtung zieht, nach 10) die drei Gleichungen

17— ifX:5=A cot a — »•,
^— flrjX=iAi cot o,—i»,*,
6^— flr,X = A» cottta— «,*5

n

aus denen, wenn nia|i sie nach der Reihe mit «i — a^^ «9"^>
n — Hi multiplicirt und dann zu einander addirt, sogleich die Re-
lation :.:, •; ; . .-•.:.

389

»der

19) {ai — »,)Ac®t « + (<'» — ^) Ai cot«, 4-(flr — aj A» cot«.

srbalten wird. .Weil aber, wenn P, Q, /l drei beliebige GröiieD
»ezeicboen, wie man leicht findet, immer

= -(p-e)(e-/ij(Ä-/o

ist, fo kann man die Gleicli^n|^ 18) auch auf den Ausdruck

21) (»I — a,) Acota + (iy3 — ») Ai «ota, +(« — «i) As cota,
= — (» — ai)(flr, — »»)(fl^2 — »)

I /

oder auf den Ausdruek

221 A cot g . Ai cot g, , 4aC0tg, ^

bringen.

f. 4.
Ferner wollen wir jetzt fünf beliebige Punkte

im' Räume betracbten, deren rechtwinklige Coordinaten reipectiye

■

a> d, c; «,, ^i, <?,; «a, Ä,, «?,; «,, Ä„ €?,; a*, 84, c^

iein mttgen; und S^ Si sollen wieder zwei beliebige Punkte im
Bämne seiui deren Coordinaten in Bezug auf dasselbe System

jCy y, « und ä?,, y», »,

lind. Setzen wir nun der Kürze wegen auf ähnliche Art wie im
fyrigen'^Paragraphen

23)

070?

i+yyi+«*i — '^

af + ofi = X, y+y, = F, » + »i = Z

V

lind, Indem die 180* nicht übersteigenden Winkel

SJUS,. ÄÄf.Ä., SMtS,, S]U,S„ SM^S,
reipectiye durch

., «5 «il «•> «I> «4» . .,.\

« I

.1»

391

in die sieb nun nuch leicht nech die aus desi Obigen bekaonten
Werthc voD

A i2„ i2„ Ä„ O,
«iofilbreii lassen wurden.

f. 5.

lodern wir der Aufgabe, welcbe deo eigentliclien Gegenstand
dieses Aufsatses ausmachen soll, nun näher treten, wollen wir jetzt
annebmen, dass aus yier in der Ebene der ory und in einer und
derselben geraden Linie, welche als Axe der jc angenommen wer-
den soll, liegenden Punkten

M, M^y M^, if,,

deren Coordinaten

sammtlich als geffeben betrachtet werden, zwei in der Ebene der
asy liegende Punkte S und 8^ , deren unbekannte Coordinaten ^,
y und ^,, y^ sein sollen, gesebeo, und in den Punkten

die 180® nicht ilbersleigfenden Winkel

SMS,, SM^S.y Sm^S,, SM^S,,
welche durch

bezeichnet werden mögen, gemessen werden, und wollen nun un-
tersuchen, ob sich aus diesen Datis die Lage der Punkte S und
i9| in der Ebene der ^rjr, d. h. die Grösse der Coordinaten ^, y
und o^i, y, bestimmen lässt, wobei wir wie früher die doppelten
FÜehenräume der Dreiecke

SSiSiy-Sßf^Sij SM^S^y SJm^Sg

reapective durch

A) Ai» A99 As

bezeichnen werden.

Naeb 11) haben wir unter den gemachten Voraussetzungen zu-
TÖrderst die folgenden Gleichungen:

Jäto?, +yy, — ir»(^ + ^J = Ai cot;«, — «r,»,
^^i +3^1 — »i(«ÄP"l-^i) = At «ot«, — «,*;

392

und eio bekannter Satz der analytisclien Geometrie*) liefert ihm
ferner die folgenden Gleishungen:

!*A = (— IV i^yi — y^i +«(y— yJK
Ai=(— 1)'* l^yi— y-a;. 4-«,{y--yJ}
A« = (— 1)'* l-a^yi— y-aTj+flT.Cy— y,)l» ,
A. =(— !)'> i^yi— y-^i+^sCy— yi)j-

in -denen für

• • • •

jede beliebige gerade oder ungerade ganze Zabl gesetzt werden
kann, jenachdem man sieb, um respective von dem Funkte

durcb den Punkt «S^ zu dem Punkte iS^i zu gelangen, nach derselben
Richtung, nach welcher man sich bewegen muss, um von dem po-'
sitiven Theile der Axe der a: durch den rechten Winkel {a:y) hin-
durch zu dem positiven Theile der Ajce der y zu gelangen, oder
nach der entgegengesetzten Richtung hin bevregen luuss.
Setzen wir nun

also

und

I ar — o?, =2«,, y — yi=2«f.;

30) j^=«+^-y=^+^-

1 ^yi — y^i = — 2(i#v, — f «1 );

so werden die Gleichungen 27) und 28) i

«* + «;' — «1 * — f^4 * — 2irii = /\ cot a — ««,
|»*-|-r* -:-iij» — f>j» — 2«i«=^^i cota^ — a,*,
iw*4-t^*— «1* — «/|* — 2»,« = ^^ cottta — «,»,
*'+f* — «,*— >i*— 2«,«=:^, cot«, — «,*;

32)

und

33)

/\ = — (— 1)« • 2(UV^ — «W, — flT«^, ),

A» = — (— !)*> • ^(««'i — «'»i — »a«'i)»

As = — (— 1)'* • ^(««'i — Wi — «.«'i);

und nach gehöriger Substitution dieser Werthe von A» Ai> A«» Ai
in die Gleichungen 32) erhält man also die vier folgenden Glei-
chungen zwischen den Grössen «, v^ tfj, t^, :

•) M. s. Archiv. Tbl. HL S. 263. ;

803

«%

1— 2«»« — (— 1)'. .2fl', cota, .f;, j ""•>'»

^)^ti»+f^»— ti,»--ff,»4-(--l)<. .2cota,.(tif;,— fw,))_

— 2ar,f# — (- l)«. .2», cot«, . r, | — — «»%

— 2a,» — (— 1)'. -2«, cota, . c;, j — — «i';
reiche in Bezug auf die vier Grössen

m

om ersten Grade sind.

Nach dem Obigen bezeichnen bekanntlich

. a, o,, «,, o,

ie 180^ nicht übersteigenden Winkel

SMS,, SUf.S,, SJU^S,, SUf.S,.

iässt man über von jetzt an, so lanjge nicht etwas Anderes beson-
lers bemerkt wird,

ie 180® nicht übersteigenden Winkel

SMS,, SM,S,, SM^S.y SM^S^

der deren Ergänzungen zu 180® bezeichnen, jenachdem man sich,
im re^ective von dem Punkte

Inrch den Punkt S zu dem Punkte S, zu gelangen, nach derselben
lIchtuDg, nach welcher man sich bewegen muss, um von dem po-
itiven Theile der Axe der a: durch den rechten Wiukel (ofy) hin-
iaroh zu dem positiven Theile der Axe der y zu gelangen, oder
lach der entgefj^engesetzten Richtung bin bewegen muss, so kann
san die vier obigen Gleichungen offienbiBur in völliger Allgemeinheit
.uf folgende Art schreiben :

ti' + f;* — «1» — f;j»4-2cota. {mVi — tw,) )

— 2ai# — 2a cot a , v, i
\u*-^v* — tii* — Vj' + 2cotai . (fWi — ew,) l

^, ;— 2«,fi — 2a, cota. . ». )

''^V + f;»— fi *— Vi»-*-2coto, . {uv^ — ew,) ^
I — 2a,tf — 2«, cot«, . Vi

— a, ,

' \— 2«,if ** 20^ cot a, . t^, )

39«

Mittelit ü&MT Tier Gleiehangca kaoa ■•« die GrdMM

ti» + r* — «,» — r.», tir, — r»,, «s r,

f
beftiBiMCii, and ist also berecktigt:

«»-+- r » — •,» — ff ,»= wdf,

^^^ •=€;

if.=ZI,

wo ^, ^, C^D bekannte Grossen bexeicbnen, an setaen. An
diesen vier Gleicbungen erbält man aber durcb Eliaiination tos •
und v^ leicbt

j r»-«.*=^-(CH-Z>)(r-/>).
^' I tm,=zCB-B',

und bat daher, wie bierans anf der Stelle folgt, aar Bestirnng
TOD V und «, die beiden folgenden Gleichungen:

4

38) J B^CD

Da man jetzt die Grossen «, r, «i, r, kennt, so kennt nuin aach
die Coordinaten ar^ y und ^, , y^ der beiden Punkte 8 and i9„
weil nacb dem Obigen

1^ = « + ..., y = c, + r.;
( ^1 =:#! — «„ y,=r — «.

ist, und unsere Aufgabe ist daber jetzt als aufgelöst an betraebtes.

Löst «an die erste der beiden Gleicbungen 38) wie eine qia-

dratiache Gleicbnng aof^ so erbält

40) ff»=5iM— (^-»-jD)(^— Zl)j

Weil aber unter der Voraiusetsung, dass B — CD nickt Tenebwii-
det, offenbar iaiHier

grösser als der absolute Wertb Ton
ist, ao trat ikan hloaa

soft

sa ■•tsen, nid 0 bat daher nur swei reeUe|.,da«Zeiehen Bach ent-
gageogaaetite, abaolot gleicbe Wertbe»

Vencbwindet B^^CD^ so erbalteo die 61eicbungeD..37) die
Form

\ VU^ = 0.

Die zWeite dieser lieiden Gleiebnsgen ist nur daiia erftlU, wenn
die eioe der beideo Grössen r, «1 verscbwiiiidet.

Ist nmi ^ — (C'+Zl) (C— ZI) ^ 0, so kann wegen der er-
sten der beiden vorherffebenden Cleichungen offenbar nicbt r = 0
sein, und diese beiden Gleichungen werden daher nur durch

l v^=zA-{C-\. D) (C- D),

erfiillt, so dass also in dietem FaUe fr zwei reelle, dem Zeichen
nach entffegengesetzte, absolut gleiche Werthe bat

Ist ßrner ^ — (C'+Zl) (r^/l)<:G, s« kaaii wegen der
ersten der beiden Gleichungen offenbar nicbt n» , =; 0 sein, und diese
beiden Gleichungen werden daher nur durch

MpftlltV so 'dass also in diesem Falle sf, zwei reelle, dem Zeichen
nach entgegengesetzte, absolut gleicbe Werthe hat.

Ui miSx^ A^{C^D)(C^D):si^, so werden die Gleichun-
gen 42) nur durch

erfüllt.

Setzt man der Kürze wegen

80 ist' nach 41)

47) r» = i^. -+- V\A, » -4- B,J^, , .
nnd folglich

r»

. f

wo das obere oder untere Zeichen zn nehmen ist, jenachdem Jl^
eine positive oder eine negative Grttsse ist. Berechnet man nun
den uülbwinkel co mittelst der Formel

396

t I

und ntant denselben oositiv und negativ, seinen absoluten Wertb
aber nie grösser als W^ , was offenbar verstattet ist, so ist nach
dem Obigen

• , , ^ 1 db cos Ol

^ ' cos Ol '

also, weil

l-f-cos ft)=:2 cos ^cü', 1 — cos (tf = 2 sin \ui^
ist,

Weil nun aber nacb 48)

Jl^ =2iffi cot a>
ist, so ist, wie jnan leithtfiiidet: .. ,

50),,=! '^•"'**r

f — B^ tang^cu

wo immer für ff' der erste oder zweite W^rtb genommen werden
muss, jenacbdem ji^ eine positive oder eine negative Grösse ist
MittelBt der Formeln 48) und 50) kann f^', und also auch «, sekr
leicbt berechnet werden,

Beteichnet man die Entfernungen des Punktes S von den
Punkten . ^

4

respective durch

**> ^19 **»> ^»i

die Entfernungen des Punktes S^ von den Punkten

respective durch

die von den Linien ^

MSy JH.S, M^S, M,S

mit der Richtung der positiven ap eingeschlossenen Winkel , indem
man diese Winkel von der Richtung der positiven a: an nach der
Seite der positiven ff hin von 0 bis 360® zählt, respective durch

und eben so die von den Linien

MS^, M^S^y M^S,, M^S,

39?

nit der Richtntig der positiven ^ eiogeschlosseneo , auf dieselbe
Art wie vorher geDommeDen Winkel durch

&, &,, 0',, ©',,

80 ist in völliger Allgemeinheit

a: — 0=sr cos @^ y^=^r sin @;
d?--a, =>, cos 0,, p = r^ sin 0,;
' ] a: — «, = r, cos ©a, yr=Br, sin 0,;
o? — «, =i=r, «OS 0,, y=3r, sin 0,;

and

52)

also

53)

d?, — Är = r'cos 0', ^1 sr'sin &;
OTi — »1 = r^i cos 0^1, y, =^'i sin 0*, ;
d?, — 4», ssf^'a «OS 0',, y, =#^4 sin 0-,;'
d?| — a, =r', COS0',, y, ==r', sin 0',;

I

ar — tf.

f .

f "g 0. =j:?^. t«"s ®'. = ^7^.;

K f

4

i

Blittelst dieser Formeln lassen sicli die Winkel -

0, 0., 0„ 0,

und

0-, 0'., 0-,, 0',

ohne alle Zweideutigkeit berechnen, wenn man nur die Vorzeichen

gehörig beachtet, welche in Folge der Gleichungen 51) und 52) die
inus und Cosinqs dieser Winkel haben müssen. Dann findet ipan
aber ferner auch- die Bntfernungen '

^ * - •

und

^1 ^i> ^w /■

leicht mittelst der Formeln

89B

^ . ^ , ' ~ cos e, •" sin Ol'
54) \

* cos ©2 sinO,*

• cos Ö, sin Oj

und

cos e* ~ iin e"

r' — £iZifLi_ y

1

55)

cos er^ sin e*,'

» cos e*, sin Ö*,' ,

r' =£iiz£i — yi
• cos er, sin er,'

Die doppelten Flächenräume

A> Am As> A. ^
findet man mittelst der Formeln 33) oder auch mittelst der Foroieb

A.=±r,r'.sia(0;-0'.),

' ^ A, = ± '•.r'. Bin (©, - &,),

A,i=±r.r',8in(0.-0',)5

in denen man jederzeit die Vorzeicben so zu nehmen bat, dsss die
Grössen A> Ai> Aa> As positiv werden.

Rezeichnet man die EntfernüÄfg der beiden Punkte S und ti
von einander durch £!, so ist

57) ^=l/(^-^.)'-t-(y-y.)».

Berechnet man aber den Hiiifsmnl(el { mittelst der Formel

58) taug ?=J5|J

und nimmt, was offenbar verstattet ist, den Winkel $ so, dast

0 < 5 < 90«,
90« < 5 < 180%
180« < 5 < 270%
270^ < 5 < 360»

ist, jenachdem i

399

. ^ — AT, posiliy and y — y^ potitiv) ^

or — OTi negativ und y-^yi poBitir,
X — a:^ negativ und y — y, negativ,
x — d?, positiv und y — y^ negativ

ist, so kann in völliger Allgemeinheit

59) JE?=^~i

C08{

gesetzt werden. Auch kann man auf vier verschiedene Arten E
als die dritte Seite eine» Dreiecks berechnen, in welchem die bei*
den andern Seiten und der von denselben eingeschlossene Winkel
gegeben sind.

§. 6.

Wir wollen nun wieder zu den vier Gleichungen 35) des er-
sten Grades, auf deren Auflösung bekanntlich d^e ganze vorherge-
hende Auflösung unserer Aufjgabe beruhet, zurückkehren.

Zieht mati zuvörderst die zweite dieser vier Gleichungen von
der ersten, die dritte von der zweiten , die vierte von der dritten
ab, 80 erhält man die drei folgenden bloss noch die unbekannten
Grössen uv^ — tw,, «, v^ enthaltenden Gleichungen t

(cot a — cot «i) (f#r, — ri#,) \

— (a cot tt — «1 cot ajf^i /

(cot «j — cot O,) (Wj — f^fl,) \

— («i cot «1 — ^a, cot «,)r, '

«

(cot a, -^cot «,) ff#»i — tw,) \

— («. — «.)» |= — i(»a' — «•*)•

— (a, cot a, — «, cot «,) f i J
Sind nun überhaupt

a.x+S3.g+s.3=ft„

drei GleichunreD dies' ersten Grades zwistheh den drei'tiBbekanntoB
Grössen X> 9» 3j <"* ist bekanntlich

■»_Jt(g.6,— g.6.)+it.(g»g-»g»)+it,(gg>-a3.g)
~ «(g.c, - e.g,^ 4- «i(s«e - gg.) + «,(gg. - g.g)'

y

I I ralatliB^iüi itfi . _^

400

®"~a(»,g»-»,g.)+a.(»,g-»g,)+a,(»6,— »,6)'
a _ Jt(«.g, -«,».)+ Jt.(«,ag-ag,)+«,(aa3.-«,g)

^— «WaS.g, - a5,g.) + «.(8,g - »€,) + 8l,(*6. -»,€)•
Mittelst «lieser Formeln erhält man, wenn

•ro.

60)

gesetzt wird, aus den obigen Gleichungea ohne Schwierigkeit

61) 3^=»cota {(a, — «s)cota, -!-(«, — 0|)cota, + (a|— a,)cota,|

— 0,eota, j(«, — a,)cota+(a, — «)cota, + (a — a^)eoiat\
-+- 0,cottt, {(a, — 0,)cota+(i9r, — 0)cota^+(a — 0a)cota,|

— 0,CDtay |(if, — a»)coto+(0, — a)coia|+(0 — a,)cota,|

oder, wie hieraus ferner leidit folgt:

62) A^ = (a-a.)(«,-«,

-*-(a— «,)(«,— a,

+ (a— «,)(«i-^»a
+ («1— «»)(«— «.

+ (»»— «s)(«— «l
Ferner ergiebt sich leicht

Ö3) Zj = — iacota{(«,-r a,)flr, »+(»,—«, )ff,«-|-(a,—a,)a,»

— {», cot«, i(if, — a,)a* ■+-(»,— ii)«,»+(a—a,)a,'|
+ Jar, cot«, i(a,—a, )«»-*-(«,—») flp,»4-{«--«,)Ä,*|-
Weil nun aber nach 20)

(«, — a,) «1* + («i — «i) »,' + («, — «a>«,»

(a,—a,)«»-|-(a, —«)«,» + (» — «»)«,»

= — (« — »») (»t — >t) («fi -^ «)>

(»1 — »t) »* + (a, — «) «1 * + (« — «i) «.•

== — (» — «i) («1 •--«•)(«.— «)>

cot a cot a|
cot a cot a,
cot a cot a,
cot a, cot a,
cot cc, cota,
cot o, cot a,.

401

Ä — (a — «,)(«,—«,)(•» — »)
kt, so ist ^

Ö4) Z|=|a(a| — »«)(«» — «»)(«i — «,)cota

— 4a,(a— 0,) (a,— a,) (a,— a) cot £4
+ 4aa(a— a, )(«,—«,) (ä, —a) cot a,

— jfa,(»—a,)(flF, — «,)(«, — a) cot«,.

f¥eiter ergiebt sich nach eiDigen leichten RedvctjoDen

65) Z, =i(i9 — «(i)(^t — ^»)(«a+«fi) cot « cot «j
-|-4(a—a8)(a, — «,)(«,+«,) cot « cot a,
+ i(« — tft)(^i — Äa)(fl^i+^») cot a cot a,
+ i(«i — ^i){^ — ^t){^'^^t) cöt «, cot a,
-t-i(«i— ••)(«.— •)(»»+») cot «1 cot «,
• +i(09 — «i)(« — »i)(»+«i) cot «a cot o,.

Eben so leicht erhält man

W) Z,=3— lcot«|(flr,— iar,)«,» + (a,— dr,)a,«4-(«^— «,)a,»}
+ icota, !(«» — «,)«* + (»,—«)»,• + (» — a.Jä,»j
— icotöj» {(ä^ — a,) «» + (ä, — «) «, » + (« — «,) «, » I
+ icota, i(«i— «»)«» + («, — Är)flrj» + (a — a|)a,»j,

und folglich auf ganx ähnliche Art wie oben

67) Z,=i(a, — «,)(a,— «,)(a, — aj cot a

— 4(« — Äa)(aa — a,)(», — «) cot a,
+ i(a — «,) (a, — « J («, — «) cot a,

— i(« — «j)(aj — a,)(a, — «) cot «,.

Führt man nun endlich die gefundenen Werthe von uvi — vuiy '
«f, t^i in eine, etwa in die erste der Gleicbunffen 35) ein, so er-
bält man nach einigen keine Schwierigkeit darbietenden Reduc«
tionen:

68) Z = «r,0,(flr — tf|)(tfs — «i) cot a cot o^
+ 0,iy«(a-«:a,)(Ä, — Äj) cot aqot a,
+ iVia,(a — 0t)(<'i— ^a,) cot a cot a,
' +«flr,(a, — t9i){a — a,) cot «, cot «,
+ ««,(''1 — ^»)(«« — «) Cot «, cot «,
+ aa^{a^ — ^s)(<' — ^i) cot a, cot «,.

Debrigens kann man, wie leicht erhellen wird, auch

ThelllV. 26

4ia

«9) A = 2(«— «,)(«, — «,) cot a eot a.
-|-2(« — «,)(«, — «f,) cot a eot «,
-|-2(« — a,) («j — «r,) cot a cot a,
, +^«i— «»)(^— «.) cot a, cot a,
+ 2(a, — «s)('s — «) CO* «I «ot «»
-•-2(«,— flr,)(«— a,) cot a, cot o,,

70) Z = 2a3ff,(a— a|)(a» — «,) eot a cot a,

+ 2axir,(0 — ^3)(^s — ^'i) cot a cot a,
-|-2aja,(0 — ^s)(«i — ««) cot a cot a,
+ 2««s(«, — «s)(a — ««) cot ttj cot a,
+ 200,(a,— a,)(a»— «) cot Oj cot «,
+ 20ffi(ir,— a,)(a— 0|) cot o, cot a,,

71) Z, =«(»,—«,)(«,—«',)(«,— «,) eot a

— «,(«—«,)(«,—«,)(«,—«) eot a.
+ «,(«—«, ) (a, — «,) («, — «) cot a,

— «•(«—«!) («1—^») («.—«) cot o,

72) Z, = (» — «rJC^s— «a)(«9+««) cot tt cot a,
+ («— a,)(0,— «,) («r,+a,) cot a cot a,
+ (a— «,)(«! — «rs)(^i+^a) cot a cot o,
-fr («I —«>)(«— «.)(«+««) cot a, cot o,
-*- (ff, — «,) («»—«) («s+«) cot a/ cot a, .
+ (0, — «•)(«— «Ofiy+ai) cot a, cot a,,

73) Z, =(«,--«,)(«, — «, )(a,—«J cot a

— (»—«,) («, — «,)(«, — «) cot o,
+ («—«,) («,—«,)(«,—») cot a,

— («—«,)(«,—«»)(«,—«) cot o,

setzen^ welche Foraeln die leichteste Berechiung der Grosseo

oder

gestatten dürften.

Z Zi Z^ Zf

Wenn wir jetzt wieder a, a, , a,, a, die 180® nicht überetei«
genden Winkel

40S

SMS,, S3i,S,, SBf^S,, S3f,S,

lezeichnen lassen, so haben wir nach 21) die vier folgenden Glei-
chungen:

(a, -7-a,) ^ cota-4- («?, — «)Ai cot«i +(» — äi) A, cot «,

= — (<r—a,) (»j —«,) («, — »),
(i?, — Ä,) A cot a 4- («?, — ä) /^, cot a, + (a — a,) ^X, cot «,

= — C»-^ «,) (flr, -a,) (», — a),
-' \ («r, — a^) ^coia + (a^ — a) ^^ cot a^+ia — a,)^^, cota,

= — (a— «,) («a — «J (a,— a),

= — (»1 —«»)(»»—«.) (»t—»i);

und können uns in jedem FaU» einer jeden dieser vier Gleichungen
als "einer PrtifungsgUichung für die Richtigkeit der ganzen geführ-
ten Rechnung hedienen, was immer von besonderer Wichtigkeit ist.

!

I

Wir wollen nun tfach den im Vorhergehenden entwickelten
Formeln, um deren Anwendung zu zeigen, ein Beispiel berechnen,
und wollen dabei annehmen, dass man sich, um von dem Punkte
/If ,' ßf^ , M^ , Jl/, durch den Punkt S zu dem Punkte S^ zu ge-
langen, immer nach denselben' Richtung bewegen müsse, nach wel-
cher man sich bewegen muss, um von dem positiven Theile der
Axe der a: durch den rechten Winkel. (^^) Iiindurch zu dem posi-
tiven Theile der Axe der y zu gelangen.

Sind nun die Abscissen der Punkte •

und die an denselben gemessenen, 180^ nicht übersteigenden

respective

und

SMS,, SM,S,, SM:,S,, SUf^S,

2, 3; -^5, 6; +9, 9, +15, 7

99». 25', 78M0', 60».54', 45^56';

so hat man unter der gemachten Voraussetzung im Folgenden immer

a = 2,3 und o =99».25'

a,:^ 5,6 a, =78.10

«,= 9,9 a3=60.54

», == 15,7 a, = 45 . 56

zn setzen.

- 26»

». — «. =al.I_

[^ ■«=—•,.» =

LUC 'SOK.

J = —

)

Di» Bcctnmiir x radi >iai Finnein CZ3^ W. «^ (Ol, 6) tt»

M

405

iy,0g(i»-*!i»,)(i», -*-!»,) c©t a cot «1 = — 103,373
«,«,(«—«,)(«,— «i) cot a cot «,=-1-622,974

•i«^»(» — «i) (<»i ""«») cö* " <^®' «t = — 512,808
»a,(«i— a,)(«— ai) cot «j cot «, = -1-242,639
äa,(i»i— 0,) (a, — ») cot «, cot «, = — 354,461

««,(«,— a,)(i»-^i»,) cot «, cot «y=:+ 132,814

Z = + 27,785

4«(aj— »,)(«, — «,)(«,— «J cot' «= — 48,042

— i«i(«— flri)(«»— «t){<»t— «) cot «, = — 346,518
i«,(«— »,)(«» — «,)(«,— a) coi «,=+1230,504

— i«t(a—-«i)(ai— «,)(««— ») cot «, =— 819,434

Z, =-*- 16,510

i(a — i»,)(a, — «r,)(a,+«,) cot « cot «, = — 8,513

1(0— i»,)(a, — «i)(«a+0i) ^ot « cot «,=-1-75,463

i(a — i»t)(tf|— aa)(iVi+^s) cot « cot «, = — 71,686

^(«1 — »a)(» — ^«t) (»+<»») cot «I cot «,=-1-60,475

i(», — a,) («, — a) («a+«) cot «1 cot «, = — 94,959

i(a, — «t)(» — »i)(»+«i) cot«, cot «, =-f- 40,731

Z,=-h 1,511

4(«j— a,) («,—«,) (a,—«,) cot «=— 20,888

— i(« — «,) (02 — «,) («r, — ^^«) cot «, = — 61,878
^J(a— aj (»,— a,)(a,— a) cot «, ä -|- 124,293

— i(a — a,) (a, — aa)!«^« — a) cot «, = — 52,193

Z, = — 10,666

»_L t « t ^ ^ 27,785

j, Z, 16,

•^«-*^' = ^=ir=- ij

c;.=Ä = :^ =

365
^ Zj 1,511

10,666
N ~ ' 1,865

• _ 12.177

^ = — 20,355

« = — 12,095

r=— 1,107

/>=+ 7,814

406

(C+Zl)((7-. />) = -: 59,832

CDzs.^ 8,650
^, = ^ — (C+Z^ (C— />) = + 39,477

B^=lB--'CD:=z^ 3 445

Zar Bestimmaoff' von v* haben wir in diesem palle, wo A^ positiv
ist, nach dem Obigen die folgenden Formeln':

fang w ±= -^r , t' =*= -» i cot ^w,

log 2 = 0,3010300

log (---^,) = 6,5371892

0,8382192

log ui, =1,5963441

log (—tangw) = 0,2418751 — 1
w = — 9».54'.Cr^813
iw = — 4 . 57 . 0,407

11,0624350
— 1.00
1,0624250

log (-^0 = 0,5371892

log •€;» = 1,5996142 •)
-J log. ff »=0,7998071
«^ == db 6,307

«.,_-

t;

- = dz 0,546.

Wir haben also

u = — 1,107

r = -^ 6,307

if , = zi= 0,546

ff, =+7,814

und weil nun bekanntlich

a: = ti-|-

«15

'y?=r«;-|.r, ;

^ji=«# —

-«n 2^1=?«' — "i

) Um die Richtigkeit der Rechnung zu prüfen, könnte man ausser
Bi cot ^ auch noch — < B^ tang ^co berechnen, wo dann immer

B^ cot iw-f-(— Ä, tang iw)

a:i?^ (cot 4ö> — tang Jw)

-, cos {w* — sin ^w»

=»^1 : \ ;

sm joi cos joi

_ cosjji^ cotai = ^>

' sin w

sein muss.

407

ist; 80 erkalten wir die beides folgendeir Avflöiungeiimnserer Auf-
gabe :

lürste Auflösung»

i = — 0,561 . y = -Hl4,m

ar|=— 1,653 yi=— 1>50I

Zweite Auflösung.

. •»=7— ^^53 y = -f" 1,507

0?,=— 0,561 y,=— 14,121

Um die Richtigkeit ' der Rechnung zu prüfen , berechne man
zuerst mittelst der Gleiebungen 33) die Grössen ^, ^|, ^3, 2^,.

w, — tw^ = — 12,095

av,=-h 17,972

«,t^i==+ 43,758

0,f;,r=+ 77,359

*,r,i=+ 122,680

/^Ä 60,134
^, = 111,706
Ä, = 178,908
^, = 269,550

log A= 1,7791201

l«g iXi = 2,0480765

W A. = 2,2526297

: log ^, = 2,4366393

(a, — a,) A cot « = + 42,884

(a, — a) Ai «ot «1 =■+- 177,874

(<y~g.) A2 cot «3 = — 328,610

(»,— flf,)A<Joti«+(«,— «)AiCota,-f-(«-7a,)A3eota3 = — 107,852

-(^— ^1) fg.— <>»)K-^)=- 107,844

Differenz = =F 0,008

worams man siebt, wie genau die erste der ?ier Prüfun^sgleichun-
ffen 74) erfüHt isf. Aur ähnliche Art könnte man auch jede hindere
dieser vier t'rüfungsgleicbungen entwickeln.
Die Berecbuung der Grössen

0, ®i, ©2, 0.;®', 0'i, &2> &.

und , «

* t f I

so. wie der Entfernung E der beiden Punkte S und ^S^^ von einan-
der nach den im Obigen entwickelten Formeln können wir um so
eher füglich dem eigenen Fleisse des Lesers überlassen, weil das
vorher berechnete Beispiel nur die beste Form der Rechnung zu
zeigen den Zweck hat.

Weitere Entwickelungep. über die hier behandelte und ahn- '
.liehe; allgemeinere Aufgaben behalten wir spätem Aufsätzen vor.

408

XLIII.

Geodätische Aufgabe.

' Von •

Herrn L. Mosßbrugj;er^

Lehrer der Mathematik an der Kantonsschule jui Aaran.

Es sind die relative Lage and die Meereshöbep
der beiden Punkte ^ und ff (Yaf. VIL Fi^. 9.) gege-
ben; ferner kennt man den horizontalen Winkel bei A,
welchen die Projectionen cJV und mA der Linien uiA oud
HA auf der Uorizontalebene cAm mit einander bilden;
endlich sind auch die Zenithdi stanzen von ui und Bin
A, mithin auch ihre Ergänzungen zu 90^ gegeben. Mao
soll die relative Läse des Punktes A iu Bezug auf .i
und if, nebst den Höhendistanzeki finden '^).

Denken wir uns eine dureh A gelegte' Uorizontalebene cA^«;
ferner seien u4ac und Hm senkrecht auf diese Ebene gezogen;
endlich sei aP\\cA, BP\\mAi so wird auch PA senkrecht auf
cAm und l^BPA =z LjnAc sein. Ziehen wir noch aus den
Durchschnitt B der Zinien aP und AA die Linie DQ\\PJ^ mi
verbinden B mit B und Q mit m^ und setzen der Kürze wegen:

Baz=za^ Aaz=iU^ LjuPB z=l LjcAm:=^Y\
LBAm=zß, L^Ac=,o.\ ac:=zy, LÄAB=.^\

so reducirt sich die Aufgabe dabin: Aus den gegebenen Stücken
a^ h^ a, ß, Y die Grössen y und 9 zu bestimmen, woraus sieb als-
dann alles Uebrige ergibt. Diesen Annahmen zufolge ist

BAz=zy cosec a, BP=zy cofg o, AA=z(h'+'y) coscc «,
cA^=i(h + y) cotg a, BP:=zy cotg /?, BA^=^y cosec /?.

*) Der Herr Verfasser des Torlieffenden Aufsatzes schreibt mir bei der
Uebersendung desselben, dass ibm die obige Aufgabe von dem eheina*
ligen preussischen Ingenieur: Herrn Hauptmann Michaelis bei Gele-
genheit der Aufnahme der St. Gotthardsstrasse zur Auflösung vorgelegt
worden sei. Uebrigens wünscht der Herr Verfasser, dass die Aufgabe,
eben so wie der in No. XXXiV. mitgetheilte Satz, nur als eine Uebuogs-
aufgabe für Schüler angesehen werde. G.

409

erner Ut im Dreiecke DPB

BD^ = DP^'\'Bt^'--2DP.BPco%Y

>nd im Dreiecke BDN

BD^ = DN^ + BA^ — 2DN. BN cos 9

>der, wenn wir die obigen Bezeichnungeo gebrauchen, so ist

BD^ =:p* icotg a* + cotg /}> — 2cotg a cotg /? cos jr\ .t.. (1)
i7Z^' = fco8ec a* + cosec ß* — 2co8ec a cosec ß cos yj ..•• (2)

Aus (1) und (2) finden wir nach einigen Reductionen:

cos 9) = sin a sin /9 + cos a cos /9 cos ;"•

Setzen wir in diesem Ausdrucke — \ "g ^ = tg d, so ist

sin (tt«^(f) tin ß ,«.

5P= ^ST? •••• l^>

cos v'-— jk

^ cot cf

Ferner ist im Dreiecke ABN

AB^ = AN^ + BN^ — 2^A^ . ÄA^ cos y,

oder» wenn wir die oben ungegebenen Werihe einführen:

Ä» + ^* = (Ä + yY cosec a' + y* cosec /?*

— 2(4 '\- y)y cosec a cosec /9 cos 9
i>der

y*''i8ib/}'+sintt> — 2sina8in/}cos9)j +24ysin/9.{8in/9 — sinacosg)}

= (a'sina* — 4* cosa'jsin/^*.

Ans dieser Gleichung finden wi:*, mit Anwendung folgender gonio-
metrischen Relationen:

cos 9 = 2cos {y* — 1,
sin a' + sin ß^ — 2sin a sin /} cos 9 = 4| sin i(a+/^)* cos j(a — ßY

— sin a sin /? cosjg)*!
sin /9-— sin a cos 9 = 2|8in 4(a + /}j cos ^(a — ß) — sin a cosjy*}

für y fo]j|;enden Werfh:

A|sin j(tt-f-/9) cos i(«--/9) — sin « cos jy*

y ""«21 sin J((o-|-/9)» cos 1(«— /9)' — sin« sin/} cos ly»|

L* .■

V'

410

ä' sin «' sin ß* \s\n ^a + ß)^ cos \{a — ß)^ — sin a sin /9 eos {^'l

-f-» /i* sin /?' I sin \{a -f- /?) cos j (<t — /?)-* sin g cos jy » |
2|sin (a -f- /9)' cos ^a — /9)» — sin a sin /) cos ^^ |

Da cos 9 nach No. 3. bestimmt ist, so ist auch der Wertb ?on y
bestimmt; mithin können auch alle Stücke des Dreiecks ^iA^ mit-
telst der obigen Annahmen gefunden werden.

XLIV.

lieber die Auflösuag der cubischen

Gleichungen.

Von, dem

Herrn Professor C. A. Kretschn eider

' in Gotha.

Die bisher bekannten Auflösungsweisen der cubischen Gleichun-
gen setzen säm^tlich eine ganz bestimmte Form der Gleichung
voraus, indem entweder ein Glied fehlen, oder wenigstens eine be-
stimmte Relation zwischen den verschiedenen Coefßcienten der ein-
zelnen Glieder stattOnden muss, wenn die Endformeln sollen ange-
wandt werden können. Es bat dies aber den Nachtheil, dass eine
solche Auflösung dem AnTänger in der Algebra immer als eine Art
Kunststück erscheint, das durch Zufall aufgefunden worden ist, und
deshalb auch vorzugsweise das Gedächtniss in Anspruch nimmt» '
Ganz besonders gilt dies von der sogenannten Cardantschen Regel,
die noch überdies an einer solchen Beschränktheit leidet, dass auch
nicht einer der Fälle, in denen eine cubische Gleichi^ng eine un-
mittelbare Angabe ihrer Wurzeln gestattet, in ihr enthalten ist.
Dies hat mich veranlasst, eine Auflösung zu suchen, die gar keine .
besondere Form der Gleichung verlangt, dabei auf einem möglichst
einfachen Wege gefunden werden kann und die bisher angegebe-
nen Lösungen sämmtlicb als specielle Fälle enthält. Was ich er-
balten habe, scheint wenigstens fiir den Unterricht nicht unbrauch-
bar zu sein, weshalb die Mittheilung desselben an diesem Orte sich
wohl rechtfertigen dürfte. «

4U

Es sei die Cileichang ar'+c = 0 gegeben, so ergiebt sich

3 3

UDRiittelbar jss=z — \/c^ mithin jc+y/c als einer der zweitheili-
gen Faktoren der vorgegebenen Gleichung. Die beiden anderen

findet matt sogleich, wenn man op^'+'e durch (a7 + y/c) dividirt.

3 3 __

Man erhält dadurch o?^ — orj/c -f- J/cc = 0 und daraus die beiden

3

anderen zweitheiligen Falctoren a: — ^\/'cil + *\/i) und a: —
jl/c(l — «V/3), wo «==iK — 1 gesetzt ist. Ist c negativ, so gehen die

8

Vorzeichen von \Xc in die entgegengesetzten über, ohne dass sich
in den gefundenen Aiisdrücken sonst etwas änderte. Kine soge-
nannte reine cohische Gleichung hat deiainach stets eine reelle und
z'w ei imaginäre Wurzeln.

Soll nun die Gleichung a?* -f- a^c* + 6a: + €7 = 0 itufgelöst
werden, so übersieht man sofort, dass dies am einfachsten dadurch
geschehen kann, dass man sie in eine andere von <ier Form y'+c'
= 0 umformt und letztere auf die so eben angegebene Weise löst.
Es wird demnach für 4P eine solche Funktion von t/ gesetzt wer-
ilen müssen^ welche noch zwei von einander und von t/ völlig un-
abhängige (Grössen u and v enthält, damit es möglich sei, die Wer-
the der letzteren so anzunehmen , dnss dadurch die Coefläcieaten
von y' und y gleich Null werden. Die einfachste Funktion dieser

Art ist aber o? = i _. » • Wird diese also In otige Gleichuu'g sub-
stitttirt, so erhält man:

0 = y'(f • -I- «f * -^Ifv + c)
-+■ u^(^v\iuv H- a(u H- v) + b\ ^ {«uv + lf(ü •+• t') -f- 3^?])
+ y{y\^uv ■+- ä(u •+• t;) H- ^J + [avv -I- lt(u -|- 1^) -|- Zc\)

lind man hat nun u nod v so zu bestimmen, dass die beiden mit-
telsten Glieder verschwinden. Es geschieht dies |am einfachsten
dadurch, dass man

oder, was dasselbe ist,

0 = (^c+lm) + v(b+au) 2= {Zc+bv)+u(b+av) \ ^ '

setzt. Damit erhält man sofort die Werthe;

3(r* +««^'+2»+c?) = ef»(a-+-3v)+2«;(^-«-flff;)-«-(3c-t-ZJt;)

= «f*(flf+3r)+(Ä+a«;) (2»— ^)

412

und auf ähnliche Weise

3(»» +<w» +6u+c) = (a+3if) (v—u)*.

Die transformirte Gleichung nimmt daher folgende Gestalt an:

0 = y»(a+3«;) — ^-^ + (^+3«) — p^
oder

Setzt man nun der Kürze halber a + Zti=zg^ und a + 3t^=:4',
so ergehen sich die drei Werthe von y folgendermaassen :

y=i.-|-(l^,V3)

Für den Quotienten -j lassen sich mit Hülfe der Gleichungen (2)
noch folgende Werthe aufstellen:

h* 04-3t; V * b-^av tJ*' 3c + ^v*

Werden nun diese Ausdrücke der Reihe nach in die Gleichung
a;z=z~r-r~ gesetzt, so erhält man die drei Wurzeln der vorgege-
benen cubischen Gleichung.

Zuvörderst ist, wenn man den reellen Werth von y ninat,
wegen

» = ^(^l— «) und t; = |(Ä» — a),

also auch

ar = — fa + t ;^_^
= -4«-i^%+*).... (5)

Suhstituirt man ferner die imaginären Werthe von y, nämlich
^4-(l =i= f V/3}, 80 bekommt man

^=-*«+*^*-iRifev73r-

41S

"^iFird der Brneh reekter Hand im ZDiler und Neaner mit

(a— Ä)(2*H-«<l=F<V/3))
mtnltiplicirt, so erhält man nach eiDigen einfachen Reduktionen:

^ = — T«^ + W^* 2 •••♦(")

Es hieibt daher nur noch übrig, die Werthe von «» t^t ^ und ^
durch die Coefficienten a, 6^ c auszudrücken. Es folgt aber aus
(1), wenn man zur Abkürzung

a* — 3^ = ^, 9c — a^z=«i, ä* — 3ir<^=:it

.setzt, sogleich

u + vrzzjr und UV = -^9

und daraus auf bekannte Weise:

mithin :

äJ ' *'= S

K — 2k *

^ — ~ 2k •

Es ergeben sich damit endlich die Wurzeln der vorgelegten Glei-
chung:

^=f— |a — ^;i — i^

•a? = — i^ + i« 2

a: — — ia *f- Y • ^

(7)

WO die Grössen p und y durch folgende Gleichungen bestimmt
werden :

1p » = lak + 3i» + 3l/iw» — knk^
2y» = lak + 3iw — 3V/«»* — 4<»>t.

Setzt man statt ^, «i, n die entsprechenden Werthe, so verwan-
delt sich :

2«it+3«i±3l^«i»— 4i»>t=ta» — 9a^+27c
2c(2a^ +3«i±3V/«i» — 4«>t)

4U

Ausdrücke, welcbe in einaelDen Fällen mit Nntzen gebraucht wer-
den können. Man kann aber ausser den in (7) zusammengestellten
Wertben der Wurzeln nocb eine zweite Reibe solcher Wertbe er-
halten, wenn man anstatt an den Wertb — 7-~L S^ ^*® vorgege-
beoe Gleichung substituirt, oder, was kürzer ist, nach den Formeln
(7) die Wurzeln der Gleichung o?, •-!--— ^i*H ät, H =0

•ucbti in welcher ^, = -^ ist. Man erhält auf diese Weise neck

sc

die Ausdrücke:

8£

wo Px und qx aus den nachstehenden Gleichungen gefunden werden:
2p\ » = Un -f. Zmc •+• Zc[/m* — AuJb '

oder auch )0^)

2(2^« + 3«inb3cW^«» — 4///?

=d«(Ä».4^c)+|3V/3cdbl/27c».18a^c-|-4^»-a»(^»-4«c)(».

Die in (8) und (10) zusammengestellten Wertbe von /i und ^, so
wie von p^ und ^i, sind stets reell, so lange «9^ -^ 4»;& positiv ist.
Haben daher n uod k ungleiche Vorzeichen, so hat die' Gleichung
immer nur eine reelle und zwei imaginäre Wurzeln. Dasselbe ist
der Fall,, wenn n uod k gleiche Vorzeichen besitzen und überdiess
m^^^nk ist. Wird hingegen in diesem Falle tn^/^^nk^ so er-
scheinen alle drei Wurzeln unter imaginärer Form, obschon sie
dann alle drei reell werden, wovon man sich augenblicklich über-
zeugt, wenn man die Werthe von p^ q^ p^ und q^ nach dem bino«
mischen Lehrsätze entwickelt. Denn dann heben sich die mit f be-
hafteten Glieder sämmtlich auf. Im Allgemeinen hat also die Glei-
chung nur eine reelle Wurzel, wenn

27^?» + 4a»€? + 4^» > a»Ä* + l^abc,

und drei reelle Wurzeln, wenn

27c» + 4a»tf -1-4^» < «»Ä» H- 18»Äc

ist. — Nachdem auf diese Weise die allgemeinen Wertbe der sämmt-
lichen Wurzeln gefunden worden sind, so ist es nunmehr leicht,
eine Reihe specieller Lösungen aus ihnen abzuleiten, von denen
ein Theil auch bereits bekannt ist.

415

Fall i. Es sei « = 0.
Die GleichnDfreii (7) bis (10) gehen nnsiittellMir:

^ = i(0 + y) -h O - f >V8)

ar = —

■

£

(12)

Die Wertbe von p uod ^ sind redl, weno c* +^V^* ^ 0^ imafciDär,
wenn c* + ^V^' < 0 ist. Die Gleichan^ or* -4- äo? + tf ^ 0 hat
also nor eioe reelle Wurzel, wenn 6 positiv, oder wenn & negativ«
jedoch c* '^ i*tA* ist. Daeegen besitzt sie drei reelle Wurzeln,
wenn d negativ und zuffleicti c* <£vr4' ^^^*

Die Formeln (11) bilden die sogenannte Cardaniscbe For-
mel. Sie. kann zur Auflösung aller cubischen Gleichungen dienen,
da or» •+• aa:^ -^ djp + c = 0 sieb stets auf die Form p* + B^
+ 6^=0 bringen lässt, wenu man Jr = y — ja setzt. Es wird
dann

CTip /y«» ^^a6-hc ±=z^{a* — U) + |(9c — ad)
oder. mit den oben gebrauchten Bezeichnungen:

B = ^\Af

C=^\aAf + im = i\m^2aB\

Fall 2. Es sei 6 = 0.
Für diesen Fall erhält man die Wertbe der Wurzeln:

or = — |flf — (/!» + ^«j
a:=^ia+i\(p^ + q^) + (p*^q*)$\/Z\

• ■

ingleichen

416

or

b-i-y)— (P-7)«VS

Die Wertlie von p nod ^ sind reell oder imaginär, je nachden
c + ^a' positiv oder negativ ist. Die Gleichung: or'+a^'+c
= 0 hat daher im ersten Falle nur eine reelle Wurzel, im zwei-
ten dagegen drei.

Die Formeln (13) und (14) bilden gewissermnassen die Umkeh-
rung der Cardanisclien Formeln, und können gleichfalls zur Auflö«
sun^ aller cubischßn Gleichungen gebraucht werden, indem die
Gleichung a:* + aar* + 6a: + c = 0 sich immer auf die Fem
y* + Ay* + Cz=i^ bringeq^. lässt. Es gesehiebt dies , wenn man

os^=zy — i(« + \/a* — 3^) setzt, und man erhält:

^=s= — V/«» — 3^
^_ . 2(fl» — 3^) (g -f.V g* - 3^) — %ab

Ausdrücke, «lie denen des ersten Falles an Bequemlichkeit freilich
nachstehen, jedenfalls aber dann mit Vortheil gebraucht werden
können, wenn ä^ — Zb eine Quadratzahl ist.

Ausser den bisher gemachten beiden Annahmen können aber
noch mehrere einzelne specielle Fälle entwickelt v^erden, die eben*
• falls zu allgemeinen Auflösungen für die cubischen Gleichungen
sieh brauchen lassen. Die drei wichtigsten derselben bieten sich
fast unmittelbar dar, indem man in den Gleichungen (8) und (10)
sücceäsiv J9S) //, k gleich Null setzt. Man erhält dadurch die nach-
stehenden Formeln, in denen jedoch immer nur diejenige der bei*
den Wurzelformen (7) und (9) in Anwendung gebracht worden ist,
welche im Resultate die grösste Einfachheit gewährt.

Fall 3. Es sei «» — 3^ = >t = 0.

In diesem Falle wird 3/»= — am und in (7) ;9'=:3«i, ^'^0,
«» = 9c — -fa', und daher

t

o? = — T» — \^ c — ^a*

^ = - ia+i(H-«V3) V'c — ,V«' 1 ^^^^

^ = — 4«— i(l— fV3) V/c — Vt«'

Die Gleichung a:^ -|^ aa:^ + \a*a: -f- €; = 0 hat daher stets nur
eine reelle Wurzel.

417

Fall 4. Es sei Ä»— 3«c = «=:0,

Man erhält hier m=z ^j p^* szzZmCy ^^':=:0, mithio ge-
ben die Formeln (9)

,r =

a -f. V a(a* — SÄ

/ ,

'^~ — ,v , > (16)

^=: »-

« -f. 1(1 — ,"1/3) K «(«» — 3A)i

Es hat alsp die Gleichung or* + aa:^ + \/^ac . ^ + c=0 gleich-
falls nur eine reelle Wurzel.

Fall 5. Es sei 9c — «ä = «• =: 0.

Hier ist « = — 4^^>Jr und — 4if^ = Hf-4^^». Damit erhält man
aus (7)

o? — — i» — iV/«* — 3Ä(;i + jr)

3 S

Ingleichen ergiebt sich aus (9):

(17)

a? = — i .

a?j=--4-

\/3Ä -f- V/^«» — 3A (;» 1 + y , )

i/3Ä-ii/«?-3Ä|(;i,-*-7i)-H(Pi-yi)«l/3{y (18)

Demnach hat die Gleichung a:* + aa:'* + ^^ + ^ab = jO stets
eine reelle Wurzel, wenn o positiv ist, und drei, wenn b nega-
tiv ist.

Theil IV. 27

418

Fall 6. Es sei r — 0^ = 0.

Hier wird m = Sa6, ;i = a + l/3Z, 7 = a — 1^3^, und daher
Bach (7)

a? = — a

a: = ^\/Zri) (19)

Demnach hat die Gleichung jc* '\- aa:'^ + bjc + ab =zü stets eine
oder drei reelle Wurzeln, je nachdem 6 positiv oder negativ ist.

Fall 7. Es sei «> — 4£==0.
Die Gleichungen (7) geben hier die speciellen Wertbe:

X = — \a — {p-^ -\- q*)

p=i^i\/c-\-{\/c- V,«V

»

(20)

r

Demnach liat die Gleichung .r'+ #r^*+^«*Ar-|-c = 0 nur eine
reelle Wuriel, wenn entweder c positiv nnd v"^-^»*^ oder wenn
c negativ und c-^-^^a* ist. In den entgegengesetzten Fällen kom-
men ihr drei reelle Wurzeln zu.

Fall 8. Es sei b^ — Aac = 0.
Die Formeln (9) und (10) gehen fiir diesen Fall:

07 = —

c

c

s

Hii^rnach besitzt die Gleichung or* +|— -or* + ^^ + e = 0 nur
ei«« Ader drei reelle Wurzeln, ie nachdem 6* ^ -^^ oder

Ä» ist.

419

Es lohnt niclit der Mübe, noch anüerweitep speciellen Lösno-

gen nachsutracbten, da die hier geg^ebenen ziemlich die einfachsten
esultate liefern. Die beiden zuletzt erwäbDten F&lle werden durch
die besondere Form der in (8) und (10) gegebenen Endausdräcke
dargeboten.

Jeder aber der fm Vorstel^BdeD aufffefubrten Fälle Bietet eine
allgemeine Auflösung der cubischen Gleichungen dar, wenn es mög-
lich ist die Gleichung ^'+a^'-t-^a7 + <7 = 0 so umzuformen,
dass die CoefBcienten der neuen Gleichung den Bedingungen ent-
sprechen, welche der zu Grunde gelegte Fall verlangt. Setzt man
in vorstehender Gleichung ;r = y + «, so gebt diesäbe über in

und man kann nun x so bestimmen , dass irgend eine vorgeschrie-
bene Bedingung dadurch erfüllt wird. Setzt man 3%+a=0 oder
3x' +2€7X + ^ = 0, so bekommt man die schon in Fall 1. und 2.
erwähnte Cardanische Auflösung sammt der mit ihr zusammenkän-«
genden inversen. Will man den dritten speciellen F$ill zu Grunde
legen, so muss der Bedingung ui'-^3^=0 genügt werden, d. b.
es muss

(3ä + ay = 3(3*» -«- 2«* -h Ä)

sein. Die Entwickelung giebt aber nqr die Form a* — 3^ = 0,
indem X sich auf beiden Seiten vollständig hebt, mithin kann der
Fall 3. einer allgemeinen Auflösung nicht zu Grunde gelegt wer-
den, wenigstens nicht, so lange man für a: keine andere Substi*
tution macht.

Cm den vierten Fall zu einer allgemeinen Auflösung zu er-
weitern, muss man ß^ — ^AC, d. h.

(3a* + 2a«+^)»zz=3C3a-f.a)(»»+a«»+Ä«-f-c)

setzen. Hieraus folgt nach gehöriger Entwickelung:

oder

jK« — a iv4_ ( — —— fi

«* — 3Ä ^^ a^—M — V

und daher

— 2k

Ks ist dies die Auflösung, welche Cockle vor zwei Jahren bekannt
gemacht und der Heransgeber dieses Journale« im ersten Bande
desselben mitgetheilt hat.

Die Anwendung des fünften Falles zu einer allgemefaieii Anf<^
lösung der cubischen Gleichungen Terlaogt, dass ^C::=zAB oder

9(ä' +«x'4-^»+0) = (3«-Hä>(3«» H-2««-^Ä)

27»

r»«tzt wer^. Die Ckcwickeiwur ciefac s =

Wcfftk Äteaer Ciwk. »« «ckka

t'<»^ Cb wlHc ^akcr. w«*b aas statt 4«r Car^urscWa F«nel
ir?em4 cne ■■ifir wäUm w«Ut». 4k T^nteiea^p eiae gaaz be-
saVicTe BeneiaKicicvBS' vct^eaea. Dm* acekatg Fafl cirfarieft,

seia sasB. Die Eacwickeioa^ siebe jeiio^k 4ie Gleic&aag^:

GWickaas u^

. ZI

set. Die Eatviekelaa^ cübt
aLM

5 = -i(-f.2l^^3l>

r=,M**->=~5^> •^— **)~W+^

eise Aztl«saBc. ^e sraaz Waac&iar kc. veaa l m- — Z6 eite n*
tiaaale Zakl idc

Der acäce Fall ea^Ikk retlaact« üss B*^\JC a^er

lele iaiL Eanricketr cMt dieser Aasdrack 4ie Gleicfci

4ie r-kr ras riertea Gra4e ist. sa iass alsa «üeser Fall eiae Ver-
allf «Beiceraas sieiekfiils airkt zaiissf.

Das Vaiscekea4e zeist. <iass es weiter keiae gtaoM Sckwie-
rifkeit kat. aeae Aaflaiaagyweisea 4er cakisckea ttfickaagta aif-
Tj&^itz. Saii je4ock 4ie~ Warzel eiaer aareiacft cskiael!ÜB Gki-
eWaz viffkiick kocckact «eriea. sa HÄckte 4ie tfalyir JlcA«4e

Naa lervaaiele 4ie Gleickaaz jr' +4rjr- +ljr+r=6 4aitk
4ie SciMtadMi Jr=jp — |« ia eiae aa4effe vaa 4er Fara ^+ßt

421

4- C=0, setze dann y=y/Ä.«, so ergiebt sich ^*+*+j5r7T»

= 0, eine GleicbuDg, für welche sich mittelst einer Tafel der Cu-
biksahlen die Wurzel fnst ohne Rechnung auf die fünf ersten Zif-
fern finden lässr. Ks wird auch sehr einfach sein, für die Werthe

TOD

eine Tafel zu berechnen, mittelst welcher man die zu dieser Grösse
ffehörigen Werthe von % unmittelbar findet. Vielleicht finde ich in
der Folge Zeit, eine solche Tafel zu berechnen.

XLV.

Ueber eine wesentliche Yerallgemeinerung des

Problems von den, den Eegelschnittten ein-

oder umgeschriebenen Polygonen.

Von

Herrn Fr. Seydewitz,

Oberlehrer am Gymnasium zu Heiligenstadt.

Die allgemeinste Form, welche das bezeichnete Problem zuletzt
erhalten hat, ist bekannilich: a) In einen gegebenen Kegelschnitt
ein it-Eck zu beschreiben, dessen Seiten in gegebener Ordnung
durch n gegebene Punkte gehen; b) um einen gegebenen Kegel-
schnitt ein »-Seit zu beschreiben, dessen Kcken in gegebener Ord-
nung auf k gegebenen Geraden liegen.

Im Laufe einer systematischen Darstellung der sogenannten In-
volutionen als eigentbümlicher Beziehungen projectivischer Gebilde
auf einander begegnete ich einem Princip, durch welches nicht nur
die innere Natur der obigen, sondern auch die einer weit allgemei-
neren Doppelaufgabe vollständig aufgehellt wird. Und hierbei über-
raschte mich die Bemerkung^ dass zwei Aufgaben, welche beide von
den Alten uns überliefert worden und wie keine das Interesse der
Neueren in Anspruch genommen haben, nämlich die in Rede ste-
hende des Pappus und die Tactionen des Apollonius, belde«s wie«
wohl in ihrer ursprünglichen Gestalt ganz verschieden von

422

naeb einer Reihe von VerwaDdlungen in einer Weise sich darstel-
len, dass man versucht wird, sie Tür die Modifikationen einer uad
derselben Aussage zu halten.

Vm mibh kurz zu fassen, werde ich mich auf Stein er's Ab-
häng^igkeit geometrischer Gestalten u.s.w. und auf art. 418
und424desTrait^ despropri^t^sprojectivesdesfiguresyoB
Poncelet berufen. Ausserdem bemerke ich, dass zwei auf einander
tfelegte projectiviscbe Gerade ^, ^|, so wie zwei concentrische pro-
jectivische ebene Strabibüschel ifj B^ iuvolutorisch heisren,
wenn dort die beiden Durchschnitte der Parallelstrahlen sich in
einem Punkte vereinigen, hier die ungleichnamigen Schenkel der
entsprechenden rechten Winkel zusammenfallen; ferner dass, wie
man sich aus §. 16. des Steiner'schen Werkes leicht äberzeugen
wird, bei zwei involutorischen Gebilden A^ A^ oder B, B^ je zwei
entsprechende Elemente sich in doppeltem Sinne entsprechen, d. h.
dass. jedem Elemente, wenn es nach einander als beiden Gebilden
angebörig betrachtet wird, in dem jedesmaligen andern Gebilde ein
und dasselbe Element entspricht; und dass umgekehrt zwei aufein-
ander gelegte oder conceutrische projectivische Gebilde involutorisch
sind, weiln ein einziges 'Elementenpaar sich in doppeltem Sinne
entspricht. Auch soll der Kürze wegen die Eigenschaft, dass zwei
Gebilde, z. B. A^ A^^ in Ansehung 4er entsprechende!^ Blemeoten-
paare a, 1&, c, b .... und Ui, ^i^ Ci« bi .... projectivisch sind, durcli

A(%^ fc, e,'b ...,) = ^j(a,, 6,, Ci, bi ..^.)9

sowie, dass sie in Ansehung derselben als zugeordneter 'Blemen-
tenpaare inroiutorisch sind, durch . -

^(a,b^c^b....ai^6,,c,,b,....) = ^,(a,,t>,,c,,b» — a,b,c,b....)

bezeichnet werdeD.

§. l.

a) Gehen durch einen beliebigen Punkt ;;, io der Ebene eioes
Kegelschnittes K zwei beliebige Gerade B^B\^ ^\^%^ welche deo
letzteren in den Punkten B ^^ B\^ aj, a, schneiden; zieht mau die
Geraden B^^^^ ^i«»; ^i«,, B\^^ oder «,, a\\ «,, a\^ die sicli
paarweise in a\, a', schneiden, und verbindet die Punkte a',, a'j
durch eine Gerade A\ legt man sodann durch B^ beliebig viele
Strahlen b^^ c^^ d^ ...., welche den Kegelschnitt in 6,,Ci> bj .•••
und die Gerade-^ in t',, c',,b'i .... schneiden, verbindet die letz-
teren Punkte mit B\ durch die Strahlen b\^ c\, d\ ...., welche
K in b,, C2^ bs •••• schneiden, diese wieder mit B^ durch b^^ Cj,
d^ ...., welche die A in b',, c',, b'a ...., und diese m\t B\ durch
^'a> ^»> ^a..-.> welche AT in bs, C,, bj . . . . schneiden; und ver-
bindet endlich auch diese Punkte mit B^ durch die Strahlen ^,,
Cti d^ ••••> so ist erstens, wegen des perspectivischen Durchschnit-
tes A

= B\(a\ , b\, c\j d\.... a\, b\, c'„ d!^... .),

423.

«

und zweitens wegen des Kegelschnittes uBT, nach Abh. geonet
Gest. §. 38, III. rechts:

^'i(«'i5 ^'i5 c',^ (i\ flf'jj, h\, c\, uT, )

also nuch, wenn man die Strahlen m^^lf^<,c^^d^ .... ursprüngliek
einevf Strabibüachel B^y und die Strahlen a,» ^3, ^jj //, • • • • nebst
ii,(oder «j))^,« r,, </,... . einem mit /^, concentrischen Straklbii-
schel ß^ angehörig betrachtet, dann über die a^, if^^ c,, d^ ....
ebenfalls zu ß^ rechnet:

— -^al^a» ^a» ^3» ^*a . » i- . flP|, ^sj ^s) ^s • • * •/•

Hier aber sind die Strahlen a^^a^ in doppeltem Sinne entsprechend,
also gilt dasselbe von je* zwei entsprechenden Stralilen, d. h. die
Strahlen ^s,c,,^, .... sind mit den Strahlen ^d^d^i ...., und folg-,
lieh die Punkte I>,,C,> b, .... mit den Punkten bi,Ci,b, .... iden-
tisch.

Nach einem bekannten Satze schneiden nun die Diagonalen
(t|(t,, bi^si CjC,) bib,.... der vollständigen Vierseite a^ti^a^a^^^
b^lif^b^b\^ c^c\c^d^y il^d\d^d^^ . • « . die allen gemeinschaftliche
Diagonale B^B\ in einem Punkte, welcher der vierte harmonische
za*BxyB\ und dem Durchschnitte von B^B*\ und A^ einer eben-
falls gemeinschaftlichen Diagonale, und zwar der dem letzteren zu-
geordnete Punkt ist; also gehen die ersteren sämmtlich durch einen
und denselben Punkt p^.

Hieraus schliesst man sofort, da die Punkte /'d ^d fti,ii, fj,
^1 . . . . durchaus Beliebig und von einander unabhängig sind, dass,
wenn durch einen beliebigen Punkt p^ die Geraden (iiCL^^ I^iK»
C1C9, bibs .... beliebig gezogen und sodann um einen beliebigen
Punkt (B^B^) auf dem Umfange von K die Strahlen a,, 6^^ r^,
1/2 . . . • a^y ^3, ^2, ^2 • • • • bestimmt werden, die Beziehung

= B^{a^yd^,c^,d^ .... ai,^,,€?i,^i . . . .)

stattfinden muss.

Ferner: da der Punkt pi durch zwei Gerade a^a^^ db, ge-
geben, und da das ganze Sjstem entsprechender Elementenpaare
zweier projectivischen Gebilde B^t B^ bestimmt ist, wenn drei die-
ser Paare a^^ ^,, a^h ^2» b^, n^ beliebig gegeben sind, d. b. im
hier betrachteten Falle zwei beliebige Paare zugeordneter Elemente
a,, ^i ; 172, ^2, so muss sich der vorige Schlass auch umkehren
laissen.

h) Setzt man in a) überall, wo von Punkten und Geraden»
Punkten auf dem Umfan&^e von A', Verbindungslinien zweier Punkte,
Durchschnitten zweier Geruden, Durchschuitten einer Geraden uqd
des Kegelschnitts, projectivischen Strahlbüscheln, pcrspectivischem
Durchschnitt die Rede ist, resp. Gerade und Punkte, Tangenten
an K^ Durchschnitte zweier Geraden, Verbindungslinien zweier
Punkte, Tangenten von einem Punkte an den Kegelschnitt > pro-

•424

jcctlvi^che Gerade, Projectionspankt, und berücksichtigt Abb. geom.
uest. §. 38. III. links, so ergiebt sich die rechte Seite des folgen-
den Lehrsatzes:

SämmtlichePunkten paare,
in welchen ein beliebiger
Kegelschnitt von einem be-
liebigen ebenen Strahlbü-
scbel geschnitten wird, be-
stimmen, wenn sie mit einem
beliebigen Punkte seines
Umfanges durch Gerade ver-
bunden werden, die zuge-
ordneten Strahlenpaare
zweier involutoriscber
Strahlbuschel;

Die sämmtlichen Tangen-
tenpaare, welche von den
Punkten einer beliebiflfen
Geraden an einen beliebi-
gen Ke^gelschnitt gezogen
werden^, schneiden eine be-
liebige andere Tangente
desselben in den zugeordne-
ten Punktenpaareu zweier
involutoriscber Geraden;

und umgekehrt:

Liegt der gemeinschaftli-
che Mittelpunkt zweier in-
volutoriscber Strahl husch el
auf dem Umfange eines Ke-
gelschnitts, so gehen alle
Sehnen desselben, welche
durch die zugeordneten
Strahlenpaare der ersteren
bestimint werden, durch ei-
nen und denselben Punkt.

Liegen aufeiner Tangente
eines Kegelschnittes zwei
in volutorische Gerade, so
liegen die Durchschnitts-
punkte aller Tanffenten-
paare, welche von 3en zu-
eordneten Punktenpaaren
er ersteren an den Kegel-
schnitt gezogen werden,
auf einer geraden Linie.

Anmerkung 1. Die involutorischen Gebilde zerfallen in zwei
wesentlich verschiedene Klassen: entweder sind die beiden Gebilde
ungleichliegend, und dann folgen je zwei zugeordnete Elemente
unmittelbar auf einander, oder sie sind gleichliegend, und daon
wechseln die Elemente jedes Paures mit denen der anderen Paare
ab. Im ersten Falle ^iebt es allemal zwei Elemente (Hauptpunkte,
Hauptstrahlen), welche mit je zwei zugeordoetcMi harmonisch sind,
im zweiten giebt es deren niemals. In a) tritt der erste und zweite
Fall ein, jenachdem der Punkt p^ ausserhalb oder innerhalb K
liegt, und in 6), jenachdem die Gerade P den Kegelschnitt schnei-
det oder nicht.

Anmerkung 2. Denkt man sich links in der Umkehrung den
besonderen Fall einer Involution von lauter rechten Winkeln, so
erhält man einen längst bekannten Satz.

Anmerkung 3. Das hier Gesagte giebt zugleich über die
innere Natur der Eigenschaften der harmoniscben Pole und Pola-
ren, von welcher in §. 45. des Steiner'scheu Werkes andeutend ge-
sprochen wird, näheren Aufschluss.

§.2.

Es ist ein beliebiger Kegelschnitt und in der Ebene
desselben sind

425

#» beliebige Punkte gege-
ben; in den ersteren ein ein*
facbes M-Eck zu beschrei-
ben, dessen Seiten in gege-
bener Ordnung durch die
gegebenen Punkte gehen.

9$ beliebige Gerade gege-
ben; um den ersteren ein
einfaches «i - Seit cu. be-
schreiben, dessen Ecken in
gegebener Ordnung auf den
gegebenen Geraden liegen.

Es sei der Kegelschnitt K und der Reihe nach

die Geraden /*, , P^t P, .•.. Pki
7Vi-i • • • • -^M gegeben. Man denke
sich von unzähligen Punkten ei-
ner beliebigen dieser Geraden,
z. B. der P^^ an ÜT die Tangen

die Funkte pi,p^,p^....pkiPk+\
,..,pn gegeben. Man denke sich
durch einen beliebigen dieser
Pankte, z. B. durch p^, unzählige
Gerade gelegt, welche K in den
Punktenpaaren a,, a^; bi, b^; Ci,
C»; b|, ba'. ... schneid^, sodann
einen Punkt jedes' Paares, z. B.
A99^s>C,,b, ...., mit den auf ;^,
folgenden l^unkte p^ durch Ge-
rade verbunden, welche A" zum
iweitenmal in a,, b,, C,, bs ....
schneiden, dann wieder diese letz»
teren Punkte mit />, durch Ge-
rade, welche A in 04,(4, C4,b4....
ichneiden, u. s. f. die Punkte aki
ikf Ck^ ^k •••• mit pu, die Punkte
tti^H, bit-i-is Cx^-i,bx+i .... mit pk+i ....,
endlich die Punkte ün^ bn» C»,bn....
mit dem letzten gegebenen Punkte
p„ verbunden, wodurch man die
Punkte ayi4-i, in+u C/i+i, b«4-i • ; • •
erhält. Ferner denke man sich
um einen beliebigen Punkt auf
dem Umfange von A, als gemein-
schaftlichen Mittelpunkt, u + l
8trablenbiischel ü^ , jff,, B^ , . . .

Bk;B

x+i

Bh% Ä

'«»

n-4-l

deren Strahlen a?,, ^1, c,, 1/,

gebildet,

* . • . ,

a

9>

. . . . ff/fc, ök, a , f/ji:,...\ er/i+i , h+i ,

C4-4-1, "XH-I • • • • J • • • » Ä^/#» ^/i, 6*/i, M/|.*.. J

iVjv+i, 6,f+-u 0<-t-i, ^4-t-i .... nach
den gleirlinnmi^en und gleicbuiar-
kirten Punkten des Um Junges von
Angerichtet sind, so sind, dem
Satze links des §. 1. zufolge, je
zwei. dieser.StrahlbüscIiel, welche
unmittelbar auf einander folgen,
z. B. ßjiy Bk-^-h in Ansehung der
zugeordneten Strahlcnpaarc ak^
^ki a, </ifr .... und ai+\, ifi+uck+u
e/l^\ .... involutorisch; folglich
sind auch der erste und der letzte
Strahlbüschel B^^ B„+\ in Anse
huug der entsprechenden Strahlen

tenpaare Hi,««; ^i» ^%\ ^i^ ^%\
(/i, </, .... gezogen, sodann von
den Punkten, wo allemal die eine
dieser Tangenten, z. B. «r,, ^„
f,, 1/3 ...., die auf P^ folgende

Gerade JP, schneidet, die neueu
Tangenten of,,^,, c,,^/, ...., dann
wieder von den Durchschnitts-
punkten der letzteren mit P^ die
Tangenten a^, ^4» ^4, ^/4....» u.s. f.
von den üurchschnittspunkteu der
Tangenten aa-^ bk^ Ck^dk.*>* mit Pky
der ak^i, ök+u ^*4-i» ^*+i •••• "*"*
Pk^X . . . . , endlich der a^y^ny Cnj
(Ih-*.. mit der letzten gegebenen
Geraden Pu die Tangenten ofm+i,
6„+u Cn+u ^4+1 .... Ferner denke
mau sich längs einer beliebigen
andern Tangente m + 1 Gerade

^4„^i auf einander gelegt, welche
von jenen Tangenten in den
gleichnamigen^ und gleichmurkir-
ten Punkten a,,6|,Ci,bi ....; a,^
t>3» C3, b, ....; ttj, b,, C|,b,....;a*,
b*, c*, b/t....; dk+u b/M-i, ca-h» ^i+i

....J .... Q/i, v/i, C/t, vm . . . .} Ä/i4-l>

i)n+u C//-1-1, b//-i-i .... geschnitten
werden, so sind, dem Satze rechts
des §. 1. zufolge, je 2^wei dieser
Geraden, welche unmittelbar auf-
einander folgen, z. B. ^kt-^k^h
in Ansehung *der zugear^lneten
Punktenpuare dky b^, Cjt, b^-.... und
CLk-k-U ^k-k-\i C^+i- bx-4-i .... involuto-
risch; folglich sind auch die er-
ste und die letzte Gerade .:!,,
An-^i in Ansehung der entspre-
chenden Punktenpuare a,,bi,Ci,
b , . . . . und tt/i+l > tv»4-i» C»H-i, bw-hi ••••
projcctivisch (Steiner. ^. 11. 1U-).

426

^ff+i) än+\ .... projecdviscb (Stei-
ner. §, 11. 111.). Ist nun {e^ en^i)
ein Strahl, in welchem sich zwei
entsprechende e^, en+i vereinigten,
so enspricht demselben ein Punkt
(e,en+i)9 welcher zum Ausg^angs-
punkte ti der Punktenreihe e,,
e,,e,.... en, eii+i genommen, mit
dem letzten Punkte e«+i zusam
menfällt. Die Strahlbüschel /^,,
^n+i aber sind durch drei belie-
bige ihrer entsprechenden Strah*
lenpaare n,, &,, e^ und an^\,
Ißn+ii Cn+i vollkommen bestimmt.
Also ist die Aufgabe gelöst, wenn
man auf die oben angegebene Art,
von drei beliebigen Punkten a^,
]b,,Ci ausgehend, die Punktenrei-

hen ai,a3, a, .... ai») (t/t+i; bijbs,

b| .... bn, Vn+1 5 Ci j Cj, Cf . . . . Cav

Cn+i bildet, die Punkte ai,b,,Ci
und an+i) (m+i« Cji+i niit einem
beliebigen Punkte {ütB„+i) des
flmfanges von K durch die Strah-
len a^,lßi,e^ VLüdan+u IfM+uCn+i
verbindet, und, indem man sich
zwei Strahlbüschel /^,, ^m+i vor-
stellt, die in Ansehunt^ dieser drei,
als entsprechender Strahlenpaare
projectivisch sind, diejenigen zwei
Strahlen (^,^11+1)% (/n/n+i) con-
struirt, in deren jedem sich zwei
entsprechende vereinigen (Steiner.
§. 17. II.). Nämlich jeder der
Punkte (e,e;n-i), (f,f«+.i), wo diese
Strahlen den Kegetscboitt schnei-
den, .ist die mit /^, zu verbindende
Ecke eines der Aufgabe genügen-
den Polygons.

Anmerkung 1. Lässt man hei der Bildung der Puukten-
der Tangenteureihen a,, a,, a, .... (im dn-hU ^n ^39 <it ••••^»> ^«-H
u. s. w.^ <^29^3 die Stelle von Ouiar, vertreten, um sofort letztero
auf p2^ P2 zu beziehen, so ändert diess nichts im Resultate, weil
die Gebilde Ä,, itf,, Ä, .... Bny Bn-hl\ -^i>^a*^i •••. ^h^Am-x
nicht nur projectiviüch, sondern involutoriscb sind, folglich, weso
z. B. die Strahlen «r,, a^ beide zu jff, gerechnet werden, ihnen in
ß^ die Strahlen a^tO^ entsprechen müssen; die Strahlbüschel iffp
ßu-k-\ bleiben also identisch dieselben, nur erscheinen -zu ihrer Be>
Stimmung eio, zwei oder drei andere ihrer Strahlenpaare gegeben.

Anmerkung 2. Aus dem eben Bemerkten folgt, dass die
Aufgabe links und rechts höchstens zweier Auflösungen fähig ist*
Liegt ein einziger der gegebeueii n Punkte pk ausserhalb K^ so

Ist nun (e,eii4-i) ein Punkt, \jm
welchem sich zwei entsprechende
titn-^x vereinigen, so entspricht
demselben eineTangente (e^en-t-i)
welche zur ersten e^ der Tangeik. .

tenreihe ^i> ^2, ^t ••••^«^ ^«M-ig^^
wählt, mit der letzten Tangente
^n+i zusammenfällt. Die Geraden
Ay , An-\-\ aber sind durch drei
beliebige ihrer entsprechenden
Punktenpaare ai,b,,Ci und a»44,
b^-i-i? Cü+t vollkommen bestimnt.
Also ist die Aufgabe gelöst, wenji
man auf die oben bezeichnete
Weise, vjfii^drei beliehigeo Tsd*
genten ai,0|, c, ausgehend, die
Tangentenreiheu a^^ a^y #?« ....

^i>^3i^s •••• Cm Cn+i bildet, sieb
längs einer beliebigen 'andere
Tangente (^,, Am-^i) zwei pro-
jectivische Gerade A^, Am4'i svf
einander gelegt denkt, w^lcke
von den Tangenten «1, ^,,c, 094
«fH-1« ^»+1» <?iH-i in entspreche!-
den Punktenpaaren a,,bi,Ci und
fljn-i> in-^u CiH-i geschnitten wer-
den, und diejenigen zwei Puokte
(e,, e«-|.i), (f,, fn+i) construirt, io
deren jedem sich zwei entspre-
chende vereinigen (Steiner. §. 17.
11.). Nämlich jede der Taogee-
ten (<?,, en+i), i/n/n+i), welcbe
von diesen Punkten ausgeben, ist
die durch P^ begrenzte Seite
eines der Aufgabe genügenileo
Polygons.

427

«rseogt et, wie gesagt, uogleichliegende 8trablbUscliel Bkt ^M-ii
und dadurch müssen auch jffj, jffn+i ungleichliegenü wcrdeo. Wird
<iBg€^CD zwischen //, und //m+i die l^»ge der Gebilde 2, 4, 6 .... mal
mngeiLehrt, lo sind iV,, ÜrH-i notbweDaig gleichliegend. Dasselbe
gilt von ^|,^n+i* Vergleicht man hiermit Steiner. §, 16. II., so
folgt:

Die Aufgabe hat allemal zwei Auflösungen, wenn
eine ungerade Anzahl

der gegebenen Punkte aus-
■ erbalb des Kegelschnittes
liegt; und sie hat entweder
sweiy oder nur eine oder
Jceine Auflösung, weuu das
Gegentheil stattfindet.

der gegebenen Geraden den
Kegelschnitt durchschnei-
det; und sie hat entweder
zwei, oder nur eine oder
koi.ne Auflösung, wenn das
Gegentheil stattfindet.

Anmerkung 3. Führt man die Consttuction der Funkte
(eiCM+l)) (fif/i+i)» sowie der Tongentcn (e,^,,+i), (/i/j+i) wirklich
aus, so zeigt es sich, dass mau der Struhlbüschcl JU^j ßn-^i und
der Geraden A^ , A„^\ gur nicht bedarf. Vielmehr hat man links
nur die Geraden a,bii+i und a»^4-1bl, die sich in b^) und die Gera-
den a|Cn-*-L und Cttf+iCi , die sich in Co schneiden, und sofort die
Gerade boC« zu ziehen, so schneidet sie A" in den genannten Punk-
ten; und rechts hat man den Durchschnitt der Tangenten «r,, ^^,+1
mit dem der Tarigcnten ^n+i, ^i durch eine Gerade ^o, und den
DurcbschnitI: der Tangenten a^^c„^i mit dem der Tangenten »n-^-i^
C| durch eine Gerade c^ zu verbinden, so ist der Durchschnitt von
^«»^o zugleich der der erstgenannten Tangenlen. (Vgl. Poncelet
Traitö ort. 500 und 561.)

§. 3.

a) Uat ein beliebiger Kegelschnitt K mit einem andern belie-
bigen Kegelschnitte P, eine reelle oder ideale doppelte Berührung,
nnd es schneidet eine beliebige Tangente des zweiton den ersteren
IQ den Punkten jff,, B\ ^ was aber nur dann möglich ist, wenn
entweder P^ von K umschlossen wird, oder wenn 7', den A^äusser-
lich berührt, ohne ihn zu umscbiiessen; wird ausserdem A' von be-
liebig vielen anderen Tangenten des P^ in den Punktenpaaron a,,
<Ks) vifb,; Ci,Ca; biib, .... geschnitten, wo die Punkte O3.b2.C3
ba . . . • 1) üb ereinstim mend mit den Punkten a,. bj, C, , b, ....
liegen müssen, 2) aber nach einerlei oder nach enrgegfugesetzter
.Richtung auf dem Umfange von K zu nehmen sind, je nachdem
Py innerhalb oder ausserhalb K liegt, und zieht mau die Geraden

Ä,a.,/y,a3,^',a,,/r.a3; /^,b., //.b„ /y\b,, Ä\b3;.ir,c,, Ä.c».
Ä'iC, /^'iC,; /^ib,, i^ib», /^',b,, /^'jba .... oder «,, a^^ a',, «3;
^11 ^2> ^'i> ^'2; <?i»C3. c',, c'3; </i, f/3, <5^,, f/j ....? SO weiss man aus
Poncelet*s Truite arr. 424, dass entweder die Durchschnitte der
8trahlenpaare «,,a,; 6^^ö\\ c^,c\\ d^^d\ oder der anderen of,,
a\\ b^^ö\'^ c*2,;c', ; d^^d\ auf der Berührungssehne A beider Ke-
gelschnitte liegen müssen. Es sei das Letztere dür«.FalK und man
denke sich die Strahlen 0,, ^,, Cj, r/, .... einem Sirahlbüsohel /f,
und die Strahlen a^^ ^3, Tq, d^ .... einem mit B^ conccutrischen

428

Strahl büsckel B^ angehörig' , so ist erstens wegen des perspectiv-
sehen Durchschnitts ZA.

B^{a^,lf^^c^,d^....)=iß\(a\,l^\,d^,d\ ....), .

und zweitens wegen des Kegelschnittes K

^i(«fn^i> ^i> </».... = ^'i(«'i,Ä',,c',,<fi....),

also auch

^i(»i5 ^i» ^i> </i ....) = ^a(fl^2» ^ai ^ai </,....)■

Und umgekehrt: bildet man um einen beliebigen Punkt [B^B^]
eines Regelschnittes K zwei concentrische projectivische Strahlbn-
schel B^^ jff 3 , so umhüllen die Sehnen des ersteren CLx99ix^ ^^v
C1C39 welche znnä<;hst von drei bestimmten ihrer entsprechenden
^trahlenpaure a^^a^\ ^,, b^\ c^^c^ begrenzt werden, vier 'Kegel-
schnitte, deren jeder K doppelt berührt (Poncelet aK. 424). Die
Tangentenschaaren dieser vier Kegelschnitte bestiromeo, indem sie
K durchschneiden, vier Paar concentrische projectivische Strahlbü-
schel i?i, ^2, welche, wiewohKjedes die strahlen lar,, ^1, r,, #s,
(ß^j c^ enthält, durchaus von einander verschieden sein busscd.
Diese Verschiedenheit aber ist nur möglich, wenn je zwei Strahlen
a,y a^ verschieden unter jffj, B^ vertbeilt werden, «wobei z.B. des
Bi entweder die drei Strahlen tf,, ^,, c^ oder ir,,/^,,r, oder«,,
^•, r, oder tf,, ^,, Tj zufallen. Also, ist nothwendig eines dieser
Vier Paar Strahlbüschel mit dem von uns angenommenen identisck
6) Durch dieselben Schlüsse wie in a) und /lurch dasselbe Ter-
fahren wie in §. 1. If) wird man sich von der linken Seite des fol-
genden Satzes überzeugen:

Haben zwei beliebige
eine reelle oder ideale d
stimmen

die sämmtlichen Punkten,
paare, in welchen die Tan-
geoteo des einen den ande-
ren durcbschoeiden, wenn
Ute mit einem beliebigen
Punkte auf dem Umfange
des letzteren durch Gerade
verbunden werden, die ent-
sprechenden Strahlenpaare
zweier coocentrischer pro-
jeetivJscher Strahlbüschel;

Kegelschnitte mit einander
oppelte Berührung, so be-

die sämmtlichen Taog^B'
tenpaare, welche von den
Punkten auf dem Umfasse
des einen an den anderen
ezogen werden, aaf eiser
eliebigen anderen Tss-
gente des letzteren die est*
sprechenden Panktenpaare
zweier aufeinandergelegter
projectivischer Geraden;

l

und umgekehrt:

Bildet man um einen belie-
bigen Punkt auf dem Um-
fange eines Kegelschnittes
zwei concentrische projecti-
vische Strahlbüschel, so

Legt ipan längs einer belie-
bigen Tangente eines Ke-
gelschnittes zwei projecti-
vische Gerade anfeiaaader,
so liegen die Durchschnitte

429

umhülleü diGSehneo dieses
Kegelschnittes, welche

durch die entsprechenden
8trahlenpaare begrenzt

werden, einen zweiten Ke-
gelschnitt, welcher den er-
steren doppelt berührt.

der Tangentenpaare, wel-
che r'on den entsprechenden
Punktenpaaren an den Ke-
gelschnittgezogen werden,
auf dem Umfange eines zwei-
ten Kegelschnitts, welcher
den ersteren doppelt be-
rührt.

Anmerkung. Hüben die beiden Gebilde If,,/^, oder ^,, ^3
Elenente ^j^oder e, fj in denen sich zwei entsprechende vereini-
gen, 80 bestimmen diese resp. die gemeinschaftlichen Funkte oder
Tangenten, und somit die Berührungssehne oder den Berührungspol
der beiden Kegelschnitte. Also haben diese letzteren allemal einen
reellen Contuct, wenn die Gebilde /^,, ß^ oder A^^ A^ ungleich-
liegend sind.

§. 4.

Es ist ein beliebiger Kegelschnitt und ausserdem
sind n beliebige Kegelschnitte, welche den ersteren
doppelt berühren, gegeben;

in den ersteren ein einfa-
ches li-Kck zu beschreiben,
dessen Seiten in gegebener
Ordnung die letzteren be-
rühren.

um den ersteren ein einfa-
ches M-Seit zu beschreiben,
dessen iücken iir gegebener
Ordnung auf dep Umfangen
der letzteren liegen.

Die hier behufs der Anflösunff anzustellende Betrachtung stimmt
beiderseits mit der in §. 2 angestellten überein, nur dass hier die Ver-
bindungslinien der Punkte ai, a,, a, .... On) ttn+i u. s. w., statt dnrch
gegebene Punkte zu gehen, gegebene Kegelschnitte ;?,, p^^p^ ....
pn berühren, sowie dass die Durchschnitte der Tangenten «,, a^^
4^1 • • • • ^^i ^n+i auf den Umfangen gegebener Kegelschnitte jp^,/*,,
J^s ••••/n) statt auf gegebenen Geraden liegen, und dass von jeder
Ecke dl zu zwei Ecken dk+x^ sowie von jeder Tangente 0k zu
zwBi Tangenten ak-^A übergegangen werden kann, deren Wahl nur
bei der Bildung der ersten Punktcnreihe ai, a,. a, .... On» (tif+i oder
Tangentenreihe <9,,a,,iy, .... an^On-k-i beliebig, bei der Bildung
der übrigen, von b|)C,«b| .... oder it^^c^^dy .... ausgehenden aber
dadurch vollkommen bestimmt ist, dass die Gebilde ßk^ ßk^i oder
Aky Ak^\ allemal gleich- oder unglcichlicgend werden müssen, je-
D^chdem der Kegelschnitt pk oder Pk den A^ innerlich oder ausser-
lieh berührt.

Anmerkung 1. Da also der Ecke a, zwei Ecken a,, jeder
Ecke a, zwei Ecken a, u. s. f. folgen können, so müssen der Ecke
a,2^ Ecken On+i) ^^^ ^^^ Strahl büschel ^,2^ projectivische'Strahl-
büschel ^ff+i« und ebenso der Geraden y^i2'* projectivische Gerade
An-\-\ entsprechen. Jede Combination des B^ oder A^ mit einem
ßn-k-x oder An^i liefert zwei Polygone von einerlei Art, welche
die Bedingungen der Aufgabe befriedigen; also ist dieselbe im All-
gemeinen einer Anzahl von 2»-^^ Auflösungen fähig. Statt eines
oder mehrerer, z. B. my Kegelschnitte //;l oder /\ können auch,

430

was aus §. 1. und f. 2. unmittelbar erhellet, m Punkte oder Gerade
beliebig gegeben sein, und dann reducirt sieb die Ansahl der mögli-
chen Auflösungen auf 2»»--»^*.

Anmerkung 2. Ferner lässt sich hier, wie in §• 2. Anm. 2.
darthun, dass diese 2i+i Auflösungen alle wirklich statthaben, weoa
eine ungerade Anzahl der Kegelschnitte p^ ..,*pn oder jP, ••../'«
den jfiT äusserlich berühren, und dass sie nur im entgegengesetzten
Falle sämmtlich oder zum Tbeil illusorisch werden können.

Anmerkurng 3. Besondere Fälle treten ein, wenn ein Kreis
ÜT, m mit K eoncentrische Kreise und n — m Punkte x>der Gerade
gegeben sind. Sehr leicht und für den Unterricht ganz besonder!
anzuempfehlen ist die erste der folgenden Doppelaufgaben:

Aufgaben für. Schüler.
1. Es sind n concentrische Kreise und

ein Punkt beliebig gege-
ben; in den grössren Kreis
ein »-Eck zu beschreiben,
dessen Seiten in gegebener
Ordnung die übrigen Kreise
berühren und wovon die
letzte durch den gegebenen
Punkt geht.

2. Es sind «i-f-l concen

n — m Punkte beliebig ge-
geben;indengrösstenKrei8
ein i»-Eck zu beschreiben,
von welchem m Seiten in
gegebeuerOrdnung die übri-
gen Kreise berühren, und
die übrigen n — ^Seiten in
gegebener Ordnung durch
die gegebenen Punkte ge-
hen.

eine Gerade beliebig gege-
ben; um den kleinsten Kreis,
ein «-Seit zu beschreiben,
dessen Ecken in gegebener
Ordnung auf tien Dmfängea
der übrigen Kreis« und, die
letzte, auf der gegebenen
Geraden liegen.

trische Kreise und

n — m Gerade beliebig gc-
ffeben, um den kleinsten
Kreis ein «-Seit zu beschrei-
ben, von weldbem m Ecken
in gegebener Ordnung aof
den Umfangen der übrigen
Kreise, und die übrigen
n — M Ecken in gegebener
Ordnung auf den gegebenen
Ger«|den liegen.

Anmerkung 4. Denken wir uns in der allgeüeinen Aufgabe
nur 3 Kegelschnitte /;,,/7a, ;?, gegeben, und statt des «-Ecks oder
«-Seits, einen Kegelschnitt gesucht, der dem JT eingeschrieben oder
umschrieben sein, d. h. ihn doppelt berühren, und die drei andern
einfach berühren soll, eine Operation, welche freilich noch des lei-
tenden Principes ermangelt, so gelangen wir aus dem Gebiete des
Pappusscben Problems in das eines andern, von welchem ich in
einer, Seite 108 der No. Vll. des literarischen Berichts angezeigten
Abhandlung nachgewiesen habe, dass es die Tactionen des ApoUo-
nius in ihrer allgemeinsten und wesentlichsten Form darstellt.

431

XLVI.

Entwickelung einer sehr brauchbaren Reihe.

Von

Herrn Doctor O. Schlömilch

zii Weimar.

El seien folgende zwei lütegrale

mit der Forderung gegeben, den Quotienten derselben ^.. - auf

irgend eine Weise zu entwickeln«

Der natürlichste Weg, welcher sich zur Lösung dieser Aufgabe
darbietet, ist der, (l — x^y^ in (1 — a:*^y(\ — a^)l zu zerlegen
und das zweite Einom in eine Reihe zu verwandeln, deren einzelne
Glieder integrirt und dann durch jl\p) dividirt werdet^ Bezeichnen
wir die Binomialkoeffizienten des Exponenten q mit ^o»f i,9^3> u.s. w.
und die Grösse X-r-a:^ mit A, so ergiebt sich nach dem obigen
Verfahren :

^o^ ^'"'düC'-gy^ ß XPas^dx^^^ XPJc^da:— .... ) (2)

•/o
Es kommt also noch darauf an, die Werthe der Quotienten

y^ Xvda: P XPx^dx f Xvx'^dx
0 t/o ,/o .__ »

XPdx / XPdx f XPdx

0 «/ 0 t/ 0

8U bestimmen. Der erste ist = 1, die andern finden sieb aebr leicht
auf folgendem Wege,

Eine bekannte Reduktionsformel sagt:
für

a -I- bx^ =z= X

ist ' '- •

J (nt + np)b («t -f- npytt/ .

Nehn^eD wir ly^l, ^ = — 1, 90 geht das vorstehende X io anser
früheres über; nehroeo wir ferner ^ = 1, ar = 0 und hemerken,
dass \P^^ sich für ^=1 annullirt, so wird

■ «

/Xvac'^^dx zz= ^7** / Xvaf'^-^-^da:.
0 np^m%J 0

Daraus erhält man, für «i = i»+l^ 2it-Hl u*s. w. der Reihe nach

y* XPx^das = r^-— ; /* XPda:,
0 «;»-l-n-l-lt/ 0

0 «;» H- 2« -I- 1 «/ 0 ,

= /^^ . n — TTTT TT / XPda: U. 8. f.,

(/t;7 + 2n+i)(M;7 + «i-f.l)t/ 0

also :

yXPa^da: .
0

X/'^to

r XPx^dx

«;» -4- « -H 1 '^

1.(1 -l-n)

(^;D + n + 1) (n;9+ 2»+ 1)'

u. s. w.

Das Gesetz dieser Zahlen ist leicht zu erkennen. Bezeichnet nän-
licb -r irgend einen dieser Quotienten, so sind die nächstfolgenden

a{a -^ n) a(a -f- w) (n + 2»)
lß{b^ny ö(b -f. n) (h H- 2nY "' ®- ^•

Führen wir jetzt die gefundenen Werthe in die Gleichung (2) ein,
so wird

/(£+£)

_ 1 ^ , l.d + f») _ '^^'

— ^o 2;»+n-|-l r* "*" (2;»-f-«-Hl) (2;>-4-2«-|-l)^*

Unsere Aufgabe ist aber noch einer ganz anderen Ansicht fähig.

Vermittelst der Euler'schen Integrale zweiter Art kennt mao
nämlich den Werth des integrales

woraus sich für y:=ia:^ ergiebt:

433

/;(i_.-)-.«/-i^=.i.^].

un4 für den specielleo Fall ß = —:

lXa)lxh

yn in

Biernacli lassen sieb die Werthe der Integrale (1) leicht angeben,
indem man einmal .«=:/» + 1, dann azzzp-i-^+l nimmt«. Dann
wird

ft fi

/(PH-y)_ r(p-»-y+i) r(P+i-*--)

und durch Tergleichnng mit Formel (3)

\ rip^q+i^^)r(p^i) ^(4j

1 1 .(lH"g»)

Diese GleicbuDfi: gilt für ganz beliebige ;e;, ^ und n^O, nnd liefert
je nach den spcciellen Werthen dieser Grössen bemerkenswerthe
Resultate, wie folgende Beispiele zeigen werden.

1) Nimmt man is = l, //, ^ ganz und positiv, so erhält man
unter der Bemerkung, dass für jedes ganze positive m

r(«»+l) = 1.2.3....«i
• ist,

p 1 „ . 1.2

oder, p — 1 für p gesetzt:

p— 1 1 1.2

wobei die Reihe eine endliche ist. -

2) Für ^ =: — l giebt die Gleichung (4) unter der Bemerkung,
dass für jedes /*, /^(/ifr H- 1) = /*r'(ft) ist:

TheU IT. - 28

434

I

woriD p und n g^anz beliebig liod.

Für »==' — ^, p=zfi-^a — 1 folgt darfius:

3) Wir nebmeo », ^ gaiiz und positiv, i»==:2. Vermöge der
beka^inten Eigenschatt der Gammafuoktionen, das« .

ist, ergiebt sieb Dacb leicbtor Reduktion:

(P+i)(yH-2).>»»(;>+y)

}_ , 1.3

oder p — 1 für p gesetzte

y(p-l-l)(p-4-2).»>*0> + y~l)

/ Ix/ 5v . 5. -27—1)

(;,+^)Ol^,-)(p+-)..,.(^+fSL_^ ^^^^

1 1.3

— ^o 2;?-|-l^',(2;»-4-l)(^;o^3)^» ""•'••

4) Nebmen wir wieder », /? ganz und positiv» aber (^ = «i •:- j,
wo m ganz und positiv ist. so ergiebt sich:

1.3.5....(2jP + 2iii--»l) 1.3.»./.>(2;3-Hl) ^
2.4.6....(2;» + 2j9i) ' 2.4.6.... (2;^) '2

1 1.^ '^ '

z. B. für ü» = 0, jm=l:

( 2.4.6.... (2^) ) (2/» + ») -2

1 1.3 '^ *

= (— i)o — •^^j^jC— y)i+ (2;» -f. 3) (2;? -f- 5) ^"^*)» — . . . .

^ 2.4.6....(2p) ' ^ + 2^ 2

1 1.3 ' ' '

= ü)o •^2;i + 3 ^^^» "*" (2p + 3)(S^ + 5) (^)» "^ • • • •

\

)

485

i^on den beiden letzten Gleichungen lässt sieb noch eine elegante
Anipvendung machen.

Denkt man sieb nämlich die Zahl p von bedeutender Grösse,
Bo kann man

durch ^^ , eraetien* In diesem Falle wird die Reihe auf der
rechten Seite der Gleichung (9)

(- *)« - (- 1). i:^^ H- (- i). (^;qri)' - • -

deren Summe gleich ist

(1 L_)-*=l/^+J

UVir haVea daher ans (9) für ein sehr grosses p nähemngsweise :
Ebenso leicht ergiebt sich aus (10):

f=(»-K»,(..t-.v.'.:-^t'.p-Vf$j («)

Beide Gleichungen sind um so richtiger, je gröi^ser p genomme. \
^ird, für unendliche p fallen sie mit den Auidrücken (9) und (10/
aasammen.

Einige der spezielleren Reiben unter den obigen sind schon
liekannt, ohne dass ihre ffemeinscbaftliche Quelle (4) bemerkt wor-
den ist. Die Näherungstormel (12) giebt ohne Beweis Euler in
der Correspondance math^matique et physi^ue de quel-
ques c^l^bres g^om^tres du XVllI^« si^cle.... St P^-
tershourg. 18*43. Tome 1. -p. 47.

28

436

XLVII.

Entwickelung der höheren Integrale von
Xo^x.dx^ nebst einer- Anwendung . auf
die Summirung einer Reihe.

Von dem

Herrn Schulamtscandidaten F. Arndt

zu Greifswald. *

Das erste Intecral von log optkjc findet man unmittelbar, wenn
mau auf dasselbe die allgemeinste Reductionsformel anwendet; denn

es ist /log ocdoc-^^X^^ xj dac^-J — Idit^saf logor — ^ + c,
wo c die willkübrlicbe Constante bezeicbnet. Die Bestimmung des
zweiten Integrals kommt biernacb auf die des Integrals f a: log^dLr
zurück, welches, ebenüills durch particulare Integfation gefunden
wird, indem ß oc log ^«^:sslog x ß ücdss — / — ß jcdx =

log xdx = ^^* log a: — ^a:* -f- cor -f-c,,

wo <?, die neue willkülirlicbe Constante. Gebt man diese Ent-
wickelung aufmerksam durcb, und setzt sie nocb weiter fort, so

siebt man, dass die Bestimmung von / log a:da: lediglich anf

die von ßa:'^ log a:da: zurückkommt, indem m eine positive ganse
Zahl ist.

Nun ist /.r*" log ^^Ar == log ocßoc^düc — / — ß ai^dx

const. Wendet man diese Formel wie*

derholt an, so entsteht nach und nach, wenn wir allgemein
/ log xdw durch In bezeichnen :

I^z^za: log a: — a:-\-€

A = ö -gT + ^««^ -*- ^i

j x^ \^%x , 3lj?» ex'*

^« — ■""273 (271)» "*" -2- + c,.tr+C,

w ar* log JT 50j:* -, ex* c^x^

* 2.3.4 (2.3.4)» "*"2.3 "^ 2

Ct

ttc.

437

Daber ist allgemeiu
' ^* — 1 .2..- if (1 .2-.-.»)» "*" !.•..(«— I) "*■ 1 ....(fi— 2) ®* "*" 1

indem c» Ci, c, , .... c^t— i die n wiltkUhrliclien ConstantcD sind,.
und pn ein von a: unabhängiger Coefficient ist, auf dessen Bestiin-
mang es lediglich unkommt. Ich integrire die Gleichung l. noch
einmal, und erhalte:

- etc. + Cn*

.(i»-f-l) (1.2....(/i^l)t

1.2....(w+l) {1.2....(/f+l) j * J ..^w

Somit haben wir die Relation /^i^-i = (^+l)/'n+ 1 *^* 3. .. . n,
oder es ist

*• -'^ — 1.2 H (1.2...»)» "^ J,.,.(»-l) "*" l....(«-2) "^ 1

+ Cn-U

und dabei ist ^,= 1 und

4. ;[ix-f.i — (XrH-l);iii = l .2,3. ..,A

ua DUD aoer |i.2.,..(it4.i)t« |1.2....(X;-|-l)|»~1.2....*.(*-»-l)»

Stellen wir also den Ausdruck 3. unter der Form dar:

^ -. a:«logar ^ . ra:»— l , , Cn—^x ,

*• ^- = TZn ^»*'' + l....(n-l) *''='^ i- -*- *^«-i'

■a haben wir zur Bestimmung von ^n die Relationen:

£if_ 1

gk+\ 1

u. s. w.

y^H-"-t 1

yx-fiu— ^^^ — l...,(X:-l-^-l)(^-l-/i)»*

Dividirt man die erste dieser Gleichungen durch (^+2)(^+3)....
{Jb+fJb)^ die zw.eite durch (/?+3) (Xr+ 4).... (/?-+• /it) etc., und ad-
dirt dann alle zu einander, so wird

438

yA4TM-i, qjc 1 i 1 1 1

öder für ^ = 1:

oder

^- ^^=r:2:3zni(i+^-»-^-*--- -•-u)-.

Daher wird eDdlich

Die CoDStantea sind so lange willkiihrlich, als nicht angegeben ist,
zwischen welchen Grenzen die Integrale genommen werden sollen.

Wir wollen nun sehen, was aus den Coostanten wird, wenn
alle Integrale für ^=1 verschwinden, indem dieser Fall deibalb
einer besondern Beachtung werth ist, weil er uns zur Suaimirao]^
einer Reihe führen, wird.

Nehmen wir also das Integral 7. zwischen den Grenzen 1 nnd
x^ so wird

etc. H \ h Cnr-\ = 1 — z*^«»

wenn wir 1 -f-^"f" •!■"*"•••• H durch ^n bezeichnen, oder für

y^ = l .2.3....(/r+l)rjfc:

^nzz=«/ + ;»,y,-f-»,ya-f-»4y» «tc. -f-inn-l/«-2+/ii-l,

und «benso

^„-.2= (»—2)/ + («— 2) ,y , +(/*— 2) , /a4-....-*-(^^— 2)„-8/'„-44-/it-i

u. s. w.

2,=2;^4-;^,

J^ — V
^1 — 7^»

Multiplicirt man diese Gleichungen der Reihe nach mit 1, — ^\y
M^y — », etc., und addirt sie nach der Multiplication zu einander,
so wird

••••

==fy j«, -~«,(it— 1), 4.ii,(«-- 2),^ etc. +(— l)»--ii%,-.i j

U. f.- w.

Nun behaupte ich, es sei

8. ÜM— «i^(M — l)8i+ii,(«»— 2)m— i»,(^— 3)m+etc. = 0.
DenD mlin fiDdet laicht. ^

i

«,(»— 2)« = fl^ÄT- aw),
u. s. w.

folglich ist obige Summe nm\^ — (« — **)i-f-(» — «w)» — (»* — «»)»
dfc(« — «)„-Hw} = «m(l — !)'•--**= 0, w. z. K w.

Somit verscbwiuden die CoefHcienteu von /, y^^ y^ >.>»yn—2 in
obiger Relation^ und es wird

9^ ;'iia32'i,+i-f-(«+l),2'n+(«+l)3^ii--i---etc.±(^+l)ii2i,

\
also Dach dem Obigea

10. ^*==j^;;;^^^

uud c=:2^.
Demnach ist

11. /,=Oos*-^»).n;:s+T • n(S=i)

"*" 1.2 ' 1. ...{»— 2)

^ 1.2.3 • l....(«— 3)

U. 8. W.

"*" 1.2.3....(»-1) '1

y iS'n — /> I Xt—l -H »»« ?= gz»~i^|
1.2.3.4....^

wenn die Integrale /] , 7,, /, .... so bestimmt sind, dass sie für
^ = 1 sämmtlich verschwinden.

Geht man nun von der bekannten Cjrnndreihe aus:

1— *+ia-»)*+Ki— »)'+i(J-«r+.-=-iog*,

440

welche für jedes positive % convergirt, das die Einheit nicht über-
steigt^ und.inteffnrt »mal hintereinandei, so ist, da ulle Integrale
für x = l verschwinden, nach 11:

(I— %)»H-i (I — x)>t+a (1 — %)n+9
J .... (w+l), a'....(w-h2) "*" 3 .... (»4-3)

= («.1)1-1 j (log % - 2n) .T^^ -f- 4^ . , T^ „

"*" 1.2 • !....(«— 2)

U. 8. W. *

, JSn . — »I ^w — 1 "T* •••• y Itw — iJ^i

1 •. ..JV

oder wenn man 1 — %:=ia? setzt:

1.2....(iH.l) ■^2.3....(w-h2) "*"3.4....(«4-3)"*" *" '°'-

j-^aZlHl (1— >tr>^^
"*" 1.2 '!.... («—2)

• • . .

1«2.3m««» J

Der ahsolute Werth von a: darf hier die Einheit nicht übersteigen.
Für a? = l wird

1 o 1 _, 1 g * , • ' C

1.2....(«4-1) ^2.3....(»4-2J "*" 3.4.... (w 4-3)"*" *"* *°^-

^^j_ i\»— i r*^^ — ^i^w— 14-..».?=^«— i^n

— ^ ^ L 1.2.3...» J

441

XLvra.

Entwickeluog der Functionen
cos nx , sin nx

cos .2?/» cos x'^

in Reihen, die nach den Potenzen von tang x
aufsteigen, mit Hülfe des Maclaurinschen

Theorems.

Von dem.

Herrn Schulamts -Candidaten F, Arndt

zu Greifswald.

cos 48?/??

Zofolgfe des Maclaurinschen Lehrsatzes muss man, um -—

cos •P"

sin 'ftoc « ~ "

und in Reihen, die nach den Potenzen von taug o;, fort-

cos 3C

schreiten, zu entwickeln, diese Grössen als Functionen von tang: ^
betrachten, und ihre höhern Differentialquotienten nach jener Ver-
änderlichen bestimmen.
Man setze also:

1, /(tang^) =

cos nx
cos ;r*»'

Um diese Function nach tanff ac zu dtfferenziiren , entwickele
man zuerst ihren Diff'erentialquotienten nach or, und multiplicire
denselben mit dem Differentialquotienten von a: nach tang a;^ d. h.
mit cos or', so erhält man

« ^1 \ sin(« — \\x

Differenziirt man diese Function auf dieselbe Weise nach tang o;,
so wird

o zfM/ '\ / «x cos(fi — 2)ar

Da diese Function wieder dieselbe Form wie die Function 1.
angenommen hat, so wird man, /"'^(tang ac) zu finden, in 2. n — 2
fiir n setzen, und das Resultat mit — n[n — 1) multipliciren ; da-
durch wird

442

Ferner wird msD, diese Gleichung nach tang a? zu differenzii-
reo , in 3. n — 2 fiir n setzen , und das Resultat mit — n[m — 1)
multipliciren; dadurch wird

5. //r(tang a:) = «(— 1) («-2) (--3) . ~^~^.

Auf diese Weise kann man immer weiter fortschreiten, und er-
hält allgemein .

6. /«(ta.K ^) = (-l)*.«(— l)....(«-2*+l).S^!^

sm 9aM!
Behandelt man die Function ^(tang a:) = auf ganz ahn*

liehe Art, so entsteht

8. yK(tan5ja:)=(-l)*.,.(i»-l)....(— 2itH-l).?^J^f

9. g,»^i(t«nff a;)=(-l)*.«{i— 1)....(«-2*J.5^^?^^.

Nun 9IU88 man die Werthe bestimmen, welche diese Differen-
tialquotieoten fiir tung ^==0'oder für a: = db Xn annehmen, wo
X eine positive ganze Zahl ist. Für diesen Werth von ar ist aber
nach 6. 7. 8. 9.

i:2Zäfc= (-»)^ • *«• Tr(är=i5 = ®5

Daher ist nach Maclaurins Theorem

10, —=:\ — I», tang^'-f-jv^tangor* — ....±«2it«jtanga?2*-*+Ä,

sin M»i7

11. — r— =»i tang o:— «3 lang ä?» +... .db«2jt_i tangÄr**-i+Ä'j

cos X

und es ist

Ä = (— 1)* . «2*-i tang ar2*-i , sin («—2^-1- 1)^^? . cos (^xf'-^y
il'= (— 1)*, if3it tang ^2*. sin (»— 2>&)^>d? . cos (^'^)2*-*,

wo ^, ^^ zwischen 0 und 1 liegen.

Wenn nun n eine positive ganze Zahl ist, so brechen die Reihea
von selbst ab, die Reste verschwinden, und die Gleichungeii 10. and
11. gelten für jedes beliebif^e xl

Wenn aber n keine positive ganze Zahl ist, so darf man die Ret-

443

hen Dur ürdd ins UneDdliche fortgehen husen, w^do ift und R
sich der Null nähern, indem der Index ins Unendliche zunimmt.

Dft^ nun in obigen Resten die Sinusse die Einheit nicht über-
8teigen| da ferner cos (^^)9*-*— ^ ebenso wie cos(^;r)**— « sich be-.
knnntermaasien der Null nähert, wenn cos (^^) oder cos (t9^a^) kleiner
als die Kinheit und constant bleibt, wenn dieser Cosinus =1, so
bleibt sin(i» — 2>&Hrl)^Är.cos(^^)«*-«-», so wie sin(»— ^Xr)^'ar.
co8 4(^'^)3^~-" mindestens endlich, und die Reste werden sich also
mit n^k^x taug aP^'^^ oder n^ tang oc"^ zugleich der Null nähern.

Nun ist n^jt-yix **"fir afi^-^l

= n^ tang a^ . i (4Vl)(2>feH-2)l(2^+2A) • *«°«^ ^'^

s=if2*tang;i^.(l— ^*:l)(i_^±l),^.,(l_-|±- tang^^2A.
Ist daher m + 1 positiv, so ist

11-4-1 2>t

< «« tg <r« 1(1 ~ ^ä) tg ^!»i.

Ist aber «s» + l negativ^ so ist

i«f2<^2A tang ^JW^A < n^k tang o:»* j (l ^ äf^) **"& ^P^-
Ist endlich m + 1 = 0, so hat man

«'»fr+8A ^"fi> Ä?®*+*A. = «2;t tang a:^ . tan^ a?*A.'

Im ersten Falle nähert sich tifi/k^^i ^ang as^^^-^X der Null oder
wächst ins Unendliche, jenachdem tangi^^l (indem wir nur den
absoluten Werth verstehen ). Denn wenn taug o? <^ 1 , so ist auch
(1 — g^ g^) tanga?<l, nachdem A: hinlänglich gross geworden;
wenn aber tang ^^1, so kann man X so gross nehmen, dass
(1 — 2^ . 2ji^ tang o? auch >1, denn diese Bedingung erfordert»

ii-l-l tang o; — 1

Im zweiten Fülle kann man A: so gross nehmen, dass, wenn

fi I j

tang^'<l9 auch (1 — gf^ITj) **"fi> ^.<1; indem diese Bedingung
erfordert, dass — oF-iTl "^ tang ar * Wenn aber tang a?>-l, so
ist auch (1 — zJ^ZiTi^ ^"°8 ^^^j '*» i» + l negativ. *

Im dritten Falle nimmt tang a:^k mit -y- ins Unendliche ab,

wenn tung a;«^!. Ist tang a:>'\, so nimmt es ins Unendliche zu.

Aus diesen Betrachtungen folgt, duss die Reihen 10. II. cou-
vergiren oder divergiren, jenachdem der absolute Werth von tango;
kleiner oder grösser als die Üiinheit ist.

Somit bleibt uns noch der Fall zu untersuchen übrig, in wel-
chem der absolute Werth von tang ^r = 1.

444

Es wird hier nS die Greuc vom

aokoaaen fdr Xz=z(Xi nod ein constanles Jb,
1. Wenn iv + l positiv^ so ist

1 n — w-^x ^ *+!

*•& i* at-i-2-^ ^ at-i-2

also

Daher nähert sich der Logarithans toh «2it4.3i. der Grenze — oo,
wenn iL sich dea Unendlichen nähert, folglich hat iff^i-i^ selbst die
Null zur Grenze, und die Reihen 10. 11. conrcrgiren.
2. Wenn «i + l negati%', so ist

log (1 — ^^ >— 2^:^:2 ~ *• fe^^'

O. 8. W.

- •

also

log ii2i+2x>log «2i — (/•+l)(2;f:p "*"SIfr2"*"**"*"äfr+2i'

Da aber die Summe ^ . -f-.... + 2^._. gx "*'' ^ unendlich wird,

und (2X:_tln» "^"•'^(2i{r-4-2ilP bekanntermaasscn endlich bleibt, so
nähert sich der Logarithmus dem unendlichen , also wird auch
''2iM-3X ""'^ ^ unendlich, und die Reibe 10. oder 11. divergirt.

3. Wenn m+1=0, so bleibt der absolute Werth von n^^ii
constant, und die obigen Reihen divergiren wieder.

Somit haben wir das folgende Resultat erbalten:

Die Gleit^hungen

cos «or - . a . X A X

^^7^ = 1 — «2 tang ^» + n^ tang or* — etc.

sin fix

cos xn

= i9i tang a: — «, taog or, -f-^i tang o?* — etc.^

gelten für jedes beliebige or, wenn n eine positive ganze ISahl ist,
und in diesem Falle brechen die Reiben ab.

445

Ist aber n keine positive ganze Zabl, so convergiren obige
Reiben, wenn der absolute Werth von tang ap kleiner als die Ein-
heit; ist der absolute Werth, von tang ^ = 1, so convergiren sie
auch dann noch, wenn «i+l^O. In allen übrigen Fällen findet
Divergenz statt.

Multiplicirt man mit cos ;r", so nebmen die Gleichungen die
Gestalt an:

12. cosMa^=cos^'* — n^coB af*^^siB a?* +n^cos a^^—^am o:* — etc.
• 13/ sin i»^:=y#| cos Jf*—^ sin o? — «, cos or«— 'sin a^* + etc.

XLIX.

M i s c e 1 1 e n.

Eine algebraisch -geometrische Aufgabe.

Von Herrn Albrecbt von Graefe zu Berlin.

Es sei am Mittelponkte 0 (Taf. Vll. Fig. 10.) eines
Rreises.ein beliehiger Winkel AOB -=. a^ und auf der
Peripherie ein will k ührlicher Punkt Pgegeben. Von P
sind auf die Schenkel des Winkels AOB die senkrech-
ten PC und /lO gefällt. Es soll die Entfernung CD der
beiden Fusspunkte C und D dieser Senkrechten von
einander bestimmt werden.

Man ziehe den Halbmesser OP^ den wir im Folgenden als Ein-
heit annehmen werden, unti bezeichnet die beiden Winkel AOP
and .ßOP mit ß und /• In dem Dreiecke COD ist

CD*=:CO^ + DO^'-'i,CO,DO.coa a,

und folglich, weil C0=rcos /9, /^^=:cos y ist,

CD^ = cos* /?-f- cos* Y — 2co8 a cos ß cos y^
also

CZ>* = cos' ß — sin* / + 1 — 2cos a cos ß cos y*

Es ist aber bekanntlich

cos*/? — sin'/==cos (/J-f-y) cos (/J — y)
und

2cos /? cos / == cos (/J -f- y) -4. cos iß — y)*

448

' tgictg^flrsinZ^-htg^Ätg^«siDif-f-tg4«tgiÄtg|ctgJrf.8m(ÄH-Z?) '

cos ■sjCi

Setzt man in beiden GleichuDgen cotg ^fi = -: — y-, schafft tlaon
die Nenner fort und reducirt, so wird:

sin ^fi==ztg ^6 tg ^c {cos ^/^ sin C — sin ^fi cos C\
+ tg -^tf tg ^</ jcos -^fi sin ^ — sin ^fi cos ^{

+ tg^tg^^tg^<?tg|</{cosJ7^sin(^+C)--->3iniM^<^^^+^l

und

sin^Jjt^r^tg ^ tg |</ {cos ^fi sin Z> — sin ^fi cos /^|
+ tg i^ tg 1^ {cos ^/i^ sin B — sin ^fA cos i?|
+ tg^0tgi^tg|^tg^£/{cos j/^sin(i?+/')— sin^f*cos(i7+/))|

Setzt man nun auf der rechten Seite fA = ji+ B+ C+ /l— 360"
und addirt beide Ausdrücke^ so wird:

2sin \ii = tg ^d tg ^a sin (:^8 •^A)'\-tg \a tg {b sin (^8 — ß)
+ igibtg\c^\n{\8^C)^tg\cig\d^m(i8^D)

= 2sin(^^.90o)

oder 'wenn man auf der rechten Seite die Sinus der Differessei
auflöst und beachtet, dass sin \8 = — sin |f& und cos \S t^
— cos \ii ist, so wird:

tang \(A

— - tg^flytgjgsin^-f-tgjgtgji&sinig-f-tgj^rgicsinC-f-tgigtgirfsini)
2+tg^fi?tg40Cos^-4-tg^tgii6cosZf-|-tgj^tgiccos6*+tgjc(gidbofi/''

Berichtigung.

In der Ueberschrift des Aufsatzes No. XXXVIII. streiche mu
das erste dem.

LtteraHsT BeHeht

(1d dieser Nammer des Literarisclien Berichts^ ist es^ Yrie man finden
wird, xuerst m^lich gewesen, auch die amerikanische Literatur besonders
sa berücksichtigen. Uass dies auch fernerhin möglich ist, sind die nothi-
gen Einleitungen getroffen.)

Geschichte der Mathematik und Physik

'Newton und die mechanische N&turwissenschaft.v Zu Newton'«
GedSchtnias in zweiten Säcnlaijahre seiner Gehurt Ton K. Snel),
Lehrer der Mathematik am Krause'schen Institut su Dresden.-
Dresden. 1843. gr. 8. 12 ggr.

Correspondance math^matique^ et physique de quel-
ques cälebres g^ometres du 18. si^cle, pr^ced^e d'une
notice sur leg travanx de L« Buter tant imprim^s qu'in-
^dits et publice sous les auspices de Pacad. imjp. des
Sciences de Saint-Petershourg, par P. B. Fuss. 2 Vol.
gr. in 8. St. Petershourg. 1843. 6 Tfalr.

Von diesem wichtigen Werke ist schon Literarischer Bericht
Nr. V. S. 87 ausführlicher die Rede gewesen.

Systeme ) Lehr- und Wörterbücher.

Lehrbuch der Mathematik für die mittlem Klaisen
höherer Lehranstalten von Job. Aug. Grunert. Zweiter
Theil« Ebene Geometrie. Dritte rermehrte und ver-
besserte Ausgabe. Erandenbnrg. 1843. 8.

Ausierdem dass Verbesserungen , wo sie nöthig erschienen,

Band IV. • 19

194

w \*

überall angebracht worden sind, hat diese dritte Ausgabe eiaeii

Srössem Zusatz über den Nonius oder Vernier erhalteD. Sonst ist
abl nod Ordnung der Paragraphen ganz ungeändert geblieben,
so dass diese neue Ausgabe neben den frühem ohne die geringste
Störung des Unterrichts gebraucht werden kann.

Course of Mathematics for Colleges. By Charles Davies, late
Professor in Military Academy. 7 vols. 8. Hartford. (Unit. States).

Course of Mathematics for F4irfres, etc. By Jer. Day, D. D.
Pres, of Yale College. 2 vofs: 8. ^ f^ew Haven. (Unit. States).

The CambrMgi €«W^e of SI«ftieiMiiiciiii : R^ ^ifüum Farrar
of Harvard College. 2 vols.^ 8. Cambridge. (New England)..

\ Canrsa of Pure Hathenatics for CoHegea etcu vu. Gcometry.
7 slk, Algebrq 7 sh. Trigonoroetry 2 toIi. 9 sb. Gunrea, Mctions,
etc. 8 sh. Sound, 12 sh. By Benjamin Pieroe, A. M^ Professer,
^ Harvard University. 8 vols. 8. Boston. * \ . . -

Farrar, Calcules, 7 sh. 6 d.; Algebra, 7 sh. 6 d. Aatronomy,
16 sh. Nataral Philosophy, 14 sh.,. Geomelry, 10 sh. 6 d. Topo-
graphy 7 sh. 6 d. Trigonometry, 6 sh. Cambridge. (New* Bngland).

Encyctopädie oder allgemeine Wissenscbafitskunde der anse-
wandten Mathematik im. bürgerlichen Lebep, von M. Woelfer. 2. Bd.
prakt.- Anweisung zur Physik, Mechanik und Maschinenkunde, oder
Grundsätze der Physik, Mechanik, .Statik» Mascibinenbaukoiuit,
Rohr- und Wasserleitung, des' Planzeichnena und Niveliireiuk ^*
Mit 28 lithogr. Ah^iilflungqQ. auedlinburg. lj$43. 1 TM^ 12 ggr.

Arithmetik.

Proportions - Laera. 8. S|(ar<i\ 1^1.

Lehrbuch der höheren Arithmetik und Algehra, ehth. nebst den
wichtigsten Lehren der höheren Analysis nach Gräffe's, Budan's,
Sturm's, Fourier's, Horner's und Stern's Auflösungen numerischer
Gleichungen. Entworfen vop D. J. Phil. Kulik^ ord. Prof. der
höh. Math, an der Prag« Uvv« u. s. w. 1« Band. Alffebra. 2. durch-
aus umgearb. Ai6. Pr«g. i84». gr. ft 1 Thlr.'^-ft ggp.

Maximilian Marie Discours sur 1a nature des grandeurs nega-
tives et imuginaires, et intcrpr^tation des Solutions imaginaires en
g^omotrie, Paris. 1843. 8. 3 fr;

I

» I

A Trealtse on Algebra: comprising the Developement and
Application of the recenlly discovered Theorem of Sturm, ete.
By & R« Perkina, A. M. 8. Diica^ (Unit State») 1842. 12 a.

1«6

Elemtatorj Algebra. By Watrea Ctlbuni. 6. Boit«ii. 6 sk.

EleM«twr<-Lärobok i Algelnra af B. G. Björliog. Pk. Hag.
4tfachan. Doc« wii üpsala Akad. Förra Delea innefaltaDde lärao
«fli le a lad^ 2: a OT;' aeqnatioDar^ Fjerdia Upplagaa. Cpaala. 1843.
& aed 1 pl. & 1 mr. 40 ak.

i>

Algebra fear Bf gynaane af C. A. Foraseil , Maäi. Lector i
iSafle. 8. GeAa. 1842. IRdr. 24 sk.

- B. Lobatto, (Doctear an 8cieneas, Cbefalier de POdre düLioD
NfeHaodaia, iCatriespaad. ile Ulnatitot Royal, dks Pays*Baa, etc.)
Aacbercbes «sur la diBtiection dea racinea' reelles ei^ imagiBaires
dans les ^uatioos num^riques, pr^^d^es d'une nouvelle d^aoa-
stradoD du tb^oreoie de M. Sturm. 4. a Amsterdam et la Haye.
1«43. £1, 25.

M. Obai» tbe apirtt of matbematical analysis» and its relation
i' logical System. Tr
8. LoDdoD. 1843. 4 sb.

— _ y — _^ — - — — — ^ — y — _, — _^. ,

tio m'- logical System. Traaalated firom tbe Mrmaa by A. J. BlUa.
^ - ►. 1843.

. ISpeeiaett aoalyficna, tkearemata quaedam a«ya de iategrali-
taa defiaitis, s^iaimatioDe. serierum earamque in alias series tran»-
jbrmalione ezbibeDs. P. I — Vlll. .P. P. Carolas JohaaiieB Maliasten
Math, infer. Docent; Respp. Thure Augustus Almgr^n, Eric«s Se*
lander, Jobannes Maffnus Alfred Greoander, Georg. Enbard. Oss-
kakr, .C\mmL Alb. Lindbagen» Otto Vilheinuis Lemke» Er^estus
iweijer et Andere Linderoftb. Dpsaliae. 4.

Sammlung von Formeln, Lefarsätsexi pnd Aufgaben
ans der Bucbstabenrechnung und Algebra, von Franz
ülÄtb, k.k.ordentL öffentl. Prof. der Halbem, an Ly-
cenn in Lini. 1. Abtbeilun-g. Lina. 1643. 8. 1 Thir. 4 ggr.

Dass diese Sammlung aucb eijie ziemlich grossjs Anzahl voD^
S*4tz6n und Angaben iaus der TbeoriiB der Zahlen, namentlich aus
del^ Lehre von der Congruenz der Zahlen enthält, wird ibr vor
manchen andern ähnlichen Sammlungen zur Empfehlung dienen,
indem auch die übrigen Aufgaben zweeknilissig gewähic und gut
geordnet scheinen.

Saigey, Probl^mes d'arithm^tiqiie et exercises de caicul. 5.
^kiön. 18. Paris. 1 fr.

Geometrie.

Geometrie. Neunter Cursus. €oordinaten4e%re. Vom
Professor Dr. G. Paucker. Mitau. 1842. 8.

' Diese Dafttelluttg der analytischen Theorie der geraden Linie

19*

196

in der Ebene und des Kreises enthält manches Ei|^nthänilichei
auch eine ziemlich grosse Anzahl numerischer Aufgaben, und ver-
dient daher recht selir auch in einem weitem Kreise beachtet lo
werden. Eine recht zweckmässige, wenn auch nur kleine, au
drei Theilen: Constrnctionen des ersten Grades, Constmctioses
des zweiten Grades, Aufgaben zur Uebung im Gebrauch der Coor-
dinaten — bestehende Sammlung von Uebungsaufgafoen ist beige*
fügt Besonders angesprochen hat uns der dritte Theil dieser
kleinen Sammlung, da der Gebranch der Coordinateis nicht nur fir
die gesammte neuere theoretische Mathematik, sondern auch für
derett Anwendung in der Praxis, z. B. in der Geodäsie, so uberaot
wichtig ist. Wir empfehlen daher diese kleine Schrift aneh in der
letztem Beziehung. Vergl. Literarischer Bericht Nr. JL S. 154
and Nr. Xll. S. 180.

Lehrbuch der Planimetrie für Schulen von Dr. 6. W.
T. Langsdorff. Mannheim. 1843. 8. 8 ggr.

Ausser den gewöhnlichen Sätzen der ebenen Geometrie enthalt
dieses kleine Buch auch 69 Uebungsaufgaben ohne deren Auflii-
sungen.

Grundriss der Elementar «Geometrte, für Anfänger und Freunde
dieser Wissenschaft, bearbeitet von IL F. Hennii^rv Pirofessor der
Mathematik zu Schweinfurt. 2. verm. Aufl. . Mit 12^ Tafeln. 8.
Schweinfurt. 1843. 21 ggr.

• . . . • . •

Sadebeck, Dr. Moritz, ord. Lehrer am Magdalenäum in Bres-
lau, Elemente der ebenen Geometrie, fjeitfaden fär den Unterrielit
an Gymnasien und höhern Bürgerschulen. Mit 3 Figurentafela.
2. verb. Aufl. 8. Breslau. 1843. 10 ggr.

t.

•■j 1

De Sex Pörsta {ernte Elfte och Tolfte Böckernal af Euclidii

Elemente eller Grundeliga Inledning tili Geometrien, tili Swensks

• . •• •
üngdomens tjenst utgifne af Harten Stromer, for .4ett,a AstrouQ-

mi.ae Professor i Upsala, samt Ledamot af K«»ngl..Weten8k. Acäd. i

Stockholm och Societ. R. Lit. et Scient. i üpsala. S|]unde Uppls-

gan. Orebro. 1842. 8. h. 1 Rdr. 32 bk.

Adh^mar^ J., Trait^ de Geometrie Livr. 1. Paris. 1843. 8.

Darstellende Geometrie von J.M. Ziegler. Hit 3 Fi-
gurentafela in Folio. Winterthur. 1843. 4. 7Thlr. 12 ggr.

Wir glauben dieses Werk der Aufmerksamkeit der Freunde
der descriptiven Geometrie empfehlen zu dürfen. Am meisten folgt
der Verf. der G^om^trie descriptive von Olivier, welche dessen Re*
petitor zum Behuf der Centralschule für Künste und Manufacturen
in Paris ols Manuscript drucken liess» und benutzt zugleich die
Erfindungen der neuem G^m^trte.

* - %

Leroy, C. F. A., Tmit^ de Geometrie descriptive, 4. avec Atlas,
2. Edit 1842. 20 fr.

• •■

Analytical Geometry, from the Prench ,.of Bio^. Bj Prof.

1:97

Sailh of Vimni» MiliUrj lastitution. S. N«w York. 1841.
10 sb. « d.

Praktische Geometrie.

BargheiM, Dr., Bnnmeister and Dirigent der Baa-6ewerbe-
Sehale so Minden, die Geometrie in ihrer Anwendung auf das Ge-
werbe der Bauhandwerker, fiir Bau-, Gewerbe- und Sonntag«-
Schulen, so wie auch zum Selbstanterricht, namentlich fiir diejeni-
gen Bauhandwerker, welche sich cur Meisterprüfung vorbereiten
wollen. 2. yerm. und verb. Aufl. gr. 8. Nebst 15 Tafeln mit
365 Fig. (in 4.) Minden. 1843. Geh. 1 Thir.

Cours Methodique de dessin lin^aire et de G^om^trie usuelle,
par M. Lämotte. % partie. Cours supirieurs. In 8. — Atlas in 4^
CO 15 pL Paris. 184o. 6 fr.

P. Caen: Tami des art« ou Part du trait, contenant la g^om^-

trie. Naiici. 1843. 12. mit 12 Taf. « fr.

\

' Course of Practical Geometry for Mechanics, as Introductorj
to every Brauch of Mathematical Drawin^; by W. Pease late of
the Royal Laboratory Department, Woolwich. 18. Londoi^. 1843.
1 sh. 6 d;

Grundriss der Geodäsie fiir den Unterricht und zur
Selbstbelehrnng. Von Dr. G. W. y. Lanjgsdorff, Prof. an
der Grossh. höheren Bürgerschule zu Alannfaeim. Mann-
heim. 1843. 8.

Dieses kleine Buch enthält die wichtigsten Aufgaben der nie-
dern Geodäsie aaf dem fferingen Räume von 143 Seiten in deutlicher
Darstellung, und kann bei'mUnternchte auf höheren Bürgerschulen
und ähnlichen Lehranstalten in den Händen eines guten, auch im
Aufnehmen, schon praktisch geübten Lehrers gute Dienste leisten,
möchte sich aber zur Selbstbelebrunff weniger eignen. Nach einer
Binleituog über den Begriff der Geodäsie, den verjüngten Maassstab
u. dergl. lehrt der Vert. zuerst die Einrichtung und den Gebrauch
der Instrumente im Allgemeinen kennen, sowohl bei Horizontal-,
als auch bei Vertikalmessüngen , und trägt dann die Rectificatioo,
Aufstellung und genauere Einrichtung der Instrumente, und die
Correctionen der Resultate der Beobachtungen, nämlich Correctio-
nen wegen physischer Einflüsse, wie z. B. den Einfluss der Tempe-
ratur, der. Verschiedenheit der Schwere, der Capillarität, der Strah-
lenbrechung, der Verschiedenheit der Declination der Magnetnadel;
und die Correctionen wegen der Fehler der Instrumente und der

196

ReobttcbtimgeD , wie ^. B. die Fekfer bei*iii Messen der gerttd«
LiDieb and der Winkel, die Lehre von den Fehlern der Drei^eki,
erst in den beiden letzten Abschnitten seines Werkchens vor, Alles
übrigens nur ganz in der Kürze und in den allgemeinsten Um-
rissen, jedenfalls zur Erläuterung durch den mündlichen Vortrag
des Lehrers bestimmt. Dass eine solche Trennung der allgemei-
nen Lehren von den feinern Theorieen bei'm Unterrichte erster
Anfanger in methodischer Rücksicht ihre Vortheile haben mag,
räumen wir gern eih^ kMiifM ober- dioteile.vO»n dem rein wissen-
schaftlichen Standpunkte aus, nicht j^ut beissen, indem wir der
Meinung sind, dass auch die Geodäsie einer streng wissenschaft-
lichen und systematischen Darstellung nicht bloss fähig, sondern
auch bedürftig sei, wenn der duroh mathematische Sitttdien hin-
reichend vorbereitete und überhaupt schon weiter vorgerückte Scha-
ler eine völlig klare Einsicht in die Natur und den Zweck aller
geodätischen Operationen erlangen, and dergleichen Arbeiten von

Srösserem Umfange auf zweckmässige Weise selbst anszufiifaren in
en Stand gesetzt werden soll. Dass das Handwerksmässiffe imner
mehr und mehr, auch aus diesem Theiie der praktischen Mathema-
tik entfernt werde — welches hier übrigens ganz ohne alle Be-
ziebuoff auf das vorlieg^ende Werkchen gesaf^t wird — thut gewiss
im höchsten Grade Noth, wenn wahrbalt tüchtige Geodäten gebÜ-
det werden sollen. Manchem f'eldmesi^er quält sieb Tabge' Zelt ab,
wenn er eine gewöhnliche Libelle eines Theodoliten neHchtigen
soll, weil er die strenge allgemeine Thorie dieses Instruments nicht
keiftnt, nnd ähnliche r alle ,' wo» oboe eine sitrefftge Tbvorie gar
nicht auszukommen ist, wül^e» sich noch in grosser Avtlihl an-
fuhren lassen. Alle diese Bemerkungen wollen wir aber, wie ge-
sajgty auf das vorliegende, kleine Werkeken gar nicht angewandt
wissen, indem im Gegeocbeil 19 denu^ben vielmehr alle wesentliche
Punkte der Theorie hervorgehoben, oder wenigstens angedientet
und der weitern Ausfuhrung durch den Vortrag des Lelirers an-
heim gestellt worden sind.

___ • . • m

Gailet: bardrae trigoqomdtriqae au l'arpentage .vend« Jacile*
Montpellier. 1843. 12. 5 Fr.

Regnault, M», Trait^ de G^mdtrie pratiqne« cQapreiacBt les
op^atioos grapfaiqats et de Bombreuses applicatiMis am; travaa«
de Part et de construotion, & avec U gr« PI. Pari^ IS^ S fir.

V. Croitet; g^od^st« gdii^riil<» et ü^hodiqM oMwM^rte nons le
ropport de la mesure «t des ditlsionji des tems« %. iMit. Per
rönne. 184». 8. nit 21 Taf:

Gummere. — Treatise on 8nrvejing. 8. Philadelphia. 12 sh.

Bö|(manD^ neues Nivf^Uir - lastmment innächst für Wieaenbaaer,
dann auch, unter angegebenen Verbesserungen, für Geometery Baa*
kondokteure u, b. w. 8. Münster. 1843. Geb. 10 ggr«

199

Tiigonometrie.

Grie«er, F. J.» Lcbrtr üisr Matluenfetik am Cryittoosiun in Mains,
GrttiMiftttKe der ebenen Und spbnriscben IVitgoaenetrie. gr« 13.
Mainz. 1843. 6eb 14 ggt:

. , Rcles in filane and epherioal trigononietry :. witb nnmerous
examples and problema^ By fl« W. J^ans, royal niival eollejapa;
formerly matbemat. Master in the r. military academy, Woolwicb.
London.. 1843. (3 ab^ § d.). .

Elenients of Trigonometry. By Professor Uackley. 8. New
York. .1839. 9 sb.

;

T; Ricbard, Table des sinns^ cosinns, tangentes et cotang^n-
tea natnrel«, de ainutt. nn tainute, le rayon ^du cercle ^tant
10000000. Paris. 1843. S.

Atechanik.

Anafilbrlicbei Blementarlehrbnch der Meehanik in
ibrer "Anwendung auf die Pbysik, Künste und Gewerbe.
?on G. Bretsoa. Deutsch, beransgegeben Ton Dr. C. H.
Sebnuse. In vier B&nden. Erster Band. Meebanik fester
Körper. Mit 18 Figurentafeln in Folio. Darmstadt. 1843.
8. 4 Tblr.

Wona die jetzt so oft workoaimenden Uebertragnngen anslän«
diseber Werke in's Deutsche', noserer J^ttratnr eigentlicb nützen
sollen, können wir nicht recht begreifen, und wundern uns b&nfig»
dass dieselben einen Verleger finden, oft, wie auch das vorliegende
Werk, sehr elegant. ausgestattet werden, indem im Ge^entheil nicht
selten sehr verdienstvolle Originalwerke lange Zeit nngedruckt
bleiben müssen, weil sich kein Verleger mit denselben befassen
will, und sich meistens mit einem sehr kümmerlichen Druck be-
gnügen müssen. Wir sollten denken, dass Deutschland gegenwär-
tig auf eignen Füssen stehende Schriftsteller im mathematischen
Fache genug besässe, und Debersetzungien aus fremden Sprachen,
namentlich aus dem Französiscbeli , dessen Kenntniss so allgemein
verbreitet ist, nur in ganz speciellen Fällen bedürfen möchte, x

Renwick, Treatise on Mechanics. 8. New York. 1832.
12 sb.

200

Praktische Mechanik.

AllimMDe Mascliiaea-Banrelopädie kerarnnffebeo tos J. A.
HfilMe. Adas 11. {% Bds. 5.) Lief., (T^. 115-119. 124. iM-^4».
enthaltend) qu. i gr. Fol. Leipzig. 1843. If Thlr.

L'oavrier-m^anieien. 'Gaiile de n^caniqne pratiqiMy pw CL
Armengand jenne. 2. Edition. In 12. Paris. 1843. 4 fr.

TLe American Mechanic. By Charles Umill. 12. Pblladelfhw.
1838. 4 ab.

Renwick, Application of tbe* Science of Mechanics to Praetieal
Purposes. 18. Philadelphia. 1842. 4 sh.

A Descriptive and Historical Account of Hjdraniic and otker
Hachines for Kaising water; Ancient and Modern; with Observs-
tioDs 00 various Subjects connected with the Mecbanic Arts, iocln-
ding tbe Progressive l)e?elopinent of the 8 team • angine etc. Bj
Tb. Ewbank. With nearly 300 Engravings, royal 8. New York.
1842. 18 8h.

The 8team-Rngine, its Origin and Gradnal Inprovenent frosi
the time of Ucro to the prenetit day, as adapted to Manafactnres,
Locomotioo, aud Navigation. Illustrated with 48 Plates in fall detail,
numeruus Woodcuts ^ etc. By Paul R. Uod^e. C. E. 1. vol. folio
of Plates, and letter-press 8. New York. 1841. 3 L. 10 ah.

Treatise on the Stean- Engine.. By James Renwick^ L. L. D.
Professor in Col. Colle^p. 8. New York. 1832. 12 sh.

Lobmeyer, W., königl. Hann. Hydrotekt, Theorie der Kreisge-
wölbe. (Nach Petit bearbeitet); (Besondere abgedruckt ans Crelle*f
Journal für die Baukunst Bd. 18.) Mit 1 Figureatafel. irr. 4.
Berlin. 1843. 12 ggr.

Optik.

Bericht über die Erffebnisse einiger dioptriscker
Dntersuchungen. Vom Prof. Joseph Petzval. Pestk.
1843. 8. 15 ggr.

Bei seinen im Jahre 1840 begonnenen, zuerst von Herrn Pro-
fessor von Ettingshansen veranlassten, die weitere AnsbilduBg
der Theorie der Dioptrik und die Berechnung von Tafeln he-

aoi

zweckeBden UnteinacbungeD, ans denen xnerit das unter dem Nn«
neu de« Voigtiftnder'echen Apparotes bekannte Objectiv hervorginge,
ivard der Herr Verf. auf das Wesentlichste und Wirksamste dureh
die Theiinnbme unterstötst, welche Seine k. k. Hoheit der Herr
Krahertosr Ludwig diesen Untersuchungen schenkte« und insbe-
Kondere dadurch auf die thätinte Weise an den Tag legte, dass
er, als k. k. General- Artillerie -Directory dem Herrn Verf. zwei
durch mathematische Kenntnisse ansffeieichnete Oberfeuerwerker,
die Herren Lösch ner und Hain, nebst acht im Rechnen geübten
Bombardieren zur Disposition stellte, um ihm bei seinen üpter-
•achungen, voniiglich auch bei der Berechnung der Tafeln behiilf«
lieh zu sein, welches jedenfalls einen neuen im höchsten Grade
erfreulichen, jeden Freund der Nnthematik und der Wissenschaften
Überhaupt wahrhaft erwärmenden Beweis voh der kräftigen Unter-
stützung, welche ton je her die ezacten Wissenschaften in dem
österreichischen Kaiserstaate gefunden haben, und von der Theil«
nähme, die denselben dort häuGg von den höchsten Personen ge-
schenkt worden ist, und fortwährend geschenkt wird, zugleich aber
auch einen neuen Beweis von der längst bekannten ansge£eichne-
ton wibsenschaftlichen Bildung des k. k. Artillerie -Corps liefert,
die unter dessen gegenwärtiffem hohen Chef immer mehr erhöhet
worden ist. Dem Herrn Erznerzog Ludwig über den Fortgang
dieser dioptrischen Untersungen einen erstes Bericht zu erstatten,
ist der nächste Zweck der vorlieffendeu Schrift, auf die wir die
Freunde der optischen Wissenschaften aufmerksam zu machen nicht
verfehlen, -indem wir zuffleich bemerken, dass diesem ersten Be-
richte noch andere von ähnlicher Tendenz folgen sollen.

In dem vorliegenden ersten Berichte giebt der Herr Verf. zu-
vörderst Nachricht über den theoretischen Theil seiner Arbeit.
Auf K. 9 macht er uns mit der Aufgabe bekannt, von welcher er
bei iillen seinen Untersuchungen ausgegangen ist. Wonn näm-^
lieh ein beliebiges System brechender oder auch reflec-
tirender Rotationsflächen mit gemeinschaftlicher Rota-
tions-Axe, die man als Axe der % annehmen kann, geffe*
ben ist; ein Strahl von beliebiger Richtung in einen be-
liebigen Punkt der ersten dieser Flächen einfällt; an
dieser und sodann an allen übrigen Flächen gebrochen
oder reflectirt wird; und endlich, nachdem er die letzte
verlassen, eine gewisse an derselben Axe gedachte Ro-
tationsfläche in einem gewissen Punkte schneidet; so
soll man die Coordinaten ($, 17), ferner die Winkel (a,
^), welche dieser gebrochene Strahl mit den drei Coor-
dinateo-Axen einschliesst, als Functionen ähnlicher,
den Binfallspunkt in die erste Fläche, und die Richtung
des einfallenden Strahls bestimmender Grössen (o?, y
und a, ß) angeben. Hierauf entwickelt der Herr Verf. die
Grössen $, 17 und «r, 6 in nach den Potenzen und Produeten von
opj ßf und a, /?, unter der Voraussetzung, dass diese Grössen nur
klein sind, fortschreitende Reihen, und unterscheidet dann Bilder
verschiedener Ordnungen, indem er überhaunt unter einem Bilde
der «iten Ordnung eines Strahlen aussendenden Punktes ein Bild
dieses Punktes auf der letzten Rotationsfläche versteht, in welchem
sich die Coordinaten von $, rj für alle diesem Bilde entsprechende
von dem in Rede stehenden Punkte ausgebende Strahlen nur um

202

GrösMD Tom «inaDder «nteraelieideB, die !■ Besag auf die Gröasei
^9 Sf« <x, /? von der evteo Ordnunar aind, wobei leicht aas der Na«
tur der Gruadfurnieln erhellet, das« m aar eine ungerade Zahl
seia kann. Diese he stimmte UnterscheidaDg v^a Bildeni der
3ten» 5ten, Ttea« dten u. s. w« Ordnung scheint uns sehr weaeat-
lieh SU sein, weil dadurch die Dioptrik gewissermassen aas demselvt
ben Gesichtapankte behandelt and aaf denselben Standpunkt ge-
stellt wird^ welchen in der Geometrie die Lehre von dea Berühnii«
flon schon längst mit so grossem Vortheil für ihre vollständige
Ansbildung eingenommen hat, und wir glauben, dass ein strengst
Festhalten dieses Staadpaaktes sur Förderung der WissenschsJSfc
beitragen wird« Auf S. 18. und S. 26. hebt der Herr Verf. zirci
yon ihm .gefundene Theoreme heraas, derea aweites folgender*
messen lautet: der reciproke Werth des Krämmungshalii*
messers des geometrischen Orts eines Bildes am Scheitel
iat gleich der Summe der Producte aus den reciprokea
Werthen der Brennweiten in die reciproken Werthe der
Brechangsverhältaisse der einaelnen Bestandlinsen;
and geht dann nach verschiedenen andern allgemeinern Bemep-
knngen sur Berechnung der Cerrectionen der erhaltenen Bilder

Wir sind der Meinung i dass die dioptrischen Untersuchangea,
von denen der vorliegende, im Verhergehenden wegen der Be-
achiänktheit des Raumes nur in gana allgeüeinen Umriasea skis^
xirte Bericht Nachricht gieht, auf sehr verständige Weise angelegt
sind, bekennen gern, dass wir diesen Bericht mit Interesiie und
eigner Belehrung gelesen haben, und aehen den verheissenen fer*
neren Berichten, welche vorsugKch den durch die 'kräftige Dnter-
stfitsnngder Regierung des Verfs, so sehr geförderten mehr prak-
tischen Theil der Cntersnchungen betreffen sollen, aüt Verlange!
entgegen»

IVeatise oa Optica. Bj Bartlett, Professor in the United
Slatea MUitary Academy. 8. New York. 1841. 10 sh. 6 d.

Astronomie.

Biot, Trait^ dl^mentaire d' Astronomie physiqaef Tom« 1. I.
avee Atlas de 26 Planches. Paris. 1843.

Dies ist der erste Theil der jetst erscheiaenden neaea Aas-
gabe voa Biets bekaaatem trefflichen Tratte d'Astrenomie phyai^

P. J. Bandet, (Maitre de Mathteatique au Gymaase d'Utrecht):
Apercu da Systeme plaa^aire aveo an tahleau synepikiqiM des aria-
eipales particnlarit^ de ee syst^sM. Mdi^ a la aociM de physi-
que de la ville d'Dtrecht; gr. 8. h Deveater. 1843. 1- 10» 50.

Grand seeret de l'ezagdratioa des calculs coperaiciena sar las

203

g>roM««ra 4m Mtres, devoil^ par Paatenr de . L'Anti - Copernic.
Paris. 1843. 8. f Fr.

Bradferd, Wondert of tbe Ueaveos. Witb noneroaB Bagra-
vings. Royal 4. Bostoa. 31 sh. 6 d. ^

' -Borritt; --^ The Geofrapby of the Heavens, with a Celettial.
Atlas, (coloared) 10. edition. 18ai^. «ad 4ta« 2 vols. New York.
10 sh. 6 d. ^

I

Astroaofliy for Sebools, on the Basis of Arago's Lectnres. By
A. W. Ileskins. A. M* \%. New York. 1841. 7 ah. 6 d.

. ^Ad Eleüentary Treatise on Astrofioaiy: contaiaing a Syste-
Biatie and CoMpreh^nsive Bxposirion of the Theory, and the more
iaportant Praetical Problems. With Solar, Lanar and other Astro»
nomical Tables. Desip:ned as a Text -Book for Colleges,' etc. By
W. A.. Norton, late Professor of Ast. University of New York.
New York. 8. 15 sb.

Gnsmere. *— Trei^tise on Astrenowy« 8. Philadelphia* 12 s,

Headerson, Treatise an Astronoaiy; displayiog tbe Aritbmetioal
Arcbitectnre of the Solar System, etc. 2. edit, enlarged, aad
embellished with numerous engravings. 12. London. 1840. 5|- sb.

Asironömi och .AUman Physik, Betraktademed Häaseende tili

de Bewis, dessa Wetenskaper f5r6te pa Gnds All|negt, Wishet oeb
Godhef, af William WbeWell: S(tockbolm. 8. Stdckholm* 1842. \,

sabskr. 1 Rdr. 12 sk., Köp. 1 Rdr. 40 sk.

a

Beraettelse om Astronomiens Framsteg foer Aren 1837^1841.
Af N. H. Seiander. Stockholm. 1842. & 40 sk.

Oeui^res de Laplace. Tome 1., trait^ de m^canique Celeste. 1.
Paris. 1843. 4.

Tbe M^aniaue Celeste of La Place. Translated, with a Gom-
« aentary, by N. Bowditch, L. L. D. With a Memoir of the Trans-
lator. In 4 vols. imper. 4. Bostoii. 12 L. 12 sb.

Solntions of the Astrooomical and other Problems in Jeaqs
Rnles in Plane and Spberical Trigonometry; designed as an Intro-
duction to Nantioal Astronoay« London. 1843, 3 ab. 6 d.

De loDgitudine terrestre e atellia wMi fere cum Inna calBuaanti«
bns determinanda dissertatio. Praes. Thonaa Oliveoroaa Phil.
Mag.; Respp. Gustavus Samuel Löwemhielm et Nicanor Hammar^n.
P. I. 11. tipsaliae. 4. med. 1 tab.

Navigation and Nautical Astronomy, for tbe use of British
Seaman. By the Rey. James Inman, D. D. 4. edition. 8. London.
1843. 10 sb.

204

J. C' Böbaie, •stroMMniscbe Steroicli«ibe, ^odet allgeBoiM
Himmelskarte, bis zum 40 Grad südl. Breite« mit bewegliiekem Ho-
rizonte und UöbenonadranteD. 84- Zoll Darcbmesser. 2 fprosM
Ka[»fert. and 1 Bg. in gr. 4.« Anweitnng zum Z«a«mmMi«6tiea und
zum Gebrauch. Leipzig. 1843. 1 Tbir. 8 ggr.

MittJere Oerter ton 12000 Fix -Sternen fnr den Anfang yoi
18S6, abgeleitet aui den Benbacbtungen anf der Hamtorger Sim-
warte von Carl Rümker. Hamburg. 1843. qu. 4. (3 TBL).

Catalogue de 514 Voiles doables et multiples d^Scoiivertes Mir
rbemisphere Celeste borM par -la grande Innette de. Tobaenratoire
central de Poulkovu, et: Catalogue de 256 Voiles doubles princi*
pales oü la distance des* composantes est de 32 aecondea k 2'iii-
nntes et qni se tronveot sur rb^mispb^re bor^l.' (par W. Strufe).
Par Pacadteie imperiale des seiendes. FoHa. St.Petarsburg. 1843.
1 TbIr.

J. C. Böhme, das Rad der Zeit mit einer drehbaren Planispbäre
von 8 Zoll Durchmesser. Immerv^ährender Monats-, Namens- nnd
Fest -Kalender, mit bildliober Darstellung der täglicben Richtaag
der Erde gegen die Sonne, llj^ Zoll in Qnadr. 2 grosse Rnpfert.
and 1 Bg; in - gr. 4. Anweisung snm Zusammensetzen -.«ad zum
Gebr. Leipzig. 1843. 1 TbIr. 8 ggr.

Horizontal - Sonnenuhr für die virahre und mittlere Zeit, aacb
mathematischen Gesetzen verfertigt von J. C« Böhme. ^ ll<f Zoll rk.
lang, 8^ Zoll breit. Auf z^ei grossen Kupfertafeln; mit deutlicher
Anweisung zum Zusammensetzen und Benutzen derselben, Leipzig.
1843, 1 Thir.

Zusammengesetzte, halb horizontale, halb verticale Nonnenuhr
ffiir die währe und mittlere Zeit, vd« J. C. Böhme. 8) Zoll lang,
3^ Zoll hpch Auf 4 Kupfertafeln. Mit Anweisung u. s. w. Leip*
zig. 1843. 1 Thlr. 8 ggr.

o

Beständig Sjö- Kalender, Innehallande Enkla ocb Säkra Metbo«
der och Tabeller for Latitudens och Longitudens Bestämmande,
utBii Tillbjelp af Nautikal-Almanakan; om firbket af Kronoroetero
och Sjobarometern, samten Allmftn Tidwattens Tabell, af J. Griffia^

Navigations*Lärare i London. Fran Andra EngelsVa Upplagäo

Oeiirirersatt och TillOkt af J. J. Ä. 12i Götheborg. 1842. 32 8k.

Observationes astronomicae in specula regia: MonachieaM insti-
tutae et regio jussu poblicis impensis editae a J. Lamont. Vol. Vi.
seu novae seriei Vol. I. (Observationes a. 1828, 1829 et 1830 factas
cont.) 4maj. Monachii. i841. Geh. 1 Thlr. 0 ggr.

— id. Vol. VII. seu uovae ser. Vol. II., observ. a. 1831 et
1832 factas cont. 4maj. Ibid. 1842. Geh. 1 Thlr. 6 ggr.

— - idi X. seu novae ser. Vol. V., observ. a. 1835, )830 et
1837 factas cont. 4maj. Ibid. 1842. Geh. 1 Thlr. 6 ggr.

205

Vol. VIII. IX. sind 1834 and 1890 ertchieDcn und kMt«n eben-
falls jeder 1 Thir. 6 ggr.

CoDnaifianee des Tempi, k Tasage des Astrosomea et des Na-
▼imteurs, poiir Pann^ l54t3. 8. Paris» ft fr. aveo Additions
7 fr. 50 c.

Physik.

Ueber das academitebe Studium der Naturwisseasebaften , ror-
sllglich das der Cbemie. Ein Beitraff xu seitgemäfisen Uetraebtun-^
p^D Über VerSnderuDffen. im academischea Uuterricbt (mit Bezug-
■abme auf die Schrift des Prof. Liebig: Ueber das Stadium der
Naturwiss. und tiber den Zustaud der Uliemie in Preussen. Braun«
schweig 1840) von P. L. Hünefeld. Greifswald. 1843. 8.

Meios, J. G., Naturiebr« fiir Bürger- und Volksschulen sowie
die untern Klassen der Gymnasien. 0. Au6. Durchgesehen und he-
sondern in Hinsicht auf die physikalischen und astronomischen Ele-
mentarkenntnisse berichtigt und vermehrt von Dr. E. F. August^
Director des Real - Gymnasiums in Berlin. 8. Leipzig. 1843.
lÄggr.

Leitfaden für den Unterricht in der Pkysik auf Gym-
nasien, Gewerbeschulen und höheren Bürgerschulen von
Dr. H. A. Brettner. Achte vermehrte und verbesserte
Auflage. Breslau. 1842. 8. 18 ggr.

Nach der Vorrede hat der Verf. die neuern Entdeckungen in
dieser neuen Auflage überall nachgetragen, ohne die Zahl und Ord-
nung der Paragraphen zu ändern. ,

Grundrias der mechanischen Naturlehre. Als Leit-
faden für physikalische Vorträge an Handels- und Ge*
werbschnlen entworfen von Christian Albert Weinlig.
Leipzig. 1843. &. 10 ggr.

Wir glauben, dass dieses deutliche fiehrbnch, welches die im
praktischen Leben wichtigsten Sätze der Theorie und deren An-
wendungen, die wichtigsten Kilnstansdrücke und Formeln in klarer
and präciser, daher auch die mathematische Ptfrm nicht mit unnöthi-
arer Äengstlichkeit ganz vermeidender Form den Schülern der anf
den Titel genannten Lehranstalten in die Hände zu geben, alles
Andere nur anzudeuten strebt, seinem Zwecke recht wohl ent-
spricht. Guter Druck und die sauber ausgeführten Hohmchnitte
dienen demselben ausserdem zur Empfehlung.

Pouillet's Lehrbuch der Physik nnd Meteorologie^ für deutsche
Verbältnisse frei bearbeitet von J. Müller. In 2 Bänden mit gegen
1000 In den Text eingedruckten Holzschnitten. & und 6. Liefe-
rang, gr. 8. Braunschweig. 1843. 1 ThIr.

206

Mmre&t^ V,, Prof. am 4er AeadMiie zm G«af , 4ie BnerifliciitaU
IMiysik. ZoM ftelbstODterriehte för Gebildete und bqb Gdbraock io
Keel- Bild eolTteehDisehen Schales. Nack der 3. Aafl. des FrtBi.

llkeri. Ten G. KiMliaflr. ' Mit 6 Tefeln Figuren. ^ kw 4. I^el
gr. 8. Lodwigskiirg. f84S. 18 ggr.

\jM pb^DoneDes de la natare. Pnbli^ par de Marias. %, Ük,
Parif. 1843. 8. nil; 4 Abbildangen. 3 Fr.

Lettres «ur la phjsique, par A. Bertrand. '2 vola. in 8. Paris.
1843. 8 fr. ; ; .

Carpenter, Mecbanical Pbilotopby, Horology and AstronoHj.
London. 1843. 8. 9| sh. (Auch unter dem Titel: Populär Cjclo-
paedi» of Natural Scienoe vol. %).

OianD» Dr. 6. W.. Cdnigl. Bayer, flofratk und ord. Prof. d«
Pbyiik aad allg:« Chemie auf der iJuif. Wörsburg, neue Beitragt
sur Chemie und Physik. 1. Beitrag. Mit ffalvaMkanstischen Ab*
bildungen, h Uff. 8. Wünburg. 1843. Geh, 8 ggf.

Populäre Vorlesonren ober natarwisflenschafitliche Gegenstäode
ans den Gebiett o der Geologie, Pliysik>.Bnd Cbemiei im Jabre 1841
gebalten v^mt den gebildeten Bewohnern von <Bonn, ron G.BiacheC
gr. 8. Bonn. 1843. 8 ggr.

Pigurentafeln zur Physik, nebst ansffibrlicber Erklärung vü
Dr. G. Lautesch läger, Grossherz. Hess. Uofrath und Lehrer an de«
Gymoaaium au Darmstadt. CL Heft. Magnetismus und Electricitit.
Lex. & Darmetadt. 1842. 12 ggr.

Sammlung physikalischer Aufj^^aheji oebst ihrer Aat
lAsuag. . Zum Genranch in Schulen und beim Selbatns-
terricbt. Von Friedrich Kries. Jena. 1843. 8.

Diese empfehlenswerthe Sammlung physikalischer Aufgaben he-
trifll die Bestimmung des specifischen Gewichts« die Bewegung der
Körper, den Fall der Körper, den Stoss der Körper, das Gieicb-
ffewicbt fester Körper, das Gleichgewicht ■ fläamger Kirper, die
Verdichtung und Verdünnung elastiecher Finasigkeiten, daa Gleich*
ffewicbt fester und flüssiger Körper,. die AWsbimediBehc AaCgaht,
die Lehre, vom Lichte, die VFärme, Gemastimde der aagewaadtes
NaturMire. Ans der Lehre von der ttlectricitit «ad dem Magne-
tismus aind f^r keine Aufgaben aafgeoonnMa, weil die AaÜaaag
derselben ftbeils auf Versuchen bemht, die geiwdbalicbervaiee aicht
In den Sobulea angestellt werden, theils Kcaataiaae oCaidcrt, die
hei einem Schüler nicht Torausgesetzt werde« köaaea. Zweck-
mässig sind die Auflosnngen von dea Aufgaben gatveaai. Gcwim
wird diese Sammlung, den f^ebrem der Physik wiltkammia sein,
da überhaupt die Anzahl aolcber Sammlaagea pbisihnlimbi ■ Anf-
gaben noch sehr gering ist. Benutzt bat der VctC: Kaareaux
Prablemes de Pbyaif|Ba ete. Par M. K. Bary. PMl ISML IL

TVait^ de la cbalear eoasid^i^ dans
PMet. 2. ddit. 2 vol. in 4. Paris. 1843. ۥ FiC

207 •

DfHre, fl/W.,- Uatersuekungf«ii im Gebiete der IndttctlonBeleefri«

cität. Eine m der AkademU der WiMieBschafteii lu fterlin gele-»

M»6 Abbendlung. Mit HolttbliDittefl'aBd eioerKnpfertdrel. arn 4;

^ Berlin. 1842. 1 Thir. 4 ggr. .2!

CoBtributions to Eletstrieky aid 'Marnetism. By Profetaor J.
Benry. 4. Philadelphia. 189«; • eh.

Haldat, recherchea sur la pnissaDce inotrice et rintensit^ des
ea«mns de T^lactricit^ dynaoiique. Naaet. 1843. 8.

Davia, Manual of Mäknetitnt, Electrlcity, the Blectratype ete.
With loa original lliaatrationa. Botton. 1842^

Naht, Ai^x. Theod., meteorologiaohe nnd natnrhiitoriacho Chro-
nik dea Jahres 1842. Bogen 1—8 mit den Tabellen Januar und
P«hniär. gr. 8. Darmitadt. 1843. Preia dea Ganzen 2 iThle. 12 ggr.

M. Vergl. Lit. Ber. Nr. X. S. 165.

■ t

Howard, aeven lectures on meteorology. London. 1848. 2d.

ed. A^ ah. . ^

Treatise on the Law of Storma; by W. C Radfiold. 8. New
Yiirk/1842.

Ob tha Natwre of Thunder- Storma, and ob the Meana of Pro*
teeting Buildings and Shipping against the Diaatmctive Effects of
LlffhtniBg;ibfW.8Bow< Harris, T. gi S. 8. Loadon. 1841.
10 sh. Od.

•■ ■ ■ . ■ ?■. •, ., ■ ■

Tha Philoso|AT of Stormsf by Janwa P^ Eapy. Wtth Hapa,
Hngraviiigs, ale. & Boston. 184L 10 ah. .

Notice sur les tremblemens de terre; des tentalives faitea pour
les pr^venir, ezpos^ d'un nouveuu mode de construction pour ga*
rantir la vie des homnies contre leurs d^sastreux effets; par Z.
Nand. 1843. 8.

Photographic Manipulation; containing simple and practical De-
tails of the most improved Processes of PJiotogenic Drawing, the
Dagnerreotype aod Calotype. 8.' London. 1843. 1 sh. 0 d*

Vermischte Schriften.

M^moires de l'Acad^mie imperiale des sciences da
Saint-P^tershourg. VI s^rie (sciences matb^matiques,
nhysiques et naturelles) Tome V. ou Tome III. de la
1. partle (aiences math. et physiques). 4. St. Pdters*.

• 208

boarg^. 0 Tbir. 18 ggr. hihaU: Buoaiakowilcj. solotioi
d'an probl4ae de rmnalyse de Dinphante. — 0. Strave, Bestin-
aang der CooetoDten der PräceMion ait BeröckmchtigiiBg' der eignea
Bewegung des SonDeDsjsteHie.

Det Kongelige danske VideDikabernee Selskabs Natorvideni-
BÜge og aiatheaiatiske AfibaDdliii( - ^ "^ » . «^ r« ,
KopenbageD. 1842. 2 Thir. 12 ggr.

kabeliffe og aiatheaiatiske AfibaDdlingtr. 9 Deel ned 19 Tavler. i
** ibi

Le opere di Galileo GalileL Prima- edisioBe cob-
pleta condotta sugli autentici ■anoscritti palatini et
dedicata a S. A. J. e R« Leopoldo 11^ Graa Duea di Tos-
cann. Tomo I. Floren». 1843. 8. (Mit 4 Tafeln nad Bild-
niss). 104 L.

All Bedactear dieser Ausgabe wird Eugeuio Alberi genannt,
der von Vino. Antinori und in matbematiscber Beziebnug' von Coe-
leslino Biancbi, in literariscber Beiiebung von Pietro Bigassi
untersttttit wurde. Der Inbalt ist tfacb des Stoffe in folgende
6 Klsssen getbeilt:
1. Delle materie astronoMicbe.
II. Delle materie meccanicbe.

III. Delle materie varte seientifiche.

IV. Delle materie letterarie.

V. Della corrispondensa varia scieatifica in qnanto lion sian lettere
cbe debbono contiderarsi piuttosto come trattati a parte di
trattat^ le Mali avrauno luogo aelk tie, e syacialmeate nelle
dae prtme crasai«

VL Della vita e delle o|pere plu propriumoBte relathre alla vits
deir autore.
Die ganae Anagabe ist auf 12 BSude, von etwa 40 Bogen» be*

recbueli diese eollen in Zwiscbeuriumeu von 3 bis 4 Monaten er-

scbeinen» so dass bis sur Tolleudnug etwa 4 Jabre verfliessss

wdrdeu.

Literarischer Bericht

Geschichte der Mathematik und Physik.

• Cuil. Libri'Störia delle scienze matenaticbe in Italia/ Vers,
di Lnigi Masieri. Puntata 1. 2. (a 1^ L.) Mailand. 1842. 8.
(Das Ganze in 24 solchen Pnnt, die 4 Bände bilden.)

Schriften über Unterrichtsmethode.

De üenseignement des niiA^f|stiques dans les cbll^ffes, consi-
d^^ sous le double ppint de yue des prescriptions r^gl^mentaires
de raniversit6 et des principes fondamentaux de la science, par
F. C. Busset. In -8. Paris. 1843. 6 fr.

Systeme, Lehr- und Wörterbücher.

Lebrbuch der Mathematik für die obern Classen hö-
herer Lehranstalten, von Johann August Grnnert. Drit-
ter Theil« Ebene vnd sphärische Trigonometrie. Dritte
vermehrte und verbesserte Ausgabe. Brandenburg. 1843. 8.

Auch die dritte Ausgabe dieses die ebene und sphärische Tri-

SiBometrie enthaltenden dritten Theils meines Lehrbuchs der Ma-
ematik für die obern ClaMen höherer Lehranstalten ist an mehre*.

Band IT.

20

210

reo Stellen, überhaupt überall, wo es nötbig achien, verbessert
worden, obne jedoch eine nnr einigermassen erhebliche AeBdemag
Seiner ganzen Anlage erfahren zu haben, so dass diese dritte Am.
gäbe neben den früheren^ ohne irgend ein Hindernis« in den Lehr-
anstalten, für welche das Buch bestimmt ist, gebraucht werden kans.

G.

Brster Cursus der Planimetrie für Gymnasien, Real- und Bir-
gerschulen und zum Gebrauch für Bauslehrer und zum Selbstnater-
richt von Dr. August Wifegand« V]^ 2 Kupfertafeln. Halle. 1843.
8. '^ ggr.

De Sinna'Cörso e^mpleto. dv" iiätMiiadclle' »iiriL ^ßamlb I. Nea-
pel. 1843. 8.

Arithmetik.

A. Steen, Elementair- Arithmetik, som Inlednipg til den rene
Mathematik. 8. KjoebenhavB. 1843. 20 fs.

Bourdott Riemens d'alg^re. x9e. ^dit. Paris. 1843.

Key to the Treatise on Algebra in Chamber^s Educadonal Course,
containing Solutions of all the E^ercises in that Work. By A. Bell,
formerlj Afathematical Master in Dollar Institution. 8. London.
1843. 2 sh. 6 d. '

' • . r .. ■ . ' .

.•■■■■ ■■■■' 'w ■ '■ ' '■•^■

Algebraische Uebungsäufgaben nelst Auflosungen, von J. H.
D. T. Brandt. Hamburg. 1843. 8. 1 Thlr.

Tafel logistischer Logariths^n^ Zugabe zu dei^ Vega-HOIsse-
sehen und anderen Logarithmen -l^feln. (Aus Callet*8 „Tables

des Logarithmes^*) Nürnberg. 1843. 6 ggr. ' < i

. ■' • ■ *

Chr. Jürgensen, Hoiere Algebra og Dilferentsregning. 2. Udg.
Kjobenhavn. 1843. 8. 44 fs.

C. Ramus, Undersoegclse af Resten af Lagranges Raekke; og
om en Egenskab v^d de lineaer« Differentlalligaingea nied 2 Va-
riable. 4. Kjoebenhavn. lS43. 1. Udg. af Vidensk. Selsk. 32 fs.

Beiträge zur Theorie bestimmter Integrale von Dr.
Oskar Schlömilch. Jena. 1843. 4.

Die^e. für die Theorie der bestimmten integrale jedenfalls wich-
tige Schrift, welche von Keinem, der sieh mit eignen Untersuchun-
gen auf diesem noch reiche Ernten, versprechendea Felde der höhern
Mathematik beschäftigt, unbeachtet gelassen worden darf, besteht
aus %ier Theilen, deren drei erste fodgende Ueberachrifteh fuhren:
I. Die Theoreme von Lagrange und FoBriei. U. Anw^ndangen der

' I

Theorene von Lagrange und Foorier. III. Deber vencbiedene be*
stimmte Integrale , deren Werthe durch doppelte Integrationen ge*
fanden werden. Der vierte Theil enthSIt eine Formelsammlung und
beitebt wieder aus iwei Theilen, nämlich: I. Formeln, welche zu
Reihensummirungen benutzt werden können. II. Die Werthe der
wichtigsten bestimmten Integrale. Zweck und Inhalt der einzelnen
Abschnitte sind durch diese Ueberschriften hinreichend bezeichnet»
und ohne 'uns bei einer Schrift von so reichem Inhalt hier natürlich
auf das Einzelne einlassen zu können , wollen wir nur bemerken,
dass in dem ersten Abschnitte der Herr Verf. insbesondere beabsich-
tigt, die bekannten schönen Untersuchungen Dirichlet's über die
Convergenz der berühmten Fourier'schen Reihen, welche zuerst in
Crelle^s Journal für die reine und angewandte Mathema-
tik. B. IV. S. 157. mitgetheilt wurden, und auch in den Supple-
menten zum mathematischen Wörterbuche. Abth. I. S. 239.
vollständig entwickelt worden sind, ohne der Strenge Eintrag zu
thun^ auf eine viel einfachere Weise darzustellen. Der zweite Ab-
echnitt ist durch die in demselben gegebenen Anwendungen ^ler
Fourier'schen Theoreme sehr lehrreich und ganz geeignet, die
Wichtigkeit dieser Theoreme in ihrer ganzen Grösse zu zei-
gen. Die dritte Abtheilung enthält zwar ^e Anwendun^^ eines he*
kannten Princips, führt aber zu manchen neuen, insbesondere auch
die Gammafunctionen betreifenden Resultaten. Ceberhaupt lehrt uns
die Schrift den Herrn Verf. von Neuem als einen mit den neuern
Fortschritten der Anaijsis vollkommen vertrauten Mathematiker ken-
nen, und verdient denen, welche sich mit eignen Forschungen in
der Theorie der bestimmten Integrale beschäftigen, wiederholt an-
gelegentlichst zu sorgfältiger Beachtung empfohlen zu werden.

Ueber eine auch hierher gehörende Schrift des Herrn Prof.
Verdam zu Leiden vergl. m. Geometrie am Ende. Eben so
Tergl. m. über des Herrn Prof. G. Winkler Edler von Brücken-
brand logaritbmische und trigonometrische Tafeln Praktische
Geometrie am Anfange.

Geometrie.

E. Ljonnet, El^meni de g^om^trie. 2. Edition. Paris. 1843. 6 fr.

El^mens de g^om^trie , par E. Catalan, r^p^titeur de g^omdtrie
descriptive k l'^cole poljtechnique. Avec planches. In-o. Paris.
1843. 5 fr. 50 e.

Geometri, i Förening med Linearteckning, för Folk-Lärare-
Seminarier och Folkschouir af C. M. Lagerhamn, Phil. Mag. Stock-
holm. 1843. 8., med 7 pl. h. 24 sk.

Sammlang von Formeln und Gleichungen aus der

20*

212

Elcmentargeoraetrie und Trigonometrie. Von G. A. Jaki.
Leipzig, im. 8. 1 Thlr. 12 ggr.

Diese eine grosie Anzahl von Formeln aas der ebenen Geome-
trie, Stereometrie, ebenen und spbärischen Trigonometrie, aodi tu
der trigonometrischen Peblerrechnung, nnd aus der ebenen Poly-
goDometrie enthalteode, zweckmässig zusammengestellte, gut and,
wie es scheint, auch correct gedruckte Sammlung wird xugleidk
beim Unterrichte als eine Sammlung von Uebungsaufgaben vortbeil-
haft gebraucht werden können. Sehr zweckmässig wörde es nbri-
gens nach unserer Meinung gewesen sein, wenn der Heer Ver£ in
seine Stfmmlung auch die wichtigsten Formeln nnd Gleichungen
aus der analytischen Theorie der geraden Linie in der Ebene mi
im ftaume, des. Kreises, der Ebene nnd der Kugel anfgenommei
bätte, da man diese Formeln auch bei solchen Untersuchungen, die
eine mehr praktische Tendenz haben, wie z.B. in der Optik und
Astronomie, gegenwärtig so häutig gebraucht, wohl nicht minder
häufig als die Formeln der ebenen nnd spbärischen Trigonometrie.
Jedenfalls würde er dadurch sein Buch überhaupt ancb dem neuem
Zustande der [Mathematik mehr genähert, dessen wissenscbaftlicbei
Werth erhöhet und ihm die Anwendung in einem grösseren Kreise
gesichert haben.

G. Schreiber, Geometrisches PortfoUo. Blätter über dar-
stellende Geometrie nnd ihre Anwendungen. Nebst einem erlän-
ternden Text. 2. lieft, krumme Flächen enthaltend. Text in 4
und 22 Tafeln in Folio. Carlsrufae. 1843. 3 Thlr.

C^sar Lambert et J. Picqu^, Cours de g^om^rie descriptive.
Paris. 1843. 8. mit 12 Tafeln. 3^ fr.

Texte

Ddveloppemens de g^öm^trie descriptive, par Tb^od. Olivier.
te. Paris 1843. gr. 4. mit 1 Atlas in 24 Blättern. 18 fr.

Le^ons de g^om^trie analjtique, pr^^d^es des Bl^mens de la
trigonooi^lrie, par P. L. Cirodde. Paris. 1843. In -8. 7 fr. 50 c

Nieuwe Verhandelingen der eerste Klasse van bet
Koninklijk-Nederlandsch-Institut. Tiende Deel. Ver-
Landeling over de hyperbolische paraboloide, door G.J.
Verdam, Uoogleraar te Leiden. Te Amsterdam. 1843. 4.

Der eigentliche Titel dieser Schrift ist: Bijdrage tot de
meetkundige beschouwing van der hyperbolische para-
boloide. Door G. J. Verdam, und dieselbe ist jedenfalls als
ein sehr dankenswerther Beitrag zu der auf die Theorie des hyper-
bolischen Paraboloids angewandten descriptiven Geometrie, so wie
zu der Theorie dieser Fläche des zweiten Grades an sieb zn be-
trachten.

Wiskundige bijdrage, inhoudende eene verklaring
en beschouwing der Tafelen Van elliptische bogen, be-
rekend door den hoo^leeraar Schmidt; alsmede eene
mededeeling van herleidingen eener reeks vaaintegral-
formulen tot elliptische functien. Door G. J. Verdam«
hoogleeraar te Leiden, lid der eerste Klasse van bet
-Koninklijk Nederlandscb^ Instituut.

213

Der nächste Zi?6ck dieser sehr loseDswertheii 8cbrift ist eine
YoUständige Analyse der in Nr. IX. S: 137. des . Literarischen Be-
richts angezeigten elliptischen Tafeln von Schmidt, und wird daher
für die des Bolländiscben hinreichend kundigen Besitser der Schmidt-
seben Tafeln um so mehr ein sehr angenehmes Geschenk sein, weil
diesen Tafeln nur eine ganz kurze Einleitung heigegeben ist. Aus-
ser dieser Analyse der genannten Tafeln enthält die Schrift aber
aacb noch mehrere eigenthümliche für die Theorie der elliptischen
Functionen nicht unwichtige Formeln, und besteht ausser einer Ein«
'leilnng eigentlich aus vier Thellen, von denen der erste die Grklä«
rang der Schmidtschen Tafeln enthält, der zweite, dritte und vierte
aber die Ueberschriften: A. Ontwikkeling der Formulen van
Legendre; B. Ontwikkeling van eenige bijzondere Inte-

f'raal-Formulen; C. Ontwikkeling van eenige algemeone
ntegraaUFormulen führen. 't*- Die Schrift ist besonders abg«.
druckt aus dem ersten Hefte des zweiten Theils der von dem Kö-
Biglich N federl an di sehen Institute der Wissenschaften und Künste
berausgegebenen Zeitschrift.

Praktische Geometrie.

Systematische Abhandlung über die Potbenot'sche
Aufgabe in ihrer einfachsten Anwendung: aus drei ge-
gebenen Punkten denMesstisch in einem vierten Punkte
zu orientir^n, und zugleich durch das Hückwärtsein-
aehneiden diesen Punkt auf dem Tischblattc zu bestim«
neu, um dadurch eine Messoperation zu beginnen, fort,
zusetzen und zu vollenden. Allen deutschen Geomctcrn
freundlichst gewidmet von Georg Winkler Edlen von
Bröckenbrand, Prof. der Mathem. an der k. k. Forstlchr-
anstalt zu Mariahrunn u.s.w. Wien. 1843. 8.

Diese kleine Schrift, welche der Herr Verf. auch der diesjäh-
rigen Versammlung der deutschen Naturforscher zu Grätz vorzu«
legen beabsichtigte, enthält die in der Messtischpraxis am meisten^
brauchbaren Auflösungen des gewöhnlich nach Pothcnut benannten'
Problems, welche das Gesuchte entweder sogleich direct mit völliger
Schärfe oder durch zweckmässige Näherungen nuch und nach lie-
fern , in einer sehr einfachen und deutlichen , jedem auch nur mit
den ersten Klementursätzen der Geometrie bekannten Praktiker ge-
wiss völlig verständlichen Darstellung, verbunden mit mancnen
aus eigner Erfahrung hervorgegangenen Bemerkungen^ und ver-
dient daher Praktikern, welclie sich mit dem in Rede stehenden
Probleme näher bekannt machen wollen, wie^ in allen Fällen
sehr zu wünschen ist, empfohlen zu werden. Am finde gicbt
der Herr Verf. auch noch die gewöhnliche Auflösung durch die
ebene Trigooouetrie, wie sie sich z.B. in Mayor's praktischer

214

Geonetrie findet, erläotert dieselbe durch ein Beicniel, verbreitet
sieb in der Vorrede aucb über die Geichicbte des Problens, nnd
verbindet damit u. A. die Bemerkung, das» die direkte Asflftrang,
deren Erfindung Scbuls-Montanus in aeinem bekanntlick von
praktiscbeu Geometern viel gebrauchten Handbnche der ge-
aa^imten Land- und Erdmessung. B. U. S. 146. sich beilege,
schon gegen Ende des vprigen Jahrhunderts von Österreidiiscbiea
Ingenieurs, namentlich von dem bekannten Geographen Freihem
von Lichtenstern gebraucht worden sei; wie ans einer von desh
selben der k. k. Grundsteuer-Regulirnngs-Uofcommissioii nberreicb-
ten Denkschrift, und ans einer späteren Broschüre desselben: Vor-
schriften zu dem praktischen Verfahren bei der trigo*
nometrischen und geometrischen Aufnahme eines gros-
sen Landes, hervorgehe. ,

Bei dieser Gelegenheit wollen wir die L^er des Archivs aoch
noch darauf anfme^sam su machen uns erlauben, dass den von
dem Herrn Verf. der vorhergehenden kleinen Schrift in Jahre 1839
in einer zweiten Ausgabe herausgegebenen, auf gutes Papier
sauber und cörrect gedruckten sechtttelligen Logarithmi»
sehen und Logaritbmisch - trigonometrischen , Tafeln.
Wien. 1839. In Commissipn bei J. G. Heubner, deren in
Nr.. X. S. 154. des Literarischen Berichts nur kurz Erwähnung ge-
than worden ist, ein Vorzug vor manchen andern kleinen TaKln
dadurch gebühren möchte, dass sie die erforderlichen' Differenzen
und Proportionaltheile überall wie die grössern Tafeln vollständig
berechnet enthalten. ,

/

I

J. B. A. Thorel, Arpentage et G^od^sie pratiques. Formerie.
1843. 8. mit 12 Tafeln.

Abr^g^ de g^om^trie pratique appliqn^e au dessin lin^ire, par
L. C. et F. P. B. 14. Edition. 12. Tours. 1843.

Theoret. Praktisk Lärobok i Landtmäteriet. Till Landtmata-
res, Landtbrukares, Juristers och Kameralisters m. fl. Tjenst Sam-

mandragen och ntgifwen af Anders Alreik, Fil. Mag., Ofwer-Inffe-
niör, R. N. o. W. 0. Stockholm. 1843. 8. med 10 pl. h. 4 Rdr. 16 sk.

Bnr. Montucci, Geometria e meccanica applicate alle arti ec. dl
Policarpo Bandini sulle tracce della publica elementare istruzione...
deir accad. Tegea. Disp. 1 — 3. 1843.

Trigonometrie.

Sammlung von Formeln, Aufgaben und Beispielen
aus der Geometrie, ebenen und spnärischen Trigonome*
trie, nebst Anwendungen auf die Stereometrie und Po-

218r 7

im..8.:.8TJMr. • , ..• , . . ,..:; ..„, .

• IMese Sthrift ^ntbiitt^^iiiiD i;«ichf» ^aiii$Ji|ng ^on Formelp ind
Atffgat»«ii aud den auf idem Tit^ g^aqdtea Theijen. d^r MiatlieB^
tik,. 80 wie aucb aus der Lehre vop den gopi ojaetri scheiß up4. py*
ciometrischen Reihen, der KreisrechnuDg und der goniometrischen
Auflösung der Gleichungen ^ und ;Wifil daher für einen Jeden, dem
die Erwerbung eiper greitiiern Gewandtbait im. trigonoAetriscbeii
Galcttl Becförfpis^ ist, ein erwünf cbtea Qüll^mittel sein. Denn ßchwai^
lieh wird Jemandem , der dieses Bu6h vollständig durcbgearl^eitet
hat, noch ein Fall aufstossen können, in welchem er sich nicht
aelbat %u hälfe» wifs^ftifloUto, weshalb dais^lbetHllerdings atlgemei-
ner bekannt zu werden und Eingang .xn Jftnd.ei^.irarilient. . .

JL LobattOj Leerh'oek der regtlijnige ctp «pberifche driehoeks-
meting. 1843. . S^. fl. .

>■ • I

Meübanik.

A. Matal V Coura de staitiqii«[, k l'usage des aspiraqs ä P^cole
polytechnique et des ^coles d'artillerie et; de marine. 8. Paria. 1843.

/
«

Praktische Mechanik.

Allgemeine Mascbinen^tSberclopIdiej heMkUsgegeben von J. A.
Hülse. Atlas 12. (2. Bds. 6.) Lief. Taf. 92—95. 97. 105—109,
enthaltend, qu. ^ gr. Fol. Leipzig. 1843. 1 Thlr. 16 ggr.

Poppe, Dr. J. H;: die pfaktisebe Mechanik und Mavchinenlehre
unserer Zeit; ein fasslivh dargestelltes Lehr-, Leser und Hülfsbuch
zum Nutzen und Vergnügen für alle Stände. Mit 190 Abbildungen.
1. Lieferung. Zürich. 1843. 8. '14 ggr.

Der praktische Maschinenbauer, von A. V. Demme, prakt. Ma*
scbinenbauer. 13. Lief.j mit 20 Tafeln Abbildnngen. 8. Quedlin*

bürg. 1843. 2 Thlr.

.*.*■■

Description des Machines et proc^d^s consign^s dans lea bre^
vets d'invention etc. Tom. 47.^ avec planches. 4. Paris. 1843. 15 fr.

Werkzeichnung^enoder praktiMbe und detaillirte Zeichnongen,
4Besc]ireib9ingeii uoa jBrIäutQrni&gen der yerscbiedeaen Arten von

216

T. K. Memiümmhu, mmiet JfkiriifcaBg tAmci TecUiker. 1. B«id
i. Hcfi, cadbilt 4ie Aalagc cImt iifaiafaM OdUrik neWt Zu-
IMir. (§ lüiiocr. Hitter n er. F«fi» nil Imm Test in irr. 8.)
BcrliB. 184». 1 Tfcir. 12 ggr.

Preaien Mmtm» 4e ■^'fiyf f pKf fa, cMtpremat: 1) U
tfc^rie des BacbiBes äapIcB ca ■•■iCMmt; ^ d«s «otittWi ireii^-
rakf sar les Mckwcs caaMste; mt H. SsBBCt. Ib 1% Parti.
1843. 4 fr.

Aagela PSwacdbctti, Maa«ale dl MeecaBm pntica per P bge-
gaere OTile. llailaBA. 1843L

GaM« Piala, Rvot« rieciche per «la liialaaiaaa aia rigaroia
4i Twü probleai sal meto idT ac^aa. 4. Mailaad. 1843.

Optik.

Albert y Petit traite de peiipecüre aradaae. limoges. Mit
UTafela. Paria. 1843

L. Sabae, Traite de perspectife tb^riqae et pratiqae. 3. ^it
Hit 6 TafelD. Paria. 1843.

Astronomie.

Berliaer aatroDoaiisches Jahrbuch fnr 1846^ beraaagegebea ?oi
. F. Encke. gr. 8. Berlin. 1843. 3 Tblr. 4 ggr.

AstroDomy and Scriptare^ or some lllustratioDS of tbat Scieace,
and of tbe Solar, Lunar, Stellar and Terrestrial Phenonena of
Holj Wrir. Bj tbe Rer. T. Milner, M. A. Anthor of „Tbe Hbtory
of tbe Seven Churcbes of Aaia etc.^^ London. 1843. 7 ah.

C. Rossari, Trattato di astronomia elementare. 16. Hailand.
1843. IL. . •

Handbok i Practiska Astronomien af S. A. Cronstrand. Andra
Haftet. Till ledning under föreläsningarna wid det bögre Hil.itär

Lärowerket pa Marieberg. Stockholm. 1843. 8. samt H ark Ta-

217

beller. b. 2 Rdr. 40 sk« Mao vergl. Literaritober Bericht Nn 1.
8. 13.

Kreil, C, Ueber die Natur und Bewenog der Kemeten. Mit
besoDderer BerttckBichtiguDir des grosseo Kometen vom Jabre 1843.
8. Prag. 1843. 12 ggr.

E. M.,Beima, Verbandelisgen o?er den ring ran Satdmiii. Lei-
den. 1843. 2| fl. Man vergl. LiUrarischer Beriebt Nr. X. S. 102.

Connaissance des tems ou des mouTemeis Celeste«, a l'uiage
des astrobomes et des naviirateiirs paar Pan 1846. Pablid parle
borean des longitndes. 8, Paris. 1843. 7 fr. 50 c.

J. Seidelin, Tabel over Selens Declination til hver Dags Sand-
middag og Maanens ovre Cnlminations Middelklokkestet for Kbb.
Meridian i 1845. Kjoebenbavn. 1843. 20 fs.

Derselbe: Tabel over Selens Deelination og Tid-Equationen
til bver Dags Sandmiddag og Middelmiddag, samt Maanens ovre
Culminations Middelklokkeslet for Greenvichs Meridian i 1845.
ibid. 1843. 32 fr.

Kerigan's Matbematical and General Navigation Tables. 2 vols.
royal 8. London, reduced to 30 sb.

Mappa coelestis, sive tabulae quinqiie inerrantium
septimam ordinem non excedentinm et usque ad 30 gra-
dum decl. austr. pertinentium qoas pro medio seculo 19
atereograpbice construxit G. Sebwinck. Lips. 1843. Fol.
6 Thir. 16 ggr.

Diese trefflichen fünf Sternkarten sind in den astronomi-
scben Nachrichten Nr. 482. S. 30. nron Bessel mit vollem
Rechte sehr empfohlen worden. Am Ende seiner Anzeige sagt
Bessel: ^y^DiB Karten stellen, wie aus dem Gesagten hervorgeht,
den in nnseren Gegenden sichtbaren Theil des Himmels dar. Sie
leisten dieses nicht nur weit vollständiger, sondern auch in jeder
anderen Beziehung weit vollkommener als das umfangreiche Werk
von Bode. Sie befriedigen ein Bedürfnisse dessen Befriedigung
alle mir bekannt gewordenen ähnlichen flttlfsmittel nicht gewährten.^^

Uranometria nova. Stellae per.mediam Bnropam so-
lis oculis conspicuae secundum veras lucis magnitudi-
nes e coelo ipso dcscriptae a Dr. Fr. Argelandro (Auch
mit deutschem Titel), Berlin. 1843. Mit dem Sternverzeich*
nisse 4 Tblr.

,,Alle Himmelscharteo , die wir jetzt besitzen *% sas^t der Herr
Verf. in der Vorrede, ,, haben zwei wesentliche Mängel: die Gros«
sen der Sterne sind auf denselben nach den Scbätzungep angege-
ben, die die Astronomen in Fernröhren gelegentlich der Bestimmung
ihrer Positionen gemacht haben, und die häufig sehr fehlerhaft
sind, und es stehen auf ihnen eine Menge hellerer Sterne nicht,
während viele schwächere gezeichnet sind. Beide zusammen ge-
nommen verändern die am Himmel sich darstellenden Confignratio-

218

nen oft so bedeutend , dass mao aicli oamenüicli in ap helleren
Sternen ärmern Gegenden desselben kanm iurecbt finden kaniu
Diesen Mäns^eln für die im mittlem Europa mit blossen Augen
sichtbaren ^nerne so iriel alt möglieh abxiihelfen, ist der Zweck
^der gegenwärtigen neuen Biwmelscbarten.^' Allerdings glauben
wir, dass diese schönen neuen Bimmelscharten, in denen die Sterne
von der ersten bis zur sechsten Grösse sehr bestimmt und deutlich
von einander interschieden sinii, in 4ieser und in anderer Bezie-
biing einem wesentlieben Bedürfbiss.e abhelfeli, und empfehlen die*
selben daher den Astronomen und den Liebhabern der Astronomie
angelegentlichst, letzteren auch namentlich deshalb, weil dieselben
mit geringen Hülfsmitteln schätzbare Beobachtungen über die ver-
schiedene Grösse uqd Helligkeit der tSIterne. anstellen können, und
die Vervielfältigung solcher Beobachtungen, zu denen Liebhaber
der Astronomie nicht genug ermuntert werden können, jedenfalls
sehr zu wünschen ist. Sehr zweckmässig sind auf diesen Charten
die Sterne schwarz, die Umrisse der Sternbilder dagegen mit blas-
sen rothen Linien gezeichnet. Auch der verhältnissmässig sehr
niedrige Preis von 4 Tbln für die t'harten mit dem Sternverseich-
nisse zusamüen, gereicht diesem schönen Werke zur Empfehlang,
und wird dessen Anschaffung erleichtern, und zu seiner weitetet
Verbreitung, die es so sehr verdient, gewiss wesentlich, beitragen.

Mittlere Oerter von 12000 Fix-Sternen für den An-
fang von 1836, abgeleitet aus den Beobachtungen auf
der namburger Sternwarte von Carl Rümker. Hamburg«
1843. 4. 3 Thlr.

Das Vorwort des Herrn Conferenzratbs Schumacher giebt
den Lesern hinreichende Nachricht über das , was dieser trefuche
Sterncatalog zu leisten sucht , auf Irelches wir daher hier uns xs
verweisen erlauben.

New Star Tables, adapted to Practical Purposes for Tweaty^
two Years, commencing January 1843: for thc Use of Mariners,
Amateur Astronomers, Chronometer Makers etc.^ with an Appendix,
which together contain all the principal Problems for determining
the Latitude and Longitude at Sea, with several Tables and Bxam-
plifications. Bj Thomas Lynn. , Roy. 8. London« 1843. 10 sh.

S. Janse, Berekening en construc^ie van zonnewijzers vor
den middelbaren tijd, benevens de bandelwijze, om dezelve binnen
in vertrekken te bescbrijven« 2| fl.

Physik.

Beussi

Die Experimental- Physik, methodisch dargestellt von Dr. F.
m, Oberlehrer am Gymnasium zu Parchim. 1. Cnrsus. Kennt-

219

niss der PhäDomene. 3. verm. und rerb. Aufl. gr. 8. Berlin. 1843.
12 ggr. Man vergleiche Literarischer Bericht Nr. VIL S. 111.

Pouillet's Lehrbuch der Physik und Meteorologie für deutsche
Verhältnisse bearbeitet von Dr. Job. Müller. 7. und 8. Lief. Braun*
schweig. 1843. 8. 1 Thir.

Kästner, K. G. W., Handbuch der angewandten Naturlehre.
8. Lieferung, gr. 8. Stuttgart. 1843. 7 ggr.

Populäre Vorlesungen über naturwissenschaftliche
Gegenstände, aus den Gebieten der Geologie, Physik
und Chemie, im Jahre 1843 gehalten vor den gebildeten
Bewohnern von Bonn^ von Gustav Bischof. Bonn. 1843.
8. 8 ggr.

Den Inhalt dieser Schrift bilden zwei Vorlesungen, von denen
die erste, um uns hier mit einer ganz allgemeinen Angabe zu be-
gnügen, die Lehre von der Verdunstung zum. Gegnenstande hat. Die
zweite kündigt sich an als eine Erklärung der Elrscheinnn^en des
Thau's, bescbäfitigt sich auch etwa auf den ersten fdnf Seiten mit
diesem Gegenstande, enthält aber nachher lauter Dinge, die zur
Lehre vom Thau gar nicht gehören, wie z. B. die mehrfach be-
hauptete bekannte Thatsache, dass durch Oel die Gewalt der Mee-
reswellen gebrochen werden könne, und eine ausfuhrliche Beschrei-
bung des Geysers auf Island, von dem auch eine Abbildung gegeben
ist, und dessen Erscheinungen durch einen Versuch nachzuahmen
gelehrt wird.

R. F. Addenet, Nouvelle th^orie de P^lectricit^. Nöcessit^ des
fordts poar Tagriculture et le bien-^tre g^n^ral. Paris. 1843.

Electrical Magazine. Conducted by Mr. Charles V. Walker.
No. 1. London. 1843. 8. 2 sh. 6 d.

Zantedeschi: Esperienze suir origine delP elettricita voltiana,
e descrizione di un elettro - motore , in cui la forza chimico-elet-
trica h cospirante colla elettro-motrice di contatto. 4. Vicenza. 1843.

Zantedeschi: SulP indusione dinamica attraverso involucri e
diaframmi di ferro. Vicenza. fAus dem Sept. — Oct.. Hefte des
Jahrganges 1841 der Annali delle scienze del regno Lombardo*
Veneto besonders abgedruckt.) '

Zantedeschi: Dell' azione reciproca di due correnti ellettrichi
in un medesimo filo e in fili isolati vicinissimi, delle leg^i deli'
induzione volta-elettrico dinamica e della identila fra la virtii in-
duttiva elettro- magnetica e magneto - elettrica. Vicenza. 4. (Aus
dem Nov. — Dec. -Hefte des Jahrg. 1841 der Annali «delle scienze
del regno Lombardo - Veneto besonders abgedruckt.)

Zantedeschi: Sopra aleuni fenomeni che presentano i poli di
UD elettro -motore voItiHno. Venedig. 1842. 8. '

220

"^ Gios. Zamboni, Sair elettro - motore perpetuo, »truzione teor.
prut., Verona. 1843.

Zannotti, Elementi di fisica positiva. Fase. 1—3. Neapel.
1843. 8.

Die hydroelektrische Metallüberziehung oder Ver-
goldung, Versilberung, Verjplatinirong, Verkunfernn^
und Verzinkung auf galvanischem Wege. Ausifibrlick
bearbeitet für den Gewerbsmann von C. F. Hänle. Lahr.
1843. 8. 16 ggr.

Diese Schrift scheint. recht deutlich bearbeitet zu sein, und kann
daher allen denen, welche sich mit hydroelektrischen Metallüber-
ziehnngen beschäftigen wollen, empfohlen werden.

An Account of some remarkable Applications of the Electric
Fluid to the Useful Arts. By Mr. Alex. Bain. IVith a VindicatioD
of bis Claim to he the First Inventor of the Blectro.-Magnetic Te-
legraph, and also of the Electro-Magnetic Clock^ by Joon Finlai-
son, Esq. Actuary of the National Deht Office. London. 1843. 8.
with 5 diagrams. 4 sb.

lieber 'das Licht von Ludwig Moser. Vortrag, ge-
halten in der physikalisch • ökonomischen Gesellschaft
zu Königsberg den 7. April 1843. Königsberg. 1843.
8. 8 sgr.

„Der Wunsch einiger Freunde veranlasst mich", ßugt der .Herr
Verf. in dem Vorwort, ,,eine in der hiesigen physikalisch -ökono-
mischen Gesellschaft gehaltene Vorlesung dem Druck zu übergeben.
Sie enthält die Resultate meiner Untersuchungen über das Licht^
in derjenigen Form, in welcher sie vielleicht ein grösseres Publi-
kum interessiren. Ich glaube nicht', dass wenn man vor das |;rÖ8-
sere Publikum tritt, es mit den oberflächlichen Ergebnissen gethai
sei; ihm gebühren vielmehr die besten, d.h. diejenigen, welche in
das Wesen der Sache am meisten eingehen. Das einzige, was man
da zurückhalten darf und soll, sind die minutiösen Details, welche
das Interesse . der Männer von Fach zn bilden pflegen, und ihnen
reservirt bleiben müssen.'* Wir empfehlen diese Schrift allen den-
jenigen, welche sich in der Kürze mit den Hauptresultaten der
merkwürdigen Moser'schen Entdeckung des sogenannten unsicht-
baren Lichts bekannt machen wollen, und sind zugleich der
Meinung, dass die in derselben angegebenen Gesichtspunkte ganz
geeignet sind, die Leser auf den richtigen Standpunkt zu stellen,
aus welchem sie diese in neuerer Zeit mehrfach angefochtene Ent-
deckung zu beurtheilen haben.

Trait^ de Photographie, derniers perfectionnemens apport^ an
daguerr^otype. 4. ^dit. Par R. P. Lerebours. In 8. Paris. 1843.
3 fr. 50 c.

Photogenic Manipulation, containing piain Instructions in the
Theory and Pratice of the Arts of Photography , Calotype , Cyano-
type, Ferrotype, Chrysotype, Anthotype, Daguerreotype , Thermo-

221

graphy. By Georg Thomas Piscber* 18mo, illustrated by wood*
cuts. London. 18&, 1 sk.

Meteorology; comprisinff a Deseription of the Atmosphere and
its Phenomena; tke Laws oF Clioiate in ^eneral and eipecially tbe
Climate Features peculiar to tbe Region of tbe United States; witb
aome Remarks upon tbe Glimates o? tbe Ancient World as based
OD Fossil Geology. By Sam. Forry, M. D. Witb 13 illustrations,
amali folio. New York. 1843. 1 sh 6 d. '

Annalen für Meteorologie, Brdmagnetiamua and ver-
wandte Gegenstände, redigirt von Grunert, Koller,
Kreilj Lanont, Flinninger, ftuetelet, Stieffel| heraus*
gegeben von Dr. J. Lamont.

Jahrgang 1842. Heft IV. München. 1843. 8. Magne-
tische Störungen, beobachtet im magnetischen Observatorium der
k. Sternwarte bei München. — Relev^ des observations m^t^orolo-
giques faites a TObservatoire Royal ä Marseille par M. B. Valz. —
Zusammenstellung der meteorologischen Beobachtungen in Schössl,
von Herrn A; Bayer. •— Auszug aus dem Annuaire magn^tique et
m^t^orologique du corps des Ingenieurs des Mines de Russie par A.
T. Kupffer. — Maxima und Minima der Barometerstände im Jahre
1841. — Resultate der meteorologischen Beobachtungen an der
Sternwarte in Dorpat für 1842, mitgetbeilt von Herrn Hofrath
Mädler, — Bruchstücke aus den meteorologischen Beobachtungen
Tom Hobenpeissenberge. — Meteorologische Beobachtungen in La-
brador und Grönland. — Meteorologische Beobachtungen in Utrecht,
mitgetbeilt von Herrn Professor van Rees. — ftuantit^ de Pluies
tomb^es a Lyon, par M. Job. — Stündlicher Gang der Temperatur
und des Luftdruckes beobachtet im Jahre 1842 in der k. Sternwarte
bei München. — Zusammenstellung der täglichen meteorologischen
Beobachtungen von Stuttgart, Giengen an der Brenz, Carlsruhe,
Wien, Parma. — Znsammenstellung der monatlichen Mittel des
Luftdruckes und der Temperatur. — Ph^nomenes, registr^ k Parme
pendant Tann^e 1841, par M. Colla. — lieber die Bestimmung des
Gesetzes, nach welchem der Magnetismus in Stablstäben vertbeilt
ist, vom Heransffeber. — Vermischte Nachrichten, vom Herausgeber:
Annuaire magnetique et m^t^orologique du corps des Ingenieurs
des Mines de Russie etc., par A. T. Kupffer, annde 1840. Auszug
ans einem Schreiben des Herrn Staatsrates und Akademikers Kupffer
an den Herausgeher. Auszug aus einem Schreiben des Herrn Pro-
fessors van Rees. Absolute Tntensitätshestimmung von Herrn Prof.
Llojd« Mittbeil ung des Herrn Prof. Fournet aus Lyon. Meteoro-
logische Beobachtungen, veranstaltet von Herrn Espy in Wasbing«
ton. Witterungsbericht von Herrn Hofrath Mädler aus Dorpat.
Mittheilung von Herrn Colla. Magnetische Wärme -Compensation.
Auszug aus einem Briefe des Herrn Koller. Variationen der mag-
netischen Inclination.

Jahrgang 1843. Heft V. München. 1843. 8. Auszug
aus dem Annuaire magnetique et m^töorologique du corps des In-

Senieurs des Mines de Russie, par A. T. Kupffer. Ann^e 1840. —
lagnetisehe Störungen, beobachtet im Observatorium der k. Stern*
warte bei München^ 1841. — Monatliche Mittel dea Barometer- and

222

TheimoneterstaDdes in Danzig, beobachtet tob dem Herrn Regie*
rungsratb Dr. Kleefeld^ tod 1807 bis 1838. — Zusammenstellang
der tariflichen meteorologischen Beobachtungen in Wien, Salzburg,
Stuttgart, Bensberg und Cronberg 1842. -— Vergleichong der me-
teorologischen und magnetischen Beobachtungen in Brüssel und
Mönchen 1841. — Mittlere magnetische Declination in München
1841 und 1842. -— Magnetische Beobachtungen der russischen Sta-
tionen, ausgezogen aus dem Annuaire des Herrn Staatsraths und
Akademikers Kupffer. — > Magnetische Beobachtungen in Münchei
v^m August 1842 bis Mai 1843. — Bemerkungen zu den Torber-
*gehenden Beobachtungen. — Vermischte Nacbncbten, vom Heraus-
geber: Magnetische Bestimmungen in Böhmen, von Herrn Kreil.
Tieter Barometerstand am Ende Februar 1843. Auszöge aus Brie-
fen des Herrn Colla. Magnetisches Observatorium in Wasbingtss.
Bemerkungen über magnetische Beobachtungen.

■

Bestimmung der Horizontal-Intensität des Erdmagnetismus nach
absolutem Maasse. Von Dr. J. Lamont. München. 1842. 4.

Resultate der magnetischen Beobachtungen in München
rend der dreijährigen Periode 1840, 1841, 1842. Von J. LamoDt
Mönchen» 1843. 4.

In den Gelehrten Anzeigen, herausgegeben von Mitgliedern der
k. baver. Akademie der Wissenschaften, 3. März 1843. Nr. 44. 45.
S. 358 — 360, hat Herr Dr. Lamont der k. Akademie einen Bericht
über Die magnetischen Beobachtungen in der dreijähri-
gen Periode 1840 — 41 — 42. erstattet. In denselben Anzei-
gen, 26. Juli 1843. Nr. 147. 148. 149. 1$. 148—164, findet sich eil
Bericht desselben Herrn Verfs. über die von ihm eingeschla-
gene Methode zur Messung der magnetischen Inclina*
tion« Auch berichtet in Nr. 140. ff. Herr Akademiker Dr. Schaf*
bäutl über die Resultate seiner Beobachtungen mittels
eines von ihm construirten Photometers.

Der Urzustand der Erde nnd die Hypothese von einer statt-

§ebabten Aenderung der P«le, erklärt durch Uehereinstimmung mit
agen nnd Nachrichten aus ältester Zeit. Eine geolog. histor. Un-
tersuchung über die sogenannte Sündfluthskatastrophe von Fred.
Klee. Nach der dänischen Handschrift des Verfassers von Maj. G.
F. von Jenssen- Tusch, gr. 8. Stuttgart. 1843. 1 Thlr. 18-ggr«

W. C. Redfield, On Whlrlwind Storms: with Replies to tfae
Objections and Strictures of Dr. Hare. New York. 1843. 6 sb.

Sammlung physikalischer und hydrographischer Beobachtungeiy
welche an Bord der k. preussischen Seehandlungs-Schiffe auf ihren
Reisen um die Erde und nach Amerika angestellt worden sind.
Geordnet und herausgegeben von Dr. H. Berghaus. Erste Abthei-
lung: Reisen um die Welt. Breslau. 1842. 4. 5 Thlr.

Philosopbical Diagrams, illustrating the varions Brancbes of
Natnnl Philosophy. By Fred. J. Minasi, Lecturer on Nat. Philo*

223

sopliy. 1. Seriet. Meehanicir (15 Btätter mitFigarett). Londmi
1843. 15 ah. .

Yermischte Schriften.

The Cambridge mathemAtical Journal. No. XV. May,
1842. I. Oo the General Problem of Intercalations. II. Note on the
Theory of (he Solutions of Cubi«^ and Biquadratic Equations. 111.
Exposition of a General Theory of Linear Transformations. Part II.
IV. A Metbod of obtaining any Root of a Number in the Form of
a Continued Fruction. V. Notes on some Points in Formal Optics.
VI. On BIliptic Functions. VII. On the Solution of Functional Dif-
ferential Equations. VIII. Oo Certain Definite Integrals. XI. De*
monstrations of some Geometrical Theorems. X. Oo the motion of
a Solid Body about its*Centre of Gravity. , XI. Mathematical Notes:
1. Demonstration of the priociple of Virtual velocities. 2. Problem
from the Papers of 1842. — It -F {ar, y, x) =: <p (ti, r, «^), where

äF
jP Is homogeneous of the #tth degree in or, y, x and u =r -j-^

No. XVllI. May, 1843. I. On certain Formulae made use ef
in Physical Astronomy. II. Note on vibratin|( Cords. III. Oo the
Integration of certain Equations of Finite DifTerences. IV. On a
Class of Differential Equations, and on the Lines of Curvature of
an Ellipsoid. V. Note on a Problem in Dynamics. VI. On the In-
tegration of Linear Partial Differential Equationi^ by the Methoda
of Monge and Lagrange. ' VII. On the Attractions of Conducting
ai^d Non- Conducting EiectriGed Bodies. IX. Qp Lagranges Theo-
rem. X. Note on Orthogonal Isothermal Surfaces. XI. On Fou*
rier's Theorem. XU. Mathematical Notes: 1. Stability of Eccentri-
cities and Inclinations. 2. Mnemonic Ruie. (Für die Formel:

cos c cos iff = sin r cot a — n\n B cot A

der sphärischen Trigonometrie). 3. To shew that the jgreatest
and least radii of any plane section of the surface of elasticity are
at rhght aogles. 4. Problem in the Papers of 1842. A quadrilate-
ral, composed of four unequal beams jointed together at the extre-
mities, is compressed by a given force in the mrection of one dia-
gonal: find the force in the direction of the otber diagonal which
will resist the compression.

M^moires pr^sent^s par divers savants a l'Acad^mie
roy^ale des sciences de I'Institut de France et imprim^a

224

par 8011 ordre.. Sciences natb^maftiques. Tome YIII. Pa-
ris. 1843. 4.

* Aas diesem Bande sind folgende Abhandlungen ausznzeicboen:
EL Becquerel , memoire sor le rayonnement chimique qui accompag^e
la luDiiere solaire et la Inmi^re ^lectriqae. — G. Lam^, memoire
sur la d^moDStration d'un nouveau cas du dernier th^or^.me de Fer-
mat. ^~* G. Delafosse , r^berches sur la cristallisation consider^s
sous les rapports pbysiques et matb^matiques.

» *

N

XV.

Literarischer Bericht

Geschichte der Mathematik und Pbysilc.

Alberi, Bog«: De Galilei Galileii circa Joyis satellites lacubra-
tidnibus quae in i. et r. pittiana palatina bibliotheca adservantar.
Florenz. 1843.

Derselbe: t)ei Lavori di G. Galllei intorno i satelliti di Giove
csisteDti nell i. r. bibliotbeca Palatina de^Pitti. 4|;o. Florenz. 1843.
(Wabrscbeinlicb ans der neuen Ausgabe der Opere di G. Galilei
besonders abgedruckt.)

M. s. Literar. Beriebt No. Xlll. S. 208. und unten unter den
Vermiscbten Scbriften.

Wilde^s Gesebicbte der Optik. Zweiter Tbeil. s. m. unter
Optik.

Schriften über Unterrichtsmethode.

G^rono et Roguet, Programme d^taill^ des connaissances ma-
tb^matiques exig^es pour radmission aux ^coles polytecbnique , na-
vale, militaire, foresti^re etc. 2 ^dit. 8. Paris. 184d. 2 fr. 50 c.

Band IT. « 21

226

Systeme, Lehr- und Wörterbücher.

Reber, Peter, Herzoffl. Leuchlenberj!:. Oberadministratiolisretb
zQ Eicbstädt, UaDdbuch der Arithmetik, Geometrie, Stereometrie,
Trigooometrie uod deren praktische AnweadaDg für ForstmäiMr,
Militairs, Beamte, Geometer und Alle, welche sich in dieser Wb-
senschaft selbst uoterricbten wollea. 2. Abth.: Geometrie, Trifft-
nometrie und PoljgODometrie. gr. 8. nebst 5 litb. Tafeln in i ro*
lio, 1 Tafel in 4. und I Karte in Folio. Kempten. 1843. 2 thlr.
12ggr.

Bordes, L. , Le^ons de mathematiques. 2de. ^dit. Part. 1.1
Avec 8 plancbes. Paris. 1843. 8 fr.

Francoenr, Corso completo di matematicbe pure. 2 Tomi. Coo
10 TaF. Neapel. 1841. 21 L. 25 r.

Arithmetik.

Fiebag, demonstratire Recbnenknnst für die unteren Gymnasial*
Klassen, für Seminarien und höhere Bürgerschulen. 2te Termehrtt
und verbesserte Auflage. Breslau. 1843 8. 4* ^'>''*

Bernhardt, J. B., Lehrer in Fleisch wangen, Vecf^reo, die Ver-
bältnissrechnungen durch Vernunftschlüsse anschaulich nnd zugleidi
bequem, leicht und schnell aufxulösen. Eine Zugabe zur gewöhn-
licben Schlussform und zunächst ein methodischer Leitfaden für die
Hand des Lehrers. Ulm. 1843. gr. 8. 8 ggr.

Frisch, Friedr., Lehrer in Basel, Aufgaben xum Zifferrecbneo,
für schweizerische Elementarschulen. Nach einem stufenmässigeD,
Tom Leichtern zum Schwerern fortschreitendem Gange nnd mit be-
sonderer Berücksichtigung der schweizerischen Münzen und der
neueren Blaasse und Gevicbte. 2. Abth.: das Reebneu mit Sorten,
Bräche, Dreisatzrecdnnng, Zinsrechnung und Gesellscbaflsrecbnung.
Basel. 1842. 8. Geb. 11 ggr.

Derselbe: Scblisael zur erstes Abtbeiluncf der AQ%aben zum
Zifferreebaea. Kbead. 8. Geh« 4 ggr.

Loebmann, Fr.« neue arithmetische Uebungsbeispiele für I>ent8eb-
lands Gjrmnasien und Bürgerschulen, sowie für Berg-, Porst-, Mi-
litair- und andere Institute bearbeitet. Istes Heft; die 4 Recb-
Bsugsarten nüt flranzen flrieicb und ungleich benannten Zahlen. 2te
▼wmebrte Anflw ^Leipzig^ 1843. 8. 9 ggr. v

227

Derselbe. 2tes Heft: die 4 RechnuDfpiarten gleich und ungleich
benaooter fahlen mit gemeioeQ Brüchen. 2te vermehrte Auflage.
Eben^. 1843. 8. 6 ggr. ^

Anweisung zum Gebrauche des englischen Rechen-
schiebers (Sliding ruie- Regle k caicul), eines Instru-
ments, mittelst dessen mau den grössten Theil der im
technischen Leben vorkommenden Rechnungen sehr
schnell und sicher vollführen kann; zunächst für Ma-
schinenbauer, Ingenieure, Architecten, Zimmermeister,
Steinhuuer, Fabrikanten und jeden im technischen Be*
triebe Beschäftigten, wie nicht minder für Astronomen,
Physiker, Optiker, zur grossen Erleichterung und Si-
cherstellung ihrer Rechnungen. Von Dr. L.. C. Schulz
V. Strassnicki, ö. o. Prof. der Mathem. am k. k. polytech-
nischen Institute zu Wien. Wien. 1843. 8. 1 Tbir. 12 ggr.

So wie das hier beschriebene Instrument selbst ist auch die
vorliegende Schrift wegen der grossen Sorgfalt und Gründlichkeit,
mit welcher dieselbe im Allgemeinen verfasst ist, und den vielen
zur Erläuterung beigebrachten Beispielen, die nicht der geringsten
Uudeutlicbkeit Raum lassen, hauptsächlich Lehrern an höhern Bür-
gerschulen. Realschulen ubd Gewerbeschulen in jeder Beziehung
sehr zur Beachtung. zu empfehlen, und der Herr Verf. hat sich durch
deren Ausarbeitung sowohl um diese Schulen, als auch um die auf
dem Titel genannten Personen gewiss ein sehr d(|nkbar anzuerken-
nendes Verdienst erworben. Durch die Robrmaun^sche Buchhand-
lung zu Wien kann d^r' von Lenoir in Paris aus Buxbaum ver-
fertigte, an Genauigkeit keinem englischen Instrumente nachstehende
Sliding ruIe um den sehr geringen Preis von 2 fl. 30 kr. Conv.-
Münze = 3 0. Rjsichswährung von ganz Deutschland bezogen wer-
den. In den bekanntlich ungemein reichen Sammlungen des k. k*
polytechnischen Instituts zu Wien befinden sich eilf Sliding ruie's
von verschiedener Einrichtung^ die auf S. 184 — 108 dar vorliegen-
den Schrift, der am Ende auch noch Tabellen der Divisoren fttr die
vorzüglicbsten Maasse und Gewichte beigegeben sind, »ämmtlich
be;ichrieben werden.

Sammlung von Lehrsätzen, Formeln und Aufgaben
aus der gewöhnlichen Rechenkunst, Mathematik und Phy-
sik von Dr. J. Götz, Prof. der Mathematik (am Gymna-
.sium zu Dessau). Berlin. 1843. 8.

Drei Theile sind erschienen. Erster Tbeil. Sammlung von
Aufgaben aus der gewöhnlichen Rechenkunst. 8 ggr. ^^ Zweiter
Theil. Sammlung von Lehrsätzen, Formeln und Aufgaben aus der
Arithmetik, Algebra und allgemeinen Grössenlehre. 10 ggr. —
Dritter Theil. Samminnjg vou I^hrsätzen, Formeln und Au^abeu
aus der ebenen Geometrie, analytischen und ebenen Trigonometrie,
ebenen Polygonometrie, Stereometrie, sphärischen Trigonometrie und
sphärischen Polygonometrie. 1 Tlilr. O ggr. — Die jedem Kapitel
vorausgeschickten Fragen und die in das System gehörenden Sätze
hätten nach unserer Ceberzeugung weggelassen werden sollen.

Reher, Tabellen über Längeu-, Flächen- anU Körpermaaaa6|
den inneren und gangbaren Werth der Münzen, über Verf^aU

228

chang yerscLiedener HaDdelsvewiclite, Ellen ^, Getreide- «nd Ge-
tränk emaasse aller Läo<ler, dann über «las speziHjKhe Gewicht ud
die Verbältnisszalilen bei Flüssigkeilen, Metall, MineralieB, B<i1ib.s.w.
nacb bajerscbem Kubikscbub und Gewicbt berecbnet. Mit 1 li-
thogr. Tafel in kl. Fol. Kempten. 1843. gr. 8. 12 ggr.

Derbois: cabier ou profframme detaill^ d'arithm^iiine th^ri^iie
et pratique. 8. St. L6. lo43.

Knapp, Fl., Tb^orie des proportions coinpos^s et ses BHirMa.
tions, ä rusage des maibons d'^ducation. 18mo. Bruxelles. Im).

Bergery, €. L. , Complemens de caicul des ^oles priaaiKs.
Seconde Edition. Paris. 1843. 18 ggr.

Arilbmetic, designed for tbc Use of Scbools. By the Rer.
J. W. Colenso, M. A. Fellow of 8r. Jolin's College. Cambridge.
1843. 12mo. 4 sli. 6 d.

Francois, Gius., Tratt^to teorico • pratico d^aritmetica. Floreac
1843. 5 L. 88 c.

Fiebag, die allgemeine Grössenlebre und niedere Algebra für
die oberen Gymnasiulklassen und Realscbulen. gr. 8. Breslau.
1843. 8 ggr.

Sass, Bucbstaben-Recbnung und Algebra. Mit 1 Logaritbaieo-
Tafel. 11. Abtb. der Forfaetzung des „Rechenbucbes für Volksscha*
len''. gr. 8. Altona. 1843. 1 Thlr.

Derselbe: Resultate dazu. gr. 8. 6 ggr.

Fiedler, I)r. J., Lebrbucb der allgemeinen Aritbmetik zum Ge-
brauch für Gymnasien und höhere Bürgerschulen, gr. 8. Breslau.
1843. 1 Thlr.

Gräfe, Dr. H., Sammlung von Beispielen und Aufgaben aus der
Bucbstabenrecbnuijg und Algebra zum Gebrauch in Real- und Bür-
gerschulen. 1. Heu. 8. .Jena. 1843. 9 ggr.

Derselbe: Resultate zu vorstehender Sammlung. 8. Ebend.

Blaser, C, Allgemeine Behandlung der Reihenom-
kebrung nebst Anwentlung derselben zur Darstellung
der Wurzeln algebraischer Gleichungen in unendlichen
Reihen, 4. Bern. 1842. 10 ggr.

Wenn der Verf. dieser Schrift klagt, dass die Reihenumkeb-
rung, die bekanntlich längere Zeit einen Uauptgegenstand der Cb-
tersuehuugen der Bearbeiter der combinatorischen Analysis, nament-
lich Hiodenburg's, Rothe's, Eschenbacb's, Pfaff's ausmachte, gegea*
wärtig von den Mathematikern vernachlässigt und. eher umgangen
als angewandt werde, so hätte er bedenken sollen, dass die ge-
geßWiFÜge Theorie dieser onalytiicben Operation in so fern als

229

eine im höchsten Grade unvotlkominene bezeichnet werden muss,
weil sie uns in völliger Ungewissheit über die Converffenz oder
Divergenz der betreffenden Reihen lässt, und duss daher d-ieAfftthe-
matiker, welche statt der ReihenumkebruDg «zu andern Methoden
ihre Zuflucht uebinen, jedenfalls viel eber zu loben als zu tadeln
sind. Hätte er scioo Untersuchungen auf den vorher in Anregung
gebrachten Punkt gerichtet, so wärde er der Wissenschaft einen
wesentlichen Dienst zu leisten im Stande gewesen sein; er hat die-
sen Hauptpunkt in der Theorie der Umkehrung der Reihen aber
ganz uufa^achtet gelassen.

Elementar Afhandling oin Seriers Convergens. Praes. Carl
Joban Hill, Mathem. Prof.; Resp. Theodor Ihrmann. 1. Lund.
1S43. 8.

Mundt^ C. A., de accuratione, qua possit quantitas per tabulas
determinari et quidem cum per tabulas in Universum > tum singula-
tim per tabulas logarithmicas et trigonometricos. 4. llnuniae. 1842
2 Tblr.

Geometrie.

Bolzano, Dr. Hern. Versuch einer objcctiven Begründung der
liehre von den drei Dimensionen des Raumes (aus den Abhandlun-
gen der königl. böhm. Gesellscbaft der Wiss., V. Folge, 3. Band,
besonders abgedruckt), gr. 4. Prag. 1843. 4 ggr.

Türk, Wilh. v., t^eitfaden für den Unterricht in der Formen*
und Grössenlehre. 5. Aufl. mit 120 Kupfertafeln, gr. 8. Potsdam.
1843. 1 Tblr. 18 ggr.

Raumlehre oder Geometrie, nach den jetzigen Anforderungen
der Didaktik für Lehrende und Lernende bearbeitet von Dr. F. A.
W. Diesterweg, Director des Seminars für Stadtschulen in Berlin«
Zweite vermehrte und verbesserte Auf läge. Mit 9 Steintafeln, gr. 8.
Bonn. 1843. 1 Tblr.

Gruber, Dr., die Formen- un)) l^aumgrössenlehre in der Volks-
und Fortbildungsschule, für Lebrer bearbeitet, gr. 8. Karlsruhe.
1843. 12 ggr.

Hablützel, J. G., Lehrer und Geometer, die Kiemente der Geo-
metrie j nebst einem geordneten Stufengange von 80 Aufgaben aus
der Constructions-, Verwandlungs- und Theilungslchre. Für Schu-
len und zum Privatunterricht. Nach einem neuen und erleichtern-
den Systeme bearbeitet, gr. 12. mit 33 lith. Tafeln. Schaifhausen.
1843. 16 ggr.

230

LeltUdtm bei dem ÜBterricbte io der Länren-, Flickes- oad
Edrperlebre, für VelkMcbalen bearbeitet ¥•■ r. L. Scbtae. Leip-
sif. 184J. 8 ggr.

Wiennd, Aw., Zweiter Corsa« der Pleiimetrie for Gymomsiee
«nd ReJiebiilen. Mit 2 Kovfertafelo. 8. Halle. 1843. 8 ggr.
(M. vergL Liter. Beriebt No. XIV. 8. 210.)

Dr. Georg Recht, Lebrer der Matbeiaatik oad Privatdoeent aa
der Universität MÜDcheo. Die Elenente der Geooietrie. ^. 8. mit
7 SteiDtafeln in qn. |Fol. München. 1844. 1| Thlr.

Samalnng Fon 120 Anfgabea aas dem Gebiete der Eleaientar-
geometrie mit ihren Auflösungen und Beweisen ohne Anwendung
der Proportionen, nebst einem Anhange von Forineln xnr Berech-
Bnng der Flächen und Körper, für Elementarklassen der Geome-
trie, sowie zum Selbstunterricht und zi^r Vorbereitung auf Prnfbn«
ffen, herajisgecreben von K. 8chnlz, Conrector xu Furstenwalde.
Mit 5 Knpfertaieln. 8. Leipzig. 1844. 8 ggr.

Die Aufgabensammlung von Götz s. unter Arithmetik.

Th^or^mes et problemes de g^ometrie ^l^roentaire, par H. Cb.
de la Fremoire. In -8. Paris. 1843. 6 fr.

Die Lehre von den Transversalen in ihrer Anwen-
dung auf die Planimetrie. Eine Erweiterung der Eukli-
dischen Geometrie von C. Adams, Lehrer der Mathema-
tik an der Gewerbscbule in Winterthur. Winterthur. 1843.
8. 1 Thlr. 12 ggr.

• Lehrer finden in dieser Schrift eine sehr deutliche und ziemlich
vollständige Zusammenstellung der Elementarsätze der Lehre von
den Transversalen, deren Aufnahme in den geometrischen Elemen-
tarunterricht jedenfalls sehr zu wünschen ist, worin wir dem Verf.
völlig beistimmen. Dass die wichtigsten Anwendungen der Lehre
von den Transversalen, insbesondere auf die Lehre vom Kreise, die
im vierten Abschnitte in ziemlicher VoUstäDdigkeit behandelt ist,
nicht fehlen, braucht wohl nicht erst besonders bemerkt zii werdeo.
Auf die Kegelschnitte bat der Verf. seine Untersiichuugen nicht aus-

Sedehnt, was aber wohl auch nicht in seinem Plane liegen konnte,
a sein nächster Zweck die Abfassung eines Elementarlehrbu-
ches war. Dagegen sind im fünften Abschnitte mehrere Anwen-
dungen der Lehre von den Transversalen auf die Auflösung ver-
schiedener zweckmässig gewählter Aufgaben der praktischen Geo-
metrie zusammengestellt. Schülern, welche einen Cur&us der ebenen
Geometrie durchgemacht haben, wird diese Schrift wegen ihrer
Deutlichkeit und Klarheit mit Nutzen für ihre weitere Aushilduog
zum eignen Studium in die Hände gegeben werden können.

Zwahr, J. G., die Quadratur des Zirkels auf ihre einfachen
Grundregeln zurückgeführt. 1 Tabelle und 1 Holzschnitt. Sprem-
berg. 1843. 8. 10 ggr.

Leitfaden für den ersten Unterricht in der descriptiven Geome-

231

trie von Dr, Berobard Gug^fer (aus dem grössern „Lefarbneh" etc.
des Verfadeeri ausgehobeo, vorzugsweise für den Gebrauch der Ge-
werbeschulen). Mit 2 KupfertVifeln. Nürnberg. 1844. 21 ggr.

Die KegelschniUe für den Gebrauch in Gymnasien und Real-
schulen, bearbeitet Ton K. U. Schellbach, Profess. der Mathematik
und Physik an Friedrich Wilhelms -Gymnasium in Berlin- 8. mit
7 Fignrentafeln. Berlin. ' 1843. I Thlr. 8 ggr.

Praktische Geometrie.

- Die Geometrie in ihrer Anwendung auf das Greworbe der Bau-
handwerker für Bau -Gewerbe- und Sonntagsschulen u. s. w., von
Dr. Burgheim. Minden und Leipzig. 1843. 8. 1 Thlr.

•

Jahn, Dr. G. A., Berechnungstafeln für den Inhalt vierkantiger,
walzen- und kegelförmiger Hölzer und für die Kostenpreise der-
selben, kl. 4. Leipzig. 1843. 1 Thlr.

Bergery, C. L. , G^om^trie des eourbes appliqu^es aux arts.
2 ^dit. In- 8. Paris. 1843. 6 fr.

Symon, Fr. T., Vorlagen zur praktisch -mathematischen Zeich-
nungslehre. Gründliche Anweisung zur Selbsterlernung und Cebung
' im geometrischen Zeichnen, als Vorbereitung zur topographischen,
Situations-, Fortifikations-, taktii^chen, Artillerie- und Maschinen-
Zeichnung für Geometer, Forstmänner, Regiments-, Gewerksschu- '
len und andere Erziehungs • Institute. 2 Hefte. München. 1843.
1 Thlr. 4 ggr.

Fuchs, Dr., lieber den Einfluss der Gestalt des Terrains auf die
Resultate barometrischer und trigonometrischer Höhenmessung, so
wie auf die Bestinimung der geographischen Lage eines Punktes
auf der Oberfläche der Erde. 8. Wien. 1843. 12 ggr. ^ ' .

Versuch einer neuen Methode zur Bestimmung der
Polhöhe bei geodätischen Messungen. Von Job. August
Grün er t. Leipzig. 1844. 8. 9 ggr.

Ich beabsichtige mit dieser kleinen Schrift dem Geodäten eine
Methode zur Bestimmung der Polböhe oder geographischea Breite
an die Hand zu g^beo, mittelst welcher er dieses wichtige Element
bloss mit Hülfe des Instruments, mit welchem er überhaupt alle
seine Messungen ausführt, aämlich des Azimutbaitheodoliten , also
aamentlich • ganz ohne Uhr , und zugleich ebne Voraussetzung
vieler astronomischen Kenntnisse und FertigkeiteD , z« bestimmen

232

im Stande ist. Die Fehler dieser Methode sind in der Schrift einer
sorgfältigen analytischen Untersuchung unterworfen worden. Vor«
ziigiich wünsche ich, dass diese Methode vielleicht Veranlassmg
geben möge, dass künftig öfter als bisher auch mit kleinem prak-
tischen Messungen Polböbenbestimmungen verbunden werden, wo-
durch, wie es mir scheint, der Geographie mancher dankenswerthe,
wenn auch allerdings hin und wieder noch spätere Beriehtigungen
bedürfende Beitrag geliefert werden kann. G.

Trigonometrie.

Mazure & Bellinault, Tables trigonom^triques, donnant ponr
touä les angles du quart de cercle calcul^s de cinq roinutes cent^i*
males et appliques a toutes les hypot^ouses posbibles, les sinns,
Cosinus ou segmens des bus^s avec des d^cimales etc. In -8. Hont*
mirail. 1843. 6 fr.

Mechanik.

Treatise on Mechanics, by S. D. Poisson. Translated froti tbe
Prencb, and elucidated with Explanatory Notes by the Rev. H. U.
Harte. 2 vols. 8. with 8 Plates. cloth. London. 1843. 28 s.

Praktische Mechanik.

Poppe, Dr. Job. Heinr. Mor. v., Hofrath und Prof. zu Tübinges,
die praktische Mechanik und Maschinenlehre unserer Zeit; ein fass-
lich dargestelltes Lehr-, Lese- und Hülfsbuch zum Nutzen und Ver-
gnügen für alle Stände. Mit 190 Abbildungen auf 24 Taf. 2.-4.
Lief gr. 8. Zürich. 1843. 1 Thir. 18 ggr. (M. vergl. Literar.
Bericht. No. XIV. S. 215.)

Bresson, Carl, Lehrbuch der Mechanik in ihrer Anwendung auf
die physischen Wissenschaften, die Künste und Gewerbe. Aus den ^
Pranz. 3. — 5. Lief. gr. 4. Nebst lith. Tafeln in {-Pol. I^itixig.
1843. ä Lief. 12 ggr. M. vergl. Literar. Ber. No. X. S. 159.

233

Haindl, S., die MascIiiDeokunde und MascbineDzeicIibung'. 4 Lief.
(Schluss). Text gr. 4. mit Tafeln in Fol. Münciien. 1843. 5 Thir.
^ ggr* (M. vergl. Liter. Uericht. No. 111. S. 57.)

Demme, A. V., der praktische Maschinenbauer. 14. u. 15. Lie-
ferung. 8. Mit 50 Tafeln Abbildungen in | Folio. Quedlinburg.
1843. 4 Thlr. W ggr. (M. vergl. Liter. Ber. No. XIV. S. 215.)

Tuffe, A., Application de ia m^canique aux machines le plus en
usage, mues par reau, Ia vupeur, le veut et los animaux, et a di-
verses constructioDi. 3 ^dit. 8. Paris. 1843. 10 fr.

Hoffmann, Ludw , Baumeister in BerKn, die Sägemühle mit den
neuesten Gonstructioneri , in den Hauptansichten , ProGlen und ein-
zelnen Theilen nach dem Maasstabe gezeichnet und beschrieben.
Folio. Leipzig. 1843. Ij. Thlr.

Das Eisenbahnwesen, oder Abbildungen und Beschreibungen
von den vorzüglichsten Dampf-, Munitions-, Transport- und Per-
sonenwagen, von Schienen, Stühlen, Drehscheiben, Ausweich - oder
Radlenkschienen und sonstigen Vorrichtungen und Maschinen, die
auf den Eisenbahnen Englands, Deutschlands, Frankreichs, Belgiens
in Anwendung stehen. Auf Veranlassung des köuigl. franz. Mini-
sterium« des Handels und der Öffentlichen Arbeiten kerausgegeben
von Armengaud d. A. , Ingenieur und Professor am Conservatorium
der Künste und Gewerbe, und von C. Armengaud, Zeichner und
Prof. des Maschinenwesens. 6te Lieferung oder Is Supplementheft.
In Folio. Weimar. 1843. 2 Thlr.

Stabe! : Die rollende Kugel. Ein Bewegungssystem als Versuch
zu einer theilweisen Ersparung der Dumptkrait. Deutsch u. fran-
zösisch. Mit 1 lithogr. Tafel. Brunn. 1843. 11 ggr.

Optik.

Geschichte der Optik, vom Ursprünge dieser Wis-
senschaft bis auf die gegenwärtige Zeit, von Dr. Emil
Wilde, Prof. der Mathem. und Physik am Berlinischen
Gymnasium zum grauen Kloster. Zweiter Theil. Von
Newton bis Eni er. Berlin. 1843. 8. 2 Thlr. 8 ggr.

Der vorliegende zweite Theil dieses Werks, welches wir gleich
bei dem Erscheinen des ersten Theils aU ein sehr verdienstliches
unternehmen begrüsst haben, umfasst, wie auch der Titel angiebt,
den Zeitraum von Newton bis Euler, und schildert insbesondere auf
eine sehr ansprechende Weise die Verdienste, welche sich Newton,
Uuygens, Mariotte, Boaguer und Lambert — die letzteren beiden
vorzüglich in Bezug auf Photometrie — um die optischen Wissenschaf-
ten erworben haben, wobei überall von dem Verfasser selbststäudig

234

bearbeitete Aatioge aus den Werken dieser berüboiteD Mäoner mit-
getbeilt werdeo, welches besonders sehr verdieDstlicb ist, weil man
auf diese Weise eine sehr deutliche Anschauung von deren wich-
tiffsten Entdeckungen gewinnt, und das vorliegende Werk in ge-
wisser Rücksicht zugleich den Charakter eines, ziemlicb vollständi-
gen I^hrbuchs der Optik annimmt. Gegen Göthe hat der Verfasser,
wie es Recht war, Newton kräftig in Schutz genommen. Bei Uuj-
gens unterwirft der Verfasser in diesem Theile bloss dessen Ver-
dienste um die doppelte Brechung, die Undolationstheorie und die
meteorologische Optik einer austührlichern Betrachtung, ohne der
' ,,Pioptrica'\ welche nach unserer Ueberzeugung auch in geo-
metrischer Rücksicht jetzt immer noch sorgfältig studirt zu werden
verdient und der „Commentarii de formandis poliendisque
vitris ad telescopia'' irgendwo Erwähnung zu thuo, auch nicht
unter den biographischen Notizen. . Leider ist uns der erste Theü
des vorliegenden Werks in diesem Augenblicke nicht zur Uand, so
dass wir nicht nachsehen können, was der Verfasser etwa dort über
die genannten Werke des bßrühmten holländischen Geometers ge-
sagt hat. Der Schluss dieses zweiten Tbeils handelt von den phos-
phorescirenden Körpern. Wir empfehlen diese Geschichte der Optik
•wiederholt insbesondere allen denen, welche den Gebrauch einer
grossem Bibliothek entbehren müssen, und sich, ohne auf die Quel-
len selbst zurückzugehen, eine hinreichende Kenntniss von der Aas-
bHdung, welche dieser wichtige und so höchst interessante Theil der
Mathematik und Physik nach und nach erhalten hat, verschaffen
wollen, und sehen deren weiteren Fortsetzung mit Verlangen ent-
gegen.

Die Gesetze der Doppelbrechung des Lichts in com-
primirten oder ungleichförmig erwärmten unkrystalli-
nischen Körpern, Eine am 8. November 1841 in der kö-
niglichen Akademie der Wissenschaften zu Berlin ge-
lesene Abhandlung von F. E. Neumann, Prof. der Physik
zu Königsberg. Berlin. 1843. 4. 2 Thlr. 8 ggr.

Der wesentliche Inhalt dieser wichtigen Schrift lässt sich hier
nur ganz in der Kürze angeben. Dieselbe zerfällt in drei Abschnitte.
In dem ersten Abschnitte beschäftigt sich der Verf. mit dem Gesetze
der Doppelbrechung des Lichts in gleich^förmig dilatirten oder
comprimirten unkrystallinischen Körpern, wobei er die Dilation
(oder Contraktion) eines Körpers dann gleichförmig nennt, wenn
dieselbe an jeder Stelle desselben sowohl in Beziehung auf Rich-
tung als Grösse gleich ist, wiewohl sie in den verschiedenen Rich-
tungen verschieden ist. Im zweiten Abschnitte werden die allge-
meinen Formeln für die Farben- Erscheinungen entwickelt, welche
ein ungleichförmig dilatirter Körper unter den bekannten Be-
dingungen im polarisirten Lichte zeigt. Diese beiden Abschnitte
bilden die Grundlage des dritten Abschnitts, in welchem der Terf.
die Theorie der Farben entwickelt, welche in durchsichtigen un-
krystallinischen Körpern im polarisirten Lichte aus der ungleichen
Temperatur- Vertheilung entstehen.

Lectures on Polarised Light, delivered before the Pharmacea-
tical Society of Great Britein, and in the Medical School of the
London « Hospital. By Jonathan Pereira. 8., illustrated by above
50 woodcuts. cloth. London. 1843. 5 sh. 6 d.

235

A Manaal of Perspective; being a Familiär Bxplaoalioii of the
Science, iDcludiDp^ the Rules nece^sarj for tbe correct Representa-
tioD ofObjects. tlie Principlea ot Shadows, Reflections in Water etc.
B. J. Wood. JuD. 2 edir. with additions, royai 8. 7 platei. ci.
London. 1843. 4 sh. 6 d.

Astronomie.

Himmel und Erde, besclirieben und im Modell dargestellt vob
F. G. L. Gressler. Vierte Aufl. I^ngensalza. 18421 8. 8 ggr.

Des Herausgebers Schrift über eine neue Methode cur Bestim-
mung der Polhöhe oder geographischen Breite bei praktischen Mes-
sungen s. m. unter Praktische Geometrie.

De differentia meridianorum ex observatis fixarum occulta-
tionibus determinanda dissertatio. P. P. Christianus Fr. Lindinan,
Phil. Mag.; Resp. Andreas Wiemer. Upsaliae. 4. 1 Tafel.

Ad Theoriam Cometarum Additamenta. P. P. Andr. Jon. Ang-
ström, Phjs. Kxper. Doc. ad Obs. Astron. Holm. Adj.; Respp. Daniel
Uaquinus Forssherg, Andreas Nordenstam et Abrahumus Neus^n.
Upsaliae. 4.' 1843.

Die Elemente der Mechanik des Himmelt, auf neuem
Wege ohne Hülfe höherer Rechnungsarten dargestellt
von August Ferdinand Möbiiis, Prot, der Astronomie su
Leipzig u. s. w. Leipzig. 1843. 8. 2 Thir.

lieber diese Schrift, welche wir mit K.e8onderer Freude begrüsst
haben, glauben wir den Lesern des Archivs am besten mit den fol-
genden eignen Worten des Verfasser« einen kurzen Bericht erstat-
ten zu können. ,,Die vorliegende Schrift bat die ftirtschreitende
Bewegung der Himmelskörper und die Kräfte^ durch welche diese
Bewegung erzeugt wird, zu ihrem Gegenstände, und behandelt
somit den durch Newton begründeten und von den vorzüglichsten
Mathematikern und Astronomen der spätem Zeit bis in das feinste
Detail aus}i:ebildcten Theil der Naturforschung. Gewiss war es je*
derzeit vielen Freunden der Astronomie und der Naturwissenschaf-
ten wünschenswerth, nicht bloss die höchst interessanten Resultate
dieser Untersuchungen, sondern auch ihren Innern Zusammenhang
und ihre Entwicklung ans den ersten Principien, und diese Ent-
wickelung nicht bloss durch eine übersichtliche Erläuterung, son-
dern streng mathematisch begründet, kennen zu lernen. Allein nur
Wenigen unter ihnen war es möglich, diesen Wunsch zu befriedi-
gen, weil das Studium der Werke, in denen die gedachten For.
■chungen niedergelegt sind, nicht wenig Zeit und beträcbtliGhe
Vorkenntnisse aus der höheren Anaijsis erfordert. Ich glaube da*

236

her vielen einen angenehmen Dienst zu erweisen, wenn ich ihnen
in dieser Schrift einen Weg zeige, auf welchem sie, ohne andere
Kenntnisse, als die, welche schon auf den Schulen erlernt werden,
zn hesitzen, mit den Geheimnissen der plonetarischen Bewegungen
■ich in Kurzem vertraut machen können.

Die Schrift zerfällt in vier Abschnitte.

Der erste enthält die zum Verständnisse des Folgenden erfor-
derlichen Lehren der Djnamik, und dürfte sich von den hisherigCD
Darstellungrsweisen dieser Wissenschaft besonders dadurch unter-
scheiden, duss ich mehr als gewönlich nach Veraoschaulichung der
Begriffe und Sätze mit Hülfe einfacher geometrischer Betrachtungen
gestrebt habe; und nächstdem dadurch, duss ich die in der Dyna-
mik unentbehrlichen Elemente der Differentialrechnung so weit, als
es für den nächsten Zweck nöthig war, aus dem Begriffe der Be-
wegung selbst erst entwickelt und sie demgemäss als eine Rechnung
mit den (Geschwindigkeiten hingestellt habe, mit denen sich von der
Zeit abhängige Grössen ändern. Bei dieser Darstellung der Dyna-
mik spielt besonders die gleich zu Anfange behandelte Lehre von
der Zusammensetzung gerader Linien eine wichtige Rolle. Weil
Geschwindigkeiten und Kräfte ihrer Richtung und Grosse nach als
gerade Linien sich darstellen lassen , so ist mit der Zusammen-
setzung gerader Linien zugleich die von Ge/schwindigkeiten und
Kräften erklärt; auch die Zusammensetzung irgend welcher Bewe-
gungen von l^unkten wird sfehr einfach auf^die von geraden Linien
zurückgeführt; spätfirhin wird auf dieselbe I^hre die Theorie des
Schwerpunktes gegründet, und endlich wird eben daraus noch die
Zusammensetzung ebener Flächen abgeleitet.

Als Vorbereitung zu der Lehre von der Planetenhewegung habe
ich am Ende des ersten Abschnittes die — obwohl nur dem Scheine
nach — in der Astronomie veraltete und verachtete Theorie der
Bpicyklen wieder ins Leben gerufen, und, wie ich* gl ȟbe, nicht
ohne guten Erfolg.

Im zweiten Abschnitte werden die im ersten entwickelten Grund-
lehren der Dynamik auf den nach Kepler's Gesetzen geregelten
Lauf der Planeten um die Spnne und der Nebenplaneten um ihre
Hauptplaneten angewendet und die Kräfte bestimmt, durch welche
diese Bewegungen hervorgebracht werden. Das Newton'sche Ge-
setz der allgemeinen Anziehung ist das endliche Resultat dieser
Untersuchung. Den Beschluss dieses Abschnitts bilden die drei für

1'edes System sich anziehender oder abstossender Körper geltenden
*rincipien der Erhaltung des Schwerpunkts, der Flächen und der
lebendigen Kräfte.

Die noch folgenden zwei Abschnitte enthalten den interessan-
testen Theil der physischen Astronomie, die Theorie der Störungen
oder der kleinen von den Kepler'schen Gesetzen sich zeigenden und
dadurch erklärbaren Abweichuiiufen, dass jeder Planet nicht bloss
von der Sonne und jeder Trabant nicht bloss von seinem Haupt-
planeten, sondern zugleich von alten übrigen Körpern des Systems
angezogen wird. Im vierten Abschnitte werden die von den ersten
Potenzen der störenden Masse, der Exceniricitäten und der Neigung
abhängigen Störungen, welche die Planeten auf einander ausüben,
ganz auf dieselbe Art, wie die Störungen des Mondes durch die
Sonne, entwickelt, nur dass ich hier nicht länger Anstand genom-

237

f

meD habe, von der DifferentinlrechDung in ihrer gewöhnlichen Form
Gehrauch in machen.

In einem Anhange sind zwei Aufsätze üher das Theorem L#a-
grange's von der Unveränderlichkeit der grossen Axen und üher
die Berechnung der sogenannten speziellen Störungen hinzugefügt
worden."

Gewiss wird bliese in vielen Beziehungen ausgezeichnete Schrift
zur weitem Verbreitung der Lehren der physischen Astronomie we-
sentlich beitragen.

* L. de Gerin -Roze: Manuel du navigateur anglais - fran^ais , en
5 parties. Paris. 1843. 12 fr. .

Physik.

Frick, Dr. J., Prof. der Naturlehre zu Freiburg, Anfangsgründe
der Naturlehre. Freiburg. 1843. 8. i Thir.

Die Experimental -Physik. Zum Selbstunterrichte für Gebildete
und zum Gebrauche in Real- und polytechnischen Schulen. Nach
der dritten Auflage des Französischen' des J. Marcet, Prof. jBin der
Akademie zu Genf, übersetzt von G. Kissling, Professor, Lehrer der
mathematischen und physikalischen Wissenschaften und der neueren
Sprachen. Mit 6 Tafeln Figuren. Lief. 5. 6. gr. 8. Ludwigsburg.
1843. 12 gr. (M. vgl. Liter. Bericht. No. XIH. S. 206.)

Anfangsgründe der Physik. Vom Prof. A. v. Ettingi-
hausen, blrste Lieferung. Preis des ganzen Werkes
3 Thlr. 8 g^r.

Wenngleich nur erst die erste Lieferung dieses neuen Lebjr-
buchs der Physik uns vorliegt^ so glauben wir docb die Leser des
Archivs schon jetzt auf dasselbe aufmerksam machen zu müssen,
insbesondere wegen der grossen Gründlichkeit, mit welcher es
auffenscheinlicb bearbeitet ist, so dass kein Satz, wie dies wohl in
vielen andern physikalischen Lehrbüchern geschieht, ohne Beweis
hingestellt wird, wobei der Verf. natürlich einen fortwährenden,
jedoch sich nirgends über die gewöhnlichen Elemente ersteckenden
Gebrauch von den Lehren dejr Mathematik machen musste, was je«
denfalls im höchsten Grade zu loben ist^ weil nur auf diese Weise
eine Darstellung der Physik möglich wird, die mit Recht auf den
Namen einer streng wissenschaftlichen Anspruch machen kann,
wenn auch, wie dies hei dieser bloss die elementaren Lehren der
Mathematik in Anspruch nehmenden Art des Vortrags nicht anders
sein kann, allerdings manche Sätze für's Erste nur in annäherungs-
weiser Richtigkeit aufgestellt werden können. Dass aber neben
dieser mehr mathematischen Seite des vorliegenden Werks auch
die rein physikalischen Lehren keineswegs in den Schatten gestellt

238

worden sind und werden sollen^ zeigen schon die drei ersten Haupt-
stücke, welche die GiUndlehren der Chemie, iosbesoodere aach der
Stdcbiometrie enthalten, mit hinreichender Deatlichkeit. 'Zugleich
erweckt dieses Wei^k einen sehr vortheilhafteo Begriff von der ma-
thematischen Vorbildung der Zuhörer des Verfassers. Auf vielen
andern deutschen Universitäten würde man freilich sehr bald nur.
lf*ere Bänke vor äich sehen, wenn man seinen Vortrag streng as
ein solches Lehrbuch wie das vorliegende anscIiUessen wollte. Je-
denfalls ist übrigens, wie es uns wenigstens immer geschienen hat,
bei dem Vortrage der Physik der Gymnasiallehrer gegen den Uni-
versitätslehrer im Vortheil, weil ersterer eine bis zu einem bestimm-
ten Grade gehende mathematische Vorbildung seiner Schüler voraus-
setzen und verlangen kann, wenn auch freilich hiebei immer noch
einige nicht leicht zu beseitigende Hindernisse übrig bleiben *).
Desdalb sollte aber auch der physikalische Unterricht auf Gymna-
sien und ähnlichen höheren Lehranstalten, ohne die rein physikali-
sche Seite zu vernachlässigen, immer vorzugsweise die mathemati-
sche hervorzuheben sich angelegen' sein lassen, aus welchem Grunde
wir denn das vorliegende Werk der Aufmerksamkeit der Lehrer
an den genannten Lehranstalten glauben empfehlen zu dürfen.

Grundzüge der Experimentalphysik, mit Rücksicht
auf Chemie und Pharmapie, zum Gebrauche bei Vorle-
sungen und zum Selbstunterrichte.' Von Dr. H. Buff,
Professor an der Universität zu Giessen. Mit zahlrei-
chen Holzschnitten und ausgeführten Tafeln. 1. Lief.
8. Heidelberg. 1843. 16 ggr.

Dieses Buch hebt, so weit sich aus dem, bis jetzt vorliegenden
ersten Hefte urtheilen lässt, mehr die experimentelle als dre mathe-
matische Seite der Physik heraus, scheint aber seinem auf dem Ti-
tel angegebenen speciellen Zwecke recht wohl zu entsprechen. Es
ist deutlich verfasst und gute Holzschnitte und Figurentafeln die-
nen zur Erläuterung. Aucli die am Ende beigefügten Tafeln zum
Gebrauche des Physikers und Chemikers sind empfehlenswert h.

Stein, Trait^ öl^mentaire de physique h la port^ des enfants,
seeonde ^ition revue, corrig^e et augment^e de notions sur Pouie
et sur la daguerr^typie. in -18. Bruxelles. 1843. 12 g^r.

Leetures on the Principles and.Practice of Physic, deliTered at
King's College. By Thomas Vl^atson, M. D. Fellow of the Royal
College of Physicians. 2- vols. 8. clotb. London. 1843. 34s.

Fizyka. Physik von Jozef Zochowski. Warsehaa.
1842. i Tbte. Soll ein sehr wertkvoUes Buch sein.

Memoire sur les ph^nomenes que präsente une nasse
liquide libre et soustraife a l'action de la pesantenr,
nar J. Plateau, Professeur a l'universit^ de Gand etc.
rremiere partie. (Extrait du Tome XVf. des m^noires
de TAcademie royale de Brnxelles.) 4.

Eine sehr lesenswerthe, viele schöne nur einfache Apparate, die

^) M. s. Literarischer Bericht. Now ¥11. S. 112.

239

sieh eiD Jeder leielit wird zoBomiiieiiitellen lassen köDDeD, erfor*
derDde Experimente enthaltende Schrift, die wir d^r Aufmerksam-
keit der Physiker empfehlen.

Grandvoinet, J. A., Esquiste d'nne th^orie des ph^nom^nes
magndtiques. Paris. 1843.

A Course of twelve Elementarj Lectares on Galvanism; illu-
strated with upwards of 100 eogravings of Exneriments and Appa-
ratus. Bg. W. Sturgeoo. 12mo. cloth. London. 1843. 5 sh.

Walker, Manipulation dlectrotypique, ou trait^ de galvanopla-
stie. 2e ^dit. 1& Paris. 1843. 15 ggr.

Praktische Anweisung zum Daguerreotjpiren zur Erzeugung
schön colorirter Lichtbilder nach den lAuesten Methoden. Mit Be-
sehreihung und Abhildnng der dazu gehörigen Apparate. Nehst
Andeutungen über gaUanoplastische Versuche im Bereiche der I)a-
ffuerreofjpie. 2te verhesserte und vermehrte Auflage, gr. 16. nebst
S lith. Tafeln in 4. Leipzig. 1843. 13 ggr. •

^ A Treatise on Photographj; containing the latest Discoveries
and Improvements appertaining to the Daguerr^tvpe. Bj N. P.
Lerehours, Optician to the Observatorr. Paris etc. Trnnrlated from
the French by Bgerton. Post 8. with Plate. London. 1843. 7 s.
Od.

Trait^ de cristaliographie, par W« H. Milier, tmduit de Fanglais
par H. de ^ienarmont, Ingenieur des Mines. 1 vol. 8. Paris. 1842.
avec 12 plancbes. 5 fr.

Conrs eoroplet de m^t^rologie de I^ F. Kaemtz, traduit et an-
not^ par Ch. Martins, avec un appenüice contenantla repr^sentation
grapbique des tableauz nnm^riques, par L. Laianne. Mit 10 Tafeln,
gr. 12. Paris. 1843. 8 fr. « ^

Magnetische und meteorologische Beobachtungen su Prag, in
Verbindung mit mehreren Mitarbeitern ausgeführt und auf öffentl.
Kosten herausgegeben von Karl Kreil, Adjunct an der k. k. Stern-
warte. 3ter Jahrg. vom 1. Au{i;u8t 1841 bis 31. Juli 1842. gr. 4.
nebst 2 lith. Tafeln in Fol. Prag. 1843. 3 Thlr. 4 ggr. (M. s.-
Liter. Bericht. No. X. S. 164.)

Lehrbuch der physikalischen Geographie und Geologie von B.
Stnder, Prof. in Bern. 1 Cap., enthakend: Die Erde im Verhältniss
zur Schwere. Mit eingedruckten Abbildungen und 4 lith. Tafeln,
gr. 8. Bern. 1843. 2 Thlr. 21 ggr.

Nowak, Dr. AI. Fr. P. Die Lehre vom tellarisehen Dampfe und
von der Circulation des Wassers unserer Erde. — Ein Schritt vor-
wärts in der Erkenntniss unseres Planeten. Mit einer lith. Tafel,
gr. 8. Prag. 1843. 2 thlr.

Wunderbfichlein , oder enthüllte Geheimnisse aus dem Gebiete

240

der Sympathie, Naturlebre und natürlichen Maffie» Mathematik, Ge-
werluikuode, Haus- und Landwirtbsobaft. 3te Aufl. 12. Ulm. 1843.

Vermischte Schriften.

Transactions of the Royal Irish Academy. Vol. XIX. part 1
sect. ,, Science". Tho. Romney RobiDson on the Constaqt of Re-
fraction , determined by Observatioos witb the Mural Circle of the
Armagh Observatory. — Humpbrey Lloyd Supplement to a Paper „ob
tbe mutual Action of Permanent Magnets , considered cbieflj in re-
ference to their best relative position in an Observatory'^ — George
J. Kdox Supplementary Researches i^n the Direction and Olode of
Propagatioo of the Electric Force, and on the Source ot 'Electric
Development. — Sir Will. Rowan Hamilton : On Fluctuating. —
Derselbe: On Bqnation of the Fifth Degree ; and especially on a cer-
.tain System of Expression connected with those Equations, which
Prof. Badano has lately proposed. Tb. Andrews: Oo tbe Heat, de-
velopped during the (Kombination of Acids and Bases. — Sir D.
Brewster: On tbe Compensation of Polarized Light, with the De«
scription of a Polarimeter for Measuring Degrees of Polariziltion. —
Tb. Andrews: On tbe Beat, developped during the Formation «fthe
Metallic Compounds of Chiorlne, Bromine and Jodiner

Le opere di Galileo Galilei. Prima edizione completa condotta
sueli autentici manoscritti palatini. Firenze. 1843. 8. Tomo I. e II.

Diese beiden Bände enthalten : 1. Dialogo intorno ai doe aus-
simi sistemi del mondo, ptolemaico e coperuicano. — ll.'Lettere
intorno al sistema coperuicano. Esercitazioni lilosofiche di d. Ant.
Rocco contro il dialogo dei mass. sistemi. — Postille di Galilei alle
Bsercitazioni del Rocco. — Diseorso di Lodov. Delle Colombe cod*
tro il moto della terra. — ^ Postille di Galilei al Diseorso di Lodov.
Delle Colombe. *— Diseorso a mons. Gino intorno al flnsso e re-
flusso. (M. vergl. Liter. Bericht. No. Xiil. S. 208.)

Physikalische Abhandlungen der königl. Akademie der Wissen-
schaften zu Berlin. Aus dem Jahre 1843. Berlin. 1843. 4. 4Thlr.
^^ f^f^^" — Magnus, Ueber die Ausdehnung der Gase durch die
Wärme, mit 1 Kupfertafel. — Dove, Ueber Induction durch electro«
magnetisches Eisen. (Auszug aus verschiedenen, in den Jahren
1838, 1839, 1841 und 1842 gelesenen Abhandlungen.) Mit 1 Kupfer-
tafel. — Weiss, Ueber das Krystallsystem des Euklases. Mit eineB
Kupfer.

XTI.

Literarischer Bericht.

Arithmetik.

Behtt-eddin's Essenz der RechenkunsL Arabisoh
«od deutsch heraasgegebeD von Dr. G. U. F. NesselmaDD.
Berlin. 1843. 8. 20 ggr.

Der Herensgeber sagt in der Vorrede: „Beha-eddin lebte in
der spätesten Bliithe der arabischen Cultnr, sein Werk ist gewis-
sermaassen der letzte Blick ^ den ein Scheidender auf den Glanz
früherer Jahre zurückwirft, um davon dem Gedächtnisse noch zu
erbalten, was sieb retten lässt. Insofern ist gegenwärtiges Werk-
chen interessant« für die Geschichte der Mathematik, und bildet ein
zweckdienliches Seitenstück zu ^er von Friedrich Rosen heraus«
gegebenen Algebra des Mohammed ben Musa; wenn uns
nämlich der letztgenannte Mathematiker die Algebra der Araber in
den ältesten Zeiten der Literatur dieses Volkes vor die Augen fuhrt,
so zeigt uns Beba-eddln's Werk,~was dieses Volk in dem Zeit-
räume von achthundert Jahren aus dieser seiner Pflegebefohlenen
gBmacht hat; wir haben in beiden Werken den Anfang und das
nde der arabischen Algebra vor Augen."

Lehrbuch der allgemeinen Arithmetik. Zum Ge-
brauch für Gymnaiien und höhere Bürgerschulen. Von
Dr. J. Fiedler, Lehrer am königl. kathol. Gymnasium zu
Leobscbütz. Breslau. 1843. 8. l Thlr.

Dieses deutlich geschriebene, ziemlich vollständige, mit einer
grossen Anzahl von Beispielen versehene Lehrbuch enthält auch
manche literarische und historische Notizen.'

Tafeln der sechsstelligen Logarithmen für die Zah-
len von 1 bis 100000, für die Sinus und Tangenten von
Sekunde zu Sekunde des ersten Grades, und für die Si-
nns, Cosinus, Tangenten und C'otangenten von 3 zu
3 Sekunden aller Grade des Quadranten. Entworfen von
Gustav Adolph Jahn. Zwei Theile. Leipzig. 1844. 4.

Band lY. ^^

242

Was diese Tafeln leisten giebt ihr Titel vollständig an. Der
Preis von 1 Tbir. 4 ggr. für beide Tbeile ist nngeacbtet des etwas
grauen, aber ziemlicb starken Papiers, docb sebr massig gestellt.

' Kulik, Dr. Jak. Pbil. : Lebrbucb der bÖb«r€n Analysis. 2te
durcbaus umgearbeitete Auflage. 2. Bd. Die Integralrechnung und
die analytiscbe Geometrie. ' gr. 8. I^it 5 Steintafeln in gr. 4. Prag.
1844. 1 Tbir. 16 ggr.

Sammlung ausgewäblter allgemeiner Formeln, Bei-
spiele und Aufgaben aus der DiTferenzialrechnung und
deren Anwendung auf G^.ometri«. Eiii Hfilfsiiuch fär
Lebrer und SciiüTer an hfiberdn Dotiiiricli^tMmstalteD.
Herausgegeben *von Dr. C. U. Schnuse. Mit einer Figu-
ren tnfcl. Braunscbweig. 1844. 8.

Die vorliegende erste Lieferung (Preis 16 ggr. Das Ganze
soll aus zwei Lieferungen besteben) dieser Beispielsammlung «enthält
Aufgaben zu folgenden Kapiteln der Diflercnzialrecbnung und deren
Anwendung. 1. Diflerenzlrung algebraischer Functionen. ^. All-
gemeine Formeln ( welche fibrigens fiir alle Arten von Functionen,
nicht bloss für die algebraischen, gelten). ^. Wirklich berechnete
Beispiele. C. Uebungsbeispiele. IL Differenzirung exponentieller
und logarithmischer Functionen. Jl. Allgemeine Formeln. J9. Wirk-
lich berechnete Beispiele. C. Uebungsbeispiele. DI. Differentirnng
trigonometrischer Functionen. ^. Allgemeine Formeln. JS, Wirk-
lich berechnete Beispiele. C. Uebungsbeispiele. IV; - Successive
Dift'erenzirungen. V. Elimination der Constanten, der irrationalen
und trnnscendenten Functionen, jä^ »Wirklich berechnete Beispiele.
ß, Uebungsbeispiele. VI. Entwickelung der Functionen io Reihen.
^, Allgemeine. Formeln (Taylorsche und Maclaurinsche Foraiel).
B, Wirklich berechnete Beispiele. V, Uebungsbeispiele. VIL Ver-
tauschung der unabhängigen Veränderlichen. ^. Allgemeine For-
meln. B, Wirklich berechnete Betspiele. C Uebungsbeispiele.
VJIl. Bestimmung des wahren Werthes der Functionen, welche id-
ter einer unbestimmten Form erscheinen. ^. Allgemeine Formeln.
i?. Wirklich berechnete Beispiele. C. Uebungsbeispiele. IX. Ueber
die Maxima und Minima der Functionen mit einer unabhängigen
Veränderlichen. ^, Wirklich berechnete Beispiele. B, Uebungs-
beispiele. X. Tangenten. XI. Normalen. XIL Asymptoten. XlH*
Sinn oder Richtung der Krümmung. XIV. Krümmungskreis. XV.
Evoluten und Evolventen. Dieser ganze geometrische Theil ist in
zwei Abtheilungen, nämlich j4. Wirklich betechnete Aufgaben nid
B, Uebungsaufgaben get heilt. > i -

Hiernach werden die Leser des Archivs sich selbst ein Urtheil
über Umfang und Anordnung dieser Aufgabensamminng, so weit
dieselbe in der ersten Lieferung jetzt vorliegt, 'bilden k/önnen. Be-
sondere Eigcnthümlichkeiten hat dieselbe durchaus nicht; dessen aa-
geachtet glauben wir dieselbe immerhin Lehrern der Differenzial-
rechnung zum Gebrauch empfehlen zu köntfen, weil man Bücher
dieser Art beim Unterrichte eigentlich nicht genog haben kan&, und
das vorliegenvlc einen ziemlichen Reichthum im Ganzen zweckmässig
gewählter Aufgaben, namentlich aucfh in dem geometrischen Tbeile
enthält. Wan wir freilich in derselben gesucht haben, und manche
andere Lebrer der Dilferenzialrechnuno- ^ in- ihr auchen wer-

243

den, haben wir leider nicht ffefundeD. Wir suchten nämlich nach
eiuer recht grossen Anzahl von Beispielen für die Bestimmung
des Res-tes der Tajlor'schen uod Maclaurin 'sehen Reihe, fanden
aber nicht ein einxiges, ja nicht einmal eine Erwähnung dieses
höchst wichtigen Gegenstandes, und eben so wenig natürlich die
allgemeinen; diese Bestimmung bezweckeodeq Formeln. Der Ver-
fasser hat also diese Seite in der neuem Gestaltung der Theorie
der Differenzialrechnung ganz unberücksichtigt gelassen, was je-
denfalls sehr ladelnswerth ist, und wie noth wendig und wichtig es
ist, die Schüler in der Bestimmung der Reste der neiden genannten
Reihen so vielfach wie möglich zu üben, werden gewiss wahrhaft
grünitiiche Lehrer der Diirerenzialrechuung schon häulig mit uns
gefühlt haben. Durch Aufnahme recht vieler sorgfältig gewählter
and zum Theil wenigstens vollständig entwickelter Beispiele von
der erwähnten Art würde der Verfasser einem wesentlichen Uifedürf-
nisse abgeholfen, seinem Buche einen bleibenden Werth gegeben,
and einen Vorzug vor allen bereits erschienenen Schriften ähnlicher
Art gesichert haben.

Geometrie.

Vincent, A. J. H.: Cours de g^om^trie ^Umentaire; revu con-
jointement par Touteur et par Bourdon. Onvrage adopt^ par l'uni*
versitz. 5« Edition. Paris. 1843. 7 fr.

Sonnet, H.: G^omölrio th^rique et pratique. 2« Edition. Pa-
ris. 1843. 5 fr.

Sammlung von Beispielen ans der praktischen Ste-
reometrie für Real« und Sonntagsgewerbschulen. Von
Johann Leonbard Wünsch. Nördlingen. 1844. 8. 6 ggr.

Enthält ausser einer Sammlung stereometrischer Formeln 335,
and in einem Anhange noch 166 Aufgaben ohne Auflösungen.

Cours de G^om^trie- descriptive. Premiere Partie.
Da point, de la droite et du plan. Par M. Theodore Oli-
vier. Paris. 1844. 4. Avec Atlas 6 Tblr.

Der Bweite Theil dieses sehr vollständigen, alle Empfehlung zu
verdienea scheinenden Lehrbuchs wird. '<lie krummen Linien und
Flächen enthalten.

flamilton, H. P.t An Analjtical Svstem of Conic Seotions, de-
signed for the use of Students. 5th edition. 8vo. Cambridge.
\m. 10 sh. 6 d.

Versvch einer Erweiterung der analytischen Geome-
trie auf Grandlage eines neu einzuführenden Algorith-
mus. Von Christian Doppler. (Aus den Abhandlungen

244

der Köoigl. Bohnisciieii 6e«ellt«liftft der Wissenscbttf-
ten.) Prag. 1843. *• ^ .

Die Anzeige dieser jedenfalls sehr tu beacbtenden Schrift, wel*
che als eine weitere Ausführung des früher von demselbeB Hern
Verfasser herausgegebenen Versuchs einer analytisoh-en Be-
handlung beliebig begrenzter und zusammengesetEter
Linien, rlächen und Körper, nebst einer Anwendong
daven auf verschiedene Probleme der Geometrie de-
scriptive und Perspective. Prag. 1839. 4. betrachtet wer*
den kann, ist durch zufällige Umstände verspätet vrordeo.

Der eigentlichen Hauptgedanken, sagt der Verf. in der Vo^
rede, die sich durch das g^nze vorliegende Werk in Innigster Ver-
knüpfung durchziehen, und die gleichsam die Basis unsers neu si
begründenden Algorithmus bilden, sind vier« — Der erste dieser
vier Begriffe ist jener der völlig willkühriicben, von der Natur uid
Beschaffenhett der Functionen ganz and gar uDabhängigen Beg^i-
zung der verschiedenen Objecte und ihrer analytiscwen Repräsei-
tanten. Die analytische Geometrie als solche hat bekanntlich bis«
her bloss unbegrenzte oder sich selbst begrenzende Linien und Flä-
chen zum Gegenstande ihrer Untersuchungen gemacht und alle so-
genannten discontinuirlichen, alle gebrochenen oder zusammenge-
setzten Linien, Figuren und Körper davon ausgeschlossen« Berück-
sichtigt man aber, dass bei Weitem die meisten geometrisches
Objecte, die uns sowohl in der Wissenschaft als im praktischen
Leben fast alltäglich entgegentreten, YBlIig willkürlich begrenzte,
mannigfaltig zusammengesetzte, gerade oder krumme gebrochene
Linien, Figuren, Flächen und Körper sind: so wird man wohl ohne
Bedenken anerkennen müssen, dass Betrachtungen, welche auch
diese wichtigen geometrischen Objecto für analytische Bebandlang
zugänglich zu machen beabsichtigen, nicht für unhütze mathemati-
sche 8peculationen füglich gehalten werden können. Bei Gelegen-
heit der dabei angestellten Voruntersuchungen gelangt man noch
nebenher zu dem wichtigen Resultate , dass man nisher zwei wich*
tige Klassen von geometrischen Objecten durch Gleichungen zu re*
präsentiren ausser Acht Hess. Es sind dieses nämlich die Fläcben-
nnd Körperräume. Man hat sich unter den Gleichungen der entern
jedoch weder die Formeln für den Flächeninhalt zu denken, noch
auch beziehen sich jene der zweiten auf den körperlichen Inhalt
eines geometrischen Objectes. Sie sind vielmehr die allgemeinen
Repräsentanten für sämmtliche Punkte, aus denen man sich sowohl
die Fläche als den Körperraum mit Rücksicht auf ihre bestimmte
Begrenzung zusammengesetzt vorzustellen pflegt« — Der zweite der
vier oben erwähnten Grundgedanken ist jener der gleichzeitigen
Darstellung mehrerer als zusammengehörig betrachteter Punkte Li-
nien, Figuren u. s. w., d..b, ganzer Systeme von geometrisehen
Objecten mittelst Gleichungen. — Der dritte unserer Begriffe ist
jener eines ^ absolut unbeweglichen und unter allen Verhältnissen
unveränderlichen Coordinatensystems sowohl in der Ebene wie im
Räume. — Der vierte der erwähnten Begriffe ist endlich jener der
Formänderung geometrischer Objecte oder der geometrischen /Me-
tamorphose. Die Ideen, welche den Verf. in Bezug auf die beiden
letzten Begriffe geleitet haben, den Lesern mit einiger Deutlichkeit
vor die Augen zu fuhren, ist ohne tiefer in die Sache einzugehen
nicht wohl möglich, und wir bemerken daher nur, dass sicn der

245

Verf. über diesen Gegenstand S. 54. auf folgende Weise äussert:
Sehr häufig kommt man in die La^e, mehrere Punkte, Linien, Flä-
chen, Figuren und Körper als gleichzeitig im Coordinaten- Räume
bestehend, d. h. als ein System betrachten zu müssen. Im Verlaufe
der weitern Betrachtungen stellt sich sodann öfters die Nothwen-
digkeit eis, entweder die Objecte eines Systems gleichmässig zu
verleffen, und ihnen als System eine andere Stelle im Räume an-
zuweisen, oder aber nur einzelne aus ihnen oder gar nur einzelne
Theile derselben, oder endlich wohl auch alle, jedoch nicht auf
eine gleichartige Weise ihre Lage ändern zu lassen. Die erstere
Veränderung werden wir schlechtweg die Ortsveräoderung oder
Dislocation, die zweite dagegen, da-^roit ihr in der That eine Form-
änderung wenigstens des Systems t erknüpft ist, die Transformation
oennen. Sowohl die eine als die andere Veränderung kann an ver-
schiedenen Objecten gedacht und mit ihnen vorgenommen werden,
ohne auch nur im Geringsten eine Aendernng in der Lage der
Coordinaten gegen einander und zu den besagten Ebenen notwen-
dig voraussetzen zu müssen. Von diesem Standpunkte aus betrach-
tet, halten wir es für eine unabweisbare Forderung der Consequenz,
uns jeder comulativen Behandlungsweise der beiden so heterogenen
Probleme, nämlich jenes der Dislocation und der ihr verwandten
Transfiguration einerseits, und der Transformation der Coordinaten
aaderseits, durchaus und in jeder Beziehung strenge zu enthalten.
Her Grund- und Hauptgedanke, aus welchem die vorliegende
Schrift hervorgegangen ist, bleibt nach unserer Ueberzeugung im-
mer der: auch begränzte geometrische Objecte einer analytischen
Behandlung zu unterwerfen; und in dieser Beziehung fasst sie die
Wissenschttft allerdings von einer neuen Seite auf, die man bisher
völlig unbeachtet gelassen hat. Die übrigen der vier von dem Verf.
erwähnten Begriffe mnssten aus diesem Hauptgedanken von selbst
hervorgehen. Möge der Schrift die Aufmerksamkeit, welche sie
wegen der Neuheit ihres Inhalts verdient, zu Theil, und der in ihr
behandelte Gegenstand weiter bearbeitet werden, wodurch sich ge-
wiss noch manche Vereinfachungen des von dem schai^fsinnigen
Verf. eingeführten neuen Algorithmus werden auffinden lassen, und
derselbe am besten für seine Bemühungen,, der analytischen Geo^
raetrie eine neue Seite abzugewinnen, belohnt werden wird.

In No. 494. der astronomischen Nachrichten findet sieb eine
Abhandlung des Herrn Observators T. Clausen zu Dorpat: „De
linearum tertii ordinis proprietatihus," in welcher der
Herr Verfiisser einen in Nentons Bnumeratio linearum ter-
tii ordinis vorkommenden Satz, von dem Cbasles in seiner Hi-
stoire de Geometrie sagt, dass er den Beweis vergeblich ge-
sucht habe, beweist, und ausserdem einige andere Sätze mittheilt.

Ausserdem stellt der Herr Verfasser ohne Beweis das fol-
gende Theorem, auf: „Die Anzahl aller Verbindungen zu
vier einer ungeraden Anzahl von Punkten, von denen
keine drei in einer geraden Linie liegen, und von denen
ein Punkt innerhalb des Dreiecks liegt, dessen Spitzen
von den übrigen dreien gebildet werden, ist immer ge-
rade.

246

Trigonometrie.

Köcher, Fr. A.: GruDdiäge der ebeneB Trigonometrie. Eüb
Leit&deo beim Uoterricbt. gr. 8. Breslaa. 1843. 6 ggr.

Praktische Geometrie.

Kompas Polski. Polniscber Kompaas, oder iDstra*
■ent, das die Stelle eiaes gewöbolieheu Kompasses,
eines Gnomonographs^ eines tragbaren ObLservatoriDBS
und eines Instrnments xam Zeicbnen von Kegel acbnitteo
vertritt Constmirt nnd besehrieben von Wojcieeb Ja-
strz^bowski.

Dieses von dem Verfasser bereits 1827 erfundene und 4iircb
öfteren Gebraneb als sweckmässig bestätigte Instrnneot sebeint
von Interesse far die Wissenschaft (Aus den Jahrb. ffir Slar.
Literatur.)

Scbenkl, Dr. Konr.; Anleitung zum Feldmeasen ohne matbe-
matiscbe Kenntnisse durch rein praktisches Verfahren; zaai laad-
wirtbscbaftlichen Gebraneb. gr. 4. Brunn. 1844. 5 ggr«

Lehmann, J. G.: Die Lehre der Situation- Zeich nong, oder
Anweisung zum richtigen Erkennen und genauen Abbilden der Erd-
oberfläche in Karten und Planen. Herausgegeben und' mit £rläo*
terungen versehen von R. A. Becker und 6. A. Fischer. 2 Theite.
5te unveränderte Auflage. Mit 25 Kupfertafeln in einem Bande (in
Royal-Folio). gr. 8. Dresden und l^eipzig. 1843. cart. 10 Thlr.

TpiiroBOMeinpH4Hau creMK«. Trigonometrischer Abriaa der 6i-
bemien Petersburg, Pskow<» IVitebsk und eines Theils von Nowga-
rod, vollzogen von Schubert. Petersburg. 1842^ 3 Bände.

Mechanik.

Perfecta s
ceieritatis. A

olutio problematis de principio virtnalis
uctore Ferd. Schweins, Phil. Doct. magno

V«

247

Duci Badarum a consiliis auiae^ Prof. publ. ord. Ueidel«
berffae. 1843. 4 16 gar,

^ l>er Verfasser dieser AbbandJung' beabsichtigt in dlrselbeo nicht
bloss eineb neuen Beweis des mechanischen Princips, weiches man
gewöbalich das Frincip der virtuellen GeschwindigKeiten nennt, za
geben, sondern dasselbe zugleich auf einen neuen Ausdruck «i brin-
gen , weil ihm der gewöhnliche der so nöthigen mathematischen
Strenge und Evidenz nicht gehörig zu entsprechen scheint. Letz-
leres sucht er vorzüglich dadurch zu erreichen, dass ei* mit dem
Aasdrucke virtuelle GeHchwiodigkeit (p. 1.) einen von dem bisheri-
gen' verschiedene^ Begriff verbindet^ indem er dunjuter die den bei
einer Drehung des Systems von dessen einzelnen Punkten beschrie-
benen Kreisbogen entsprechenden (trigonometrischen) Tangenten
versteht, und iiberhaupt nicht. sogenannte unendlich kleine Örehun-
gen, sondern Drehungen von ganz beliebiger Grösse betrachtet,
welche Andeutung über diesen Punkt, auf den es uns bei der von
dem Verf. angestellten Untersuchung hauptsächlich anzukommen
scheint, hier genügen muss. Allerdings gelangt der Verfasser auf
diese Weise mittelst ganz elementarer Betrachtungen zu in aller
Strenge gültigen Sätzen zwischen endlichen Grössen, die er selbst
p. nVIII. in folgendem Theoreme zusammenfasst: Summa produ-
ctorum e viribus in suis virtualibus cel eritatibus tarn
in piano quam in spatio aequalis est momento rotationis
totius virium systematijs, multipiicato tangente arguli,

2ai a vectoribus descrihitur. So verdienstlich uns nun auch
ie übrigens ganz elementaren Untersuchungen des Verfassers von
dieser Seite scheinen, und so sehr ,wir deshalb die Schrift zu wei-
terer Beachtung empfehlen , so lässt sich doch aus dem .bis jetzt
Mitgetheilten nicht mit Sicherheit übersehen, in wie fern die von
den Verfasser aufgestellten Sätze mit derselben ungemeinen Leich-
tigkeit zur Bntwickelung der Lehren der ganzen Mechanik ge-
braucht werden können, wie das Princip der virtuellen Geschwin-
digkeiten in seiner gewöhnlichen Gestalt; und gerade diese grosse
Pruchibarkeit der Anwendung wird nach unserer Meinung dem ge-
nannten Princip immer seine hohe Wichtigkeit für die ganze Wis-
senschaft sichern. Auch wir selbst haben in einer früheren Ab-
handlung (Beiträge zur reinen und angewandten Mathe-
roatbik. Zweiter TheiL Brandenburg. 1840. 4. S. 225.)
für das Princip der virtuellen Geschwindigkeiten einen völlig evi-
denten Beweis zu geben , und dasselbe zugleich auf einen völlig
strengen Ausdruck zu bringen versucht, haben Letzteres aber auf
einem andern Wege als der Verfasser zu erreichen gestrebt, indem
wir nämlich dieses Princip als. eine Gleichung zwischen den Grau-
ten gewisser Grössen dargestellt haben, wodurch, wie es uns
scheint, der Strenge nichts vergeben, die wirkliche IVatur des Ge-
gMistandes nicht aus dem Auge verloren wird, und dem Principe
dh grosse Fruchtbarkeit seiner Anwendung, worauf hierbei zuletzt
Altes ankommen dürfte» völlig gesichert bleibt. Indess hat der Ver-
fasser selbst am Ende seiner Abhandlung, die ja überhaupt nur den
Inhtlt eines Programms zu einer akademischen Feierlichkeit bildet,
mit derselben seine Untersuchungen über das Princip der virtuellen
Geadiwindigkeiten keinesweges als abgeschlossen betrachtet, und
wir lürfen. daher weitern Arbeiten aus seiner Feder über diesen
wichtigen Gegenstand entgegensehen, in denen wir ihn uns na-

248

metitlich die AowenduDg der von ihm aufgestellten Sätze zar mög-
lichst einfachen und leichten Bntwickelung der Lehren der Mecht-
nik, und zwar zunächst und vorzüglich die tierleitung der bekaDD-
ten allgemeinen Bedingungagleichungeu' des Gleichgewichts eines
beliebigen Systems aus denselben, zu welchen bekanntlich das Pris«
cip dar virtuellen Geschwindigkeiten so leicht führt ( m. s. n. A.
Y. Ettinghausens höhere Mechanik), zu zeigen bitten. G.

Otto, F.: Bemerkungen über den Einfluss der Umdrehang der
Artillerie - Geschosse auf ihre Bahn im Allgemeinen, so wie über die
Unzulänglichkeit der desfalisigen Untersuchungen des Berrn Pois-
Bon ins Besondere. 4. Berlin. 1844. . geh. 1 Thlr. 12 ggr.

Praktische Mechanik.

Salzenber^y W.: Vorträge über Maschinenbau. Im ABßrage
des Finanzministerii für den Unterricht in der Königl. Allgeaeinen
Bauschule und im Königl. Gewerbe- Institut bearbeitet. 4. Berlin.
1842. geh. 5 Thlr.

Ezperimentaluntersnchungen über die Gesetze des
Widerstandes der Flüssigkeiten. Von Colonel Doche-
min. Deutsch herausgegeben von Dr. U. C. Schnnse. Mit
4 Figurentafeln. Braunschweig. 1844. 8. 1 Thlr. 12 ggr.

Unter den vielen Uebersetzungen ausländischer Werke, die
jetzt erscheinen, scheint uns die Verpflanzung der vorliegenden,
einen sehr wichtigen praktischien Gegenstand, den in neuerer
Zeit zwei berühmte gelehrte Gesellschaften zu Preisaufgaben ge-
wählt haben, betrefi'enden Schrift, welche denselben sehr vollstän-
dig behandelt, und nicht bloss alle früher angestellten UntersnchuD-
gen mit Umsicht und Kritik benutzt, sondern auch von neu ange-
stellten Versuchen Kenntniss giebt, auf deutschen Boden recht ver-
dienstlich zu sein.

Astronomie.

Johann Keppler, kaiserlicher Mathematiker. Denktcbrifl des
historischen Vereins der Oberpfalz und von Regensburg. Mit Kepp-
lers Bildniss, Wappen und Facsimile der Handschrift. Gr. Imper. 4.
Aegensburg. 1842. 1 Thlr. 3 ggr.

249

Id den Jahrbüchern fdr Sla^v. Literatur befindet sich ein Aof-
aats unter dem Titel: Ropernik irehört nicht in die Wal*
halle.

Geschichte der Astronomie tob Anfange des nenn*
sehnten Jahrhunderts bis zu Ende des Jahres 1842, von
6. A. Jahn. Erster Band. Leipzig. 1844. 8. Beide Bände
4 Thir.

Der Verfissser bat in diesem Werke, dessen erster die vier
neuen Planeten, die filtern Planeten, die Sonne, die achtzehn Ne*
benplaneten und die Kometen betreffender Band uns jedoch für jetzt
nur vorliegt, eine Aufzählung alles dessen geliefert, was i^ dem
auf dem Titel genanoten Zeiträume in der Astronomie geleistet
worden ist, und wir haben in dieser Beziehung nichts Wesentliches
vermisst, so viel sich aus einer für jetzt natürlich nur flüchtigen
Durchsiebt nrtheilen lässt, glauben dasselbe daher auch allen denen,
welche sich, ohne eine grössere Bibliothek benutzen zu können,
mit dem grossen Aufschwünge, den die Astronomie in dem gegen-
wärtigen Jahrhuoderte genommen hat, auf bequeme Weise in mög-
lichst kurzer Zeit bekannt machen wollen, aus Ueberzeugung em-
pfehlen zn dürfen. Bei Weitem die meiste Ausbeute haben dem
Verfasser, wie der flüchtigste Blick auf jede Seite lehrt, die astro-
nomischen Nachrichten geliefert, und die grosse w^tssenscbaftliche
Bedeutung dieser Zeitschrift, die in ähnlicher Weise keine andere
Nation aufzuweisen im Stande ist, und die längst gehegte hohe
Achtung vor dem würdigen Herausgeber derselben, ist uns bei der
Lectöre des vorliegenden Werks wieder recht lebhaft vor die Seele
ffetreten. Dass man dabei aber auch der monatlichen Correspon-
deoz, der Zeitschrift fdr Astronomie und verwandte Wissenschanen,
der corr^sporidance astrooomique, die sämmtlich nur von Deutschen
redigirt wurden, und des astronomischen Jahrbuchs, das in seinen
Anhängen, wenigstens in den frühem Jahrgängen, auch den Cha-
rakter einer Zeitschrift halte, nie vergessen darf und in keiner
Epoche der weitern Kntwickelung der Wissenschaft vergessen wird,
zeigt das vorliegende Werk, dessen zweitem Bande, der wahr-
scheinlich vorzugsweise die Fixsterne und die mehr praktische Seite
der Wissenschaft, nämlich die neueren so vervielfochten Methoden
zur Bestimmung der Polböhe, der Länge und der Zeit, die Grad-
messungen, die Theorie der Refraction u. dg), betreuen wird, wir
mit Verlangen entgegen sehen, ebenfalls auf das Deutlichste. In
der mit grosser Bescheidenheit geschriebenen Vorrede bezeichnet
der Verfasser selbst sein Buch sehr richtig weniger als eine Ge-
schichte der Wissenschaft in eigentlich streuffem Sinne, sondern
mehr als ein möglichst vollständiges Repertonum , . und gerade in
diesem Sinne wünschen wir auch unsere obige Empfehlung von den
Lesern des Archivs vorzugsweise aufgefasst zu sehen. Dass der
Verfasser hauptsächlich die Arbeiten deutscher Astronomen berück-
sichtigte und berücksichtigen musste, ist ganz in der Natur der
Sache begründet.

Nürnberger, Dr. Jos. Emil.: Populäres astronomisches Hand-
wörterbuch, oder Versuch einer Erklärung der vornehmsten Begriffe
und Kunstwörter der Astronomie u. s. w. 3s Heft. gr. 8. Mit
1 Figurentafid und 2 Karten. Kempten. 1843. geh. 12 ggr.

250

PoDt^eoalant, G. de : Th^rie analy tiqoe da S3rtt^ne da monde,
Tome IV. 1 livr. 8. Paris. 1843.

Bremiker, C. : Verzeichniss der voo Bradlej, Piazzi, Lalande
and Besiel beobachteten Sterne. Academ. Sternkarten. Zone XIII.
ühr. Blatt 14 und Zone XVI. Uhr. Blatt 17. Fol. (in Comm.).
Beriin. 1843. 2 Thtr.

Graphische Darsteltangr des Laufes derPlaneten nod
Kometen für das Jahr 1844, nebst ausführlicher Anlei-
tung zu deren Gebrauche für Freunde und Lehrer der
Himmelskunde. Entworfen von J. 8. Schlimbach. Ham-
burg und Gotha. 1843. 12 ggr.

Besteht laus fünf Tafeln und scheint Liebhabern der beschauen-
den Astronomie zu empfehlen zu sein.

Groening, Alb.de: quaestiones et controversiae de die interca-
lari. 4t6. Goettingae. 1843. 12 ggr.

Naturwissenschaftlich-aatronpmisches Jahrbuch für
physische und naturhistorische üimmelsforscher und
Geologen mift den für das Jahr 1845 vorausbestimmten
Erscheinungen, am Himmel. Herausgegeben von Fr.
T. P. Gruitbuisen. Sechstes Jahr. Stuttgart. 1843. 8.
2 Thir. 18 ggr.

Auch dieser Jahrgang des naturwissenschaftlich-astronomischen
Jahrbuchs, in welchem die Einrichtung der frühern Jahrgänge un-
verändert beibehalten worden ist, fährt in seiner Richtung Ver-
dienstliches zu leisten fort, enthält wieder eine grosse Menge all-
gemein interessanter naturwissenschaftlicher Notizen, und ver-
schmäht es zugleich auch nicht, die streng genommen nicht auf
seinem Wege liegenden wichtigern neuern Arbeiten in der mathe-
matischen Astronomie zu besprechen, so wie denn die sich nicht
häufig findende Verbindung hinreichender mathematischer Kennt-
nisse mit sehr au*sgebreiteten naturwissenschaftlichen , namentlich
auch naturhistorischeu Kenntnissen dem Herausgeber bei der Bear-
beitung dieses Jahrbuchs gewiss sehr zu Statten kommt. Möge
daher das Jahrbuch fortfuhren, di« Richtung in der Eearbeituof;^
der Astronomie, die es zu vertreten sich nun einmal vorgenommen
hat, auch fernerhin zu vertreten.

Schriften der Sternwarte Seeberg. Ermittelung der
absoluten Störungen in Ellipsen von beliebiger Excen-
tricität und Neigung. Von F. A. Hansen, Director der
Sternwarte Seeb.erg. Ei^ster Theil, welcher als Beispiel
die Rerechnung der absoluten, vom Saturn erzeugten
Störungen des Enckeschen Kometen enthält. Gotha.
1843. 4. 3 Tlilr. 8 ggr.

Diese für physische Astronomie höchst wichtige Schrift enthält
vorzüji^lich in §. iV. auch verschiedene für die Intescralrechnung
wichtige Untersuchungen, insbesondere über eine eigne Art von
Transcendenten, welche der Verfasser durch I'i bezeichnet. Ent-
wickelt man- nämlich, wenn e wie gewöhnlich die Basis der na-«

*

251

tuificbep Logartthmen bezefcÄn^t,'e^^^^^ tinJ *i^-^^*^j^ In Reiben,
so erhält man * ' ' i i

\ lt.«

und • i ^ s V -.; r

■■'^, •'••-'. . ■ . . \ . 'i ^ .- . r.

1 1 1 '

v . •*■ . *Ä?-f- - na?^. , • : *^* _• ... i

.. . ■• '^ \' ■■ ' .-; --- . ■ • • - ■ -.'*■:
woraus die Entstehungc der in fiiede stehenden Transcendenten, und

die ArttWie-dieselben «h definireo sei» dürfteni. erhellet Dqr.Ver;

fasser findet folgende rfteiben:

I «
' I

1 !.__»_,.

,' - ■«

' • • • «^

-•X — : ^ — ^ ^^2* 2* . 3*

1 1 1

^X_A 2^ ^2». 3^ 2».3».4*^ ^••••'

^^—2 ^ 2.3^ ^2'^.3.4^ 2»,3«.4.5^ ^"

/t, — _JL a.r l .i»j L— i' I

^""2.3 2.3.4 ^2».3U-5 ^ 2».3».4.5.6 ,

U, fi. W.

Auf S. 101. giebt derselbe die Gleichung .

1 = (i"^)' -+- ^J'i_y + 2(/'a)» + 2{/' j» + . . . .

und auf S.. 105. wird geseigt, dass für ein ungerades. #,

und für. ein gerades i

/»i = ^ /"^^x^^'ritt * 00» ta?i£r

ist, woraus dann j^erner die bemerkenswerthe für jedes ungerade
und gerade, i geltende Gleichung

gefolgert wird. Für « = 0 ergiebt sich aus dem Vorhergehenden

^ 27lt/ 0 '

252

oder» wena »tatt der imaginären fixponentialgrösse ibr Ausdrack
durch Sinus und Cosinus eingeführt wird:

/■"X =^ / Q C08 (2k sin a:)da:.
Auf S. 107. giebt der Verfasser die folgenden Reihen :
y*,i = (/<';L)'-2(/*i)'-l-2(/'i)'-2(/'i)»+

und

/Oa;t = l -4(/^;i)» -4(/«jl)» -4(/»;i)» -....,

wetebe letztere Gleichpngen aus den beiden Torfaergehcndea mh
Hülfe der aus dem Obigen bekannten Gleichung

abgeleitet werden. Auf S. 109. und S. 110. findet man die besMr-
kenswerthen Oifferentialformeln

und die sich hieraus ergehende Differentialgleichung

Ä» ■^"T' dül "^"^ ^ — ^'

und am Ende des Werks sind Tafeln für diese Transcendenten ge-
f;eben. Ausser den vorher namhaft gemachten Relationen findeo
sich noch manche andere bemerkeoswerthe Ausdrücke, die sich
aber hier natürlich nicht alle mittheilen lassen. Jedenfalls Scheines
diese Transcendenten einer ausführlichen Untersuchung sehr werth
XU sein, zu welcher wir wohl die Leser des Archivs auffordera
möchten, da der Verfasser des vorliegenden wibbtig^n Werks, wie
er selbst S. 10. sagt, nur das auf seinen nächsten Zweck Bezüg-
liche in demselben entwickelt hat.

253

Physik.

Mo«8otti, 0. F.: Ijeiioni elemenfari di fisica iii«teBiatie8, date
■eir univeriita di Corfu 1840 — 41. Tomo 1. Floreni. 1843. 6 I^
72 Cent.

Ib Nomaer 52. dea Jahrraogs 1843. Seite 820 — 837 der
Heidelberger ialirbiicber bat Herr Professor Gerling za Mar-
burff eine RecensioD über F. von Driebergs böcbst seltsame
Scbrift: BeweisfQbruDg, dass die Lebre der Beuern Phy-
siker Yon dem DrnclLe des Wassers BBd der Luft
falsch ist, nebst dem Versuche, die Erscheinungen An
flüssigen Körpern ohne atmosphärischen Luftdruck xn
erklären. Mit einer Tafel Abbildungen. Zweite Auf-
lage.^ Tausend Ducaten dem, der es vermag, des Ver-
fassern Beweiae in widerlegen. Berlin. 1843. 8. gelie-
fert, welche wir vonSglich wegen mancher in derselben vorkom-
mender, den physikalischen Unterricht betreffender Bemerkungen, die
augenacbeinlich ans vieljähriger Erfahrung geschöpft sind, ni^ Leh-
rer der Physik lehrreich halten, und deshalb besonders anf dieselbe
aufmerksam machen. Dass Herr ▼. Drieberg gern den alten Horror
vacui wieder heraufbeschwören möchte, ist eine Erscheinung, die
vielleicht mit gewiisen allgemeinern Zeitricbtnngen in eiaiger Ver-
bindung steht. Sapienii sat!

Vermischte Schriften.

Nonvellea Annalen de Math^matiqnes. ionrnal dea
candidats aaz Realen polytechnione et normale. R^dig^
par MM. Terqnem, Officier de l'Universit^, Iloctenr ea
seiendes, Professenr ans Kcoles royales d'artillerie et
Gerono, Professenr de Matb^matiqnet. Paris. 8.

Von diesem Bcnen mathematiscben Journal, welches in manstli-
liehen Heften beranskammt nnd, wie sieb ancb schon ans dem Titel
entnehmen lässt, fast aar allein die weitere Attsbildunr der eUmen-
mentaren Theile snm Zwecke bat, nnd dabei sngleirb die Bedürf-
nisse des ElementornnterrichU an berücksicbdgen sncbt, sind bis
jetzt ^wei Bände (1843 nnd IH43) erscbienen. flass demMfn Inhalt
von jetzt an in dem Archive besonders berncksicbligt werden «ad
aus ihm in demselben alles vorzüfrlich Wissenswerlbe mitgeCkeilt
werden wird, versteht sieb von selbst .N'iim«nfli«:h dürfte dp.r Aril*
I^UUebnngsanfgaben ans demsellAn kttnfflg bereichert werden
MHen, denn einigermaassen herirorttecbende eigne VntP.rnurUunßnn
haben wir in den beiden vorlircrenrfen Kiinden nicht eben genin-
den. Das Meiste betriffl die Elemente der aaalytisckeo ueoma«

254

trie nnd deren AnweDdoog aaf die Theorie der LinieD des zweiten
Grades.

The Cambridge mathematical Joarnal. \o. XIX. \o-
yenher. IS-i'i- 1. Ou the evaluation of defioite multiple ioteg^rah.
Bv R. L. Kllis. II. Od the fqualiuos of motion of rotation. Bj
Andrew -Bell. III. On a method of findinsr the greatest common
measure of two polynonials. By A. Q. G/ Cranfurd. IV. On the
symmetrical investiffation uf piiioti of inflecliun. Bj W. IVahon.
V. Demonstration of Pascars tbeorem. Bv A. Cajlaj. VI. On the
transfor motion of multiple Integrals. Bj G* Boole.' VII. On the
motion of a pistoo und uf the air in ä cylinder. Bj G. G. Sto-
kes. VIII. On the equations of the motion of heat referred to
curvilinear coordinates. IX. Of asjroptotes to algebraic curves.
By D. F. Gregory. X. Mathematical notes. 1. |f a plane passes
through an^ point of a snrface, and makes any function of the
intercepts it cuts of from the axes, a maximum or a minimum
when it tonches the snrface, this maximum or minimnm value is
constant for all pointff of the surface; and, conversely, if for e?ery
point of a surface, a given function of the intercepts of the tan-
geut plane is constant, this function is, with reference to any Sin-
gle point of the surface, a maximum or minimum for the tangent
plane. 2. To find the value of

when «, :^ «3 =^ .... ^ Ä.

Rendiconto delle adunauze e de' lavori delP accade-
mia delle scienze, sezione della societa reale horbonica
di Napoli. Tomo I. Napolt. 1842. 4.

Es ist sehr erfreulich, dass nach Art mehrerer anderer Akade-
mien der Wissenschaften nun auch die Societa reale borlionica zu
Neapel über ihre Arbeiten einen regelmässigen Bericht zu erstatten
angefangen hat, welches gewiss zu der sehr zu wünschenden en-
gem literarischen Verbindung zwischen Deutschland und Italien bei-
tragen wird. Aus dem vorliegenden Bande machen wir nur auf
folgende Abhandlungen aufmerksam. Flauti: Analytischer Beweis
des V. euclidischen Postulats und desselben Abhandlung über eine
neue und zweckmässigere Bezeichnung der krummen Flächen zwei-
ter Ordnung. Fortun. Padula: Betrachtungen über den Wider-
stand der Stützpfeiler und andere Abhandlungen aus der ange-
wandten Mathematik. Capocci: über die Finsterniss vom 8. Juli
18V2 und über das Funkeln der Sterne. De Vico: über den Ring
und die Satelliten des Saturns. De Luca: neues System der To-
nometrie.

•

l%ei/ß:

tff'ufurt^uir/^täf.

Pbjiik»liiche nad aatheBatische AbhaadlaDgen in Det
Eaagel. Daaske Videaikaberaes Selikabs aatarFidea«
•kabelire oat BatbeBatiike AfbaadliaRer. Kopenbairen.

1841. 4. Baod Vlll.

&XIX— XXIV. Anlsiig aas eiaer Abbandlaag det Prot Raaos

aber die perioditcbea Ketteabrfi^e.
8.XXXI— IF. BtaUr. Oerited legte eiae Abbaadlaag aber die

Waeserboeeo ¥or.
8.XMV— ¥. HatbeMtMcbei tob Prof. Jürgeaiea.
S.LXX11— IV. Derielbe legte eine Abbaadlang Yor Qber die

allgeBeinea PnDci|iieD einer Tbeorie der Integrale,

derea Differentiale algebralscb liad«
S.LXXXV1II— IX. Haaiteea, Abbandlang über die Ton der

Stellung dei Mondea abhangigen Veränderungen in

der awgneiitcben Inteniität der Erde.
8. 1 — 15. üeber die Zerlegung eiaer Claise Ton Fonctionen;

?oa Cbr. Jnrgenien.
S. 17—26. üeber die SuBBation der traaeceadcaten Functionea,

deren Differentiale algebraiache siad ; tob denselben.

Anzeige.

Der systeBstiseh geordnete natbematiscbe Katalog meines
antiquarischen Lagers ist im September d. J. erschienen nnd
sowohl vom Ud terzeich neteo als auch durch alle Buchhandlungen
und Antiquariats • Geschäfte su besiehen.

Halle im No?ember 1843.

J. F. Lippert.

Druckfehler.

Im dritten Hefte muss S. 251. Z. 2. perspectiv! scheu statt
projectivischen gelesen werden.

'^miurt'Jrthi»!

TAalJT

^r/fiuri' .driHii^

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ffrano'tJlrthi/'.

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